Charaterty úrově Měřeí úrově Úroveň (poloha) je jedou ze záladích vlatotí tattcých dat, v úrov e mohou tattcá data lšt ebo aopa hodovat. Výzačé hodoty varačí řady ejou ctlvé a změu jedotlvých hodot Medá protředí hodota ouboru, rozděluje aždý ze ouborů a dvě polovy, Modu typcá hodota, hodota ejvětší četotí (cetrum ejvětšího aupeí hodot). Těžště výledce všech jedotlvých případů, změa aždého z ch vyvolá změu výledé charaterty. Poloha těžště je dáa průměrou vzdáleotí jedotlvých hodot od počátu. Tato charaterta e ozačuje jao artmetcý průměr. Průměry jou fucí všech hodot varačí řady; leží vždy mez mmálí a mamálí hodotou ouboru; změí-l e ěterá z hodot ouboru, změí e ve tejém mylu hodota průměru. Obecě defovaý průměr mocový průměr -tá odmoca z artmetcého průměru - tých moc hodot číelého tattcého zau X., de je tupeň mocového průměru. Mocový průměr je eleající fucí číla a platí pro ěj vztah: vyplývá z: 0 ). h (jaě g Pro tříděá data vážeý průměr vypočítaý vaham, terým jou četot jedotlvých hodot zau ebo četot tříd. Protý vážeý průměr jou dvě formy téže tattcé charaterty, tudíž mají tejé vlatot a v ymbolce je ja erozlšujeme.
Charaterty úrově Artmetcý průměr pro začí e protá forma (etříděá data) vážeá forma (tříděá data) objemová data (tržby, álady, odpracovaé hody, lzeň) čtatelot zau Přílad č. 5 Př 0 otrolách jízdee v brěých tramvajích byl zazameá počet cetujících poutovaých za jízdu ačero:, 3,, 4,, 5, 3, 3, 4, 0, 3,, 7,, 4, 5,, 6, 3, 4, vypočítejte průměrý počet poutovaých cetujících (protý artmetcý průměr). Setavte tabulu rozděleí četotí a vypočtěte vážeý artmetcý průměr. Artmetcý průměr protý: 64/0 3, Tabula rozděleí četotí bodové tříděí p p 0 0 0,05 0 0,0 0, 3 4 8 0,0 0,4 4 3 5 5 0,5 0,75 5 4 4 6 0,0 0,8 6 5 0 0,0 0,5 7 6 6 0,05 0,3 8 7 7 0,05 0,35 Celem 0 64,0 3, 64/0 3, p p 3,/ 3,
Charaterty úrově Ze vzorců vyplývají tyto vlatot artmetcého průměru: jou-l všechy hodoty rovy jedé, přechází vzorec vážeého průměru do proté formy; áobíme-l četot lbovolou otatou, hodota průměru e ezměí (vydělíme-l aždou z hodot rozahem ouboru a áobíme 00, hodota průměru zůtae tejá tejý výlede př výpočtu průměru ja z abolutích ta relatvích četotí); jou-l hodoty tředy tříd, je vypočteá hodota pouze odhadem utečé hodoty artmetcého průměru, eboť ouč je je odhadem úhru -té třídy (přeě pouze z etříděých dat); použtí všude tam, de má myl oučet dvduálích hodot tattcého zau; určující vlatot: tálot oučtu př ahrazeí čítaých hodot zau jejch artmetcým průměrem; má vlatot těžště - oučet odchyle jedotlvých hodot zau od průměru je rove ule; - artmetcý průměr je otata, olem íž jou hodoty zau ejtěěj aupey ve mylu oučtu čtverců odchyle: ( ) m ; pro W X ± Y w ± y, artmetcý průměr oučtu (rozdílu) dvou tattcých zaů je rove oučtu (rozdílu) jejch průměrů; pro W X Y w podílu jejch úhrů; y, artmetcý průměr podílu dvou tattcých zaů je rove celový průměr je rove vážeému artmetcému průměru dílčích průměrů, de vaham jou rozahy dílčích ouborů, tj. Harmocý průměr - začí e H vždy pro > 0 tezví, úrovňové velčy (rychlot, hodová mzda, álady a jedotu).
