Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu <, > integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá. Definice.1.. Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, >, D je dělení intervlu <, > R n výěr reprezentntů. Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu <, >, jestliže existuje číslo I R s vlstností lim σ ( f, Dn, Rn) = I n pro liovolnou posloupnost dělení n D, pro kterou pltí lim ν ( D ) = 0 při liovolné volě n n reprezentntů R n. Číslo I nzýváme určitý (Riemnnův) integrál funkce f n intervlu <, > píšeme I = f( x) dx. Číslo nzýváme dolní mez, číslo horní mez, intervl <, > integrční oor funkci f integrnd. n Or..1.6. Integrální součet funkce f Geometrický význm určitého integrálu Je-li f ( x) 0 n intervlu <, >, pk f ( xdx ) předstvuje osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f( x), přímkmi x=, x= osou x. Výsledkem neurčitého integrálu je funkce (množin funkcí), výsledkem určitého integrálu je číslo. Přestože se jedná o zcel odlišné pojmy, existuje mezi nimi duležitá souvislost (vet..1).
.. Výpočet vlstnosti určitého integrálu Vět..1. (Newtonov Leinizov formule) Nechť funkce f( x ) je spojitá n intervlu <, > F( x) je primitivní funkce k funkci f( x ) v intervlu <, >, pk f ( xdx ) = F ( ) F ( ). Vět... Nechť funkce f( x ) g( x ) jsou integrovtelné n intervlu <, > c je liovolná konstnt. Pk pltí ) [ f ( x) ± g( x) ] dx= f( x) dx ± g( x) dx, ) cf ( x) dx = c f ( x) dx. Definice..1. Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, >. Pk f ( xdx ) = f( xdx ). Vět..3. Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, > c je liovolné reálné číslo < c<. Pk je f( x ) integrovtelná n intervlech < c, > < c, > pltí c f ( xdx ) = f( xdx ) + f( xdx ). c.3. Metod per prtes pro určité integrály Vět.3.1. Mjí-li funkce ux ( ) vx ( ) v intervlu <, > spojité derivce u ( x) v ( x), pk pltí u ( x) vx ( ) dx= [ ux ( ) vx ( )] ux ( ) v( xdx ). Poznámk Prktické použití metody per prtes je zcel nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu (kp. 1.3). Zejmén pltí návody, pro které funkce je metod per prtes vhodná.
.4. Sustituční metod pro určité integrály Vět.4.1. (Integrování sustituční metodou ϕ ( x) = u ) Nechť funkce f( u ) je spojitá n intervlu <, >. Nechť funkce u = ϕ( x) má spojitou derivci ϕ ( x) n intervlu <, > nechť pro kždé x <, > pltí ϕ( x), = ϕ( ), = ϕ( ) (tedy funkce ϕ zorzuje intervl <, > n intervl <, >). Potom pltí f ( ϕ( x)) ϕ ( x) dx = f ( u) du. Poznámky 1. Při výpočtu určitého integrálu zvedeme vhodnou sustituci u = ϕ( x) vypočteme diferenciál du = ϕ ( x) dx jko u neurčitého integrálu. Nvíc musíme ještě určit nové meze. Stré meze, jsou pro původní proměnnou x. Nová proměnná u ude mít meze = ϕ( ), = ϕ( ).. V řešených příkldech vyznčíme změnu mezí tkto: ϕ( ) (stré dolní mezi odpovídá nová dolní mez ϕ ( ) ), resp. ϕ( ) (stré horní mezi odpovídá nová horní mez ϕ ( ) ). 3. V konkrétním přípdě se může stát, že ϕ( ) > ϕ( ) (nová dolní mez je větší než mez horní). Podle definice..1 můžeme meze změnit znménko integrálu se změní n opčné. Pokud dostneme ϕ( ) = ϕ( ), je podle poznámky k definici..1 integrál roven nule nemusíme dále počítt. Integrce sudých neo lichých funkcí Vět.4.. (Integrál sudé, popř. liché funkce) Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, >. Je-li f( x ) n intervlu <, > sudá, pk f ( xdx ) = f( xdx ), 0 Je-li f( x ) n intervlu <, > lichá, pk f( x) dx= 0.
Mtemtik II 3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 3.1. Osh rovinné olsti Vět 3.1.1. Nechť je funkce f ( x ) integrovtelná n intervlu <, > je n něm nezáporná. Pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f ( x ), přímkmi x Vět 3.1.. =, x = osou x pltí Nechť jsou funkce f ( x ) P= f( x) g( x ) integrovtelné pltí g( x) f( x) pro kždé x <, >. Pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného zdol grfem funkce g( x ), shor grfem funkce f ( x ) přímkmi x =, x = pltí Vět 3.1.3. P= f( x) g( x) ( ) Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t y = ψ () t, přičemž funkce ϕ () t ψ () t jsou spojité pro t <, >. Je-li funkce ϕ () t ryze monotonní má spojitou derivci n intervlu <, >, přičemž ϕ( ) = ϕ( ) =, pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f, přímkmi x P = ψ() t ϕ () t dt. =, x = osou x pltí
3.. Délk olouku křivky Vět 3..1. Nechť je funkce f( x ) definovná n intervlu <, > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky [ ] s= 1 + f ( x) Or. 3..1. Aproximce křivky y = f( x) lomenou črou ( dy) dy s = dx + dy = + dx= + dx= + f x ( dx) dx ( ) ( ) 1 1 1 [ ( )] Vět 3... Nechť je křivk dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t <, >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu <, >. Pk je délk této křivky [ ϕ ()] [ ψ ()]. s = t + t dt
3.3. Ojem rotčního těles Vět 3.3.1. Nechť je funkce f ( x ) spojitá nezáporná n intervlu <, >. Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoěžník ohrničeného shor funkcí f ( x ), osou x přímkmi x =, x = kolem osy x, má ojem V = π f ( x ) Vět 3.3.. Or. 3.3.. Rozřezání těles n tenké plátky Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t <, >, přičemž funkce ϕ() t má spojitou derivci n intervlu <, > funkce ψ () t je spojitá nezáporná n intervlu <, >. Pk pro ojem rotčního těles, které vznikne rotcí elementární olsti ϕ( ) x ϕ( ), 0 y ψ ( t), kolem osy x, pltí V = ψ () t ϕ () t dt. Pro výpočet ojemu rotčního těles, které vznikne rotcí olsti ohrničené křivkmi g( x) f( x) kolem osy x pro x <, >, použijeme vzth. V= π f ( xdx ) π g ( xdx ) = π f ( x) g ( x) dx Čsto se setkáváme s chyou, kdy je umocněn rozdíl funkcí. [ Vzth V = π f ( x) g( x) dx je evidentně nesprávný! ]