) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším úkolem je njít funkci () Def: Funkce F () se nzývá primitivní k funkci f () n intervlu (, ) R, jestliže pro všechn z tohoto intervlu pltí F ( ) f ( ) Z úvodního příkldu je zřejmé, že má-li dná funkce f () primitivní funkci, je tkových funkcí nekonečně mnoho liší se pouze konstntou Def : Množinu všech primitivních funkcí F () k funkci f () n intervlu (, ) nzýváme neurčitým integrálem funkce f () Píšeme f ( ) d F( ) c Vlstnosti neurčitého integrálu Je-li funkce f () spojitá n intervlu (, ), pk k ní v tomto intervlu eistuje lespoň jedn primitivní funkce tedy i neurčitý integrál f ( ) d Pokud pro (, ) eistují integrály f ( ) d g( ) d, pltí : f ( ) d f ( [ ] ) c f ( ) d c f ( ) d, kde c 0 je konstnt [ f ( ) ± g( ) ] d f ( ) d ± g( ) d
I d c n n II d c, n n III d ln c ( IV V d c ln e d e c VI sin d cos c VII cosd sin c VIII IX cos sin d tg c d cotg c ) Zákldní neurčité integrály ( ) ( ) -------------------------------------------------------------- X d rcsin A A c XI XII d ln ± B c ± B d A A rctg A c XIII A d A ln c A A ------------------------------------------------------------- f ( ) f d ln f c ) XIV f ( ) d F( ) c
Integrce pomocí zákldních vzorců úprvmi integrovné funkce ) d ( ) d vz c c ) d d c c vz ( ) ) d d d d c vz, ln ) d d d d c sin cos cos tg tg cos cos cos cos 5) d d c vz rctg 9 6) d d d c vz rctg 0 6 ( ) 6 6 6 7) d vz ln c 8) d d vz ln ( ) 6 c 6 ( ) 9) d vz0 rcsin c 0) d vz ln c 5 5 ) d 5 d c vz ln Integrce pomocí vzorce č ) d ln 5 c 5 ) d d ln c ) sin sin tg d d d ln cos c cos cos Integrce pomocí vzorce č 5) cos( ) d sin( ) c ( ) 6) d ( ) d c ( ) c 6 7) e d e c
) Sustituce typu t ϕ() ) Integrce sustituční metodou Vět : Nechť funkce t ϕ() má derivci n intervlu ( α, β ) zorzuje ho n intervl (, ) Nechť funkce f (t) je spojitá n intervlu (, ) Pk n intervlu (, β ) dosdíme-li do primitivní funkce n prvé strně t ϕ() Integrci sustituční metodou provádíme podle následujícího schémtu : f ϕ f ( t) dt, α pltí ( ( )) ϕ ( ) d sust: t ϕ( ) c dt ϕ ( ) d f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d f ( t) dt F( t) c F( ϕ( )) Z novou proměnnou t čsto volíme vnitřní složku složené funkce Př : Sustituční metodou vypočítejte integrál ( 7) d Řešení : t 7 dt d dt d t dt t d ( 7) dt C C t 8 ) Sustituce typu ϕ(t) Vět : Nechť funkce f () je spojitá n intervlu (, ) Nechť funkce ϕ (t) má nenulovou derivci n intervlu ( α, β ) zorzuje ho n intervl (, ) Pk n intervlu (, ) pltí ( ) d f ( ( t)) ϕ f ϕ ( t) dt, dosdíme-li do primitivní funkce n prvé strně t ( ϕ ), kde ϕ je inverzní funkce k funkci ϕ Integrci sustituční metodou provádíme podle následujícího schémtu : sust : ϕ( t) f ( ) d f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt F( t) c F( ϕ ( c d ϕ ( t) dt )) d Př: Sustituční metodou vypočítejte integrál ( ) d t tdt dt t Řešení : c d tdt t t rctg rctg ( ) ( ) ( t ) c ) Integrce metodou per prtes Jde o metodu, kterou používáme pro integrci součinu dvou funkcí n zákldě následující věty Vět : Nechť funkce u ( ) v( ) mjí derivci n intervlu (, ) Pk eistuje-li integrál n prvé strně, pltí u ( ) v ( ) d u( ) v( ) u ( ) v( ) d
Metod má smysl, pokud umíme řešit integrál n prvé strně rovnosti Volu funkcí u v je čsto výhodné provádět pomocí následujících prvidel : z nederivovnou funkci volíme toho činitele, kterého neumíme integrovt, umíme-li integrovt o činitele, potom toho, který se derivcí více zjednoduší Př : Metodou per prtes vypočítejte integrál lnd Řešení : v ln, v d d d C ln ln ln ln u 6, u 5 5) Integrce jednotlivých typů funkcí ) Integrce jednoduchých rcionálních lomených funkcí Neryze lomenou rcionální funkci vyjádříme vydělením jko součet polynomu ryze lomené rcionální funkce Pokud má tto ryze lomená funkce tvr A, integrujeme ji pomocí ně- c kterého ze vzorců,, popřípdě A ( ) n neo d (dělíme) d c vz rctg ( jiný způso výpočtu : d d d d ) d (dělíme) d ln c ln c ( ) d d c c ( ) vz ( ) 9( ) ln 5 8 rctg C (úlohu je možné řešit též sustitucí t ) ) Integrce ircionálních funkcí Integrál ircionální funkce R( ; n ) d řešíme sustitucí t n Př : d t t t Řešení : d tdt dt (dělíme) t dt tdt d t t t t t lnt C ln C
