ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou vyskytovat v testech na cvičeních. Opakování Cvičení..Spočítejte +i++i+i+i+i/+i +i/+i. Cvičení.. Najděte goniometrický tvar komplexního čísla +i a spočítejte +i. Cvičení.. Najděte všechny páté odmocniny z komplexního čísla i tj. najdětevšechnařešenírovnice x 5 = i. Cvičení.. V oboru komplexních čísel řešte soustavu lineárních rovnic ix+ iy = i+ ix iy = i Cvičení.5. Najděte všechny komplexní kořeny kvadratické rovnice ix +i x+ =. Cvičení.6. Nalezněte obecnou a parametrickou rovnici roviny procházející body [] B = [] C = [ ]. Soustavy lineárních rovnic Cvičení.. Určete zda matice je v odstupňovaném tvaru. Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad R. 5
Cvičení.. Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad C. +i i i 5+i i Cvičení.. Najděte všechna řešení homogenní soustavy rovnic nad C s maticí +i i i. i Cvičení.5. Nadjěte polynom třetího stupně jehož graf obsahuje body 57. Tělesa a soustavy lineárních rovnic nad tělesy Cvičení..Vtělese Z 7 spočítejte 5. Cvičení..Najdětevšechnařešenísoustavyrovnicnad Z. 5 6 8 9 8 7 Matice Cvičení..Spočítejtesoučinmaticnad Z. 8 5 7 5 9 8 8 Cvičení.. Zjednodušte výraz A+B T C +A T +AB T +AB C T T aurčetejakémusímítmatice ABCtypyabybylvýrazdefinován. Cvičení.. Spočítejte mocniny reálných matic 9 5
Cvičení..Vyřeštematicovourovnicinad Z. X = Cvičení.5. Najděte všechny reálné čtvercové matice X pro které platí X AX. Cvičení.6. Rozhodněte zda jsou dané komplexní matice regulární. +i +i 7 i i+5 +i i i i +i i +i i i+6 66i 7i+ i i Cvičení.7.Kmatici Anadtělesem Z 5 najděteinverznípokudexistuje.. Cvičení.8.Řeštematicovourovnici AXB = Ckde ABCjsoureálné. B = C = Cvičení.9.Spočítejte A B C Ckde ABCjsoureálnématice. B = C = Cvičení.. Vyjádřetematici Anad Z 7 jakosoučinelementárníchmatic pokud to jde. 6 Cvičení.. Najděte LU rozklad reálné matice. 5 Lineární prostory Cvičení 5.. Zjistěte zda množina vektorů a {x+y+x+y : xy R}
b {x+yxx+y : xy R} c {x+y +z + : xyz R} d {x x x : x R} jepodprostorem R. Cvičení5..Zjistětezdavektor i T ležívlineárnímobaluvektorů T i T ii T C Cvičení5..Vyjádřetevektor T jakolineárníkombinacivektorů T T T Z 5. Cvičení 5.. Zjistěte zda množina { T 56 T T } generuje R. Cvičení5.5.Najděte KerApronásledujícímaticinad Z 5. Cvičení5.6.Zjistětezda T Z 5 ležívimat azda T Z 5 ležív ImApromatici Anad Z 5. Cvičení5.7.Zjistětezdajsouposloupnostivektorůze Z lineárnězávislénebo nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé vyjádřete jeden z vektorů jako lineární kombinaci ostatních. a T T T T b T T T T Cvičení5.8.Najdětenějakoubázipodprostoru V prostoru C. V = +i i+i T i+ii T +ii T Cvičení5.9.Najdětenějakébázeprostorů KerA KerA T ImAaImA T pro matici Anad Z 5. Cvičení5..Určetedimenze KerA KerA T ImAaImA T promatici Anad Z 5.
