0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P ) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n) Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu. Hodnotám jedné veličiny (času t) přiřazujeme hodnoty jiné veličiny (teploty T ). Množinu, ze které vybíráme prvky, nazýváme definiční obor. Množinu, do které zobrazujeme prvky, nazýváme obor hodnot. Prvkům z definičního oboru přiřazujeme prvky z oboru hodnot. Definice 0.1.1. Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení z množiny R do množiny R. Je to pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f(x) y = 2x + 3 f(x) = 2x + 3 f(5) = 2 5 + 3 = 13 Definice 0.1.2. Množina čísel, kterou jsme v definici funkce označili D(f), se nazývá definiční obor funkce. Symbol x, označující libovolné číslo z množiny D(f), se nazývá nezávisle proměnná nebo argument funkce. 1

Definice 0.1.3. Číslo y přiřazené funkcí f k číslu x nazýváme hodnotou funkce f v bodě x; píšeme y = f(x). Množinu H(f) všech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f. Definice 0.1.4. Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x, f(x)], kde x je libovolné číslo z definičního oboru funkce f a f(x) je funkční hodnota funkce f v bodě x. K jednoznačnému určení funkce je třeba zadat: 1. definiční obor funkce, 2. funkční předpis, tj. způsob přiřazení funkčních hodnot k argumentům. Je zvykem, že není-li u funkčního předpisu zároveň uveden definiční obor funkce f, rozumí se jím množina všech čísel x, pro něž existují funkční hodnoty f(x). Funkční předpis nejčastěji mívá formu vzorce, tj. matematického zápisu, z něhož je patrné, které matematické operace je třeba provést s argumentem x, abychom dostali příslušnou funkční hodnotu. V tom případě se říká, že funkce je zadána analyticky. Někdy je funkční předpis dán několika vzorci, např: 1 + x pro x (0, + ) f(x) = 0 pro x = 0 1 x pro x (, 0). V některých případech může být funkce zadána přímo výčtem funkčních hodnot pro všechny hodnoty argumentu x, např. tzv. Dirichletova funkce je definována následovně: f(x) = { 1 pro x racionální, 0 pro x iracionální. Přibližně lze funkci zadat též graficky, tj. nakreslením jejího grafu. 2

0.1.1 Základní elementární funkce Základní elementární funkce již známé ze střední školy: Konstantní funkce: y = c, c R, D(f) = R. Lineární funkce: y = kx + q, k, q R, k 0, D(f) = R. Mocninná funkce: y = x n, n N, D(f) = R. n R, n 0, D(f) = R +. Funkce sinus: y = sin x. D(f) = R. Funkce kosinus: y = cos x. D(f) = R. Funkce tangens: y = tg x, D(f) = R\{ kπ+π 2 } k Z. Funkce kotangens: y = cotg x, D(f) = R\{kπ} k Z. Exponenciální funkce: y = a x, a > 0, D(f) = R. Logaritmická funkce: y = log a x, a > 0, a 1, D(f) = R +. Elementárními funkcemi budeme rozumět takové funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí konečným počtem aritmetických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a operací skládání funkcí. Příklady elementárních funkcí: f(x) = x 3 5x 2 + 6x 5 ( ) sin x g(x) = ln 1+x 2 Příklady neelementárních funkcí: h(x) = x 3 5x 2 + 6x 5 1 pro x > 0, sgn x = 0 pro x = 0, 1 pro x < 0. 0.1.2 Vlastnosti funkcí Sudá funkce Definice 0.1.5. Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro všechna x D(f) platí rovnost f( x) = f(x). Funkce f(x) = x 2 je sudá, nebot pro všechna x D(f) = R platí Příklady sudých funkcí: f(x) = x n, kde n je sudé číslo, f(x) = cos x.. Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y. f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x). 3

Obrázek 1: Graf sudé funkce Lichá funkce Definice 0.1.6. Funkce f se nazývá lichá, jestliže pro všechna x D(f) platí rovnost f( x) = f(x). Funkce f(x) = x 3 je lichá, nebot pro všechna x D(f) = R Příklady lichých funkcí: f(x) = x n, kde n je liché číslo, f(x) = sin x, f(x) = tg x, f(x) = cotg x. f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadných os. Periodická funkce Definice 0.1.7. Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje takové p 0, že pro všechna x z jejího definičního oboru je f(x + p) = f(x). Číslo p nazýváme periodou funkce f, nejmenší kladnou periodu (pokud existuje) nazýváme základní periodou funkce f. Funkce f(x) = sin x je periodická, nebot jestliže zvolíme p rovno např. hodnotě 2π, tak: x R : f(x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f(x). 4

