1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž se f ( + f ( výsledek: = v bodě. bude zmenšovat nekonečně přesný = derivace funkce f v bodě. Definice: Je dána funkce f definovaná v jistém okolí bodu. Eistuje-li vlastní ita f (. ( + ( f f nazýváme ji derivací funkce f v bodě a značíme ji smbolem Různé druh zápisu: f ( + f ( f ( = - náš základní zápis f ( f ( f ( = (protože platí = f ( = (protože platí = f ( + f ( d Poznámka: Často se také používá zápis f ( = =, kde d a d označují d nekonečně malé změn proměnných a. Př. 1: Urči derivaci funkce = v bodě. Dosadíme do vzorce: ( ( ( ( + f f f ( = = = ( + f ( = = + = U předchozí příkladu jsme počítali derivaci v obecném bodě, nedosazovali jsme konkrétní čísla. Získali jsme tak obecný vztah, do kterého můžeme za dosazovat konkrétní čísla, která nás zajímají. 1
Př. : Urči podle předchozího vztahu derivace funkce výsledk s grafem funkce =. = v bodech ;,1,. Porovnej f = : Stačí dosazovat do vztahu ( = : ( ( = : ( ( = 1: ( 1 ( 1 = : ( ( 6 f = = funkce f = = funkce f = = funkce f = = funkce Spočtené údaje dobře souhlasí s grafem: 8 6 = = v bodě klesá = v bodě neklesá ani neroste = v bodě 1 roste = v bodě roste více než v bodě 1 =- =1 - - = Na výraz, do kterého jsme dosazovali při výpočtech derivací v bodě se můžeme dívat jako na předpis funkce, jejíž hodnot udávají hodnotu derivace v bodě. Takovou funkci f a mluvíme o ní jako o derivaci funkce. značíme nebo ( Funkce f ( = f ( a značíme ji f ( = může mít opět derivaci. Této funkci pak říkáme druhá derivace funkce =. Př. : Načrtni graf funkce = a odhadni velikost její derivace v bodě. Poté vpočti tuto derivaci pomocí vzorce. - - - - Kolem nul je graf funkce vodorovný mělo b platit f ( =.
Dosadíme do vzorce: ( ( ( f f f ( = = = = = Př. : Načrtni graf funkce = (s definičním oborem R a odhadni velikost její derivace v bodě. Poté vpočti tuto derivaci pomocí vzorce. - - - - Kolem nul je graf funkce svislý mělo b platit f ( = + (v okolí nul je funkce rostoucí a ted s kladnou derivací. Dosadíme do vzorce: f ( + f ( + 1 f ( = = = = = + Předchozí derivace je příkladem nevlastní derivace funkce v bodě. Stejně jako u spojitosti můžeme definovat jednostranné derivace funkce v bodě: Nechť funkce f je definována v jistém levém, resp. pravém okolí bodu. f ( + f ( Eistuje-li nazýváme ji derivací funkce f v bodě zleva. Eistuje-li zprava. + ( + ( f f Podobně jako u spojitosti definujeme derivace v intervalu: ; nazýváme ji derivací funkce f v bodě Funkce f má v intervalu ( a b derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě ( a; b Funkce f má v intervalu a; b derivaci, jestliže má derivaci v každém bodě ( a; b v bodě a má derivaci zprava a v bodě b má derivaci zleva. Eistence derivace souvisí se spojitostí funkce: Má-li funkce f v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá.. a
Př. 5: Na obrázku grafu funkce = demonstruj, že neplatí věta: Je-li funkce f v bodě spojitá, má v tomto bodě derivaci (obrácená k větě předcházející. - - - - Neplatnost vět vplývá ze situace v okolí bodu. V bodě je funkce spojitá, ale nemá derivace, protože sklon z obou stran je různý a jednostranné derivace se sobě nerovnají. Teď začneme hledat vzorce pro derivace jednotlivých funkcí. Pedagogická poznámka: Největší problém ve všech následujících příkladech nedělá studentům dosazení do it pro derivaci nebo její výpočet, ale dosazení do f f. předpisu funkce a výpočet výrazů ( + a ( Př. 6: Nakresli graf libovolné konstantní funkce = c. Podle grafu odhadni funkci, která je její derivací. Urči tuto funkci pomocí vzorce pro výpočet derivace v bodě. - - - - Hodnot funkce se nemění derivace b měla být nulová (funkce = ( f ( = c f + = c ( ( f + f c c f ( = = = =
Př. 7: Nakresli graf několika různých lineárních funkcí = a + b. Podle grafu odhadni jaké vlastnosti musí mít funkce, která je její derivací. Urči tuto funkci pomocí vzorce pro výpočet derivace v bodě. - - - - Hodnot funkce se mění, změna závisí na parametru a (určuje sklon přímk derivace b měla záviset na a a neměla b záviset na (sklon přímk je všude stejný f = a + b ( ( + = ( + + ( ( ( ( ( f a b f + f a + + b a + b a f = = = = a Př. 8: Nakresli graf kvadratické funkce =. Podle grafu odhadni jaké vlastnosti musí mít funkce, která je její derivací.. Urči tuto funkci pomocí vzorce pro výpočet derivace v bodě. - - - - Pro záporná hodnot funkce klesají ( záporné hodnot derivace Pro kladná hodnot funkce rostou ( kladné hodnot derivace derivace se mění a měla b být závislá na bodě ( ( + = + = + + ( = f f 5
( ( ( ( + f f f ( = = = ( + f ( = = + = derivací funkce = je funkce = Př. 9: Petáková: strana 155/cvičení 17 f, f 8, f 1 strana 155/cvičení 17 g, f 8 Shrnutí: 6