Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Podobné dokumenty
8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

Základní elementární funkce.

Vlastnosti posloupností

Verze z 17. května 2018.

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

M - Posloupnosti VARIACE

8. Elementární funkce

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

9. Racionální lomená funkce

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Analytická geometrie

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Řídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

8.2.7 Geometrická posloupnost

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a a N. n=1

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

3 Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

Analytická geometrie

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

Matematická analýza II

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Nové symboly pro čísla

Posloupnosti a řady. Obsah

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

2 Základní poznatky o číselných oborech

Obsah rovinného obrazce

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

12. N á h o d n ý v ý b ě r

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Řešení soustav lineárních rovnic

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematika I, část II

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

METODICKÝ NÁVOD MODULU

Výpočet obsahu rovinného obrazce

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

Digitální učební materiál

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

Transkript:

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů Předpokládé zlosti Předpokládáme, že záte zvedeí výzm určitého itegrálu, pojem primitiví fukce, eurčitý itegrál jeho výpočet Výpočet určitého itegrálu Výkld V předcházející kpitole jsme uvedli defiici určitého itegrálu Kromě kosttí fukce (určitý itegrál je vlstě osh odélík) jsme dosud eyli schopi žádý itegrál spočítt Následující vět je pojmeová podle dvou mtemtiků, kteří se zsloužili o vyudováí zákldů itegrálího počtu fukce jedé proměé Newto Leiize (Isc Newto 6-77, Gottfried Wilhelm Leiiz 66-76) Vět (Newtoov Leiizov formule) Nechť fukce f( ) je spojitá itervlu <, > F( ) je primitiví fukce k fukci f( ) v itervlu <, >, pk Důkz: f ( d ) F ( ) F ( ) Ukážeme, že rozdíl F ( ) F ( ) je pro liovolé děleí D itervlu <, > rove itegrálímu součtu σ ( f, D, R ) Zvolme liovolé děleí D {,,, }, kde < < < <, itervlu <, > Jelikož F( ) je primitiví fukce k fukci f( ) v itervlu <, >, splňuje v kždém suitervlu <, >, i,,, předpokldy Lgrgeovy i i věty (vět, Mtemtik I, část II) To zmeá, že eistují čísl ξ <, > i i i tková, že pltí F( i) F( i ) F ( ξi)( i i ) Protože F ( ξi) f( i), dostáváme F( ) F( ) f( ξ )( ) i i i i i - 89 -

