Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen právě jeden prvek y množiny H (zvané obor hodnot) To zapisujeme : D y H Proměnnou nazýváme nezávislou proměnnou (případně arumentem), y pak závislou proměnnou (případně unkční hodnotou unkce v bodě ) Graem unkce nazýváme množinu všech bodů v rovině, takových že platí, ( ), D 2 Poznámky (i) Obecněji mluvíme o unkcích jako o zobrazeních množiny D do množiny H Platí-li pro konkrétní hodnoty D a y H vztah y ( ), nazýváme y obrazem čísla a vzorem čísla y (ii) Je-li potřeba zdůraznit příslušnost deiničního oboru nebo oboru hodnot k dané unkci, používáme označení D a H, případně také D( ) a H( ) Způsoby zadání unkce Funkci lze zadat kterýmkoliv z následujících způsobů: (i) eplicitně, tedy rovnicí y ( ), (ii) implicitně, tedy rovnicí F(, y), ve které není (nebo dokonce nemůže být) vyjádřeno y, (iii) parametricky, tedy vyjádřením ( t), y y( t), t I, obvyklým zejména ve yzice (rovnice lze interpretovat tak, že popisují odpovídající souřadnice hmotného bodu v rovině v čase t ), (iv) raem nebo (v) tabulkou
4 Příklad Následujícími pěti způsoby je zadána stejná unkce (i) y, (ii) y, (iii) parametricky t, (iv) tabulkou (v) a raem y t, t, 2 y 2 5 Věta Každá přímka rovnoběžná s osou y protíná ra unkce maimálně v jednom bodě 6 Kartézské a polární souřadnice Každý bod v rovině je určen vzdáleností od počátku a odchylkou od kladné části osy,,2π Z toho vyplývá, že r a Z pravoúhlého trojúhelníku PAA snadno odvodíme převodní vztahy mezi souřadnými systémy: rcos, yrsin, () 7 Příklad Na základě věty 5 víme, že kružnice k( S P, r ) není raem unkce (stejně jako žádná A,, jiná kružnice) Proto uvažujme jen horní půloblouk určený body, C, B, Ten již můžeme považovat za ra jisté unkce, nazvěme ji třeba h, kterou lze popsat následujícím způsobem: (i) implicitně, (ii) eplicitně, (iii) parametricky, využitím rovnic (): ( t) cos t yt ( ) sin t, t, π Z deinice kružnice totiž víme, že r a body horního půloblouku kružnice deinují úhly z intervalu, π (iv) v polárních souřadnicích,
8 Určení deiničního oboru viz cvičení a Základy matematiky Vlastnosti unkcí 9 Monotonie lokální Buď I okolí bodu D Platí-li pro všechna, 2 I, 2, že (i) ( ) ( 2), říkáme že unkce je rostoucí v bodě D, (ii) ( ) ( 2), říkáme že unkce je neklesající v bodě D, (iii) ( ) ( 2), říkáme že unkce je nerostoucí v bodě D, (iv) ( ) ( 2), říkáme že unkce je klesající v bodě D, Funkce, které jsou rostoucí nebo klesající označujeme souhrnným pojmem ryze monotónní Monotonie na intervalu Buď J D interval Má-li unkce nějakou vlastnost v každém bodě J, říkáme, že unkce má tuto vlastnost na J Například, je-li unkce rostoucí v každém bodě pak je unkce rostoucí na J, atd Monotonie se však nepřenáší na sjednocení intervalů J, Monotonie lobální Říkáme, že unkce je rostoucí platí-li pro všechna, 2 D, 2, že ( ) ( 2) Podobně (pouhou změnou znaménka v poslední nerovnosti) deinujeme ostatní vlastnosti (unkce neklesající, nerostoucí a klesající) 2 Monotonie příklady 5 (i) Funkce ln( ), e 2n y y, y, y, y nebo y (pro všechna n ) jsou rostoucí Jsou také rostoucí na každém intervalu J D a v každém bodě D (ii) Je-li unkce : y ( ) rostoucí (resp neklesající), pak je unkce : y ( ) ( ) klesající (resp nerostoucí) (iii) Funkce 2 y lo ( ), y, y e jsou klesající
2 (iv) Funkce : y je rostoucí v bodě, dále je rostoucí v každém bodě intervalu J (, ), proto je rostoucí na J (, ) Dále je unkce klesající na intervalu K (,) Globálně unkce není monotónní (v) Funkce y 2 (vi) Funkce h : y, D h (,) (, ), (vii) Podobně unkce sin( ) π m : y tan( ), Dm \ (2k ), k cos( ) 2 Typicky lobálními vlastnostmi jsou ohraničenost, parita nebo periodicita Ohraničenost Funkci nazýváme ohraničenou eistuje-li číslo k takové, že pro všechna D platí Jinak řečeno, H k, k ( ) k Funkci nazýváme shora ohraničenou eistuje-li číslo h (nazývané horní závora) takové, že pro všechna D platí ( ) h Jinak řečeno, H, h Funkci nazýváme zdola ohraničenou eistuje-li číslo d (nazývané dolní závora) takové, že pro všechna D platí ( ) d
