Stieltjesův integrál (Kurzweilova teorie)

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizce studijního progrmu Mtemtik n PřF Univerzity Plckého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Stieltjesův integrál (Kurzweilov teorie) Vybrné kpitoly z mtemtické nlýzy Kód předmětů KMA/VK1 (původně KMA/VKMA1) KMA/VK2 (původně KMA/VKMA2) Miln Tvrdý

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) Miln Tvrdý

,,Il semble donc que les sommes de Riemnn-Stieltjes ient encore un bel venir devnt elles en clcul intégrl, et qu elles pourront réserver encore, dns les mins d hbiles nlystes, d intéressntes surprises. Jen Mwhin

Obsh Předmluv 5 1 Úvod 9 Úmluvy oznčení 17 2 Funkce s konečnou vricí 21 2.1 Definice zákldní vlstnosti......................... 21 2.2 Prostor funkcí s konečnou vricí....................... 29 2.3 Konečná vrice spojitost.......................... 31 2.4 Derivce funkcí s konečnou vricí...................... 37 2.5 Skokové funkce................................ 38 2.6 Jordnův rozkld funkce s konečnou vricí................. 45 2.7 Bodová konvergence............................. 48 2.8 Vrice n elementárních množinách..................... 52 3 Absolutně spojité funkce 57 3.1 Definice zákldní vlstnosti......................... 57 3.2 Absolutně spojité funkce Lebesgueův integrál............... 62 3.3 Lebesgueův rozkld funkcí s konečnou vricí................ 66 4 Regulovné funkce 69 4.1 Definice zákldní vlstnosti......................... 69 4.2 Prostor regulovných funkcí některé jeho podprostory........... 74 4.3 Reltivní kompktnost v prostoru G[, b].................. 79 5 Riemnnův-Stieltjesův integrál 87 5.1 Definice zákldní vlstnosti......................... 87 5.2 Podmínk pseudoditivity její důsledky.................. 98 5.3 Absolutní integrovtelnost.......................... 104 5.4 Substituce................................... 109 5.5 Integrce per-prtes.............................. 112 5.6 Stejnoměrná konvergence existence integrálu............... 114 5.7 Bodová konvergence............................. 118 5.8 Dlší věty o existenci integrálu........................ 124 5.9 Věty o střední hodnotě............................ 129 5.10 Dlší integrály Stieltjesov typu....................... 130 5.11 Cvičení n závěr............................... 130 iii

iv OBSAH 6 Kurzweilův-Stieltjesův integrál 133 6.1 Definice zákldní vlstnosti......................... 133 6.2 Vzth k Riemnnovu-Stieltjesovu Perronovu-Stieltjesovu integrálu.... 141 6.3 Existence integrálu.............................. 149 6.4 Integrce per-prtes.............................. 165 6.5 Sksovo-Henstockovo lemm některé jeho důsledky............ 173 6.6 Neurčitý integrál............................... 175 6.7 Substituce................................... 178 6.8 Integrce n elementárních množinách.................... 181 6.9 Bodová konvergence............................. 190 6.10 Integrály mticových vektorových funkcí................. 197 6.11 Souvislost s dlšími typy integrálů...................... 199 7 Aplikce Stieltjesov integrálu ve funkcionální nlýze 203 7.1 Několik zákldních pojmů z funkcionální nlýzy.............. 203 7.2 Spojité lineární funkcionály n prostoru spojitých funkcí..................................... 204 7.3 Spojité lineární funkcionály n prostorech integrovtelných, resp. bsolutně spojitých funkcí............................. 212 7.4 Spojité lineární funkcionály n prostorech regulovných funkcí....... 214 7.5 Aplikce v teorii distribucí.......................... 220 8 Zobecněné lineární diferenciální rovnice 225 8.1 Úvod..................................... 225 8.2 Diferenciální rovnice s impulsy........................ 226 8.3 Lineární operátory.............................. 229 8.4 Existence řešení zobecněných lineárních diferenciálních rovnic.................................. 230 8.5 Zobecněné Gronwllovo lemm priorní odhdy řešení.......... 237 8.6 Spojitá závislost řešení n prmetrech existence řešení pro regulovné prvé strny.................................. 241 8.7 Fundmentální mtice............................. 246 8.8 Nehomogenní rovnice............................. 254 Litertur 261

