Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy řdy. 3. Metrické prostory. Riemnnův integrál Výpočet plochy dvě zákldní věty nlýzy. V první kpitole přednášky se seznámíme se zákldy integrálu, který vymyslel Bernhrd Riemnn (826 866). Integrály slouží k počítání ploch, objemů, energie práce dlších fyzikálních veličin, pro odhdování konečných i nekonečných součtů, definují se pomocí nich nové funkce s pozoruhodnými vlstnostmi td. Už v ntice, le jistě i dříve, lidé uměli počítt plochy i objemy. Npříkld Archimedes se proslvil výpočtem plochy prbolické úseče. Ale ž kolem roku 670 Newton Leibniz nezávisle n sobě objevili úzkou souvislost mezi plochou derivcí. Nechť < < b < + funkce f : [, b] R je n intervlu [, b] nezáporná spojitá (to teď předpokládáme pro jednoduchost, by se dl
nmlovt hezký obrázek; později uvidíme, že po f stčí poždovt méně). Uvžme rovinný útvr U(, b, f) = {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} je to část roviny ležící mezi intervlem [, b] n ose x grfem funkce f. Zde bude čsem obrázek. Plochu útvru U(, b, f) (ť je to cokoli) oznčíme jko f(x) dx nebo stručněji jko Funkce f je integrnd, x je integrční proměnná (může být oznčená libovolně, třeb t, y,... ). Je to tzv. Riemnnův integrál funkce f n intervlu [, b]. Jeho přesnou definici podáme z chvíli. Uvedeme dv hlvní výsledky spojující integrál s derivcí, ke kterým budeme směřovt. Uvžme funkci F (x) := x f. f(t) dt = ploch(u(, x, f)). První zákldní vět nlýzy říká, zhrub řečeno, že F (x) = f(x) n [, b], to jest ( x f(t) dt) = f(x). Podle Druhé zákldní věty nlýzy pro kždou funkci g, která je n [, b] primitivní k f (čili g (x) = f(x) pro kždé x [, b]) pltí f = g(b) g(). V dlších přednáškách dokážeme přesné verze obou vět. Jké jsou plikce integrálu? Můžeme pomocí něj (pomocí. ZVA) vyrábět primitivní funkce. Ukážeme npříkld, že kždá funkce spojitá n intervlu n něm má primitivní funkci. Dále, pomocí 2. ZVA, když známe primitivní funkci ( spoustu jich už ze ZS známe), můžeme počítt plochy rovinných útvrů (jkož i spoustu dlších mtemtických i fyzikálních veličin). Npříkld ploch útvru U(0,, x 2 ) neboli Zde bude čsem obrázek 2
je podle 2. ZVA rovn 3 3 3 03 = 3, protože ( 3 x3 ) = x 2. Ale co to tedy je t ploch? Riemnn nvrhl rozdělit útvr U(, b, f) n úzké pásky P 0, P,..., P k s přibližně obdélníkovým tvrem (horní okrj pásku není typicky rovný, le je zkřivený podle grfu funkce f). Součet ploch pásků je ploch útvru U(, b, f). Plochu pásku P i nvrhl proximovt plochou obdélníku, jehož šířk je rovn šířce P i výšk je rovn výšce některého z bodů ležícího n horním okrji pásku. Zde bude čsem obrázek Riemnn tedy nvrhl pproximovt plochu útvru U(, b, f) součtem ploch těchto obdélníků: f(x) dx =. k ( i+ i )f(c i ), i=0 kde = 0 < < < k = b c i [ i, i+ ]. Oznčíme-li jko λ největší šířku obdélník, to jest λ = mx 0 i k ( i+ i ), dostneme podle Riemnn plochu útvru U(, b, f) přesně jko limitu těchto součtů pro λ jdoucí k nule, k f(x) dx = lim ( i+ i )f(c i ). λ 0 i=0 Trochu jiný přístup k integrálu nvrhl v r. 875 Gston Drboux (842 97). Nvrhl odhdnout plochu pásku P i zdol shor pomocí ploch dvou obdélníků s šířkou rovnou šířce pásku P i s výškou rovnou největšímu dolnímu nejmenšímu hornímu odhdu výšek bodů ležících n horním okrji pásku. Tyto obdélníky mjí výšky m i := inf f(x) M i := sup f(x). x [ i, i+ ] x [ i, i+ ] Protože první z nich je celý obsžen v P i druhý obshuje celý pásek P i, určitě (ť je ploch pásku P i cokoli) pltí m i ( i+ i ) ploch(p i ) M i ( i+ i ). Sečtením dostneme horní dolní odhd plochy celého útvru U(, b, f): k ( i+ i )m i i=0 k f(x) dx ( i+ i )M i. 3 i=0
To je výhod Drbouxovy definice ve srovnání s Riemnnovou pro plochu dostáváme vždy dolní horní odhd, kdežto Riemnnovy sumy ji jen nějk proximují. Pokud pro λ 0 ob odhdy splynou, definujeme f jko jejich společnou hodnotu. Později dokážeme, že obě definice, Riemnnov i Drbouxov, vedou ke stejnému pojmu integrálu dávjí pro něj tutéž hodnotu. Nyní uvedeme přesné definice. Nechť < < b < + jsou dvě reálná čísl f : [, b] R je libovolná funkce (nemusí být ni spojitá ni omezená). Konečná k + -tice bodů D = ( 0,,..., k ) z intervlu [, b] je jeho dělením, pokud = 0 < < 2 < < k = b. Tyto body dělí intervl [, b] n intervly I i = [ i, i+ ]. Délku intervlu oznčíme pomocí bsolutní hodnoty, tkže I i = i+ i [, b] = b. Je jsné, že k I i = ( 0 ) + ( 2 ) + + ( k k ) = b = [, b]. i=0 Normou dělení λ rozumíme největší délku intervlů dělení: λ = λ(d) = mx I i. 0 i k Dělením intervlu [, b] s body rozumíme dvojici (D, C), kde D = ( 0,,..., k ) je dělení tohoto intervlu k-tice C = (c 0, c,..., c k ) se skládá z nějkých bodů c i I i (tj. i c i i+ ). Riemnnovu sumu odpovídjící funkci f dělení s body (D, C) definujeme jko k k R(f, D, C) := I i f(c i ) = ( i+ i )f(c i ). i=0 První definice Riemnnov integrálu (Riemnnov). Řekneme, že funkce f : [, b] R má n intervlu [, b] Riemnnův integrál I R, pokud pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro kždé dělení intervlu [, b] s body (D, C) pltí, že i=0 λ(d) < δ I R(f, D, C) < ε. 4
Poždujeme tedy I R, nevlstní hodnoty ± nejsou povoleny (později le zvedeme i nevlstní integrály, podobně jko nevlstní limity). Pokud tkové číslo I existuje, píšeme I = f(x) dx = řekneme, že f je riemnnovsky integrovtelná n intervlu [, b]. Budeme prcovt s třídou všech riemnnovsky integrovtelných funkcí R[, b] := {f : f je definovná riemnnovsky integrovtelná n [, b]}. První definici Riemnnov integrálu tedy můžeme shrnout vzorcem f = lim R(f, D, C) R. λ(d) 0 Pro druhou definici integrálu budeme potřebovt pár dlších pojmů. Pro funkci f : [, b] R dělení D = ( 0,,..., k ) intervlu [, b] definujeme dolní, respektive horní Riemnnovu sumu (budeme jim tk říkt, i když by se měly jmenovt po Drbouxovi) jko Připomínáme, že k k s(f, D) = I i m i, respektive S(f, D) = I i M i. i=0 m i = inf x I i f(x) M i = sup x I i f(x), kde I i = [ i, i+ ]. Tyto součty jsou vždy definovné, s(f, D) R { } S(f, D) R {+ }. Dolní, respektive horní Riemnnův integrál funkce f n intervlu [, b] definujeme jko f i=0 f(x) dx := sup({s(f, D) : D je dělení [, b]}) f(x) dx := inf({s(f, D) : D je dělení [, b]}). 5