Obrázek 2: Graf liché funkce Obrázek 3: Graf periodické funkce Rostoucí funkce Definice 0.1.8. Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J D(f), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f(x i ) < f(x j ). Funkce y = x 2 je rostoucí v intervalu (0, ), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j je (např. [3 < 5] [3 2 < 5 2 ]). x 2 i < x 2 j Obrázek 4: Graf rostoucí funkce Klesající funkce Definice 0.1.9. Funkce f se nazývá klesající v intervalu J D(f), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f(x i ) > f(x j ). 5

Funkce y = x 2 je klesající v intervalu (, 0), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j platí (např. [( 5) < ( 3)] [( 5) 2 > ( 3) 2 ]). x 2 i > x 2 j Obrázek 5: Graf klesající funkce Omezená funkce Definice 0.1.10. Funkce f se nazývá ohraničená (omezená) v intervalu J D(f), jestliže existuje takové číslo C, že pro všechna x J platí f(x) C. Funkce y = f(x) je omezená v zobrazeném intervalu, nebot pro všechny zobrazené funkční hodnoty je C < f(x) < C, tedy f(x) < C. Obrázek 6: Graf omezené funkce Globální minimum Definice 0.1.11. Globálním minimem funkce f v intervalu J D(f) nazýváme takovou funkční hodnotu f(x n ), že pro všechna x J platí f(x) f(x n ). Funkce y = f(x) má (nabývá) v bodě x n globální minimum f(x n ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f(x n ) f(x). 6

Obrázek 7: Globální minimum funkce Globální maximum Definice 0.1.12. Globálním maximem funkce f v intervalu J D(f) nazýváme takovou funkční hodnotu f(x m ), že pro všechna x J platí f(x) f(x m ). Funkce y = f(x) má (nabývá) v bodě x m globální maximum f(x m ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f(x) f(x m ). Obrázek 8: Globální maximum funkce Prostá funkce Definice 0.1.13. Funkce f se nazývá prostá, jestliže pro každé dva různé body z definičního oboru jsou různé i jejich funkční hodnoty. Obrázek 9: Prostá funkce 7

Obrázek 10: Funkce není prostá. Obrázek 11: Funkce je prostá. Inverzní funkce y = 2x + 4 x 2 1 0 1 2 3 4 y 0 2 4 6 8 10 12 y = 1 2 x 2 x 0 2 4 6 8 10 12 y 2 1 0 1 2 3 4 Definice 0.1.14. Necht funkce y = f(x) je prostá. Potom inverzní funkcí k funkci f (značíme f 1 ) rozumíme funkci, která každému y z oboru hodnot funkce f přiřazuje takové číslo f 1 (y) = x z definičního oboru funkce f, pro které platí f(x) = y. Složená funkce Definice 0.1.15. Mějme funkce f a g. Je-li obor hodnot funkce g podmnožinou definičního oboru funkce f (tj. H(g) D(f) ), pak funkci F (x) = f(g(x)) nazýváme složená funkce. Funkce g se nazývá vnitřní funkce, funkce f se nazývá vnější funkce. 8

Necht f(x) = sin x, g(x) = x 3. Platí: D(f) = H(g) = (, ). Potom: F (x) = f(g(x)) = sin ( x 3). Složením funkce a funkce k ní inverzní vznikne tzv. identická funkce f(x) = x. f(x) = y f 1 (f(x)) = x f 1 (y) = x f(f 1 (y)) = y Dvojice vzájemně inverzních funkcí: y = x 2, y = x x > 0 : x2 = x, resp. ( x ) 2 = x y = a x, y = log a x ( x > 0), ( a > 0), a 1 : a log a x = x, resp. log a a x = x y = sin x, y = arcsin x sin(arcsin x) = x, resp. arcsin(sin x) = x Definice 0.1.16. Dvě funkce jsou si rovny (f = g), jestliže mají týž definiční obor [D(f) = D(g)] a pro všechna x z této množiny platí f(x) = g(x). Definice 0.1.17. Součtem funkcí f, g s týmž definičním oborem nazýváme takovou funkci h (píšeme h(x) = (f +g)(x)), která přiřadí ke každému číslu x D(f) = D(g) funkční hodnotu h(x) = f(x)+g(x). Obdobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí f, g s týmž definičním oborem, přičemž podíl je definován pouze tehdy, je-li g(x) 0 pro každé x z definičního oboru. 9