6 n n k Integrál ircionální funkce R( ; ), ),, n ) d řešíme sustitucí t s, kde s je nejmenší společný násoek čísel Př : d ( ) n,, n, nk 6 5 5 t 6t t t Řešení : d dt 6 dt 6 dt (dělíme) 5 t dt d 6 6 ( ) 6 t ( t ) t ( t ) t 6 6 6 dt 6 dt 6t 6rctgt C 6 6rctg C t c) Integrce goniometrických funkcí Je-li možné integrovnou goniometrickou funkci uprvit n tvr R(sin ) cos řešíme integrál sustitucí t sin, R(cos ) sin řešíme integrál sustitucí t cos (pro převod jedné funkce n druhou používáme vzth sin cos ) sin Př : d cos sin sin sin cos t cos ( t ) Řešení : d d sind dt cos cos cos dt sind ( t ) t dt dt dt t t C C t (dělíme) rctg( ) cos rctg(cos ) t
Nechť f () je funkce spojitá n intervlu 7 Určitý integrál ) Riemnnův určitý integrál,, která je zde nývá kldných hodnot je rostoucí Grf této funkce, os přímky, ohrničují rovinný orzec Rozdělme intervl, n n stejných dílků délky h Nyní určíme funkční hodnoty v krjních odech jednotlivých intervlů vytvoříme součty : sn f ( ) h f ( ) h f ( ) h f ( n ) h dolní součet, 0 Sn f ( ) h f ( ) h f ( ) h f ( n ) h horní součet Čísl sn Sn předstvují součet oshů odélníků o zákldnách délky h výškách dných hodnotmi v krjních odech intervlů Pltí zřejmě sn Sn Budeme-li zvyšovt počet dělících odů n, udou se čísl Jestliže sn Sn k soě přiližovt n, eistují limity lim sn limsn jejich hodnoty jsou si rovny n n Společnou hodnotu těchto limit nzýváme Riemnnův určitý integrál funkce f () v intervlu, znčíme ho f ( ) d Z geometrického hledisk předstvuje f ( ) d osh orzce, ohrničeného grfem funkce f (), osou přímkmi,
Vlstnosti určitých integrálů 8 c f ( ) d c f ( ) d [ ( ) ± g( ) ] d f ( ) d ± f g( ) d f ) d f ( ) d f ( ) d c (, kde c (, ) c Zákldní vět integrálního počtu, vět Leiniz-Newtonov Vět : Je-li F() primitivní funkce ke spojité funkci f () n intervlu,, pk [ F ( ) ] F ( ) F( ) f ( ) d 6 Př : ( ) d Výpočet určitého integrálu metodou per prtes u u v cos [ uv ] u v d u vd Př: cosd [ sin] sind sin 0 [ cos] 0 v sin cos cos0 0 0 0 Výpočet určitého integrálu sustituční metodou Př: sust : t ϕ( ) β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d dt ϕ ( ) d f ( t) dt α α α α ϕ( ), β ϕ( ) β [ F( t) ] F( β ) F ( ) 9 sust : t d tdt d tdt ( ) ( ) t t t t 9 t dt rctg [ t] (rctg rctg )
) Geometrické plikce určitého integrálu 9 Osh rovinné olsti Pří výpočtu oshu rovinné olsti mohou nstt následující přípdy : ) Funkce f () je spojitá n intervlu f (), osou přímkmi, pltí f ( ) 0 Osh orzce, ohrničeného grfem funkce, se vypočítá pomocí vzorce P f ( ) d Or : ) Funkce f () je spojitá mění n intervlu, znménko Osh příslušného orzce se vypočítá pomocí vzorce Or : P f ( ) d Při výpočtu určíme průsečíky funkce f () s osou stnovíme intervly, ve kterých je f ( ) > 0 ve kterýchf ( ) < 0 N kždém z těchto intervlů pk počítáme určitý integrál, přičemž v intervlech, ve kterých je funkce záporná, změníme znménko funkce f ()
0 c) Rovinná olst je shor ohrničená funkcí f (), zdol funkcí g () dále přímkmi, Osh příslušného orzce se vypočítá pomocí vzorce Or : [ f ) g( ] P ( ) d Ojem rotčního těles Ojem těles, které vznikne rotcí olsti, ohrničené grfem funkce f (), osou přímkmi, kolem osy, se vypočítá pomocí vzorce [ f ( ) ] d V