Jsou opět vždy definovné, pro kždou funkci f máme f R { } f R {+ }. Druhá definice Riemnnov integrálu (Drbouxov). Řekneme, že funkce f : [, b] R má n intervlu [, b] Riemnnův integrál, pokud f(x) dx = f(x) dx R. Tuto společnou hodnotu, když existuje, znčíme f(x) dx = nzýváme Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu [, b]. Z chvíli dokážeme, že vždy f Dokážeme tké, že obě definice jsou ekvivlentní (dávjí stejné třídy riemnnovsky integrovtelných funkcí) dávjí stejnou hodnotu Riemnnov integrálu. Tvrzení. (neomezené funkce nejsou integrovtelné) Když funkce f : [, b] R není omezená, potom nemá n [, b] Riemnnův integrál (ni podle jedné definice). Důkz. Cvičení f. f Když D = ( 0,,..., k ) D = (b 0, b,..., b l ) jsou dělení intervlu [, b] D D, to jest pro kždé i = 0,,..., k existuje j, že i = b j, řekneme, že D je zjemnění D nebo že D zjemňuje D. Tvrzení.2 (nerovnosti pro s(f, D) S(f, D)) Nechť f : [, b] R je funkce, D D jsou dělení intervlu [, b], m = inf x [,b] f(x) M = sup x [,b] f(x). 6
. Když D zjemňuje D, pk s(f, D) s(f, D ) S(f, D) S(f, D ). 2. Pltí nerovnost s(f, D) S(f, D ) (kždá dolní sum je menší nebo rovn kždé horní sumě). 3. Pltí nerovnost m(b ) s(f, D) f f S(f, D ) M(b ). Důkz.. Nechť D = ( 0,,..., k ) D = (b 0, b,..., b l ) jsou dvě dělení [, b], přičemž D zjemňuje D. Existuje tedy posloupnost j 0 = 0 < j < j 2 < < j k = l tková, že 0 = b j0 (= b 0 = ), = b j,..., k = b jk (= b l = b). Kždý intervl I i = [ i, i+ ] dělení D je rozdělen body dělení D n intervly J i,r = [b ji +r, b ji +r+], r = 0,,..., j i+ j i. Intervly J i,r vyčerpávjí všechny intervly J j = [b j, b j+ ] dělení D. Ptrně I i = J i,0 + J i, + + J i,ji+ j i. Dokážeme první nerovnost s(f, D) s(f, D ), druhá se dokzuje podobně. Máme inf f(x) inf f(x), r = 0,,..., j i+, x I i x J i,r protože J i,r I i po zmenšení množiny se její infimum nezmění nebo vzroste. Proto ( k k ji+ j i ) s(f, D) = I i inf f(x) = J i,r inf f(x) x I i x I i = i=0 k i=0 k i=0 j i+ j i r=0 j i+ j i r=0 = s(f, D ). i=0 J i,r inf x I i f(x) J i,r inf x J i,r f(x) 2. D D buďte dvě libovolná dělení intervlu [, b]. Jejich sjednocení E = D D (body obou dělení sjednotíme dohromdy uspořádáme podle 7 r=0
velikosti) je zjemněním jk D tk D. Podle první části triviální nerovnosti s(f, E) S(f, E) máme s(f, D) s(f, E) S(f, E) S(f, D ), tkže s(f, D) S(f, D ). 3. První pátá nerovnost jsou zvláštní přípdy nerovnosti v první části (pro zjemnění dělení sestávjícího se pouze z intervlu [, b]). Druhá čtvrtá nerovnost plynou z definice horního dolního integrálu. Třetí, nejzjímvější nerovnost plyne z nerovnosti v druhé části dolní integrál je supremum množiny čísel, jejíž kždý prvek je menší nebo roven kždému číslu z druhé množiny, jejímž infimem je horní integrál. Příkld. Spočteme podle Drbouxovy definice plochu útvru U(0,, x), tj. plochu trojúhelník Zde bude čsem obrázek. to jest integrál x dx. Pro n N vezmeme dělení intervlu [0, ] rovné 0 D n = (0,, 2,,..., n, ). Pk n n n s(f, D n ) = S(f, D n ) = n i=0 n i=0 n I i inf x = x I i i=0 n I i sup x = x I i i=0 n i n = n ( + 2 + + n ) = 2 2 2n n i + n = n ( + 2 + + n) = 2 2 + 2n, protože + 2 + + n = n(n + )/2. Pro n dolní i horní sum jdou k /2, tkže podle části 3 posledního tvrzení máme 0 x dx = 2. Příkld 2. Dirichletov funkce definovná n R jko f(x) = 0 pro ircionální x f(x) = pro rcionální x nemá n [0, ] Riemnnův integrál, protože f = 0 0 0 8 f =.
Pltí totiž s(f, D) = 0 S(f, D) = pro kždé dělení D intervlu [0, ]. Riemnnov funkce definovná n R jko f(x) = 0 pro ircionální x f(m/n) = /n pro zlomek m/n v zákldním tvru má n [0, ] ze stejného důvodu dolní integrál rovný nule, 0 f = 0. A co horní integrál? S trochou šikovnosti se pro kždé ε > 0 dá nlézt dělení D intervlu [0, ] tkové, že S(f, D) < ε. (Rozmyslete si jk.) Tkže 0 f = 0 celkem 0 f = 0. Cvičení 2 Spočítejte horní dolní integrál n [0, ] pro funkci definovnou jko f(x) = /x pro x (0, ] f(0) = 0. Cvičení 3 Nechť se hodnoty funkcí f, g : [, b] R liší jen v konečně mnoh bodech. Dokžte, že pk f R[, b] g R[, b] f = g (existují-li). Následující nerovnost ukzuje, že pro pevné dělení D omezenou funkci f kždé dosttečně jemné dělení D dává skoro stejně dobrou (tj. jen o málo menší) dolní sumu jko D podobně pro horní sumy. Tvrzení.3 (rfinovná nerovnost pro s(f, D) S(f, D)) Nechť je funkce f : [, b] R omezená, f(x) < c pro kždé x [, b] pro nějkou konstntu c > 0. Nechť D D jsou dělení intervlu [, b], přičemž D = k +, tj. D má k interválků, λ(d ) < δ. Pk s(f, D ) s(f, D) 3kcδ S(f, D ) S(f, D) + 3kcδ. Důkz. Dokážeme jen první nerovnost, důkz druhé je podobný. N dělení intervlu [, b] se teď budeme dívt jko n množiny jejich interválků D si vyjádříme jko D = {I D : I J pro nějký J D} {zbylé intervly D } = E F. 9
Všimněte si, že v F je méně než k intervlů, protože kždý I F ve svém vnitřku obshuje některý krjní bod některého intervlu J D, tyto body jsou pro různé intervly I F různé není mezi nimi ni ni b. Máme s(f, D ) = I inf I I D f = I E I inf I f + I F První sumu rozdělíme n podsumy podle intervlů J: I inf f = I inf f. I I J D I E I D I J I inf I f. Jk víme, inf I f inf J f pro I J. Tkže první sum splňuje I inf f inf f I inf f( J 2δ), I J J I E J D I D J D I J protože pro pevný intervl J D intervly I D v něm obsžené pokrývjí celý J ž snd n počáteční koncový úsek o délce méně než δ (v úseku s délkou δ více by už musel být obsžen nějký I D ). První sum je tedy veliká lespoň jko J D J inf J f 2δ J D inf J f s(f, D) 2kδc, protože poslední sum má k sčítnců inf J f sup J f c. Druhá sum přes F má méně než k sčítnců, I < δ pro kždý I D inf I f sup I f c, tudíž je mlá: Celkem s(f, D ) = I E I F I inf I + I F f F I inf I f < kδc. s(f, D) 2kδc kδc = s(f, D) 3kδc. Vět.4 (kritéri integrovtelnosti) Nechť f : [, b] R. Pk 0
. f R[, b] ε > 0 D : 0 S(f, D) s(f, D) < ε. 2. f R[, b] ε > 0 δ > 0, že pro kždé dělení D intervlu [, b] s λ(d) < δ pltí 0 S(f, D) s(f, D) < ε. Důkz.. Implikce. Pro ε > 0 vezmeme dělení D tkové, že S(f, D) s(f, D) < ε. Z definice dolního horního integrálu dostáváme nerovnost. f To pltí pro kždé ε > 0, tk f f S(f, D) s(f, D) < ε. f 0, tedy Z části 3 Tvrzení.2 víme, že součsně pltí opčná nerovnost. Dolní horní integrál si jsou rovny f R[, b]. Implikce. Nechť f = f = I. Buď dáno ε > 0. Podle definice dolního horního integrálu jko infim, respektive suprem, nlezneme dvě dělení D D 2 tková, že f I ε < s(f, D ) I S(f, D 2 ) < I + ε. Pro jejich společné zjemnění E = D D 2 podle části Tvrzení.2 pltí s(f, D ) s(f, E) S(f, E) S(f, D 2 ). Tkže 0 S(f, E) s(f, E) S(f, D 2 ) s(f, D ) < 2ε. 2. Implikce pltí podle první části, protože tto silnější podmínk implikuje splnění podmínky v první části, tk f R[, b]. Implikce. Nechť f R[, b]. Bud dáno ε > 0. Podle první části existuje dělení D tkové, že S(f, D) s(f, D) < ε/2. Počet interválků v D oznčíme k. Protože f R[, b], je funkce f omezená (Tvrzení.) f(x) < c pro kždé x [, b] pro nějkou konstntu c > 0. Zvolíme δ > 0 tk mlé, že 6kδc < ε/2. Nechť D je libovolné dělení s λ(d ) < δ. Podle Tvrzení.3 máme S(f, D ) s(f, D ) S(f, D) + 3kδc (s(f, D) 3kδc) f. = S(f, D) s(f, D) + 6kδc < ε/2 + ε/2 = ε.