Předmluv Tento text je vlstně pokrčováním monogrfie Štefn Schwbik,,Integrce v R (Kurzweilov teorie) [49] věnovné teorii integrálu přes jednorozměrné intervly. V této monogrfické učebnici se utorovi podřilo vysvětlit nejen klsické pojmy Newtonov i Riemnnov integrálu, le i integrálu McShneov především Kurzweilov. Poprvé byl tk širokému okruhu českých čtenářů (včetně studentů fkult s mtemticko-fyzikálním změřením) předložen ucelený výkld jednoho z nejuznávnějších příspěvků české mtemtiky do pokldnice světové mtemtiky: součtové definice nebsolutně konvergentního integrálu. Tto definice náleží Jroslvu Kurzweilovi poprvé ji uvedl v práci publiko- Thoms Jonnes Stieltjes Jroslv Kurzweil Štefn Schwbik vné v roce 1957 v čsopise Czechoslovk Mthemticl Journl (viz [29]). Nový integrál, který se dnes ve světové mtemtické litertuře nzývá integrál Kurzweilův, resp. integrál Kurzweilův-Henstockův (nezávisle n J. Kurzweilovi publikovl definici nlogického integrálu v roce 1960 specilist v teorii integrálu Rlph Henstock ze Spojeného království), se od té doby ukázl být velice inspirtivním nejen pro teorii integrálu (zhrnuje klsické dobře známé pojmy Riemnnov Newtonov integrálu včetně jejich nevlstních modifikcí obtížněji zvládnutelné integrály Lebesgueův Perronův), le i pro teorii diferenciálních integrálních rovnic. Z hledisk metodického důrz kldený n Kurzweilův integrál umožnil Š. Schwbikovi soustředit se n nebsolutně konvergentní integrály, které ve strší metodice teorie integrálu byly povžovány z velmi obtížně vysvětlitelné. Kurzweilův pojem integrálu je totiž ekvivlentní s integrálem Perronovým, který je nebsolutně konvergentní. Jeho definice přitom zdánlivě téměř mechnicky,,kopíruje definici Riemnnovu, která je pro student nejpřijtelnější svou názorností výrznou geometrickou interpretcí. Právě srovnání s Riemnnovou definicí všk ukzuje, jk důmyslná je její nenápdná, le přitom velmi účinná Kurzweilov modifikce. Velkou výhodou je rovněž ten rys Kurzweilov integrálu, že nepotřebuje zobecnění n nevlstní integrály pltí pro něj totiž vět Hkeov typu (tj. vět o limitním přechodu vzhledem k mezím integrálu). V integrálech Riemnnově, Newtonově, Lebesgueově, Perronově, Kurzweilově se integruje dná funkce vzhledem k identické funkci. Některé fyzikální problémy si všk vynutily rozšíření pojmu integrálu n integrál, ve kterém se dná funkce integruje vzhledem k funkci, která nemusí být obecně identit. Poprvé se tkový integrál vyskytl ve slvném 5

