Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost Stručá aotace: Výuový materiál je zaměře a zopaováí učiva o ombiatorice. Časová dotace: x 45 mi. Teto výuový materiál byl vytvoře v rámci projetu Přírodí vědy praticy a v souvislostech iovace výuy přírodovědých předmětů a Gymáziu Jaa Nerudy (číslo projetu CZ..7/3..00/36047) fiacovaého z Operačího programu Praha - Adaptabilita.
Nejprve doplňte a podtržeá prázdá místa v celém prac. listu ěterý z těchto výrazů. Každý výraz použijete je jedou. Poté vypočtěte a zotrolujte řešeý přílad, vždy te. z daé trojice a poté vypočtěte ostatí přílady. -tice uspořádaých ejvýše jedou...!!! euspořádaá -rát uspořádaá prvího uspořádaá -rát prvů aspoň jedou -tý bez opaováí euspořádaá A) Kombiatoricé pravidlo součiu. Počet všech -tic, jejichž prví čle lze vybrat způsoby, druhý čle po výběru čleu způsoby atd. až čle po výběru všech předcházejících čleů způsoby, je rove... Situaci můžeme zázorit pomocí přihráde ebo chlívečů, de e aždému chlíveču přiřadíme číslo, teré vyjadřuje, z olia možostí můžeme do daého chlíveču vybrat. Čísla pod chlívečy poté mezi sebou vyásobíme. počet možostí je.... Kolia způsoby si můžeme sestavit oběd, jestliže máme a výběr ze 3 předrmů, hlavích jídel a 4 moučíů. 3 4 počet způsobů je 3 4 4. Tereza má v šatíu 5 halee, 4 suě a 3 abáty. Každé ráo si vybere jedu haleu, jedu sui a abát. Kolia růzými způsoby se může obléout? 3. Dvě hoejová družstva, z ichž jedo má a druhé 5 hráčů, si po zápase stisou ruu: aždý hráč z jedoho družstva stise ruu aždému hráči z druhého družstva. Koli stisů ruy proběhlo? B) Variace -té třídy z prvů bez opaováí. Variace -té třídy z prvů je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše jedou.
V ;!! 4. a) Mistrovství se účastí 8 atletů, uděluje se zlatá, stříbrá a brozová medaile. Kolia růzými způsoby mohou být medailové pozice obsazey? 8 7 6 Medaileové pozice mohou být obsazey 87 6 4896 způsoby. b) Kolia růzými způsoby mohou být medailové pozice obsazey, jestliže zlatou medaili zísá jede ze tří favoritů? 3 7 6 Medaileové pozice mohou být obsazey 37 6 86 způsoby. 5. Ve třídě je 8 žáů. Na začátu rou je třeba vybrat předsedu třídy, jeho zástupce, poladía a správce facebooové stráy. Koli je možých růzých čtveřic? 6. Koli je pěticiferých čísel sestaveých z číslic až 9, v ich se žádá číslice eopauje? C) Variace -té třídy z prvů s opaováím. Variace -té třídy z prvů s opaováím je uspořádaá ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše. Počet variací s opaováí je sestaveá z těchto prvů V ; 7. V testu je 0 otáze, aždá má 4 možé odpovědi. Kolia růzými způsoby můžeme test vyřešit, jestliže u aždé otázy zašrtáváme pouze jedu odpověď. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 Počet způsobů vyřešeí je 4. 8. Pozávací zača aut v Praze má prví písmeo A, pa další dvě písmea a 4 číslice. Koli růzých poz. zače lze vytvořit? (Písme je 3). 9. Fracouzsý básí Raymod Queeau apsal dílo s ázvem Sto tisíc miliard básí. Kiha má 0 stra, a aždé je 4 veršů. Každá straa je rozstříhaá ta, aby aždý verš byl a samostatém ousu. Čteář si může sestavit vlastí báseň ta, že vezme. verš z jedé