Tedy S(f, D ) s(f, D ) < ε. Nyní dokážeme ekvivlenci obou definic Riemnnov integrálu. Připomeňme si jednoduché nerovnosti rovnosti s(f, D) = inf C s(f, D) R(f, D, C) S(f, D) R(f, D, C), S(f, D) = sup R(f, D, C). Vět.5 (ekvivlence Riemnnovy Drbouxovy definice) Obě definice Riemnnov integrálu jsou ekvivlentní dávjí pro něj tutéž hodnotu. Důkz. Buď dán funkce f : [, b] R. Nechť f = I R podle druhé definice, tedy I = Buď dáno ε > 0. Vezmeme pro něj δ > 0 zjištěné podle části 2 předchozí věty. Kždé dělení D s λ(d) < δ pk splňuje S(f, D) s(f, D) < ε. Dále máme Tudíž Tkže Nechť C f = s(f, D) I S(f, D) s(f, D) R(f, D, C) S(f, D). I R(f, D, C) < ε. f = I i podle první definice. f. f = I R podle první definice, tedy ε > 0 δ > 0 (D, C) : λ(d) < δ I R(f, D, C) < ε. Pro dné ε/2 > 0 nyní vezmeme odpovídjící δ > 0 libovolné dělení D s λ(d) < δ. Protože s(f, D) = inf C R(f, D, C) podobně pro horní součet, máme I s(f, D) = I inf R(f, D, C) ε/2 C I S(f, D) = I sup R(f, D, C) ε/2. C 2
Podle trojúhelníkové nerovnosti dostáváme S(f, D) s(f, D) ε 2 + ε 2 = ε. To pltí pro kždé ε > 0. Podle Věty.4 (část nebo 2) máme f R[, b] podle druhé definice. Z posledních nerovností dále plyne, že sup D s(f, D) = inf D s(f, D) = I. Tkže I = f i podle druhé definice. Výhodou druhé definice Riemnnov integrálu pomocí dolních horních sum je její prktičnost, dobře se s ní prcuje. Nevýhodou je, že pro zvedení čísel m i M i, což jsou infim suprem funkčních hodnot n interválcích I i, potřebujeme lineární uspořádání n oboru hodnot funkce. Chceme-li integrovt funkce s hodnotmi v množinách bez lineárního uspořádání, jko jsou C nebo R n, přestává druhá definice fungovt. Zde má výhodu první definice Riemnnov integrálu, která lineární uspořádání nepotřebuje. (Pro C či R n si můžeme pomoci tím, že obě množiny tvoří vektorový prostor nd R s konečnou dimenzí, v přípdě C rovnou dvěm. I pro tyto obory hodnot funkce pk můžeme počítt integrál podle druhé definice rozkldem n složky, npř. funkci f : [, b] C rozložíme n f = f + if 2, kde f, f 2 : [, b] R, integrál f počítáme jko f + i f 2.) Vět.6 (monotonie integrovtelnost) Když je funkce f : [, b] R monotónní (je nerostoucí nebo neklesjící), potom je n [, b] riemnnovsky integrovtelná. Důkz. Předpokládejme, že f : [, b] R je neklesjící, pro nerostoucí f se ε postupuje podobně. Buď dáno ε > 0. Vezmeme δ tk, že 0 < δ < f(b) f() (pokud f(b) = f(), tj. f je konstntní, vezmeme δ > 0 libovolně), vezmeme libovolné dělení D intervlu [, b] s λ(d) < δ. Potom S(f, D) s(f, D) = = k i=0 ( i+ i )(sup I i f inf I i f) k ( i+ i )(f( i+ ) f( i )) i=0 k < δ (f( i+ ) f( i )) i=0 = δ(f( k ) f( 0 )) = δ(f(b) f()) < ε. 3
Podle Věty.4 tedy f R[, b]. Dokážeme, že tké spojitost f je postčující podmínkou pro integrovtelnost. Vět.7 (spojitost integrovtelnost) Když je funkce f : [, b] R spojitá, potom je n [, b] riemnnovsky integrovtelná. Pro důkz budeme potřebovt pojem stejnoměrné spojitosti. Jk víme, f : J R je spojitá n intervlu J, když x J ε > 0 δ > 0 : x J, x x < δ f(x) f(x ) < ε. Řekneme, že f : J R (J je intervl nebo i libovolná množin reálných čísel) je n J stejnoměrně spojitá, když ε > 0 δ > 0 : x, x J, x x < δ f(x) f(x ) < ε. U spojité f může δ záviset ne jenom n ε, le tké n bodu x. U stejnoměrně spojité f jedno δ musí fungovt pro všechny body x z J (srovnej s pozdější definicí stejnoměrné konvergence). Je-li f stejnoměrně spojitá, je i spojitá, le nopk to obecně (pro šptné intervly J) nepltí. Npříkld funkce f(x) = /x : (0, ] R je n (0, ] spojitá, le není tm stejnoměrně spojitá: pro pevné δ > 0 pro kždé x, x + δ (0, ] máme f(x + δ) f(x) = x x + δ = δ x(x + δ) +, x 0+. Nicméně pro dobré (kompktní) intervly J jsou spojitost stejnoměrná spojitost ekvivlentní pojmy. Tvrzení.7 (n kompktním intervlu: spojitost stejnoměrná 2 spojitost) Je-li f : [, b] R n kompktním intervlu [, b] spojitá, je n [, b] i stejnoměrně spojitá. Důkz. Předpokládejme pro spor, že f je n kompktním intervlu [, b] spojitá, le není n něm stejnoměrně spojitá. Existuje tedy ε > 0 tkové, že pro kždé δ > 0 máme dv body x, x [, b] splňující x x < δ f(x) f(x ) ε. Máme tedy dvě posloupnosti (x n ) (x n) bodů z [, b] tkové, že x n x n < n f(x) f(x ) ε. Protože kždá posloupnost bodů 4
v kompktním intervlu má podposloupnost konvergující k nějkému bodu intervlu (vět ze ZS), můžeme vzít nekonečnou posloupnost k < k 2 <... přirozených čísel tkovou, že podposloupnosti (x kn ) (x k n ) konvergují k bodu x 0 [, b], respektive x 0 [, b]. Protože x kn x k n < /k n pro všechny n N, nutně x 0 = x 0. Tkže x kn x 0 i x k n x 0 pro n. Ale pro kždé n N máme i f(x kn ) f(x k n ) ε. V kždém okolí x 0 tedy leží dv body, v nichž se funkční hodnoty f liší lespoň o ε. To znmená, že f není v x 0 spojitá, což je spor s předpokldem. Cvičení 4 Nlezněte funkci f : (0, ) R, která je omezená spojitá, le není stejnoměrně spojitá. Důkz Věty.7. Necht je f : [, b] R spojitá je dné ε > 0. Podle předchozího tvrzení zvolíme δ > 0 tk mlé, že x, x [, b], x x < δ f(x) f(x ) < ε. Tedy sup 2(b ) I f inf I f ε pro kždý intervl I s 2(b ) délkou menší než δ (rozdíl sup I f inf I f mohu libovolně přesně proximovt rozdílem f(x) f(x ) pro nějké x, x I). Pk, pro libovolné dělení D intervlu [, b] s λ(d) < δ, pltí S(f, D) s(f, D) = I (sup f inf f) I I I D ε I 2(b ) I D ε = (b ) 2(b ) < ε. Tkže f R[, b] podle Věty.4. Následující větu dokázl Henri Lebesgue (877 94), my ji zde dokzovt nebudeme. Množin M R má (Lebesgueovu) míru nul, když pro kždé ε > 0 existuje posloupnost intervlů I, I 2,... tková, že I n < ε M n= I n. n= M se tedy dá pokrýt intervly libovolně mlé celkové délky. 5
Vět.8 (Lebesgueov, chrkterizce integrovtelných funkcí) Funkce f : [, b] R je riemnnovsky integrovtelná, právě když je n [, b] omezená množin jejích bodů nespojitosti má míru nul. Uvedeme několik vlstností množin reálných čísel s nulovou mírou. Důkzy si rozmyslete jko cvičení. Kždá konečná nebo spočetná množin má nulovou míru. Podmnožin množiny s nulovou mírou má tké nulovou míru. Má-li kždá z množin A, A 2,... nulovou míru, má i jejich sjednocení nulovou míru. n= A n Intervl s kldnou délkou nemá míru nul. Npříkld celá množin rcionálních čísel Q má míru nul. Kombincí Vět.6.8 dostáváme, že množin bodů nespojitosti kždé monotónní funkce má míru nul. Není těžké dokázt přímo, že množin bodů nespojitosti monotónní funkce je dokonce spočetná. Cvičení 5 Sestrojte rostoucí funkci f : [0, ] R, která má nekonečnou množinu bodů nespojitosti. Cvičení 6 (těžší) Sestrojte rostoucí funkci f : [0, ] R, jejíž množin bodů nespojitosti je Q [0, ]. Vět.9 (lin. kombince skládání zchovávjí integrovtelnost). Nechť f, g R[, b] α, β R. Pk αf + βg R[, b] (αf + βg) = α f + β 2. Nechť f : [, b] [c, d], f R[, b] g : [c, d] R je n intervlu [c, d] spojitá. Potom f g = g(f(x)) R[, b]. g. 6