Charaterty úrově H Vlatot harmocého průměru: harmocý průměr lze počítat je pro ladé hodoty zau; jou-l všechy hodoty rovy jedé, přechází opět vážeá forma v protou; áobíme-l četot otatou, harmocý průměr e ezměí; lze vyjádřt jao převráceou hodotu artmetcého průměru převráceých hodot zau; určující vlatotí je tálot oučtu převráceých hodot zau př jejch ahrazeí převráceým hodotam harmocého průměru; oučet odchyle převráceých hodot zau od převráceé hodoty harmocého průměru je rove ule 0; H áobíme-l hodotu zau ladou otatou c, harmocý průměr e touto otatou taé áobí; Přílad č. 6 Souromý zemědělec pětuje dvě odrůdy pšece. U odrůdy Slava byl hetarový výo 5,5 t/ha (celová lzeň čla 0 t), u odrůdy Rega 6, t/ha (celová lzeň 73 t). Jaého průměrého hetarového výou zemědělec doáhl? Ozačme uazatele, jehož průměr počítáme (zde hetarový výo), hodoty druhého zadaého uazatele (lzeň) ozačme. Vzhledem tomu, že má myl oučet podílů / (a ol výraz průměr. ), použjeme výpočtu průměrého hetarového výou harmocý Odrůda Ha výo Slzeň Oeví (t/ha) (t) plocha (ha) Slava 5,5 0 40 Rega 6, 73 0 Celem 95 60
Charaterty úrově h 95 5, 95 0 73 + 5,5 6, t/ha Podobé úlohy, u terých je vhodé použít harmocý průměr, lze řešt taé pomocí vážeého artmetcého průměru. Ozačíme opět průměrovaý uazatel (hetarový výo), vahou ( ) bude oeví plocha. Celovou lzeň (ha výo rát oeví plocha v ha) ozačíme a průměrý hetarový výo vypočteme: 5,5 40 + 6, 0 60 5,95 t/ha Geometrcý průměr 0 začíme G > 0 růtové, čaově provázaé velčy výyt odlehlé, velm vyoé hodoty Přílad č. 7 Vypočtěte průměrý oefcet růtu produce jedoho podu v období 990 94 a záladě oefcetů růtu jedotlvých let: Ro Produce v ml. Kč 990 73, - 99 77,5,0587 99 77,9,005 993 8,,044 994 84,4,0394 Koefcet růtu hodota běžého růtu / hodota předcházejícího růtu
Charaterty úrově 9 90 9 9 93 9 94 93 94 90 Geometrcý průměr: g 4,0587,005,044,0394, 036 84,4 73, 4,036 Vlatot geometrcého průměru: určující vlatotí je tálot ouču hodot zau př jejch ahrazeí geometrcým průměrem; ouč podílů hodot zau geometrcým průměrem je rove jedé áobíme-l hodoty zau otatou >0, áobí e touto otatou geometrcý průměr; geometrcý průměr je atlogartmu artmetcého průměru logartmů hodot zau. g ;
Charaterty varablty Měřeí varablty Ve vztahu: růzým jedotám téhož tattcého ouboru; jedé jedotce ledovaé ve více čaových oamžcích (tervalech); jedé jedotce, u íž je otatí hodota odčítáa opaovaě; oučátí varablty mohou být hrubé chyby měřeí ebo heterogeta dat (přmícháí jedote, teré do ouboru epatří). Z uvedeého vyplývá, že tattcé údaje vždy obahují: přrozeou varabltu (růzot podmíe v protoru a čae); chybovou varabltu (eí vítáa, áhodé chyby měřeí). Měřt velot varablty lze ěola způoby: Varačí rozpětí rozpětí hodot ouboru; rozdíl mez mamálí a mmálí hodotou ouboru; závlot je a etrémích hodotách ouboru úplá abece vlvu všech zbývajících hodot; etrémí hodoty mohou být hrubým chybam jtým řešeím: rozpětí vartlů. Dferece varablta ve mylu vzájemé rozdílot všech dvojc hodot ouboru; záporou vlatotí je ulová hodota oučtu dferecí, lze řešt: abolutí hodoty dferecí tředí dferece ; čtverec hodot dferecí tředí vadratcá dferece. Odchyly hodot od otaty otata: artmetcý průměr, medá, modu opět oučet odchyle je rove ule, ebo čílu blízému ule, podobé řešeí: průměré abolutí odchyly od medáu, průměrá vadratcá odchyla od průměru rozptyl (průměrý čtverec). Abolutí míry varablty měří abolutí varabltu
