7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 -
Výklad: V této kaptole adefujeme tvrzeí (lmtí věty), která jsou důležtá pro pops pravděpodobostích modelů v případě rostoucího počtu áhodých pokusů. 7. Defce základích pojmů 7.. Kovergece podle pravděpodobost (stochastcká kovergece) Kovergece podle pravděpodobost ke kostatě a Je dáa posloupost áhodých velč { } (=,,., ) a reálé číslo a (a R). Jestlže pro každé ε > 0 platí: lm a (jestlže pravděpodobost, že abude hodoty z tervalu (a-ε; a+ε) koverguje pro k jedé (pro lbovolě malé ε)), pak říkáme, že posloupost áhodých velč { } koverguje k a podle pravděpodobost. Kovergece podle pravděpodobost k áhodé velčě Tato kovergece je zobecěím předcházejícího případu. Je dáa posloupost áhodých velč { } a áhodá velča. Jestlže pro každé ε > 0 platí: lm (jestlže pravděpodobost, že abude hodoty z tervalu (-ε; +ε) koverguje pro k jedé (pro lbovolě malé ε)), pak říkáme, že posloupost áhodých velč { } koverguje k áhodé velčě podle pravděpodobost. 7.. Kovergece v dstrbuc Je dáa posloupost áhodých velč { },posloupost dstrbučích fukcí áhodých velč { }-{F (x)} a áhodá velča, která má dstrbučí fukc F(x). Jestlže: lm ( x) F( x), F pak říkáme, že posloupost áhodých velč { } koverguje k áhodé velčě v dstrbuc a F(x) azýváme asymptotckou dstrbučí fukcí. Koverguje-l posloupost áhodých velč { } k áhodé velčě v dstrbuc, zameá to, že pro dostatečě velká můžeme dstrbučí fukc áhodé velčy aproxmovat (tz. s jstou chybou ahradt) asymptotckou dstrbučí fukc F(x). - 97 -
říklad: Jestlže posloupost áhodých velč { } koverguje v dstrbuc k rozděleí N(, ), (říkáme také, že áhodá velča má asymptotcky ormálí rozděleí), pak lm F x ( x) F( x) (tz. pro velká můžeme dstrbučí fukc áhodé velčy aproxmovat dstrbučí fukc ormálí áhodé velčy a tu po stadardzac ajít v tabulkách). 7. Čebyševova erovost Je-l lbovolá áhodá velča se středí hodotou E a koečým rozptylem D (=σ ) D, pak Čebyševova erovost odhaduje (velce hrubě) pravděpodobost odchylky áhodé velčy od její středí hodoty. 0 : D E Následující vztah reprezetuje aplkac Čebyševovy erovost pro případ, kdy chceme odhadout pravděpodobost, že áhodá velča je od své středí hodoty vzdáleá o více ež k- ásobek směrodaté odchylky σ (za ε dosadíme k.σ):, k 0 : k E k Řešeý příklad: Odhaděte pravděpodobost, že áhodá velča je od své středí hodoty vzdáleá o více ež 3σ. Řešeí: 0 : 3 E 3 ( 0,) Hledaá pravděpodobost epřekračuje %. (Je to opravdu hrubý odhad, srovejte s s pravdlem 6 sgma platým pro ormálí rozděleí.) Řešeý příklad: ravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost, že př vyrobeí 000 výrobků bude 400 600 zmetků. - 98 -
Řešeí:... počet zmetků v 000 výrobcích, proto: B 000;0,5 E. p 500; D. p. p 50; D 50 ravděpodobost, že počet zmetků bude v rozmezí 400 až 600 lze vyjádřt ve tvaru: 400 600 500 00 500 00 Vyjádříme-l s povoleou odchylku od středí hodoty (00) jako ásobek směrodaté odchylky ( 50 ), můžeme z Čebyševovy erovost zjstt, že: 00 500 00 500 50 0, 05 z čehož lze jedoduše odvodt, že: 50 00 50 400 600 0, 975 50 0000 (Je-l 500 00 0, 05, pak 500 00 0,975 ( 0,05) přpomeňme, že jde o velce hrubý odhad., ). Zovu s Výklad: 7.3 Záko velkých čísel Jako záko velkých čísel ozačujeme tvrzeí o kovergec průměru v posloupost áhodých velč. Záko velkých čísel:,,, jsou ezávslé áhodé velčy se stejým středím hodotam E E E. Jestlže defujeme jako:. j j ; N, pak posloupost koverguje podle pravděpodobost k μ. - 99 -