Mtemtik II Sečteím přes všech i dosteme Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ξi)( i i ) F( ) F( ) + F( ) F( ) + + F( ) F( ) i F( ) F( ) F( ) F( ) Održeli jsme, že pro liovolé děleí σ ( f, D, R ) F( ) F( ) D je itegrálí součet Podle předpokldu je fukce f( ) itegrovtelá, což zmeá, že pro zjemňující se děleí s ormou děleí ν ( D ) ude itegrálí součet kovergovt k jisté kosttě I (hodotě itegrálu f ( d ) ) Hodot itegrálího součtu je vždy rov F ( ) F ( ) Tedy lim σ ( f, D, R) f( ) d F( ) F( ) Pozámky Pro rozdíl F ( ) F ( ) se vžil zápis [ F( )], tkže Newtoovu Leiizovu formuli f ( d ) F( ) F ( ) F ( ) ovykle zpisujeme ve tvru [ ] Z věty víme, že k dé fukci eistuje ekoečě moho primitivích fukcí, které se liší kosttou Je otázkou, jký výsledek dosteme pro jiou primitiví fukci G ( ) F ( ) C G ( ) G ( ) F ( ) + C F ( ) + C F ( ) F ( ) + Sdo zjistíme, že [ ] [ ] Tedy hodot itegrálu ezávisí itegrčí kosttě C Proto v dlších příkldech itegrčí kosttu eudeme používt Newtoov Leiizov formule může ýt použit pro defiováí určitého itegrálu historicky yl určitý itegrál ejprve defiová tímto způsoem Teto itegrál je zývá Newtoův určitý itegrál fukce f( ) U fukcí spojitých itegrčím itervlu jsou si o itegrály (tj Newtoův Riemův) rovy Oecě tk tomu eí Newtoovu - Leiizovu formuli lze zoecit i ohričeé, po částech spojité fukce Výpočet všk vyžduje určité optrosti, ychom vhodou volou itegrčí kostty dostli fukci F( ) spojitou <, > - 9 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Řešeé úlohy Příkld Vypočtěte itegrál d Řešeí: Fukce f ( ) je spojitá pro kždé R primitiví fukci k í lezeme pomocí vzorce v t S využitím Newtoovy Leiizovy formule dosteme d Příkld Vypočtěte itegrál d + Řešeí: Fukce f( ) + je spojitá pro kždé R + d d d [ rctg ] + + + ( rctg) ( rctg ) Příkld Vypočtěte itegrál si d Řešeí: Fukce f( ) si je spojitá pro kždé, pro lezeí primitiví fukce použijeme vzth [6] v tulce zákldích itegrálů (t ) cos cos cos si d + + - 9 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Příkld Vypočtěte itegrál e + d e + Řešeí: Fukce e + f( ) e + v příkldu je spojitá pro kždé R Primitiví fukci jsme již hledli e + ( e + )( e e + ) d ( ) d e e d e e e + e + + + e e+ e e + e e+ + e e+ (Při úprvě čittele zlomku jsme použili vzth + ( + )( + )) Příkld Vypočtěte itegrál d (Výstržý) Řešeí: Pokud udeme postupovt zcel mechicky, dosteme: d l l l Avšk fukce V odě f( ) eí itervlu <, > spojitá (lespoň po částech) má od espojitosti druhu, eí tedy v okolí počátku ohričeá Vzhledem k tomu elze použít Newtoovu Leiizovu formuli (eí dém itervlu defiová Newtoův itegrál) Získý výsledek je esprávý Správý výsledek si ukážeme později - 9 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Vlstosti určitého itegrálu Výkld V této části uvedeme zákldí vlstosti určitého (Riemov) itegrálu, které udeme v dlším ěžě používt při prktických výpočtech Vět Nechť fukce f( ) g( ) jsou itegrovtelé itervlu <, > c je liovolá kostt Pk pltí ) [ f ( ) ± g( ) ] d f( ) d ± g( ) d, ) cf ( ) d c f ( ) d Důkz: Z defiice Riemov itegrálu pro ormálí posloupost děleí dostáváme: ) [ f ± g ] d f ξi ± g ξi i i ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]( ) i lim f ( ξ )( ) ± lim g( ξ )( ) f( ) d ± g( ) d i i i i i i i i ) cf( ) d lim cf( ξi)( i i ) c lim f( ξi)( i i ) c f( ) d i i Pozámky Prví vlstost se zývá ditivit vzhledem k itegrdu, druhá homogeit Podoé vlstosti měl i eurčitý itegrál (vět ) Vlstost ditivity sdo rozšíříme liovolý koečý počet sčítců - 9 -

Mtemtik II Příkld 6 Vypočtěte itegrál Výpočet vlstosti určitého itegrálu + d Řešeí: Fukce f( ) + je spojitá pro, tedy ooru itegrce je spojitá Itegrovou fukci ejprve rozšíříme součtem odmoci + + d d + + + + + + d + + d ( + ) ( ) 9 Použijeme větu itegrál rozdělíme součet dvou itegrálů: + + ( + ) ( ) d + d + d 9 9 9 9 + 9 9 + 6 9 9 + 6 6 7 7 7 7 ( ) ( ) ( 7 + 6) 6 6 7 7 Pro výpočet itegrálů yl použit vzth [6] z tulky zákldích itegrálů (t ) Příkld 7 Vypočtěte itegrál + d Řešeí: Jmeovtel itegrové rcioálí fukce se esmí rovt ule ( ) Fukce + f( ) má ody espojitosti, tedy ooru itegrce je spojitá Iterd je rcioálí fukce, musíme ejprve provést rozkld součet prciálích zlomků (viz kp ) Polyom v čitteli je stupě m polyom ve jmeovteli rcioálí fukce má tké stupeň Jelikož eí m <, je dá fukce eryze lomeá rcioálí fukce - 9 -

