Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, nebo také neurčitým integrálem funkce f a označujeme ji F(x) = f (x) dx.. Poznámka: Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu I a G(x) = F(x) + c pro x I, kde c je konstanta, je G také primitivní funkce k funkci f na intervalu I.

Existence primitivní funkce. 3/14 Věta: O existenci primitivní funkce Necht funkce f je spojitá na intervalu I, potom f má na intervalu I primitivní funkci. Poznámka: Existují funkce, které podle předchozí věty mají primitivní funkci, my ji ale neumíme nalézt pomoci známých funkcí. Můžeme ji tedy definovat pomoci integrálu. Např.: e x 2 sin x dx, dx,... x Umíme již počítat některé primitivní funkce? ANO! Stačí otočit vzorce pro derivování!

Tabulka primitivních funkcích. x n dx = x n+1 n+1 n R, n 1 1 x dx = ln x sin x dx = cos x cos x dx = sin x a x dx = ax ln a a > 0, a 1 dx = arctg x 1+x 2 = arcsin x dx 1 x 2 dx cos 2 x = tg x dx sin 2 x = cotg x dx x 2 +a = ln x + x 2 + a a 0 f (x) f (x) = ln f (x) 4/14

Vlastnosti integrálů 5/14 Věta: Platí (i) f (x) dx = f (x). ( (ii) f (x) dx) = f (x). (iii) k f (x) dx = k f (x) dx, kde k je konstanta. (iv) (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx. Dk: Z definice prim. fce a vlastností derivací. Pozor, pro (f (x) g(x)) dx není žádný univerzální vzorec!!!

Metody výpočtů neurčitých integrálů. 6/14 Metoda per partes. Věta: Necht funkce u a v mají v intervalu I spojité derivace. Potom v intervalu I platí u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx. Zkráceně: u v = u v u v Dk: Plyne z derivace součinu.

Kdy se hodí per partes? 7/14 1 součin polynomu a goniometrické nebo exponenciální fce např. x sin x dx, x 3 e 2x dx, (x + 3) 2 x dx (pozn. polynom derivujeme) 2 součin polynomu a cyklometrické nebo logaritmické fce např. arcsin x dx, x 2 ln x dx, x log x dx (pozn. polynom integrujeme) 3 součin goinometrické a exponenciální fce nebo dvou goniometrických fcí např. e 2x sin x dx, 2 x cos x dx, sin 2 x dx (vede na rovnici)

8/14 Metoda substituční Věta: Necht funkce f (t) je spojitá na intervalu (a, b) a necht funkce t = ϕ(x) má spojitou první derivaci v intervalu (α, β) a zobrazuje interval (α, β) na interval (a, b). Pak f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (t) dt = F(t) = F(ϕ(x)), kde F je primitivní funkce k f na (a, b). Pozn. t = ϕ(x) je použitá substituce. Dk: Plyne z derivace složené funkce. Příklady: sin x cos 2 x dx, e 3x 5 dx, x x 2 + 1 dx

Racionálně lomené funkce. 9/14 Definice: Funkce tvaru P(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy, nazýváme racionální lomenou funkcí. Q(x) Je-li stupeň P(x) < stupeň Q(x) nazýváme funkci ryze lomenou racionální funkcí. Je-li stupeň P(x) stupeň Q(x) nazýváme funkci neryze lomenou racionální funkcí. Věta: Každá racionální lomená funkce je součtem polynomu a ryze lomené racionální funkce. (stačí vydělit polynomy) Poznámka: Polynom umíme integrovat. Musíme se naučit integrovat ryze lomenou racionální funkci. Ryze lomenou racionální funkci musíme rozložit na parciální zlomky.

Integrace racionálních lomených funkcí - postup 10/14 1 převod rac. lomené funkce na součet polynomu a ryze lomené funkce (dělením polynomů) 2 rozklad jmenovatele na součin kořenových činitelů 3 rozklad ryze lomené racionální funkce na součet tzv. parciálních zlomků 4 integrace parciálních zlomků

Rozklad polynomu na kořenové činitele Definice - připomenutí: Polynom n-tého stupně... P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 a 0, a 1,..., a n R jsou koeficienty a a n 0 Kořen polynomu P n (x) je číslo α C t.ž. P n (α) = 0. Náš cíl = rozklad na tzv. kořenové činitele, tj. P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = =a n (x α 1 )(x α 2 ) (x α k ) (x 2 +p 1 x +q 1 ) (x 2 +p l x +q l ) α i jsou právě všechny reálné kořeny P(x) (x 2 + p j x + q j ) nemají reálné kořeny, tj. D j < 0. (x 2 + p j x + q j ) = (x α 1 )(x α 2 ), kde α 1,2 jsou komplexní kořeny x 2 + p j x + q j. Známe ze SŠ: ax 2 + bx + c = a (x α 1 ) (x α 2 ), kde α 1,2 jsou kořeny ax 2 + bx + c. 11/14

12/14 Rozklad ryze lomené fce na parciální zlomky. 1 Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele. 2 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x + b), odpovídá v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomek + A (a x + b) + kde A je nějaká vhodná reálná konstanta. 3 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x + b) k, k = 2, 3,..., odpovídají v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomky + A 1 (a x + b) + A 2 (a x + b) 2 + + A k (a x + b) k + kde A 1, A 2,..., A k jsou nějaké vhodné reálné konstanty.

Rozklad ryze lomené fce na parciální zlomky. 13/14 4 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x 2 + b x + c), odpovídá v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomek + A x + B (a x 2 + b x + c) + kde A, B jsou nějaké vhodné reálné konstanty.

Integrace parciálních zlomků 14/14 1 2 3 A a x+b dx = A a ln a x + b (substitucí t = a x + b ) A (a x+b) k dx = A a(k 1) 1 (a x+b) k 1 (substitucí t = a x + b ) A x+b (a x 2 +b x+c) dx = A 1 (2a x+b) (a x 2 +b x+c) dx + B 1 (a x 2 +b x+c) dx ad (3) A 1, B 1 jsou nové konstanty. První integrál spočteme substitucí t = a x 2 + b x + c, všimněte si, že dt = (2a x + b)dx. Druhý integrál vede na arctg.