Důkz.. Pro kždé dělení (C, D) intervlu [, b] s body máme rovnost R(αf + βg, D, C) = k ( i+ i ) (αf + βg)(c i ) i=0 k k = α ( i+ i )f(c i ) + β ( i+ i )g(c i ) i=0 i=0 = αr(f, D, C) + βr(g, D, C). Díky existenci integálů f g tk máme α f + β g = α lim λ(d) 0 R(f, D, C) + β lim λ(d) 0 R(g, D, C) = lim (αr(f, D, C) + βr(g, D, C)) λ(d) 0 = lim R(αf + βg, D, C) = λ(d) 0 (αf + βg). (Rozmyslete si, proč pltí druhá rovnost.) 2. Z f R[, b] podle Věty.8 plyne, že f je n [, b] omezená má množinu bodů nespojitosti s nulovou mírou. Když je funkce f v bodě x 0 [, b] spojitá, je i složená funkce f g v tomto bodě spojitá (protože vnější funkce g je spojitá v kždém bodě). Odtud plyne, že množin bodů nespojitosti funkce f g je obsžená v množině bodů nespojitosti funkce f má proto tké nulovou míru. Vnější funkce g je omezená (je to spojitá funkce n kompktním intervlu), tkže i složená funkce f g je n [, b] omezená. Podle Věty.8 je f g R[, b]. Důsledky. Uvedeme několik opercí, které zchovávjí třídu riemnnovsky integrovtelných funkcí. Důkzy si rozmyslete jko cvičení. Podle části 2 předchozí věty dostáváme, že pro f R[, b] i funkce f 2, f td. mjí n [, b] Riemnnův integrál. Proto z f, g R[, b] plyne fg R[, b] díky identitě fg = (f + g)2 4 7 (f g)2. 4
Nechť f R[, b] c d b. Zúžení funkce f n intervl [c, d] oznčíme rovněž jko f jko χ [c,d] : [, b] {0, } oznčíme chrkteristickou funkci podintervlu [c, d], tj. χ [c,d] (x) = pro x [c, d] χ [c,d] (x) = 0 pro x [, b]\[c, d]. Potom i f R[c, d] d c f = fχ [c,d]. Cvičení 7 Nechť f, g R. Dokžte, že i mx(f, g) i min(f, g) jsou riemnnovsky integrovtelné n [, b]. První část Věty.9 říká, že množin funkcí R[, b] tvoří vektorový prostor nd tělesem R že zobrzení f je lineární zobrzení z tohoto vektorového prostoru do (vektorového prostoru) R. Říkáme, že je lineární funkcionál (tj. funkce n funkcích) n R[, b]. Definujeme f = 0 b f f = Vět.0 (integrál je ditivní funkce integrčního intervlu) Nechť f : [, b] R c [, b]. Potom f R[, b] f R[, c] & f R[c, b], když příslušné integrály existují, máme f = c Důkz. Zúžené funkce oznčíme g = f [, c] h = f [c, b]. Pro množiny bodů nespojitosti pltí N(f) = N(g) N(h) (rozmyslete si proč). Tkže N(f) má míru nul, právě když obě množiny N(g) N(h) mjí míru nul. Tké je jsné, že f je omezená, právě když jsou obě funkce g h omezené. Ekvivlence integrovtelnosti tedy plyne z Věty.8. (Není těžké ji dokázt bez použití Lebesgueovy věty přímo z definice integrálu.) Nechť tedy f R[, b] (nebo, ekvivlentně, obě zúžení f n intervly [, c] [c, b] mjí Riemnnův integrál). Protože pro kždý bod x [, b] ž f + c f f. 8
n c pltí rovnost f(x) = f(x)χ [,c] (x) + f(x)χ [c,b] (x) n hodnotě funkce v jediném bodě při integrování nezáleží, podle části Věty.9 hořejšího důsledku máme f = = (fχ [,c] + fχ [c,b] ) = fχ [,c] + fχ [c,b] c f + f. c Důsledek. Nechť, b, c jsou tři libovolná reálná čísl, d = min(, b, c), e = mx(, b, c) f R[d, e]. Pk f + c b f + c f = 0. Důkz. Víme, že f má Riemnnův integrál n libovolném podintervlu intervlu [d, e], tkže tyto tři integrály existují. Nechť npříkld b c, pk (podle rozšířené definice integrálu Věty.0) f + c b f + c f = = = 0. f + f + c b c b c f f ( f f + c b ) f Podobně postupujeme při jiném uspořádání bodů, b, c. Vět. (První zákldní vět nlýzy) Pro f R[, b] definujeme funkci F : [, b] R pomocí F (x) = Funkce F je spojitá n [, b] pro kždý bod spojitosti x 0 [, b] funkce f pltí F (x 0 ) = f(x 0 ). x f. 9
Důkz. Nechť f R[, b], F (x) := x f pro x [, b] x 0 [, b]. Funkce f je n [, b] omezená (protože je integrovtelná), tkže pro nějkou konstntu c > 0 pltí f(x) < c pro kždé x [, b]. Bud dáno ε > 0. Vezmeme δ > 0 tk mlé, že cδ < ε. Pro x R splňující x x 0 < δ pk máme x x0 F (x) F (x 0 ) = f f x0 = (důsledek V..0) f kde I je intervl s krjními body x x 0. Tedy (část 3 V..2) x x 0 sup f(x) x I < δc, x x 0 < δ F (x) F (x 0 ) < δc < ε, tkže F je spojitá v x 0. Nechť je nvíc f spojitá v x 0. Pro dné ε > 0 pk existuje δ > 0 tkové, že x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε, tedy i inf I f f(x 0 ) ε sup I f f(x 0 )+ε. Pro x [, b], x > x 0 (přípd x < x 0 je nlogický) máme x (x x 0 ) inf I f f x x 0 x x 0 x }{{ 0 } = F (x) F (x 0 ) x x 0 x (x x 0) sup I f x x 0 (I je intervl s krjními body x x 0 ). Tkže, pro x P (x 0, δ), Tedy f(x 0 ) ε inf I f F (x) F (x 0) x x 0 sup f f(x 0 ) + ε. I F (x 0 ) = lim x x0 F (x) F (x 0 ) x x 0 = f(x 0 ). Důsledek. Je-li funkce f : [, b] R spojitá n [, b], má n [, b] primitivní funkci kždá primitivní funkce F k f je tvru F (x) = c + 20 x f,
kde c je konstnt. Důkz. Podle Věty.7 je spojitá funkce riemnnovsky integrovtelná, tkže funkce F (x) = x f je dobře definovná podle Věty. je n intervlu [, b] primitivní k f. Ze ZS víme, že kždé dvě funkce, primitivní k dné funkci n intervlu, se liší o konstntu. Vět.2 (Druhá zákldní vět nlýzy) Nechť má funkce f : [, b] R n intervlu [, b] Riemnnův integrál primitivní funkci F (tj. F (x) = f(x) pro kždé x [, b]). Potom, pro kždou primitivní funkci F, pltí f = F (b) F (). Důkz. D = ( 0,,..., k ), = 0 < < < k = b, buď dělení intervlu [, b] F buď primitivní funkce k f n [, b]. Podle Lgrngeovy věty o střední hodnotě n kždém intervlu I i = [ i, i+ ] máme F ( i+ ) F ( i ) = F (c i ) ( i+ i ) = f(c i ) ( i+ i ) pro nějké c i ( i, i+ ). Tedy ( i+ i ) inf I i f F ( i+ ) F ( i ) ( i+ i ) sup I i f. Sečtením přes i = 0,,..., k dostneme nerovnosti k s(f, D) F ( i+ ) F ( i ) = F (b) F () S(f, D), i=0 které pltí pro kždé dělení D. Protože f R[, b], máme sup D s(f, D) = inf D S(f, D) = f, tedy i f = F (b) F (). Rozdíl funkčních hodnot, respektive rozdíl jednostrnných limit budeme oznčovt symbolem [F ] b : [F ] b := F (b) F (), respektive [F ] b := lim F (x) lim F (x). x b x + 2
Řekneme, že F : [, b] R je zobecněná primitivní funkce k funkci f : [, b] R, když je F n [, b] spojitá s možnou výjimkou konečně mnoh bodů intervlu [, b] pltí rovnost F (x) = f(x). Zobecněná primitivní funkce je opět určen jednoznčně ž n ditivní konstntu (rozmyslete si proč tké, že to přestává pltit, nepožduje-li se spojitost F ). Vět.2 (jiná form 2. ZVA). Je-li funkce f : [, b] R n [, b] spojitá, má n [, b] Riemnnův integrál primitivní funkci pro kždou primitivní funkci F pltí f = F (b) F (). 2. Je-li funkce f : [, b] R n [, b] omezená spojitá ž n konečně mnoho bodů, má n [, b] Riemnnův integrál zobecněnou primitivní funkci pro kždou zobecněnou primitivní funkci F pltí f = F (b) F (). Důkz.. To plyne hned z Věty.7, z důsledku Věty. z Věty.2. 2. Integrovtelnost f plyne z Lebesgueovy věty. Z Věty. plyne, že F 0 (x) = x f je zobecněnou primitivní funkcí k f n [, b]. Triviálně, F 0 (b) F 0 () = f f = f 0 = Protože kždá zobecněná primitivní funkce F k f se od F 0 liší jen o ditivní konstntu, to jest F (x) = F 0 (x) + c pro kždé x [, b], pltí tto rovnost i pro F. Newtonův integrál. Funkce f : (, b) R má n intervlu (, b) Newtonův integrál, když má n (, b) primitivní funkci F t má vlstní jednostrnné limity L = lim F (x) K = lim F (x). x b x + Tento integrál pk definujeme jko (N) f := [F ] b = L K = lim F (x) lim F (x). x b x + 22 f.