Charaterty varablty jou rozměré - závlé a měrých jedotách zoumaého zau vadratcá odchyla a dferece jou v měrých jedotách umocěých a druhou Relatví míry varablty bezrozměré (popř. v %) charaterty; ezáví a žádé měré jedotce; jou vzájemě rovatelé; otruovaé jao poměr rozměré charaterty varablty u ějaé charatertce úrově, zpravdla artmetcému průměru. Průměré abolutí odchyly artmetcý průměr abolutích hodot odchyle hodot zau od ějaé charaterty úrově, zpravdla medáu ejmeší ze všech průměrých abolutích odchyle; relatví vyjádřeí po vyděleí artmetcým průměrem, pro rováí varablty ouborů růzou úroví, popř. zaů v erovatelých měrých jedotách. Vlatot: Změí-l e všechy hodoty zau o tejé čílo, průměrá abolutí odchyla e ezměí je varatí vůč adtví otatě; Jou-l dáy průměré abolutí odchyly za ějaý dílčí oubor, elze jejch pomocí určt tuto charatertu za celý oubor; Přílad č. 8 V ouboru podů jedoho regou byla zjštěa výše doažeého zu a jede pod. Vypočítejte průměrý z a charaterty varablty (průměrou abolutí odchylu v abolutím relatvím vyjádřeí, rozptyl, měrodatou odchylu, varačí oefcet). 846, 4596, 5639, 7584, -57, 896, 4785, 9, 567, 394. Artmetcý průměr protý: 35 83/0 3583, Kč
Charaterty varablty Medá Seřazeé údaje: -57, 9, 896, 846, 394, 4596, 4785, 5639, 567, 7584. medá ~ (394+4596)/ 469 dolí vartl 0,5 896 horí vartl 0,75 5639 Rozptyl průměrá čtvercová odchyla olem artmetcého průměru; ejmeší průměrá čtvercová odchyla (vyplývá z vlatot průměru jao těžště ouboru); měří varabltu oučaě ja ve mylu odchyle, ta dferecí (rozptyl je př výpočtu ze tejých dat vždy rove polově tředí vadratcé dferece). - defčí vzorec ( ) 6 633 589/0 6 63 358,9 - výpočtový vzorec (90 09 645/0) 3583, 6 63 358,9 Vlatot rozptylu: je vždy ezáporý; je ejmeší průměrou čtvercovou odchylou; ule je rove je tehdy, je-l vypočte pro otatí hodoty zau; je varatí vůč adtví otatě a měí e e čtvercem multplatví otaty; rozptyl oučtu ebo rozdílu dvou zaů eí rove jejch oučtu (ebo rozdílu) ALE je rove jejch oučtu zvětšeému ebo zmešeému o dvojáobe výrazu
y ( )( y y) Charaterty varablty, což je ovarace zaů X a Y. Vztah mez rozptylem oučtu a oučtem rozptylů záví a charateru vzájemého vztahu závlot obou zaů. taoveí polečého rozptylu z rozptylů dílčích ouborů záví a: velot varablty uvtř dílčích ouborů (průměrý rozptyl vypočteý z dílčích rozptylů) vtroupová varablta; velot varablty dílčích ouborů olem polečého průměru (rozptyl dílčích průměrů olem polečého průměru); mezupová varablta ( ). polečý rozptyl: + Směrodatá odchyla druhá odmoca rozptylu; ázorot a adá terpretovatelot měré jedoty zoumaého zau; je vždy vyšší ež průměrá abolutí odchyla od medáu, eboť př jejím výpočtu je více zdůrazě vlv etrémích hodot (umocěím a druhou); 48,6 Varačí oefcet bezrozměrá velča; pro rováváí varablty ouborů o růzé úrov ebo zay v růzých erovatelých měrých jedotách; v 00 (48,6/3583,) * 00 69,9 %
Průměrá abolutí odchyla od medáu: Charaterty varablty d ~ ~ 079/0 07,9 Relatvě vyjádřeá průměrá abolutí odchyla od medáu: d ~ d ~ 00 (07,9/3583, ) * 00 57,8 % Přílad č. 9: V tabulce je provedeo varačí tříděí ouboru podle výše měíčích výdajů domácot za potravy. Vypočtěte charaterty úrově a varablty. Vymezeí třídy Počet případů Střed třídy. ( - ) <000 400) 0 00 000 48400000 8550440 <400 800) 600 5700 4870000 0359768 <800 300) 3 3000 93000 79000000 97964 <300 3600) 38 3400 900 43980000 9977 <3600 4000) 40 3800 5000 577600000 65760 <4000 4400) 3 400 3000 546840000 68364 <4400 4800) 8 4600 8800 59480000 306843 Σ X 00 X 7400 6330000 947500 Artmetcý průměr vážeý: Průměré čtvercové odchyly: 7400/00 356 rozptyl: ( ) 947500 473756 00 rozptyl výpočtový tvar
Charaterty varablty 6330000 687844 473756 00 Charaterty odvozeé z rozptylu: měrodatá odchyla 473756 688,99353 varačí oefcet v 688,3 00 00 356 9,3 %