p, tj. lm Všměme s, že,,, emusí mít stejé rozděleí, a zároveň emáme žádé požadavky a jejch rozptyl. 7.3. Slý záko velkých čísel Nastává-l tato kovergece s pravděpodobost, mluvíme o slém zákou velkých čísel. Slý záko velkých čísel:,,, jsou ezávslé áhodé velčy se stejým středím hodotam E E E. Jestlže defujeme jako:. j j ; N, pak posloupost koverguje podle pravděpodobost k μ skoro jstě: lm 7.3. Slabý záko velkých čísel Slabý záko velkých čísel posthuje (oprot slému zákou velkých čísel) slabší formu kovergece (kovergece odchylek průměru od jeho středí hodoty), máme př ěm však také slabší požadavky a ezávslost áhodých velč. Slabý záko velkých čísel:,,, jsou ekorelovaé áhodé velčy se stejým středím hodotam E E E a koečým rozptyly, pak: 0 : lm E růvodce studem: Následující pasáž je věováa důkazu platost zákoa velkých čísel (pro zájemce): Víme, že: E E E - 00 -
D D D Je-l:. j j ; N, pak a základě vlastostí středí hodoty a rozptylu můžeme tvrdt, že: E, D D 0 : E, Čebyševova erovost říká, že: což můžeme zapsat taktéž jako: 0 : E Aplkujeme-l tuto erovost a áhodou velču, dostaeme: 0 :, po úpravě: 0 : V dalším kroku určíme lmtu pro z výše uvedeého výrazu: lm D lm lm, což zameá, že posloupost koverguje podle pravdě-podobost k μ Výklad: Důsledkem zákoa velkých čísel je Beroullho věta. 7.3.3 Beroullho věta Beroullho věta říká, že relatví četost sledovaého jevu stochastcky koverguje (koverguje podle pravděpodobost) k jeho pravděpodobost. To ám umožňuje expermetálě odhadovat ezámou pravděpodobost pomocí pozorovaé relatví četost (vz. klascká defce pravděpodobost). - 0 -
Beroullho věta: Nechť,,... jsou ezávslé áhodé velčy s alteratvím rozděleím (počet úspěchů v jedom pokusu) s parametrem p (pravděpodobost úspěchu), jestlže defujeme jako: pak. j j ; p N, p Jelkož výraz a levé straě představuje relatví četost výskytu uvažovaé událost v posloupost pokusů, můžeme př velkém počtu pokusů odhadovat pravděpodobost astoupeí ějaké událost relatví četostí výskytu této událost v posloupost pokusů. růvodce studem: A opět zde máme objasěí matematckého pozadí výše uvedeé věty. Odvozeí Beroullho věty: Víme, že: E E A p E D D D p. p p Je-l: j; j N, pak B; p Jestlže defujeme jako: (součet alteratvích áhodých velč s parametrem p (počet úspěchů v jedom pokusu) je bomckou áhodou velčou s parametry a p (počet úspěchů v pokusech). j j ; N, pak ozačuje relatví četost výskytu událost a podle zákoa velkých čísel posloupost (relatví četost) koverguje podle pravděpodobost k pravděpodobost p (středí hodotě E ), tz. že pro velká můžeme pravděpodobost odhadovat relatví četostí. p p, tj. lm p - 0 -