z 0 stra, druhý verš zase z jedé z 0 stra a ta dále až si vybere posledí verš. Je ázev ihy ospravedlěý? D) Permutace. Permutace z prvů je aždá -čleá variace z těchto prvů. P... Počet permutací z je! 0. 8 studetů se zapisuje e zoušce a te samý termí. Koli je růzých možostí, v jaém se zapíšou pořadí? Možých pořadí je 8! 4030.. Čísla 5, - a 3 jsou řešeím soustavy tří rovic o třech ezámých. Koli je všech možých trojic, teré mohou být řešeím soustavy?. Ve třídě 3.C je 8 studetů a 8 míst sezeí. Kolia způsoby lze vytvořit zasedací pořáde? E) Permutace s opaováím. Permutace s opaováím z prvů je ta, že aždý se v í vysytuje. -tice sestaveá z těchto prvů je počet růzých prvů je počet všech prvů, jejichž pořadí zoumáme. Počet P,,...,!...!...! 3. Kolia způsoby můžeme srovat do řady 3 bílé osty, 4 modré a 5 čerých oste? 3 3, 4, 3 5 tedy 3 4 5 P 3,4,5 4. Koli přesmyče slova ADRIANA můžeme vytvořit? Přesmyča je ové slovo, vytvořeé přesupeím písme. Nová slova emusejí dávat smysl. 5. Určete počet všech deseticiferých přirozeých čísel, jejichž ciferý součet je rove třem. Koli z ich je sudých? F) Kombiace. -čleá ombiace z prvů je aždý se v í vysytuje. -tice sestaveá z těchto prvů ta, že Počet všech -čleých ombiací z prvů je C,
6. Kolia způsoby lze rozdat 5 aret ze 3? 7. U výtahu, do ěhož můžou astoupit ejvýše tři osoby, stojí pět osob. Koli je možých trojic, teré mohou astoupit? Koli je možých dvojic, teré zůstaou veu? 8. Kolia způsoby lze vybrat 4 studety z 8? G) Kombiace s opaováím -čleá ombiace z prvů je -tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše. C, 9. Kolia způsoby lze rozmístit 3 stejé uličy do čtyř rabiče? Všechy možosti vypište a ověřte vzorec. 4 3 6 C 3,4 0 3 3 0. Kolia způsoby lze rozdělit 5 boboů mezi 0 dětí?. V obchodě jsou je 4 růzé čoolády. Chceme jimi podarovat 8 přátel. Koli je způsobů? Další přílady. Koli růzých «slov» o 5 písmeech je možé vytvořit z písme A,B, C, D, E a F (písmea se mohou opaovat), de... a) bez další podmíy b) B je a druhé místě c) C eí a třetím místě d) D eí a druhém místě, ale slovo očí a A e) slovo očí BA f) slovo eočí BA g) eí písmeo A h) je pouze jedo F i) je písmeo E ebo D a druhém místě j) slovo tvoří palidrom (zepředu i zezadu se čte stejě) ) obsahuje je písmea E a F l) obsahuje je dvě růzá písmea m) jsou právě dvě B 3. Kolia způsoby lze přemístit písmea slava Mississippi? Koli z ich ezačíá písmeem M? 4. Ze všech bílých šachových figure bez rále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme a) dvojici b) trojici Jaý je počet možostí pro jejich složeí? 5. Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, jež lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v aždém být číslice 5 a) právě třirát b) ejvýše třirát c) aspoň třirát 6. V železičím depu je dvacet osobích, sedm lůžových a pět poštovích vozů. Koli růzých souprav s pěti vozy je možo v tomto depu sestavit, jestliže ezáleží a pořadí vozů v soupravě? Zdroje : maths-simplifie.meabilis.fr carolia.mff.cui.cz/~jaa/ombiatoria/
Řešeí Doplěo v tomto pořadí : uspořádaých prvího -tý bez opaováí uspořádaá... -tice -rát prvů uspořádaá aspoň jedou euspořádaá ejvýše jedou!!!!!! euspořádaá -rát. 4. 60 3. 80 4. 4896, 86 5. 49400 6. 50 7. 0 4 8. 9. 3 0 4 4 0 0. 8! 4030. 3! 6. 8!! 3. 770 3!4!.5! 4. 7! 3! 5. 55,46 3 6. 5 7. 3 8 8. 4 4 3 3 6 3 9. C3,4 0 =0 4 5 0. C 5,0 8. C 8,4. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 5 4 ) 0 3 4 l) 6 5 6 m) 5 3. P (,4,4,)=34 650 P (,4,4,)-P (4,4,)=3 500 4. C (,4)=0 C (3,4)-3=7 5. Pˇ(3,)=0 3 P (3,)+P (,3)+P (,4)+P(5)=6 P (3,)+P (4,)+P(5)=6 6. C (5,3)=