Mtemtik II musíme polyomy vydělit Výpočet vlstosti určitého itegrálu ( + ):( ) ( ) + Dou rcioálí fukci proto můžeme podle věty zpst ve tvru + + + Polyom ve jmeovteli Dosteme Q ( ) ( ) Q ( ) Rcioálí fukci rozložíme součet prciálích zlomků: + A A B + + ( ) rozložíme zákldí souči podle věty Nlezeme kostty rozkldu A, A,B (viz kp ) Dosteme A, A, B Itegrujeme získé prciálí zlomky: + d + + + d d d d d + [ ] l + + l ( ) (l l ) + + (l l) 7 9 l + l + l + l Defiice Nechť je fukce f( ) itegrovtelá itervlu <, > Pk f ( d ) f( d ) Pozámky Pro spojité fukce (Newtoův itegrál) je uvedeá vlstost triviálí, eoť - 9 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu f ( d ) F( ) F( ) ( F( ) F( )) f( d ) Důsledkem této defiice, je ásledující vlstost pro kždou itegrovtelou fukci f( ) d Vět Nechť je fukce f( ) itegrovtelá itervlu <, > c je liovolé reálé číslo < c< Pk je f( ) itegrovtelá itervlech < c, > < c, > pltí c f ( d ) f( d ) + f( d ) c Pozámky Vlstost se zývá ditivit určitého itegrálu vzhledem k mezím Větu lze zoecit liovolý koečý počet částečých itervlů tedy koečý počet sčítců Větu využíváme zejmé v přípdech, kdy itegrd emá itervlu <, > jedotý lytický předpis Příkld 8 Vypočtěte itegrál d Řešeí: Z defiice solutí hodoty pltí pro <, >, pro <, >, viz or - 96 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Or Grf fukce f ( ), <, > Fukce je itegrovtelá, protože je dém itervlu spojitá ohričeá Podle věty ude pltit d d+ d d+ d + 9 ( ) + Příkld 9 Vypočtěte itegrál f ( d ), kde pro <,>, f( ) pro (,), pro <, > Řešeí: Dá fukce je ohričeá má dv ody espojitosti (or ) Podle věty ude pltit Or Grf fukce z příkldu 9 f ( d ) f( d ) + f( d ) + f( d ) d+ ( ) d+ d Všiměte si, že jsme u druhého itegrálu mlčky změili hodoty fukce f() v krjích odech - To emá vliv hodotu itegrálu Dosteme - 97 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ) d [ ] [ ] + [ ] ( ( )) ( ) + ( ) Výsledek je dá součtem oshů dvou odélíků čtverce Ploch druhého odélík je všk rá záporě! Vět Nechť je fukce f( ) itegrovtelá itervlu <, > pro všech <, > je f ( ) Pk pltí f( ) d Důkz: Plye přímo z defiice Riemov itegrálu (def ) Pozámk Uvedeou vlstost můžeme čsto použít k jisté hrué kotrole výsledku Je-li itegrová fukce ezáporá, emůže vyjít záporá hodot určitého itegrálu Vět Nechť jsou fukce f( ) g( ) itegrovtelé itervlu <, > pro všech <, > je f( ) g( ) Pk pltí f ( d ) g( d ) Důkz: Podle předpokldu je g( ) f ( ) pro všech <, > Podle věty ude ( f( ) g( )) d Odtud s použitím věty dosteme tvrzeí Vět 6 (Vět o středí hodotě itegrálího počtu) Nechť je fukce f( ) spojitá itervlu <, > Pk eistuje číslo ξ <, > tkové, že pltí f ( d ) f( ξ )( ) Číslo c f( ξ ) se zývá středí hodot fukce f( ) itervlu <, > - 98 -

Mtemtik II Důkz: Je-li fukce Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ) spojitá itervlu <, > F( ) je primitiví fukce k fukci f( ) v itervlu <, >, tedy F ( ) f ( ) Fukce F( ) je spojitá splňuje předpokldy Lgrgeovy věty (vět, Mtemtik, část II) To zmeá, že eistuje číslo ξ <, > tkové, že pltí F ( ) F ( ) F ( ξ )( ) f( ξ )( ) Odtud z věty dosteme f ( d ) f( ξ )( ) Předcházející vět má ázorý geometrický výzm Pro jedoduchost předpokládejme, že fukce f( ) je spojitá ezáporá Z motivce zčátku kpitoly víme, že f ( d ) vyjdřuje osh orzce ohričeého grfem fukce f( ), osou přímkmi, Vět říká, že lze d itervlem <, > sestrojit odélík se stejým oshem Výšk je rov fukčí hodotě ve vhodém odě ξ <, >, y c f( ξ ) f( ) d ( ) Or Geometrický výzm věty o středí hodotě Z orázku je zřejmé, že od ξ emusí ýt urče jedozčě (přímk fukce protout ěkolikrát) y c může grf Příkld Vypočtěte středí hodotu fukce f ( ) itervlu <, > Řešeí: c ( ) d + ( ) - 99 -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Osh orzce pod prolou lze vyjádřit jko osh odélík s jedou strou <, > délky velikost druhé stry ude (or ) Or Středí hodot fukce f ( ) itervlu <, > Určeme ještě, ve kterém odě ξ <, > je středí hodot rov fukčí hodotě fukce f ( ) Řešíme rovici dosteme ξ ± (dv ody s touto vlstostí) Příkld Rychlost určitého ojektu vt () v metrech z sekudu se v průěhu prvích sekud pohyu měil Od zčátku pohyu ( t ) yl sekudy pohy rovoměrě zrychleý vt (),t, od do sekudy se pohyovl kosttí rychlostí vt (), posledích sekud yl rychlost vt (),8t 6 m/s Určete středí hodotu rychlosti ojektu (průměrou rychlost) z sekud Ve kterém čsovém okmžiku jel touto rychlostí? Řešeí: c v() t dt,tdt+ dt+ (,8t 6) dt,t,8t 76 + [ t] + 6t [ + + 6],8 m/s Jelikož je fukce vt () spojitá itervlu <, >, určitě eistuje lespoň jede čsový okmžik, kdy se ojekt pohyovl právě touto rychlostí Z kostrukce grfu fukce je zřejmé, - -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu že teto okmžik stl mezi sekudou (průměrá rychlost je větší ež ) jeho určeí je uto řešit rovici,8,8t 6 Dosteme ξ, sekud Kotrolí otázky Které fukce jsou Riemovsky itegrovtelé? Formulujte větu, pomocí které se provádí výpočet určitého itegrálu Vysvětlete rozdíl mezi defiicí Newtoov Riemov itegrálu Uveďte vlstost určitého itegrálu Jk vypočtete itegrál + d? 7 6 Jk vypočtěte itegrál cos d? 7 Ukžte, že pltí vzth si d, kde N 8 Jká je středí hodot fukce f( ) si itervlu <, >? Úlohy k smosttému řešeí ) d) ) d) d ) ( + 6 ) d c) ( ) 6 d e) + cos d ) si si cos d e) d f) + + d 7 d cos d c) cos d tg d f) d si cos - -