Výklad: 7.4 Cetrálí lmtí věta V předcházejícím výkladu jsme se zmíl o tom, že mmořádě důležté postaveí mez rozděleím má rozděleí ormálí. Je tomu tak mmo jé proto, že k ormálímu rozděleí se za určtých podmíek blíží já rozděleí áhodých velč. O áhodých velčách, jež kovergují v dstrbuc k ormálímu rozděleí (áhodé velčy, jejchž dstrbučí fukce pro velká koverguje k dstrbučí fukc ormálího rozděleí), říkáme, že mají asymptotcky ormálí rozděleí. Kovergecí rozděleí k ormálímu rozděleí se zabývá cetrálí lmtí věta, která má dvě dílčí formulace: Ldebergovu-Lévyho větu a Movreovo- Laplaceovu větu. 7.4. Ldebergova-Lévyho věta odle této věty má pro dost velké součet průměr áhodých velč se stejým rozděleím, stejým průměrem a stejým rozptylem přblžě ormálí rozděleí. Ldebergova-Lévyho věta Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé velčy se stejým (lbovolým) rozděleím, stejým středím hodotam E E E a se stejým (koečým) rozptyly D D D, pak platí: Y lm ( Y u) u (Y má asymptotcky ormálí rozděleí N(0,), ( u u v dstrbuc k rozděleí N(0,)) FY Z této věty bezprostředě vyplývá, že pro dostatečě velká platí: ), tj. Y koverguje. E ; D, rozděleí áhodé velčy lze aproxmovat rozděleím N ; asymptotcky ormálí rozděleí, N;., tj. má - 03 -
odobý závěr platí pro :. E ; D rozděleí áhodé velčy lze aproxmovat rozděleím asymptotcky ormálí rozděleí, N ;. N ;, tj. má Řešeý příklad: Dlouhodobým průzkumem bylo zjštěo, že doba potřebá k objeveí a odstraěí poruchy stroje má středí hodotu 40 mut a směrodatou odchylku 30 mut. Jaká je pravděpodobost, že doba potřebá k objeveí a opraveí 00 poruch epřekročí 70 hod? Řešeí:... doba potřebá k objeveí a odstraěí -té poruchy Víme, že: E = 40 mut a D =30 mut, rozděleí áhodé velčy ezáme... celková doba do objeveí sté poruchy 00 Na základě Ldebergovy-Lévyho věty víme, že součet áhodých velč se stejým rozděleím (emusíme vědět jakým), stejým středím hodotam a stejým rozptyly můžeme aproxmovat ormálím rozděleím s parametry: E, D, proto: N 00 40;00 30 Nyí jž eí problém určt hledaou pravděpodobost (esmíme je zapomeout a užíváí stejých jedotek, v ašem případě mut (70h = 400 mut): 400 4000 400 F400 0,67 0, 749 90000-04 -
Řešeý příklad: Žvotost elektrckého holícího strojku Adam má expoecálí rozděleí se středí hodotou roky. Určete pravděpodobost, že průměrá žvotost 50-t prodaých strojků Adam bude vyšší ež 7 měsíců. Řešeí:... žvotost -tého holícího strojku Adam Exp E roky rok... průměrá žvotost 50-t strojků Adam D 4 rok 50 50 50 50 Z Ldebergovy-Lévyho věty víme, že: N ; V ašem případě: 50 4 N; 50 50 Nyí, když záme rozděleí průměré žvotost 50-t strojků Adam, můžeme řešeí dokočt (7 měsíců =,5 roků):,5,5,5 F,53 0,937 0, 063 4 50 Výklad: Specálím případem tvrzeí o kovergec součtu stejě rozděleých áhodých velč (se stejým průměrem a stejým rozptylem) k rozděleí ormálímu je Movreova - Laplaceova věta. - 05 -
7.4. Movreova-Laplaceova věta Tato věta vyjadřuje kovergec bomckého rozděleí k ormálímu rozděleí. Stačí s uvědomt, že bomcká áhodá velča je součtem alteratvích áhodých velč (ezávslé áhodé velčy se stejým rozděleím, stejou středí hodotou a stejým rozptylem) a tudíž splňuje předpoklady Ldebergovy-Lévyho věty. roto j lze pro p; p p dostatečě velká aproxmovat orm. rozděleím s parametry: Movreova-Laplaceova věta Nechť B; p; E p; D p- p, potom pro velká platí, že: U p N(0,), p( p) tj. jak řečeo: pro dostatečě velká : Np p p ;. Aproxmace bomckého rozděleí ormálím se zlepšuje s rostoucím rozptylem. oměrě dobré výsledky dává tato aproxmace v případě, že: 7.5 Aplkace cetrálí lmtí věty p p 9 ebo m p ; p 5 Cetrálí lmtí věta se šroce využívá pro většu rozděleí. 