Protože kždé dvě funkce primitivní k f n (, b) se liší jen o ditivní konstntu, rozdíl limit L K n volbě F nezávisí definice Newtonov integrálu je korektní. Porovnáme množinu newtonovsky integrovtelných funkcí N (, b) = {f : f má n (, b) Newtonův integrál} s množinou riemnnovsky integrovtelných funkcí R[, b] s množinou spojitých funkcí C[, b] = {f : f je n [, b] spojitá}, porovnáme hodnoty příslušných integrálů. Pltí, že C[, b] R[, b] N (, b) f C[, b] (R) f = (N) to jest kždá funkce spojitá n [, b] má n tomto intervlu Riemnnův (n (, b)) Newtonův integrál ty se rovnjí. Má-li funkce f : [, b] R n [, b] Riemnnův integrál n (, b) Newtonův integrál, mjí ob integrály stejnou hodnotu. Množiny N (, b)\r[, b] R[, b]\n (, b) jsou neprázdné. První tvrzení plyne z části Věty.2. Co se týče druhého tvrzení, z f R[, b] existence primitivní funkce F k f n (, b) díky Větě.2 plyne, že pro kždé δ > 0 pltí rovnost δ (R) f = F (b δ) F ( + δ). +δ Pro δ 0 levá strn jde k (R) f prvá jde podle definice k (N) f. Třetí tvrzení říká, že existují funkce definovné n [, b], které mjí jeden integrál, le ne druhý. Npř. funkce sgn(x) : [, ] {, 0, } má n [, ] jen jeden bod nespojitosti je omezená, tkže má Riemnnův integrál. N intervlu (, ) le nemá primitivní funkci (jk jsme viděli v ZS, protože nemá Drbouxovu vlstnost, nenbývá všech mezihodnot), tkže nemá ni f, 23
Newtonův integrál. Nopk funkce x /2 : (0, ] R (v nule libovolně dodefinovná) má n (0, ) Newtonův integrál (N) 0 x /2 dx = [2x /2 ] 0 = 2, le nemá n [0, ] Riemnnův integrál, protože není omezená. Lze sestrojit i omezenou funkci f : [0, ] R tkovou, že f N (, b)\r[, b]. V dlším už budeme opět termínem integrál symbolem rozumět výhrdně Riemnnův integrál. Vět.3 (integrce per prtes substitucí) (integrce per prtes). Nechť funkce f, g : [, b] R mjí n [, b] spojité derivce (v krjních bodech jednostrnně). Potom f g = [fg] b (integrce substitucí). Nechť ϕ : [α, β] [, b] f : [, b] R jsou funkce, přičemž ϕ(α) =, ϕ(β) = b nebo ϕ(α) = b, ϕ(β) =. fg.. Nechť má ϕ n [α, β] spojitou derivci ϕ funkce f je spojitá n [, b]. Potom β ϕ(β) f f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = f(x) dx = α ϕ(α) f. b 2. Nechť je ϕ n [α, β] rostoucí nebo klesjící, má n [α, β] spojitou derivci ϕ f R[, b]. Pk opět pltí rovnost integrálů v části. Důkz. Dokážeme vzorec pro integrci per prtes. Podle předpokldů jsou všechny čtyři funkce f, g, f, g n [, b] spojité, tkže funkce f g, fg (fg) = f g +fg (Leibnizov formule pro derivci součinu) jsou rovněž spojité tedy integrovtelné. Podle Věty.2 máme f g + fg = (f g + fg ) = [fg] b, což je vzorec pro integrci per prtes v jiné podobě. 24
Dokážeme vzorec pro integrci substitucí.. Protože je f n [, b] spojitá, má n tomto intervlu primitivní funkci F. Podle formule pro derivci složené funkce máme n intervlu [α, β] rovnost (F (ϕ(t))) = F (ϕ(t)) ϕ (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t). Dvojím použitím Věty.2 dostáváme β α ϕ(β) f(ϕ) ϕ = [F (ϕ)] β α = [F ] ϕ(β) ϕ(α) = f. Část 2 lze dokázt z definice Riemnnov integrálu pomocí Riemnnových sum R(f(ϕ) ϕ, D, C), nebudeme to podrobně dělt. Aplikce Riemnnov integrálu. Nejdříve se podíváme, jk se pomocí integrálu djí odhdovt nekonečné i konečné součty. Nechť R funkce f : [, + ) R má Riemnnův integrál n kždém intervlu [, b] pro b >, budeme stručně psát f R[, + ). Nevlstní (Riemnnův) integrál funkce f n intervlu [, + ) definujeme jko limitu + f := lim b + Tvrzení.4 (integrální kritérium konvergence řd) Nechť N funkce f : [, + ) R je n intervlu [, + ) nezáporná nerostoucí, tedy i f R[, + ) (podle Věty.6). Pk f(n) = f() + f( + ) + f( + 2) +... konverguje n= + f < +. Důkz. Nechť b N, b. Dolní horní sum funkce f pro dělení D = (, +, + 2,..., b) dávjí nerovnosti i= f. ϕ(α) b s(f, D) = inf f = f( + ) + f( + 2) + + f(b) [i,i+] b S(f, D) = sup f = f() + f( + ) + + f(b ) [i,i+] i= 25 f f.