6 PŘEDMLUVA Stieltjesově pojednání [60] z let 1894 5, věnovném souvislostem konvergence řetězových zlomků problému, jk popst rozložení hmoty n hmotné úsečce, jsou-li známy všechny momenty této úsečky přirozených řádů. Integrály tohoto typu jsou od té doby nzývány Stieltjesovy integrály integrál funkce f (integrnd) vzhledem k funkci g (integrátor) přes intervl [, b] se od té doby znčí f d g. K různým modifikcím definice, které čsem vznikly, se pk přidávjí zprvidl jmén utorů těchto modifikcí. Brzy se objevily integrály: Riemnnův-Stieltjesův, Perronův-Stieltjesův či Lebesgueův-Stieltjesův. Dlším význmným impulsem, který obrátil pozornost ke Stieltjesovu integrálu, byl fundmentální Rieszův výsledek z roku 1909 (viz [43]) o tom, že kždý spojitý lineární funkcionál n prostoru spojitých funkcí může být vyjádřen pomocí Stieltjesov integrálu. Vzápětí, v roce 1910, dokázl H. Lebesgue (viz [31]), že pro spojitou funkci f funkci g s konečnou vricí lze pomocí vhodné substituce vyjádřit Stieltjesův integrál jko Lebesgueův integrál tvru v(b) f(w(t)) h(t) d t, kde v(x) je vrice funkce g n intervlu [, x], w je zobecněná inverzní funkce k v, w(t) = inf{s [, b] : v(s) = t} pro t [, b], h(t) = d g(w(t))/d t pro s.v. t [, v(b)]. H. Lebesgue tkto dospěl k pojmu Lebesgueov-Stieltjesov integrálu funkce f vzhledem ke g. Několik let po Rieszově výsledku se v roce 1912 objevuje Stieltjesův integrál tké v monogrfii O. Perron [42]. V dlších zhrub dvou desetiletích byl Stieltjesův integrál jeho modifikce předmětem bádání řdy význmných osobností teorie funkcí: W. H. Young ([69], 1914), C. J. de l Vllée Poussin ([64], 1917), E. B. Vn Vleck ([65],1917), T. H. Hildebrndt ([11], 1917), L. C. Young ([67], 1927 [68],1936), A. J. Wrd ([66], 1936) dlší. V roce 1933 věnovl S. Sks ve své slvné monogrfii [45] integrálu Lebesgueovu- Stieltjesovu funkcím s konečnou vricí celou kpitolu. Do dnešních dnů nšly integrály Stieltjesov typu široké upltnění v mnoh oblstech: npř. v teorii křivkových integrálů, teorii prvděpodobnosti, teorii hystereze, teorii funkcionálně-diferenciálních, zobecněných diferenciálních rovnic p. Historii teorie integrálu je věnován řd monogrfií. Není mi všk známo, že by se některá z nich věnovl zevrubněji historii Stieltjesov integrálu. Existuje dokonce i znmenité dílko v češtině,,mlý průvodce historií integrálu utorů Š. Schwbik P. Šrmnové, které je nyní díky České digitální mtemtické knihovně volně přístupné n internetu. Žel, ni sem se Stieltjesův integrál nevešel. Pro znlce frncouzštiny připomeňme lespoň historickou esej [38] J. Mwhin. Vzhledem k omezenému přidělenému rozshu nemohl Štefn Schwbik do své monogrfie zhrnout přirozené zobecnění Kurzweilov pojmu integrálu n Stieltjesovy integrály, č jsme v té době už měli,,kurzweilovu teorii Stieltjesov integrálu v nšich společných prcích (viz npř. [58]) věnovných zobecněným diferenciálním rovnicím do znčné míry zprcovánu připrvenu. Je mou ctižádostí nvázt n jeho počin doplnit jeho monogrfii o teorii Stieltjesov integrálu s důrzem n Kurzweilovu definici některé její plikce. Výkld v této knize je rozdělen do 8 kpitol. V úvodní kpitole jsou stručně popsány dvě z mnoh motivcí pro studium Stieltjesov integrálu: problém momentů křivkové integrály. Zvedeno je tu též zákldní znčení závzné pro celou knihu. Dlší tři kpitoly jsou příprvné poskytují přehled o vlstnostech tříd funkcí, se kterými se v této knize nejčstěji prcuje: funkce s konečnou vricí, funkce bsolutně spojité funkce regulovné.