7.5. Aproxmace rozděleí výběrové relatví četost ormálím rozděleím Máme-l Beroullho pokusů, př kterých astae k výskytů ějaké událost, můžeme určt výběrovou relatví četost p: p k, A kde mají alteratví rozděleí s parametrem π (, D ). Na základě Ldebergovy-Lévyho věty můžeme kostatovat, že součet alteratvích áhodých velč se stejým středím hodotam a stejým rozptyly můžeme aproxmovat rozděleím ormálím s parametry: E D. E,, N ; (Ke stejému závěru dojdeme a základě Movreovy-Laplaceovy věty, uvědomíme-l s, že součet alteratvích áhodých velč má rozděleí bomcké.) - 06 -
Zároveň z Ldebergovy-Lévyho věty vyplývá, že průměr áhodých velč (výběrovou relatví četost p) lze také aproxmovat ormálím rozděleím, tetokrát s parametry: D E,. p N ( ), Na základě stadardzace (převodu a ormovaé ormálí rozděleí) pak můžeme také říc, že: p N (0,) ( ) 7.5. Aproxmace ossoova rozděleí ormálím rozděleím Také ossoovo rozděleí můžeme ahradt rozděleím ormálím v případě, že časový terval 0 ;t je dostatečě velký a tudíž je dostatečě velký očekávaý počet událost (středí hodota) λt: o t, E t, D t pak pro dostatečě velké t platí, že můžeme aproxmovat ormálím rozděleím s parametry: t, t : N t, t Obdobě platí, že průměrý počet výskytu událost za časovou jedotku lze aproxmovat ormálím rozděleím: Y... počet výskytu událost za časovou jedotku, Y t Uvažujeme-l, že lze aproxmovat ormálím rozděleím, N t, t, pak áhodou velču Y, daou jako fukc áhodé velčy, lze aproxmovat ormálím rozděleím, jehož parametry jsou: t, t t t : t Y N, t ř využtí této aproxmace s uvědomme, že průměrý počet událost (Y) můžeme vztahovat k lbovolé ohračeé oblast (eje časové) apř. k ploše. - 07 -
růvodce studem: Tato pasáž je opět věováa zájemcům o hlubší pochopeí studovaé problematky. roč můžeme ossoovo rozděleí aproxmovat ormálím? Teto důkaz je obdobý jako důkaz ossoovy věty (odvozeí pravděpodobostí fukce ossoova rozděleí): Uvažujme ossoův proces, který je pozorová v průběhu času t. ředpokládejme, že rychlost výskytu událostí je λ. otom pravděpodobost výskytu událostí během tervalu (0;t) bude úměrá hodotě λt. Nyí rozdělíme terval délky t a subtervalů stejé délky (t/). Výskyt událostí v každém z těchto subtervalů bude ezávslý a pravděpodobost výskytu událostí během jedoho tohoto malého tervalu bude úměrá hodotě (λ.(t/)). okud je dostatečě velké číslo, pak délka tervalu (t/) bude dostatečě malá - atolk, že pravděpodobost výskytu více ež jedé událost v tomto tervalu je téměř ulová a pravděpodobost výskytu jedé událost je úměrá (λ.(t/)). Nechť je počet výskytu událost v -tém subtervalu. Je zřejmé, že má alteratví rozděleí s parametrem p=λ.(t/). t A ; E t t t ; D Je-l defováa jako počet výskytu událost během časového tervalu (0;t), pak má tato áhodá velča ossoovo rozděleí s parametrem λt. o t Zároveň můžeme áhodou velču vyjádřt jako součet áhodých velč, a tudíž j můžeme podle cetrálí lmtí věty aproxmovat ormálím rozděleím: E E t; D D t t t lm lm t t N t;t - 08 -
