Analýa a pracování signálů 5. Z-transformace
Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X k jf j xk, je komplexní číslo r e r e k Oboustranná transformace konečné řady je výkonová Laurentova řada proměnné. Hodnoty se kreslí v tv. Argandově diagramu -rovina Společně s hodnotou X se uvádí i oblast, pro kterou X konverguje tv. oblast konvergence ROC region of convergence. Pro dvě odlišné řady může existovat stejná Z-transformace, ale s odlišnou oblastí konvergence, proto je nutné oblast konvergence uvádět. Pokud se ROC neuvádí uvažuje se obvykle pravostranný signál.
Pro ROC platí následující pravidla : signál konečné délky ROC X je celá rovina, kromě =0 popř. = pravostranný xn] ROC X je vně kružnice s poloměrem větším, než je velikost v absolutní hodnotě největšího pólu levostranný signál ROC X je vnitřek kružnice s poloměrem menším, než v absolutní hodnotě velikost nejmenšího pólu oboustranný signál ROC X je uvnitř meikruží ohraničeného největším a nejmenším pólem v absolutní hodnotě
Vlastnosti oboustranné Z-transformace
Převod signálu do Z oblasti: pro signály konečné délky polynomem proměnné pro ostatní signály - převodní tabulka.
Z-rovina, nuly, póly Z- transformace le u většiny signálů vyjádřit jako racionální lomenou funkci, která má tvar: 0 0 A A A A B B B B D X M M M M Onačme: kořeny jako i nuly O kořeny D jako p k póly X M p p p D K X
Diagram nul a pólů H 3 4 4 5
Příklad : Jaká -transformace odpovídá následujícímu diagramu nul a pólů?
Přenosová funkce systému Odeva systému yn] s impulní odevou hn] je dána konvolucí ] ] ] n h n x n y v Z oblasti ] ] ] ] X Y H H X Y
H] je přenosová funkce systému a je definována poue pro ustálený LTI systém jako poměr Z-transformace výstupu k Z-transformaci vstupu. H je Z-transformace impulní odevy hn] M M A A A B B B X Y H 0 0
LTI systém může být popsán: přenosovou funkcí impulní odevou diferenční rovnicí diagramem nul a pólů
Spojování systémů Kaskádní spojení: X] Y ] H ] H ] Y] Y]=H ]Y ]=H ]H ]X] =H ] H ]X] H]=H ] H ] Obecně pro n kaskádně spojených systémů : H]=H ] H ] H n ] Paralelní spojení: X] H ] Y Y] H ] Y Y]=H ]X]+ H ]X] = H ]+H ]X] H]=H ]+H ] Obecně pro n paralelně spojených systémů : H]=H ] + H ] + +H n ]
Realiace přenosové funkce
Pro obecnou diferenční rovnici:
Duální struktura filtru Transposed realiation Vycháí přímé formy II a provede se překlopením áměna vstupů a výstupů, otočení toku signálu a áměna sumátorů a spojek.
Sériová kaskádní realiace filtrů Přenosová funkce systému může být výsledkem součinu dílčích přenosových funkcí v kaskádním apojení H c = H H H Systém -tého řádu může být realiován jako kaskádní spojení systémů. rádu a. řádu pokud je liché
Paralelní realiace filtrů Přenosová funkce systému funkcí v paralelním apojení může být výsledkem součtu dílčích přenosových H P = H + H + + H Přenosovou funkci systému -tého řádu můžeme roložit na parciální lomky a realiovat systém jako paralelní spojení subsystémů. popř.. řádu.