Jinak řečeno, H d, 4 Ohraničenost příklady (i) Konstantní unkce y k, k, je ohraničená (ii) Goniometrické unkce y sin( ) a y cos( ) (iii) Funkce sudé mocniny (iv) Eponenciální unkce (v) Je-li unkce zdola ohraničená, pak je unkce H jsou ohraničené, jelikož, y 2 m, m, je zdola ohraničená, jelikož H, y e je zdola ohraničená, jelikož H, shora ohraničená 5 Parita Funkci nazýváme sudou platí-li pro všechna D (i) D, (ii) ( ) ( ) Gra unkce sudé je osově souměrný podle osy y Funkci nazýváme lichou platí-li pro všechna D (i) D, (ii) ( ) ( ) Gra unkce liché je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic 6 Parita příklady (i) Sudé mocniny platí y m jsou sudé unkce Jejich deiničním oborem je a 2m :,, 2m 2 m 2 m 2m ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) 2m (ii) Podobně jsou liché mocniny : y, m, liché unkce (iii) Goniometrická unkce y sin( ) je lichá, y cos( ) je sudá unkce (iv) Součet a rozdíl sudých unkcí je sudá unkce, např lichých unkcí je lichá unkce, např 5 y sin 2 4 y cos Součet a rozdíl (v) Součin a podíl sudých nebo lichých unkcí je sudá unkce, např y 2 cos( ) nebo sin y (vi) Součin a podíl sudé a liché unkce je lichá unkce, např y tan( ), y cot( ) 7 Periodicita Funkci nazýváme periodickou s periodou p je-li p nejmenší číslo takové, že pro všechna D a pro libovolné celé číslo k platí (i) kp D, (ii) ( kp) ( ) Typickým příkladem periodických unkcí jsou oniometrické unkce Např unkce sinus má periodu p 2π, proto má unkce y sin( k) periodu
2π p k 8 Funkce prostá Funkci se nazývá prostá, platí-li pro všechny dvojice bodů, 2 D, že je-li 2 také ( ) ( 2), tedy různým arumentům odpovídají různé unkční hodnoty To mimochodem znamená, že ke každému obrazu y je možné jednoznačně najít jeho vzor tak, že y ( ) Hodnota y H v sobě tedy nese inormaci o svém vzoru D Pro ověření prostosti základních a jednoduchých elementárních unkcí můžeme využít následující tvrzení: 9 Věta Každá ryze monotónní unkce je prostá, pak 2 Poznámka Obrácené tvrzení neplatí: Prostá unkce nemusí být ryze monotónní Například unkce y, D \, je prostá, ovšem není ryze monotónní (viz Příklad 2 (vi))
Operace s unkcemi 2 Deinice Funkce a se rovnají, píšeme, je-li D D a pro všechny body společného deiničního oboru platí, že ( ) ( ) 22 Deinice k -násobkem unkce : y ( ) pro zadané číslo k rozumíme unkci k : y k ( ) Součtem unkcí a rozumíme unkci ( ) : y ( ) ( ) deinovanou na množině D D D Podobně rozdílem unkcí a rozumíme unkci ( ) : y ( ) ( ) deinovanou na množině D D D To souhrnně zapisujeme ( )( ) ( ) ( ), D D D Součinem unkcí a rozumíme unkci ( ) : y ( ) ( ) deinovanou na množině D D D Podílem unkcí a rozumíme unkci ( ) : y deinovanou na množině D / D D \ ( ) ( ) 2 Složená unkce Mějme dány unkce po, která zobrazuje a s deiničními obory a D D Funkci ( ) : y ( ) u ( ) ( H D ) y ( u) H, čteme nazýváme složenou unkcí nebo také kompozicí unkcí a Přitom unkci říkáme vnější složka unkce a unkci říkáme vnitřní složka unkce 24 Příklady D (i) y 2 : vnitřní unkcí je : u 2, D H, vnější unkcí je : y u,,, H Je tedy H D a deiniční obor D unkce je dán Proto platí, že D 2, π u, 2 u, D \, H Opět tedy H D a \ tan( ) pro kπ, k podmínkou 2 D, tedy 2 (ii) y /(tan ): vnitřní unkcí je : tan unkcí je : y / D D Jelikož tan( ) D \ k, k (iii) : u sin H π 2 sin y e : přepsáním do tvaru y ep(sin( )), D, H, D a D \ kπ, k, H, vnější dostáváme, že snadno určíme, že vnitřní unkcí je, vnější unkcí je : e D y, D, H,, tedy
25 Inverzní unkce Mějme dánu unkci prostou na D Funkce deinovaná na množině D předpisem ( y) y ( ) nazýváme inverzní unkcí k Gra unkce y ( ) vznikne jako obraz rau prosté unkce y ( ) při osové souměrnosti vzhledem k ose y (tedy ose a kvadrantu) H 26 Příklad Funkce : y D, obrazu čísla, tedy číslu y ( ), je inverzní unkcí k, je rostoucí tedy prostá Inverzní unkce k musí každému y ( ), přiřadit zpět číslo : y unkce Vzhledem k tomu, že : y Poznamenejme, že (i) je-li unkce inverzní unkcí k, pak je také je inverzní unkcí k platí, že H D, tedy vztah inverze je vzájemný (ii) inverzní unkce se nerovná převrácené unkci, takže 27 Věta Jsou-li (i), vzájemně inverzní unkce, pak ( ( )) a také (ii) Je-li rostoucí, pak je (iii) Je-li klesající, pak je ( ( y)) y také rostoucí také klesající
První tvrzení předchozí věty v sobě zahrnuje mnoho užitečných identit, z nichž některé již známe a další se brzy používat naučíme, např ln e e ln apod Vždy se můžeme spokojit s vhodnou restrikcí unkce na interval I (omezením deiničního oboru), označujeme ji, na kterém již prostá je I 28 Postup určení inverzní unkce k unkci Určíme D a H 2 Zjistíme, je-li prostá Není-li, zvolíme maimální interval I, na kterém již prostá je Z rovnice y ( ) vypočítáme 4 Zaměníme označení proměnných y a ověříme, že D H a H D 29 Příklad Mějme dánu unkci : y, D, Ta je rostoucí, a tedy prostá