Mtemtik II ) d) ) d) ) d) 6 e d ) d c) e d e) e + 9 + d 7 ) + d e) d ) d e) e ( ) d d f) l e d + d + 7 c) f) 8 d c) + d Výpočet vlstosti určitého itegrálu e d d rcsi d + + d ( ) f) ( ) si d d Výsledky úloh k smosttému řešeí ) 6 ; ) 76 ; c) 66 ; d) l ; e) l ; f) ) ; ) ; c) ; d) ; e) ; f) ) ( 8 e ); ) 8 l l l + ; c) ( ) e ; d) e + l ; e) l ; f) l ) + l ; ) l ; c) rctg rctg ; 7 6 d) l l + l 6 ; e) f) 8 ; f) l ) 6 ; )9 ; c) ; d) l ; e) ; Kotrolí test Vypočtěte itegrál 8 d ), ), c), d) 8 - -

Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Vypočtěte itegrál l ( e e ) d ), ), Vypočtěte itegrál ) +, ) Vypočtěte itegrál c), si d) cos cos d, c), d) ( + cos ϕ) dϕ ) 8, ), c), d) 9 Čemu se rová itegrál ) 8l + l, 8 d +? ) + 8l 8l, 8 c) 8l l, 8 + d) 8l l 8 + 6 Čemu se rová itegrál ) 8 l, 7 Vypočtěte itegrál d +? ) l 8 l, c) d ) 6, ) 8, c), d) 8 Vypočtěte itegrál f ( d ),kde f( ) l l, d) l pro, pro, pro ), ), c) 89, d) - -

Mtemtik II 9 Vypočtěte středí hodotu fukce Výpočet vlstosti určitého itegrálu f( ) + itervlu<,> ), ), 9 c), 9 Vypočtěte středí hodotu fukce ) 6 l, ) l, 6 d) 9 c) l+ l, d) f( ) itervlu< ;,> + 6 l Výsledky testu ); ); ); d); c); 6 ); 7 c); 8 d); 9 ); d) Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitoly zovu Shrutí lekce Hlvím záměrem kpitol ylo zvést pojem určitého Riemov itegrálu uvést zákldí vlstosti tohoto itegrálu, které jsou využíváy při prktickém výpočtu Riemův itegrál je pro spojité fukce totožý s itegrálem Newtoovým Zjedodušeě řečeo - Riemův itegrál můžeme vždy v kokrétích výpočtech počítt jko itegrál Newtoův, tedy prostředictvím primitivích fukcí A s těmi již v tuto chvíli máme dosttek zkušeostí Defiovt Riemův určitý itegrál je ezesporu mohem otížější, ež zvést pojem určitého itegrálu Newtoov Proč se tedy Riemovým itegrálem v tomto úvodím kurzu zýváme? Především pro jeho ázorou geometrickou iterpretci Pro spojitou ezáporou fukci odpovídá totiž její Riemův itegrál zdém uzvřeém itervlu plošému oshu olsti vymezeé zdým itervlem grfem itegrové fukce O dlších užitečých plikcích Riemov itegrálu se můžete dočíst v kpitole - -