.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou fukce popisová, velmi jedoduchý a kromě toho, že přepsáí chvíli trvá, a tom eí ic těžkého. Proto ukazuji obě defiice studetům pouze a kratší dobu ( miuta) s tím, že je pak schovám a studeti je budou muset dopsat sami z paměti. Miutu, kterou budou mít k dispozici, b ted měli vužít a pochopeí sstému, kterým jsou defiice apsá, protože opsat obě defiice estihou. Po splěí úkolu pak ásleduje debata o tom, jaký sstém je, proč jsou ide ve jmeovateli apsá pomocí jiého písmee ež v čitateli apod. Některé druh fukcí se dají řadit do skupi. Mezi takové skupi patří skupi fukcí racioálích a polomických. Polomická fukce je každá fukce ve tvaru proměá a čísla am; am ;... a; a0 jsou reálá a m je číslo přirozeé. Racioálí fukce je každá fukce ve tvaru m = a + a +... + a + a, kde je m m m 0 m am + a +... + a + a = b + b + b + b m m 0... 0, kde je proměá a čísla am; am ;... a; a0; b ; b ;... b ; b0 jsou reálá a m, jsou čísla přirozeá. Pedagogická pozámka: Během opisováí defiic se ukáže, zda si studeti alespoň přibližě pamatují sstém pro popisováí polomů z prvího ročíku. Pokud se vůbec eorietují, je třeba se k tomu vrátit (hodia 704) a obětovat kresleí fukcí. Př. : Rozhodi, jaký je defiičí obor polomických a racioálích fukcí. Defiičí obor: Všecha, která můžeme dosadit do předpisu fukce. Polomické fukce: Předpis je sestave z přirozeých moci. Do přirozeých moci můžeme dosadit za libovolé číslo pro polomickou fukci platí D f = R. ( ) Racioálí fukce: Předpis je sestave z podílu dvou polomických fukcí. Obě fukce mají defiičím obor R. Nemůžeme dělit ulou defiičím oborem je ted možia všech reálých čísel, kromě takových, pro které je hodota polomu ve D f = R A, kde A je jmeovateli rova ule pro racioálí fukci platí ( ) možia všech kořeů rovice b + b +... b + b = 0. 0 Pedagogická pozámka: Studeti u defiičího oboru racioálích fukcí tradičě avrhují ulu. Je třeba jim ukázat, že evadí ula dosazeá za, ale ula ve jmeovateli zlomku, což eí to samé. Jiak jde o dobrou ukázku ukvapeého uvažováí.
Př. : Rozhodi, jaký je vztah mezi racioálími a polomickými fukcemi (zda je jeda z moži podskupiou druhé, zda mají moži prázdý průik apod.). Předpis racioálí fukce je sestave z podílu dvou polomických fukcí. Pokud bude polom ve jmeovateli rove, zbude pouze polom v čitateli. Polomické fukce jsou ted podmožiou racioálích fukcí, pro které platí b + b +... b + b = (přesěji b = b =... = b = 0; b = ). 0 0 Př. : Doplň ásledující tabulku s přehledem dosud probraých fukcí: Název fukce kvadratická lieárí lomeá mociá s přirozeým epoetem předpis = a předpis podle defiice polomické a racioálí fukce = a + a0 patří mezi = a b + c X =, > 0 = polomické a racioálí Probrali jsme zatím tto fukce: Název fukce předpis kostatí a předpis podle defiice patří mezi polomické a racioálí fukce = a polomické a racioálí = 0 lieárí = a + b = a + a0 polomické a racioálí s absolutí hodotou = a b + c X X kvadratická lieárí lomeá mociá s přirozeým epoetem mociá s celým záporým epoetem = a + b + c a + b = c + d =, > 0 = < 0 = a + a + a polomické a racioálí 0 a + a = b + b 0 0 racioálí = polomické a racioálí = racioálí Pedagogická pozámka: Ukazuji po chvilce studetům prví řádek, ab měli lepší představu o tom, co se po ich chce. Polomické fukce mají začý výzam: Mají defiičí obor R emusíme se starat o podmík.