Výklad: 7.6 Oprava a spojtost Chceme-l určovat pravděpodobost výskytu dskrétí áhodé velčy a tervalu a; b (resp. (a; b, resp. a; b, resp. b ;), popř. pravděpodobost, že áhodá velča abude kokrétí hodoty, zavádí se pro přesější výpočet tzv. oprava a spojtost. Oprava a spojtost bude prezetováa v ásledujícím řešeém příkladu. Řešeý příklad: Na telefoí ústředu je apojeo 3000 účastíků. Každý z ch bude volat telefoí ústředu během hody s pravděpodobostí 0%. Jaká je pravděpodobost, že během ásledující hody zavolá ústředu: a) právě 300 účastíků? b) více ež 30 účastíků? c) mez 00 a 450 účastíky(včetě)? Řešeí: počet účastíků volajících ústředu během ásledující hody (z 3000) Z defce áhodé velčy je zřejmé, že má bomcké rozděleí: B3000;0, jehož pravděpodobostí fukce je: k p k p k k 300 3000 3000! 0, 300 700! 300! ada) 3000 300 300 700 300 0, 0, 0, 9, Zde arážíme a problém. S pomocí kalkulačky edokážeme určt žádý z výše uvedeých faktorálů. roto v tomto případě provedeme alespoň přblžý výpočet (aproxmac). Z Movreovy-Laplaceovy věty víme, že bomcké rozděleí můžeme aproxmovat rozděleím ormálím: Movreova-Laplaceova věta: Nechť B; p; E p; D p- p Np; p p, pak dostatečě velká : - 09 -
V ašem případě: B 3000;0, ; E 3000 0, 300; D 3000 0, 0,9 70, proto mohu aproxmovat ormálím rozděleím s parametry μ=300; σ =70 N(300;70) Nyí musíme vyřešt ještě jedu komplkac. ř aproxmac dskrétí áhodé velčy spojtou dochází k tomu, že výpočet pravděpodobostí fukce elze jedoduše provést (pravděpodobostí fukce spojté áhodé velčy je ulová). roto se provádí tzv. oprava a spojtost. 300 0 Je-l defováo jako počet účastíků volajících během ásledující hody ústředu, můžeme tvrdt, že pravděpodobost, že příští hodu bude volat 300 účastíků je stejá jako pravděpodobost, že bude volat alespoň 99,5 a méě ež 300,5 účastíků. (V tervalu 99,5;300,5) je pouze 300 účastíků.) 300 99,5 300,5 99,5 300,5 jž eí pro spojtou áhodou velču ulová a tak můžeme provést aproxmačí výpočet. Této úpravě se říká oprava a spojtost. 300 99,5 300,5 300,5 99,5 F 300,5 F99,5 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,5 0,04 300,5 300 99,5 300 70 70 3000 k 3000 k k adb) 30 0, 0, - 0, 0, k 3 3000 k 30 k 0 3000 k 3000 k I zde astává problém. Vdíme, že vyčísleí příslušých součtů (sum) by ám zabralo spoustu času (pokud bychom to vůbec s pomocí kalkulačky dokázal). roto v tomto případě přstoupíme k přblžému výpočtu (aproxmac). Nyí můžeme provést přblžý výpočet: 30 30 N(300;70) - 0 -
Zovu astává problém způsobeý aproxmací dskrétího rozděleí spojtým a proto zde přstoupíme k opravě a spojtost: 30 30 30,5 30,5 300 30 F(30,5) 0,64 0,739 0, 6 70 k adc) 00 450 0, 0, 450 k00 3000 k 3000 k Opět máme ve výše uvedeém vztahu velký počet sčítaců a vysoké faktorály, proto hledáme přblžý výsledek pomocí cetrálí lmtí věty (Movreovy-Laplaceovy věty). Zároveň zde budeme provádět opravu a spojtost: 00 450 450 00 450,5 00 F 450,5 F00 9,6 6,09 9,6 6,09 9,6 6,09 450,5 300 00 300 70 70 oužtá aproxmace ám dává velm dobré výsledky (velm blízké skutečým), protože je splěa podmíka, že: p 9 7 9. p Řešeý příklad: Sekretářka etra píše a stroj rychlost 50 úhozů / m. ř této rychlost udělá průměrě 3 chyby za 0 mut. Jaká je pravděpodobost, že př 30-t mutovém dktátu udělá více ež 0 chyb? Řešeí: Defujme s áhodou velču jako počet chyb v dktátu (za 30 mut). Tato áhodá velča (počet událost v časovém tervalu) má ossoovo rozděleí s parametrem λt = 9 (průměrý počet chyb za 30 mut, = E = D). 0 k 9 k! o9 0 9 0! 0 9 0! 9 9 0 0 e e 0,706 0, 94 k 0 9! - -