Dokážeme implikci. Protože řd n f(n) konverguje, jsou částečné součty b n= f(n) shor omezené tedy, podle druhé nerovnosti, je i funkce F (b) := shor omezená pro b [, + ). Funkce F je dále n tomto intervlu neklesjící (protože je f nezáporná). Proto existuje vlstní limit lim b + F (b). Implikce (dokážeme kontrpozici implikce). Když n f(n) diverguje, to jest lim b b + n= f(n) = +, ukzuje první nerovnost, že i f lim b + f = +. Příkldy. Uvžme nekonečné číselné řdy (s > 0) ns n log n. Máme + n= dx x = s n=2 [log x] + = + 0 = + pro s = [ ] + x s s pro s. Ovšem [ ] x s + { + = + pro 0 < s < = s 0 = pro s >. s s Podle integrálního kritéri tedy první řd konverguje pro s > diverguje pro 0 < s. Druhá řd podle integrálního kritéri diverguje, protože + 2 dx x log x Cvičení 8 Rozhodněte o konvergenci řdy = [log(log x)]+ 2 = + log(log 2) = +. n=2 n(log n) s, s > 0. 26
Odhdy konečných sum pomocí integrálů. integrálů djí odhdnout součty Ukážeme, jk se pomocí L n := H n := n k= k = + 2 + 3 + + n n log k = log 2 + log 3 + + log n. k=2 První z nich tzv. hrmonické číslo je částečný součet divergentní hrmonické řdy n= /n. Odhd druhého použijeme pro odhd růstu funkce fktoriál. Zčneme s H n. Sčítnec /k proximujeme integrálem využijeme toho, že integrál je ditivní funkce integrčního intervlu. Podle Tylorov rozvoje logritmu máme k k+. dx = k x Pro kždé k N tk pltí nerovnosti = [log x]k+ k = log( + /k) = k 2k 2 + 3k 3... k k+ 2k < I dx 2 k := k x < k (I k je součtem leibnizovské střídvé řdy) Podle Věty.0 máme I k < k < I k + 2k 2. n I k = k= n k= k+ k dx n+ x = dx x = [log x]n+ = log(n + ). Sečtením posledních nerovností pro k =, 2,..., n tk dostáváme log(n + ) < H n = n k= k < log(n + ) + 2 n k= k 2. 27
Protože podle první nerovnosti v důkzu Tvrzení.4 n k= n k + dx 2 x = + 2 [ /x]n = 2 n < 2, dostáváme odhd hrmonických čísel log(n + ) < H n < + log(n + ) pro kždé n N. Stejnou metodou odhdneme součet L n. Podle Tylorov rozvoje logritmu opět máme (k 2) log k. = k k log x dx = [x log x x] k k = k log k k (k ) log(k ) + (k ) = (k ) log( + /(k )) + log k ( ) = (k ) k 2(k ) + 2 3(k )... + log k 3 = log k 2(k ) + 3(k ).... 2 Pro kždé k N, k 2, tk pltí nerovnosti k log k 2(k ) < I k := log x dx < log k k 2(k ) + 3(k ) 2 I k + Protože (Vět.0) n I k = k=2 2(k ) 3(k ) < log k < I 2 k + 2(k ). n log x dx = [x log x x] n = n log n n +, sečtením posledních nerovností pro k = 2, 3,..., n dostáváme n log n n + + H n 2 3 n k=2 (k ) 2 < L n < n log n n + + H n 2. 28
Dále, podle hořejšího odhdu hrmonických čísel, 2 log n < H n 2 < 2 + 2 log n, podle hořejšího odhdu součtu převrácených čtverců, Celkem máme 3 n k=2 (k ) 2 < 2 3. n log n n + 2 log n + 3 < L n < n log n n + 2 log n + 3 2 n 2. Protože n! = 2 3... n = e log 2+log 3+ +log n = e Ln, po odlogritmování dostáváme pro kždé n 2 odhd fktoriálu e /3 ( n ) n n ( < n! < e 3/2 n ) n n, e e tedy.39 n ( n e ) n < n! < 4.49 n ( n e ) n n 2. Odlogritmováním se chyb dosti zvětšil ztímco dolní horní odhd pro H n se liší o méně než pro L n o méně než.3, horní odhd pro n! je něco mezi troj- ž čtyřnásobkem dolního. Důmyslnějším počítáním s integrály se dá odvodit mnohem přesnější odhd, tzv. Stirlingov formule: pro kždé n N pltí n! = ( + Θ n ) 2πn ( ) n n e, 0 Θn. 2n 29
Definování funkcí pomocí integrálů. Funkci log x : (0, + ) R jsme zvedli jko inverzní funkci k exponenciále exp(x) : R (0, + ), kterou jsme definovli pomocí limity exp(x) = lim ( + x ) n nebo řdou exp(x) = n n Je le možný pro některé účely výhodný i opčný postup, od logritmu k exponenciále. Logritmus má přirozenou definici pomocí integrálu: můžeme ho definovt tké vzorcem log x := x dt t, x > 0. Odvoďme pro zjímvost z integrální definice logritmu jeho zákldní log(+x) vlstnosti: rovnost log = 0, limitu lim x 0 = identitu log(xy) = x log x + log y. Rovnost je zřejmá, protože integrál kždé funkce přes degenerovný jednoprvkový intervl je nul. Limit plyne z odhdů integrálu (část 3 Tvrzení.2) x n n!. x + x < log( + x) = +x dt t < x pro x > 0 x + x < log( + x) = +x dt t = dt +x t < x pro < x < 0. Identitu dokážeme pomocí substituce (Vět.3) ditivity integrálu (Vět.0). Pro x, y > 0 máme log(xy) = xy = log x + dt t = x y = log x + log y. dt t + x du xu }{{} substituce t = xu xy x dt t = log x + Ukážeme, jk se pomocí integrálu dá rozšířit funkce fktoriál z N 0 n [0, + ). Chceme definovt funkci f : [0, + ) R s vlstností, že f(0) = 30 y du u
pro kždé reálné x pltí identit f(x) = xf(x ). Pk pro kždé n N 0 bude pltit f(n) = n!. Tuto vlstnost má funkce f(x) = + 0 t x e t dt. Pro x = 0 skutečně f(0) = + e t dt = [ e t ] + 0 0 =. Pro kždé pevné x > 0 tento nevlstní integrál konverguje (npř. díky nerovnosti 0 < t x e t < e t/2 pltné pro kždé t > t 0 = t 0 (x)) funkce f je definovná. Integrce per prtes (Vět.3) pro x dává f(x) = + 0 = [ t x e t] + = 0 0 + x = xf(x ). t x ( e t) dt + 0 0 + 0 t x e t dt Tto funkce je tzv. gm funkce zvedená Eulerem, Γ(x) = + 0 t x e t dt (posun rgumentu o je z historických důvodů). (t x ) ( e t) dt Ploch, délk křivky objem rotčního těles. Vrťme se k rovinnému útvru U = U(, b, f) = {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)}, kde f : [, b] R je nezáporná funkce. Pro f R[, b] je rozumné definovt ploch(u) = Horní hrnici útvru U tvoří křivk k = k(, b, f) = {(x, f(x)) R 2 : x b}. f. 3
Jká je její délk? Předpokládejme, že funkce f má n intervlu [, b] spojitou první derivci f. Pro x [, b] > 0, pro něž x + [, b], má úsečk spojující body (x, f(x)) (x +, f(x + )) délku ( ) 2 f(x + ) f(x) 2 + (f(x + ) f(x)) 2 = +. Podle Lgrngeovy věty o střední hodnotě se poslední výrz rovná + (f (c)) 2, kde bod c ležící mezi x x +. Odtud se dá odvodit, že rozumná definice délky křivky k je délk(k) = + (f (t)) 2 dt. Integrnd je funkce spojitá n [, b] (předpokládáme spojitost první derivce), tkže integrál je dobře definován. Cvičení 9 Co se stne, když tkto budeme počítt délku půlkružnice k = {(x, x 2 ) R 2 : x }? Pro nezápornou integrovtelnou funkci f : [, b] R uvžme rotční těleso T = T (, b, f) = {(x, y, z) R 3 : x b, y 2 + z 2 f(x)}, které vznikne rotcí rovinného útvru U(, b, f) v R 3 kolem osy x. Objem T proximujeme součtem objemů plochých válců o poloměru f(x) tloušťce dx. Objem tkového válce je πf(x) 2 dx. Tkže je rozumné definovt objem(t ) = π (f(x)) 2 dx. 2 Posloupnosti řdy funkcí V dlším f f n, kde n =, 2,..., jsou nějké funkce definovné n (neprázdné) množině M R. Co to znmená, že lim f n = f nebo, že f n = f? n 32 n=