Cvičení5.. Zvektorů v v...v R vybertenějakoubázijejichlineárního obalu. 5 9 v = 7 v = 8 v = 7 v = 6 6 Cvičení5..Zjistětezda B = T T 5 T jebází R apokudanonajdětesouřadnicevektoru 7 T vzhledemkb. Cvičení5..Ověřteževektor uležívpodprostoru V = v v v prostoru Z 5 ověřteže B = v v v jebází V anajděte [u] B. v = v = v = u = Cvičení5..Určetematicipřechoduodbáze Bprostoru Z 7kbázi C. B = 6 5 C = 6 Cvičení5.5. Ověřteže BaCjsoubázeprostoru V R anajdětematici přechoduod Bk C. V = B = C = 5 Cvičení5.6.Souřadnicevektoru u Z 7vzhledemkbázi Bjsou x x x T. Určete [u] C je-li B = 6 5 C = 6. Cvičení 5.7. Určete bázové sloupce matice A nad Z 7 a vyjádřete ostatní sloupce jako lineární kombinaci bázových. 5 6 5 Cvičení 5.8. Určete hodnost komplexní matice A. +i i i +i i +i i +i 5
Cvičení5.9.Najděteskeletnírozkladmatice Anad Z 5. Cvičení5..Určetedimenziprůnikuasoučtupodprostorů UV R. U = V = Cvičení5..Zjistětezda R = U +Vkde U = 6 Lineární zobrazení V =. Cvičení6..Lineárnízobrazení f : Z 5 Z 5 jedánopředpisem f x x x +x = +x. x x +x +x Určetematici fvzhledemkbázím BaC. C = B = Cvičení6.. Maticelineárníhozobrazení f : Z 5 Z 5vzhledemkbázím Ba Cje A.Určete fx x x T. B = C =. Cvičení6..Lineárnízobrazení f : Z 5 Z 5splňuje f = f = f Určete jeho matici vzhledem ke kanonickým bázím. =. 6
Cvičení6..Matice f : Z 5 Z 5vzhledemkbázím Ba Cje A.Určetematici fvzhledemkdae. B = D = E = C = Cvičení 6.5. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A. Určete souřadnice fuvzhledembázi Evíte-ližesouřadnice uvzhledemkbázi D jsou x x T. D = B = E = C = Cvičení6.6.Matice f : Z 5 Z 5vzhledemkbázím Ba Cje A.Určetezda f jeautomorfismusanajdětematici f vzhledemkdae. B = C = D = E = Cvičení 6.7. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A matice g : Z 5 Z 5 vzhledemkbázím D a E je X.Určetematici fgvzhledemke kanonickým bázím. X = C = D = B = E = Cvičení 6.8. Matice f : Z 5 Z 5 vzhledem k bázím B a C je A matice g : Z 5 Z 5vzhledemkbázím DaEje X.Určetematici f +gvzhledemke kanonickým bázím. X = C = D = B = E = 7
Cvičení6.9. Matice f : Z Z vzhledemkbázím Ba Cje A.Určetejádro aobraz f. 7 Determinant B = C = Cvičení7..Najděteredukovanýcyklickýzápispermutace α βγ kdepermutace α β γ S 8 jsoudánytabulkami. 5 6 7 8 5 6 7 8 α = β = 6 8 7 5 5 6 8 7 γ = 8 6 7 5 5 6 8 7 Cvičení7..Najděteredukovanýcyklickýzápispermutace α βγ kdepermutace α β γ S 8 jsoudányredukovanýmcyklickýmzápisem. α = 7 5 6 β = 8 7 5 6 γ = 8 6 Cvičení7..Najdětevšechnypermutace π S 8 prokteré α πβ = γ kde α = 7 5 6 β = 8 7 5 6 γ = 8 6 Cvičení7..Vyjádřetepermutaci ρ S 8 danoutabulkoujakosloženítranspozic. 5 6 7 8 ρ = 7 5 6 8 Cvičení7.5. Určeteznaménkopermutací αβγ a γβ αkde αβγ S 8 jsou dány tabulkami. 5 6 7 8 5 6 7 8 α = β = 6 8 7 5 5 6 8 7 γ = 8 6 7 5 5 6 8 7 Cvičení7.6. VypištevšechnysudéavšechnylichépermutacevS vredukovaném cyklickém zápisu. 8
Cvičení7.7.Spočítejtedeterminantynásledujícíchmaticnad Z 7. 5 6 5 6 5 Cvičení7.8.Sjakýmznaménkemvystupujívdeterminantumatice a ij 7 7 sčítanci a a 7 a a a 5 a 56 a 67 a a 7 a 56 a 5 a 7 a a 6? Cvičení7.9.Spočítejtedeterminantmatice Anad Z 7. 6 5 5 5 6 Cvičení7.. Vzávislostinaparametrech abcdefghijklmn R spočítejte determinant matice A. a b c d e f g h i j k l m n l Cvičení 7.. Užitím Cramerova pravidla spočítejte druhou složku řešení soustavy rovnicnad R. 5 Cvičení7..Určete adjaaa proreálnoumatici A. 7 6 9