Teto výpočet byl poěkud pracý. roveďme srovávací výpočet pomocí cetrálí lmtí věty: Víme, že ossoovu áhodou velču s parametrem λt můžeme aproxmovat pro dostatečě velká λt ormálím rozděleím s parametry: μ = λt, σ = λt. ak: N 9;9 0 0 0,5 F0,5 0,5 0,69 0,309 0,5 9 9 Vyhodoceí aproxmace pro teto případ: Aproxmačí postup byl mohem rychlejší, výsledky obou postupů se ám lší o,5%, což je as 5% -í chyba (0,05/0,94). Výklad: Oprava a spojtost (u pravděpodobostí fukce): Je-l dskrétí áhodá velča, pak: a a 0,5 a 0,5 Hodota 0,5 ve výše uvedeém vztahu je dáa dohodou. Teoretcky bychom mohl tuto a a 0,3 a 0,. komplkac vyřešt apříklad takto: Obecě oprava a spojtost: osouzeí vhodost použtí opravy a spojtost provádíme vždy př řešeí kokrétího příkladu důsledým převodem pravděpodobost výskytu áhodé velčy a ějakém tervalu a vztah mez dstrbučím fukcem v příslušých bodech. - -
Shrutí: V této kaptole jsme se věoval lmtím větám, tj. tvrzeím, která jsou důležtá pro pops pravděpodobostích modelů v případě rostoucího počtu áhodých pokusů.. ro oretac v této problematce jsme se sezáml s ěkolka ovým pojmy: Jestlže posloupost áhodých velč koverguje podle pravděpodobost k áhodé velčě, pak: 0: lm Jestlže posloupost áhodých velč { } koverguje k áhodé velčě v dstrbuc, pak: lm ( x) F( x), F F(x) v tomto případě azýváme asymptotckou dstrbučí fukcí. Velce hrubý odhad pravděpodobost odchylky áhodé velčy od její středí hodoty ám umožňuje Čebyševova erovost: 0 : D E Chceme-l odhadout pravděpodobost, že odchylka áhodé velčy od její středí hodoty je k ásobkem směrodaté odchylky k, pak použjeme upraveou verz Čebyševovy erovost, kdy za ε dosadíme k.σ:, k 0 : k E k Kovergec průměru v posloupost ezávslých velč se zabývá záko velkých čísel, který říká, že průměr ezávslých áhodých velč se stejým středím hodotam koverguje podle pravděpodobost k jejch středí hodotě. Důsledkem zákoa velkých čísel je Beroullho věta. Beroullho věta říká, že relatví četost sledovaého jevu koverguje podle pravděpodobost k jeho pravděpodobost. To ám umožňuje expermetálě odhadovat ezámou pravděpodobost pomocí pozorovaé relatví četost (vz. klascká defce pravděpodobost). Kovergecí rozděleí k ormálímu rozděleí se zabývá cetrálí lmtí věta, která má dvě dílčí formulace: Ldebergovu-Lévyho větu a Movreovo-Laplaceovu větu. Ldebergova-Lévyho věta říká, že pro dost velké má součet průměr áhodých velč se stejým rozděleím, stejým průměrem a stejým rozptylem přblžě ormálí rozděleí: - 3 -
Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé velčy se stejým (lbovolým) rozděleím, stejým středím hodotam E E E a se stejým (koečým) rozptyly D D D, pak platí: N ; N ; Movreova-Laplaceova věta vyjadřuje kovergec bomckého rozděleí k ormálímu rozděleí: Nechť B; p, pak: pro dostatečě velká : Np; p p řčemž poměrě dobré výsledky dává tato aproxmace v případě, že: p p 9 ebo m p ; p 5 Mez důležté aplkace cetrálí lmtí věty pak patří možost aproxmace výběrové relatví četost ormálím rozděleím: p N;, možost aproxmace ossoova rozděleí rozděleím ormálím: Nechť ot rozděleím s parametry: N t, t, pak pro dostatečě velké t můžeme aproxmovat ormálím a možost aproxmace průměrého počtu událost za časovou jedotku ormálím rozděleím: Nechť Y je průměrý počet výskytu událost za časovou jedotku, pak: Y N, t Na závěr zbývá přpomeout, že chceme-l dostat co ejlepší výsledky př aproxmac dskrétího rozděleí rozděleím spojtým, ezapomeeme př výpočtech a opravu a spojtost. - 4 -