Zvedeme tři druhy konvergence posloupností řd funkcí. Zčneme s posloupnostmi k řdám přejdeme později. bodová konvergence. Řekneme, že posloupnost funkcí (f n ) bodově konverguje k funkci f n množině M, symbolicky f n f n M, když pro kždé x M máme rovnost lim n f n (x) = f(x). Explicitně, ε > 0 x M n 0 N : n > n 0 f n (x) f(x) < ε. stejnoměrná konvergence. Řekneme, že posloupnost funkcí (f n ) stejnoměrně konverguje k funkci f n množině M, symbolicky když f n f n M, ε > 0 n 0 N : n > n 0, x M f n (x) f(x) < ε. lokálně stejnoměrná konvergence. Řekneme, že posloupnost funkcí (f n ) lokálně stejnoměrně konverguje k funkci f n množině M, symbolicky loc f n f n M, když kždé x M má okolí U = (x δ, x + δ), kde δ > 0 může záviset n x, že f n f n M U. Všimněte si rozdílu mezi bodovou stejnoměrnou konvergencí. V bodové konvergenci pro dné ε > 0 může n 0 záviset n bodu x, v němž konvergenci posloupnosti funkčních hodnot (f n (x)) uvžujeme. Ve stejnoměrné konvergenci všk pro dné ε > 0 index n 0 n x záviset nesmí, jediné n 0 musí fungovt pro všechny body x M. Nejsilnější z těchto pojmů je stejnoměrná konvergence, lokálně stejnoměrná konvergence je prostřední bodová konvergence je nejslbší: z definic plyne, že f n f n M f n loc f n M f n f n M. 33
Příkldy.. Nechť M = [0, ] f n = x n. Posloupnost funkcí (f n ) konverguje n intervlu [0, ] bodově k funkci f splňující { 0 pro x [0, ), f(x) = pro x =. Je to stejnoměrná konvergence? Není. Pomocí Bernoulliovy nerovnosti sndno ukážeme, že f n+ ( /(n + )) f n ( /n) > pro n 2. Posloupnost funkčních hodnot (f n ( /n)) je tedy rostoucí pro kždé n 2 máme ( f n ( /n) = ) n f 2 ( /2) = n 4. Pro kždé n 2 jsme nlezli v množině M šptný bod x n = /n, který splňuje f n (x n ) f(x n ) = f n (x n ) /4, což vylučuje stejnoměrnou konvergenci. Konvergence není ni lokálně stejnoměrná. Body x n zlev konvergují k, bod x = tk nemá okolí U, n němž by f n f. Všimněte si, že funkce f není zlev spojitá v x =, čkoli kždá funkce f n je spojitá n celém intervlu [0, ]. Bodová limit spojitých funkcí tedy může být nespojitá. Jk se konvergence této posloupnosti funkcí změní, když intervl M = [0, ] zmenšíme, třeb n M = [0, δ] pro pevné δ > 0? Pro kždé x [0, δ] máme 0 f n (x) = x n ( δ) n. Protože ( δ) n 0 pro n, dostáváme horní odhd f n (x) f(x), který jde k nule pro n nezávisí n x [0, δ]. Tkže f n f n M = [0, δ]. Pro M = [0, ) konvergence stejnoměrná není, kvůli bodům x n, le je lokálně stejnoměrná, protože kždý bod [0, ) je obsžen v intervlu typu M = [0, δ] s δ > 0, totiž v [0, ]. 2. Posloupnost funkcí f n (x) = nx + n 2 x 2 34
n množině M = R bodově konverguje k identicky nulové funkci f 0. Šptné body x n = /n, v nichž f n (x n ) = f n (/n) = /2, jdou v limitě k nule. Konvergence není proto ni lokálně stejnoměrná. Je lokálně stejnoměrná n kždé množině M, která neobshuje nulu. Rozmyslete si, že n kždé množině M R, která neobshuje nějké okolí nuly, je konvergence stejnoměrná. 3. Pltí, že f n (x) = sin(nx) 0 n M = R, n protože f n (x) /n pro kždé x R. Pro funkci f : M R definujeme oznčení f := sup f(x) x M ( el-nekonečno norm ). Z definice plyne, že cf = c f pro kždou konstntu c R že pltí trojúhelníková nerovnost f +g f + g. Z definice stejnoměrné spojitosti z předchozích příkldů by mělo být jsné, že f n f n M lim n f n f = 0. Tvrzení 2. (Bolznov Cuchyov (stejnoměrná) podmínk) Posloupnost funkcí (f n ) konverguje n množině M stejnoměrně k nějké funkci f, právě když ε > 0 n 0 : m, n > n 0, x M f m (x) f n (x) < ε. Důkz. Nechť f n f n M. Pro dné ε > 0 tedy máme n 0, že f n (x) f(x) < ε pro kždé n > n 0 kždé x M. Pro kždé m, n > n 0 x M tk (díky trojúhelníkové nerovnosti) máme f m (x) f n (x) f m (x) f(x) + f(x) f n (x) < ε + ε = 2ε. Je tedy splněn B. C. podmínk. Nopk, nechť posloupnost funkcí (f n ) splňuje B. C. podmínku. Pro kždé pevné číslo M to znmená, že posloupnost čísel (f n ()) je cuchyovská. Podle věty ze zimního semestru má tto posloupnost vlstní limitu, kterou si oznčíme f(): lim n f n () = f(). Dostli jsme funkci f, k níž funkce f n n M bodově konvergují. Zbývá dokázt, že k f konvergují stejnoměrně. Buď dáno ε > 0. Podle B. C. podmínky existuje n 0, že pro kždé 35
m, n > n 0 kždé x M máme f m (x) f n (x) < ε. Číslo M buď libovolné. Vezmeme N N tk, že N > n 0 f N () f() < ε (to lze díky lim n f n () = f()). B. C. podmínk dává, že pro pro n > n 0 pltí f n () f N () < ε. Podle trojúhelníkové nerovnosti pro kždé n > n 0 máme f n () f() f n () f N () + f N () f() < ε + ε = 2ε. Protože n 0 nezávisí n, máme f n f n M. Bolznov Cuchyov podmínk nám umožňuje testovt stejnoměrnou konvergenci posloupnosti (f n ) bez přítomnosti ( znlosti) limitní funkce f. Když loc je splněn, můžeme budeme psát f n n M, resp. f n n M. Poznmenejme ještě, že limitní funkce je smozřejmě určen jednoznčně. Když tedy odněkud víme, že f n f n M součsně podle Bolznovy Cuchyovy podmínky víme, že f n n M, utomticky dostáváme f n f n M, podobně pro lokálně stejnoměrnou konvergenci. Řekneme, že bodová konvergence f n f n M je monotónní, když pro kždý bod M je posloupnost čísel (f n ()) neklesjící nebo když pro kždý bod M je tto posloupnost nerostoucí. Tvrzení 2.2 (situce, kdy loc, respektive ) Pltí následující tvrzení.. Když f n loc f n (, b), kde < b +, potom f n f n [c, d] pro kždý kompktní podintervl [c, d] (, b). 2. (Diniho vět) Nechť f n f n kompktním intervlu I, funkce f n i f jsou spojité konvergence je monotónní. Pk f n f n I. Důkz. Nebudeme dělt. V následujících třech větách zjistíme, v jkých situcích můžeme změňovt pořdí operce limity posloupnosti funkcí s opercí limity funkce v bodě, respektive integrování, respektive derivování, to jest, kdy pltí rovnosti lim lim f n (x) = lim n x x 0 lim n f n = lim f n(x) = n 36 x x0 ( lim f n (x) n lim n f n lim f n(x) n ).
V přípdě prvních dvou rovností věty říkjí, že když jsou vnitřní výrzy (lim x x0 f n (x) lim n f n (x), resp. f n lim n f n ) definovné konvergence posloupnosti funkcí v nich je stejnoměrná, jsou i vnější výrzy definovné mjí stejnou hodnotu. Třetí rovnost tkto nefunguje ( jk n příkldech uvidíme, ni fungovt nemůže). Třetí vět o derivování zhrub říká (pomineme teď technické detily), že když je celá levá strn definovná konvergence posloupnosti derivcí v ní je stejnoměrná, je i prvá strn definovná, konvergence posloupnosti funkcí v ní je stejnoměrná rovná se levé strně. Vět 2.3 (Mooreov Osgoodov, záměn pořdí lim n lim x x0 ) Nechť jsou funkce f n f definovné n nějkém prstencovém okolí M = P (x 0, δ) bodu x 0 R, který může být i nevlstní, existují vlstní limity n = lim x x0 f n (x) dále f n f n P (x 0, δ). Potom existují vlstní limity lim n n lim x x0 f(x) rovnjí se. Důkz. Protože f n f n M, splňuje podle Tvrzení 2. posloupnost funkcí (f n ) stejnoměrnou Bolznovu Cuchyovu podmínku: pro dné ε > 0 existuje n 0, že f m (x) f n (x) < ε pltí pro kždé x M kždé m, n > n 0. Pro pevné indexy m, n > n 0 limitní přechod x x 0 dává nerovnost m n ε. Posloupnost čísel ( n ) je tedy cuchyovská podle věty ze ZS má vlstní limitu A R: lim n n = A. Zbývá ukázt, že lim x x0 f(x) = A. Vzdálenost f(x) A pro x blízké k x 0 odhdneme pomocí trojúhelníkové nerovnosti jko f(x) A f(x) f n (x) + f }{{} n (x) n + }{{} n A }{{} V V 2 V 3, což pltí pro kždé n N kždé x M. Buď nyní dáno ε > 0. Protože n A pro n, existuje n 0, že pro n > n 0 je V 3 < ε/3. Protože f n f n M, existuje n, že n > n, x M V < ε/3. Vezmeme N N větší než n 0 i n. Protože lim x x0 f N (x) = N, existuje δ 0 > 0 tkové, že x P (x 0, δ 0 ) f N (x) N < ε/3, 37 to jest V 2 < ε/3.