Příklad:. aleněte kaskádní realiaci filtru popsaného přenosovou funkcí 6 6 6 H. aleněte paralelní realiaci filtru popsaného přenosovou funkcí 0.5 H
Kaualita a stabilita LTI systému V časové oblasti - kauální systém má impulní odevu hn]=0, pro n<0. Pro impulní odevu tohoto systému pak platí, že počet nul nesmí přesáhnout počet pólů stupeň čitatele musí být menší než stupeň jmenovatele. Stabilní systém - pro hn] musí platit Stabilita Bounded Input Bounded Output na omeený vstup reaguje systém omeeným výstupem. ROC oblast konvergence stabilního LTI systému vždy ahrnuje jednotkovou kružnici a platí: stabilní a kauální systém: - všechny póly leží uvnitř jednotkové kružnice stabilní a antikauální systém všechny póly leží vně jednotkové kružnice
Obecně: Inverní Z-transformace x n X ] n d V praxi se obecný vorec téměř nepoužívá a inverní transformace se určuje kombinací následujících působů :. přímý převod. dělení polynomů 3. roklad na parciální lomky. Přímý převod: - pro jednoduché případy, kdy je Z- transformace vyjádřena konečnou řadou. X]= 3 - +5-3 + -4 xn]=3n-] + 5 n-3] + n-4] xn]={0, 3, 0, 5, } ebo X]= -5 + 5 - - - xn]=n+] - 5 n+] + 5 n-] - n-] xn]={, -5, 0, 3, 5, - }
Dělení polynomů: Většinou se používá pokud chceme vyjádřit poue prvních pár členů odevy systému - je to obvykle rychlejší než roklad na parciální lomky. Předpokládejme, že : X D pro pravostranný signál: uspořádáme a D podle sestupných mocnin a určíme výsledek dělení polynomů dostaneme mocninou řadu proměnné - pro levostranný signál: uspořádáme a D podle vestupných mocnin dostaneme mocninnou řadu proměnné H ] 4-4 : -+ = - -3 - -4-3 + hn]= n-] - 3n-] - 4n-3] hn]={0,,-3,-4, }
Roklad na parciální lomky : - princip metody rokladu spočívá v tom, že výra pro Z-transformaci se roloží na součet lomků, jejichž inverní transformaci le najít v tabulkách. - roklad se provádí v ávislosti na pólech tj. kořenech jmenovatele. Rolišujeme případy:. Rodílné póly- reálné p m m m Y p k kde p k p k p k p p p P X Y Rodílné póly - komplexní r A r A r A r A p k p k X Y
. Opakující se póly - Y obsahuje +r k pól r k n n n r k r k k k k Y r d d n A Y r d d A Y r A kde r A r A r A X Y!, 0 0
Zpětná Z-transformace tabulka
Zpětná Z-transformace roklad na parciální lomky
Jednostranná Z-transformace používá se při analýe kauálních systémů a je definována následujícím vtahem X k0 x k Vlastnosti jednostranné Z-transformace jsou podobné jako u oboustranné, jsou poue upravené pro práci s kauálními signály. k,
] ] 0] ] ] ] ] ] ] y y y Y n y y y Y n y y Y n y Posun doprava:
Posun doleva: ] ] 0] ] ] 0] ] 0] ] y y y Y n y y y Y n y y Y n y
Periodický signál: x p X n] u n] X kde x n] je první perioda signálu x p n] Věta o počáteční hodnotě: Věta o koncové hodnotě: x 0] lim X lim x n] n lim X
Využití Z-transformace k analýe systémů Systémy popsané diferenční rovnicí:. převod diferenční rovnice do Z oblasti s ohledem na vlastnosti posuvu u jednostranné Z transformace a počáteční podmínky. výpočet ZIR, ZSR a celkové odevy 3. pětná transformace Příklad. Řešte diferenční rovnici a určete ZIR, ZSR yn]-0.5yn-] = 0.5 n un] pro y-]= -
Systémy popsané přenosovou funkcí:. určení ZSR: Z přenosové funkce určit Y=XH a provést pětnou tranformaci. určení ZIR: určit diferenční rovnici, převést a postupovat jako u systémů popsaných diferenční rovnicí. Příklad : Pro adanou přenosovou funkci H, vstup xn]=4un] a počáteční podmínky y-]=0 a y-]=, určete ZIR, ZSR, homogenní a partikulární řešení. H 6 6