Nejsou přetržeé a emají ostré roh (velká výhoda ve fzice při zkoumáí jejich změ). Jejich hodot se sado se včíslují. S jejich pomocí můžeme vjadřovat ostatí fukce (takzvaý Talorův rozvoj). Talorův rozvoj je řada polomických fukcí se zvětšujícím se řádem, která se zvětšující se přesostí aproimuje hodot jié fukce v okolí ějakého bodu. Příklad: aproimace fukce si v okolí bodu 0. = si, = = si, =, = 6
= si, =, =, 6 5 5 = + 6 0 4
= si, =, =, 6 5 5 = +, 6 0 7 5 7 = + 6 0 5040 Z obrázků je dobře vidět, jak je graf fukce vššího Talorova polomu. = si čím dál lépe aproimová pomocí Graf složitějších racioálích ebo polomických fukcí edokážeme akreslit obecě pomocí dosavadích metod. V ěkterých případech je možé tvar fukce přibližě odhadout. Pedagogická pozámka: Následující příklad studeti až a výjimk samostatě evřeší. Řešíme ho ted společě a tabuli s tím, že se sažím jim dávat co ejvíce šací, ab se trhli a pokračovali dál sami. Jiak u obou ásledujících příkladů studetům připomíám, že jde o relativě áročé úloh, které přesahují rámec toho, b se měli poviě aučit. Př. 4: Nakresli přibližý tvar grafu fukce =. Do obrázku akreslíme graf fukcí = a =. Hodot grafu fukce budeme získávat děleím hodot fukcí = a =. = 5
- - - - - - Fukce = ebude mít žádou hodotu pro = a = (dělili bchom ulou). Pro velká je možé číslo ve jmeovateli zlomku zaedbat a přibližě platí = = fukce se bude chovat podobě jako fukce =. Pokud určujeme hodot pro větší ale blízká, dělíme číslo větší ež číslem čím dál více se blížícím 0 získáme tak čím dál větší hodot. ;. Pomocí dvou předchozích úvah získáme hodot fukce i pro ( ) Pro 0 = získáme hodotu 0 =. Kdž zvětšujeme hodotu postupě od ul k jedičce, dělíme kladé číslo, které se zvětšuje od 0 k, záporým číslem, které se zvětšuje od k ule výsledkem děleí jsou záporá čísla se vzrůstající absolutí hodotou. Kdž zmešujeme hodotu postupě od ul k -, dělíme záporé číslo, které se zmešuje od 0 k -, záporým číslem, které se zvětšuje od k ule výsledkem děleí jsou zvětšující se kladá čísla. Přibližý tvar grafu i grafů všech zmíěých fukcí je vidět a obrázku. 6
- - - - - - Výsledek můžeme ověřit pomocí počítače: =, =, =, =. 4 Pedagogická pozámka: Opět spíše bobóek pro zájemce, kdž jim a koci hodi zbude čas. 7
Př. 5: Nakresli přibližý tvar grafu fukce =. Do obrázku akreslíme graf fukcí = a =. Hodot grafu fukce budeme získávat děleím hodot fukcí = a =. 5 4 = -5-4 - - - - 4 5 - - -4-5 Fukce = ebude mít žádou hodotu pro = (dělili bchom ulou). Pro velká je možé číslo ve jmeovateli zlomku zaedbat a přibližě platí = = fukce se bude chovat podobě jako fukce = pro blížíce se ekoeču se budou hodot přibližovat ule, stejě tak pro blížící se míus ekoeču. ;. Pro hodot blízké dělíme čísla větší ež Určujeme tvar grafu v itervalu ( ) dvě čísl, která se blíží ule získáváme velmi velká kladá čísla. Pro blížící se k jedičce se křivka bude blížit k plus ekoeču, pro velká čísla se fukce chová jako fukce = hodot se blíží ule. Pro = 0 dělíme 0 číslem získáme hodotu = 0. Určujeme tvar grafu v itervalu ( 0;). Vcházíme z bodu [ ] 0;0, postupě dělíme čím dál větší kladá čísla, čím dál mešími záporými čísl získaé hodot se postupě blíží k. ;0 0;0, dělíme kladé Určujeme tvar grafu v itervalu ( ). Vcházíme z bodu [ ] hodot zeleého grafu, záporými hodotami modrého všech hodot v tomto 8
itervalu budou záporé. Zeleé hodot se zpočátku zvětšují rchleji ež klesají modré zpočátku se bude absolutí hodota výsledků zvětšovat (graf se vzdaluje od os ), postupě se začou modré hodot zmešovat rchleji, fukce se zače chovat jako fukce = a zače se opět blížit k ose. Přibližý tvar grafu i grafů všech zmíěých fukcí je vidět a obrázku. 5 4-5 -4 - - - - 4 5 - - -4-5 Výsledek můžeme ověřit pomocí počítače: =, =, =. 9
Shrutí: 0