Otázky. Vysvětlete pojmy: kovergece podle pravděpodobost, kovergece v dstrbuc.. Co je to Čebyševova erovost a jak j můžeme využít? 3. Vysvětlete záko velkých čísel s ohledem a relatví četost výskytu ějaké událost v posloupost pokusů (Beroullho věta)? 4. Co říká cetrálí lmtí věta (Ldebergova-Lévyho věta, Movreova-Laplaceova věta)? 5. Jak můžeme použít cetrálí lmtí větu k aproxmac rozděleí ossoova (popřípadě bomckého) rozděleím ormálím? 6. Jak můžeme pomocí cetrálí lmtí věty aproxmovat výběrovou relatví četost? 7. Kdy se používá oprava a spojtost? - 5 -
Úlohy k řešeí. Farmář prodává brambory po koších. Váha koše má logartmcko-ormálí rozděleí se středí hodotou 7,80 kg a směrodatou odchylkou,76 kg. Jaká je pravděpodobost, že celková váha pět košů brambor bude vyšší ež 90 kg?. Zaměstac jstého podku mají árok a jede de plě hrazeé emoceské měsíčě. Jestlže víme, že zaměstac s vybírají cca 0,78 dí měsíčě ( a zaměstace ) a v podku pracuje 0 zaměstaců, jaká je pravděpodobost, že s zaměstac příští měsíc budou árokovat více ež 95 dí? 3. V továrě a výrobu žárovek bylo př výstupí kotrole zjštěo, že žvotost žárovky je (600 50) hod. Jaká je pravděpodobost, že vybereme-l áhodě 00 žárovek, tak jejch průměrá žvotost bude žší ež 560 hod? 4. Majtel kosku a tramvajové zastávce odhadul, že 5% zákazíků s kupuje hamburger. Ve středu akupovalo v daém kosku 375 zákazíků. Jaká je pravděpodobost, že bylo prodáo více ež 65 hamburgerů? 5. Místí frma kompletuje počítače C. růměrá doba potřebá k sestaveí jedoho počítače je 35 mut. Ve frmě se kompletováím se pracuje 8 hod deě, 0 dí měsíčě. Jaká je pravděpodobost, že příští měsíc zaměstac sestaví: a) více ež 300 počítačů b) mez 50 a 75 počítač 6. Frma Y se zabývá výrobou moblích telefoů. 5% výrobků je př výstupí kotrole vyřazeo v důsledku výrobích vad. Jaká je pravděpodobost, že v kotrolí sér 500 telefoů bude: a) méě ež 30 vadých kusů b) mez.5% a 7.5% vadých kusů 7. řed volbam je v populac státu 5% přízvců koalčích stra. Jaká je pravděpodobost, že průzkum veřejost rozsahu 500 ukáže esprávě převahu opozce? 8. ravděpodobost zásahu letícího cíle střelcem je 0,95. Jaká je pravděpodobost, že počet zásahu ve 00 pokusech bude alespoň 97? 9. ř zásahu jádra atomu určtého prvku dojde s pravděpodobostí 0% k vyzářeí jsté částce. a) Kolem jaké středí hodoty bude kolísat počet vyzářeých částc př zásahu 00 jader? b) Odhaděte terval, v ěmž se bude pohybovat počet vyzářeých částc př zásahu 00 jader s pravděpodobostí 99,9%. - 6 -
Řešeí:. 0,5 0, 40.,79 0, 037 3.,6 0, 055 4.,34 0, 090 (aplkováa oprava a spojtost) 5. a),58 0, 057 b) 0,04,47 0, 445 (aplkováa oprava a spojtost) (aplkováa oprava a spojtost) 6. a),03 0, 848 b),56 0, 99 7.,55 0, 06 8. 0,9 0, 79 9. a) E 0; 3 9 0, b) 999-7 -