Pro toto δ 0 n = N nám hořejší nerovnost dává x P (x 0, δ 0 ) f(x) A V + V 2 + V 3 < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Tkže lim x x0 f(x) = A. Není-li konvergence stejnoměrná, záměnu pořdí limit lim n lim x x0 nelze obecně provést (beze změny výsledku), jk jsme už vlstně viděli v příkldu s funkcemi f n (x) = x n : lim lim n xn = lim =, le lim x n x lim n xn = lim 0 = 0. x Důsledek. Nechť I R je intervl f n loc f n I, přičemž funkce f n jsou n I spojité. Potom i limitní funkce f je n I spojitá. Důkz. Nechť x 0 I je libovolný bod intervlu I, řekněme vnitřní (pro krjní body je postup s jednostrnnými limitmi prkticky stejný). Podle předchozí věty záměn pořdí limit nemění výsledek máme lim f(x) = lim lim f n (x) = lim lim f n (x) = lim f n (x 0 ) = f(x 0 ), x x 0 x x0 n n x x0 n tkže f je spojitá v bodě x 0. (Rozmyslete si přesně, proč pltí kždá z předchozích čtyřech rovností.) Lokálně stejnoměrná ( tím spíše stejnoměrná) konvergence tedy zchovává spojitost funkce. Cvičení 0 Zjistěte, jk se bodová stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí chovjí k omezenosti funkce. Vět 2.4 (záměn pořdí lim n integrování) Funkce f n, n =, 2,..., f buďte definovné n (omezeném) intervlu [, b], f n R[, b] f n f n [, b]. Pk i f R[, b] f = lim n f n. 38
Důkz. Buď dáno ε > 0. Protože f n f n [, b], existuje n 0, že pro kždé n > n 0 kždé x [, b] máme f n (x) ε < f(x) < f n (x) + ε. Nechť D = ( 0,,..., k ), = 0 < < < k = b, je libovolné dělení intervlu [, b] n > n 0 je pevné. N interválcích I i = [ i, i+ ] pk máme nerovnosti m i ε = inf I i f n ε inf f sup I i I i f sup I i f n + ε = M i + ε. Protože ε( I 0 + I + + I k ) = ε(b ), pro dolní Riemnnovy součty funkcí f n f dostáváme nerovnost s(f n, D) ε(b ) = k k I i m i ε(b ) = I i (m i ε) i=0 k I i inf I i i=0 = s(f, D), čili s(f n, D) ε(b ) s(f, D). Stejně se dokáže nerovnost S(f, D) S(f n, D) + ε(b ) pro horní součty. Dokázli jsme tedy, že pro kždé ε > 0 existuje n 0 tk, že pro kždé n > n 0 kždé dělení D intervlu [, b] pltí nerovnosti f i=0 s(f n, D) ε < s(f, D) S(f, D) < S(f n, D) + ε. Nechť je dáno ε > 0. Vezmeme odpovídjící n 0. Nechť n > n 0 je libovolné, le pevné. Protože f n má n [, b] Riemnnův integrál, můžeme vzít tkové dělení D 0, že 0 S(f n, D 0 ) s(f n, D 0 ) < ε. Pro toto dělení pk 0 S(f, D 0 ) s(f, D 0 ) S(f n, D 0 ) + ε (s(f n, D 0 ) ε) = S(f n, D 0 ) s(f n, D 0 ) + 2ε < 3ε. Proto má podle Věty.4 funkce f n [, b] Riemnnův integrál. Protože f leží v intervlu [s(f, D 0), S(f, D 0 )] obsženém v intervlu [s(f n, D 0 ) 39
ε, S(f n, D 0 ) + ε] o délce 3ε f n leží v intervlu [s(f n, D 0 ), S(f n, D 0 )] tké obsženém v [s(f n, D 0 ) ε, S(f n, D 0 ) + ε], máme f f n < 3ε. Dokázli jsme tedy, že pro kždé ε > 0 existuje n 0 tk, že pro kždé n > n 0 f f n < ε. Tudíž f = lim n Než se pustíme do záměny lim n derivování, podíváme se n tři příkldy. Příkld. Pro posloupnost funkcí f n (x) = sin(nx) n M = R máme f n 0 n M. Posloupnost derivcí f n(x) = cos(nx) všk nekonverguje n M ni bodově, npříkld pro x = (2k + )π je posloupnost jejich hodnot (,,,,... ). Příkld 2. Posloupnost funkcí f n (x) = f n. x 2 + n 2 n množině M = R konverguje stejnoměrně k funkci f(x) = x 2 = x ; pro kždé x R pltí nerovnost x2 f n (x) x 2 + n. Kždá funkce f n má n M vlstní derivci (rovnou x(x 2 + /n 2 ) /2 ), le limitní funkce f(x) = x nemá derivci v bodě nul. Příkld 3. Nechť f n (x) = n M = R. Pk f n = 0 0 n M, le posloupnost (f n ) nekonverguje bodově pro žádné x M. 40
Vidíme, že stejnoměrná konvergence posloupnosti (f n ) neříká nic o konvergenci derivcí (f n) ni o možnosti záměny pořdí lim n derivování posloupnost derivcí nemusí konvergovt ni bodově nebo limitní funkce f nemusí mít vůbec derivci. Nopk, třetí příkld ukzuje, že stejnoměrná konvergence derivcí tké nezručuje konvergenci původní posloupnosti funkcí (to se všk sprví, když (f n ) konverguje lespoň v jednom bodě). Vět 2.5 (záměn pořdí lim n derivování) Nechť f n : (, b) R, n =, 2,..., je posloupnost funkcí definovná n omezeném otevřeném intervlu. Předpokládáme, že kždá funkce f n má n (, b) vlstní derivci, že f n loc g n (, b) že posloupnost čísel (f n (x 0 )) loc konverguje pro lespoň jeden bod x 0 (, b). Potom f n f n (, b) pro nějkou funkci f : (, b) R f = g n (, b). loc Důkz. Nejprve dokážeme, že f n n (, b). Pk pomocí Věty 2.3 spočteme, že limitní funkce f má derivci t se rovná g. Nkonec ověříme předpokldy užití Věty 2.3 v tomto výpočtu. Důkz bude trochu delší. Nechť x (, b) je libovolný bod. Máme nlézt jeho okolí U tkové, že f n n (, b) U. Stčí dokázt, že f n n [c, d] pro libovolný (kompktní) intervl [c, d] (, b) obshující záchytný bod x 0 tkový intervl lze totiž zvolit tk, že ob body x 0 x leží v (c, d), pk U = (c, d). Nechť tedy intervl [c, d] (, b) splňuje, že x 0, x (c, d). Ověříme, že posloupnost (f n ) splňuje n [c, d] Bolznovu Cuchyovu podmínku (viz Tvrzení 2.). Pro kždé m, n N x [c, d] máme nerovnost f m (x) f n (x) f m (x) f n (x) (f m (x 0 ) f n (x 0 )) + f }{{} m (x 0 ) f n (x 0 ) }{{} V V 2. Buď dáno ε > 0. Protože posloupnost čísel (f n (x 0 )) konverguje, existuje n 0, že m, n > n 0 V 2 < ε. Výrz V odhdneme Lgrngeovou větou o střední hodnotě, použitou n funkci f m f n n intervlu s krjními body x 0 x: V = (x x 0 ) (f m f n ) (ζ) = x x 0 f m(ζ) f n(ζ), kde ζ leží mezi body x 0 x (bod ζ obecně závisí n m, n i n x, le díky f n loc n (, b), máme f n n [c, d] (podle části nám to nevdí). Protože f n loc 4
Tvrzení 2.2). Existuje tedy n, že pro kždé m, n > n kždé x [c, d] pltí f m(x) f n(x) < ε. Tedy m, n > n, x [c, d] V < (d c)ε < (b )ε. Celkem pro m, n > mx(n 0, n ) kždé x [c, d] máme f m (x) f n (x) V + V 2 < (b )ε + ε = (b + )ε. Posloupnost (f n ) tk n [c, d] splňuje Bolznovu Cuchyovu podmínku f n n [c, d]. Limitní funkci oznčíme jko f, máme f n f n [c, d] loc f n f n (, b). Nyní spočteme derivci funkce f v libovolném bodě x (, b) ukážeme, že f (x ) = g(x ). Vskutku, podle Věty 2.3 máme f (x ) = f(x) f(x ) lim x x x x = f n (x) f n (x ) lim lim x x n x x = f n (x) f n (x ) lim lim n x x x x = lim f n n(x ) = g(x ). Větu 2.3 jsme použili při záměně pořdí limit ve třetí rovnosti. Musíme všk ještě ověřit, že jsou splněné její předpokldy. Aplikujeme ji n posloupnost funkcí (h n ) ( n bod x ), kde h n (x) := f n(x) f n (x ) x x. Funkce h n jsou definovné n nějkém prstencovém okolí P (x, δ) bodu x vlstní limity lim x x h n (x) existují podle předpokldu rovnjí se f n(x ). Zbývá ukázt, že pro nějké δ 0 > 0 máme h n h n P (x, δ 0 ), kde h(x) := f(x) f(x ) x x. Je jsné, že h n h n P (x, δ) (protože f n f n U(x, δ)). Stčí ukázt, že n nějkém P (x, δ 0 ) posloupnost (h n ) splňuje Bolznovu Cuchyovu podmínku. 42