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 7 Rozsáhlá pátá kpitol je věnován klsickým definicím Riemnnov-Stieltjesov integrálu vlstnostem tkto definovných integrálů. Jádrem celé knihy je pk kpitol 6 věnovná definici Stieltjesov integrálu v Kurzweilově smyslu. Jsou tu demonstrovány přednosti této definice: šíře třídy funkcí integrovtelných v tomto smyslu, široká škál vlstností tkto definovného integrálu, npř. pltnost velmi obecných vět o limitním přechodu včetně Hkeovy věty, o integrci per-prtes různých formách substituce. V závěrečných dvou kpitolách jsou popsány některé vybrné plikce ve funkcionální nlýze v teorii zobecněných diferenciálních rovnic. Smozřejmě bylo by možno pokrčovt dále. Podsttnou část zde vyložené teorie Kurzweilov-Stieltjesov integrálu je možno přenést i n integrci v bstrktních prostorech (viz [53] [56] [40]). Význmné upltnění nchází Kurzweilův-Stieltjesův integrál v dnes velmi populární teorii dynmických systémů n,,čsových škálách neboli,,time scles (česká terminologie se dosud neustálil), viz [59] [41]. To je všk už hudb budoucnosti do této publikce se už nic víc nevejde. I tk její stávjící rozsh výrzně převyšuje rozsh původně plánovný. Předkládným textem bych rád tké poněkud zplnil stávjící mezeru v české litertuře. V druhém dílu Integrálního počtu Vojtěch Jrník (viz [16]) jsou věnovány dvě kpitoly (III X) výkldu teorie integrálu Lebesgueov-Stieltjesov, který ovšem vyžduje znčnou porci znlostí o teorii míry přitom je méně obecný než integrál Kurzweilův- Stieltjesův. Celé monumentální zkldtelské dílo Vojtěch Jrník bylo právě zpřístupněno n webových stránkách České digitální mtemtické knihovny může tedy posloužit čtenářům k upřesnění některých zde pouze nznčených souvislostí s teorií míry. Pěkný, le stručný úvod do teorie Riemnnov-Stieltjesov integrálu je obsžen též v dnes již v podsttě nedostupných skriptech [18] J. Krále o teorii potenciálu z roku 1965. Podrobně je o různých formách Stieltjesov integrálu pojednáno v dnes již, bohužel, tké těžko dostupných skriptech [33] J. Lukeše. Je třeb tké zmínit rozsáhlý trktát J. Mřík [37] z roku 1952, který měl zejmén zásdní význm pro propgci Perronov i Perronov-Stieltjesov integrálu v nšich krjích. (Tké on je nyní dostupný n stránkách České digitální mtemtické knihovny.) Pokud jde o cizojzyčnou literturu, mohu doporučit čtenářům zjímjícím se o dlší souvislosti v rámci klsické teorie monogrfii [12] T. H. Hildebrndt tké nenápdnou, le moderně pojtou monogrfii R. M. McLeod [36] z roku 1981 zhrnující dokonce i Kurzweilův-Stieltjesův integrál. Dlší podněty může čtenář njít tké v monogrfiích A. N. Kolmogorov S. V. Fomin [17], E. Schechter [46], W. Rudin [44] nebo skriptech J. Lukeše J. Mlého [35]. Dvě náročné monogrfie [26] [27] J. Kurzweil z let 2000 2002 věnovné topologickým problémům souvisejícím s integrcí se stieltjesovské integrce přímo nedotýkjí. Integrály zobecněné diferenciální rovnice studovné v Kurzweilově nejnovější monogrfii [28] všk zhrnují Kurzweilův-Stieltjesův integrál i lineární zobecněné rovnice, kterými se zbýváme v kpitolách 6 8 této knihy. Vynikjícím doplňkem této publikce bude, kromě již zmíněné Schwbikovy monogrfie [49], tké jeho dlší monogrfie [48] věnovná speciálně zobecněným diferenciálním rovnicím. Tento text vznikl po několik let jko pomůck pro posluchče výběrových přednášek

8 PŘEDMLUVA n Přírodovědecké fkultě Plckého univerzity v Olomouci v rámci výuky mtemtické nlýzy. Jsem vděčen Ktedře mtemtické nlýzy plikcí mtemtiky Přírodovědecké fkulty Plckého univerzity z to, že mi umožňuje tyto přednášky kont, studentům několik ročníků z to, že bez viditelného reptání mé přednášky nvštěvovli. Knih by měl být srozumitelná všem, kdo bsolvovli zákldní kursy mtemtické funkcionální nlýzy. Ve výkldu se snžím vyhýbt teorii míry, jk je to jen možné. Nicméně ti, kteří mjí spoň zákldní znlosti o této oblsti, budou mít výhodu při porozumění některým (víceméně okrjovým) psážím této knihy. První stdium bylo zchyceno v knize [63], která se stl i zákldem pro tento text, který je zmýšlen jko opor pro přednášku Vybrné kpitoly z mtemické nlýzy, která je rozdělen n dvě části probírá se během zimního i letního semestru. Oproti knize [63], byly oprveny některé překlepy chyby, které se do ní dostly, v řdě přípdů jsem se i pokusil o vylepšení některých formulcí. Oproti knize byl do tohoto textu zhrnut nvíc i řd nových psáží. Zejmén se jedná o vrici n elementárních množinách, kriterium kompktnosti v prostoru regulovných funkcí, integrci přes elementární množiny nový důkz Osgoodovy věty. Během semestrálního kursu není možné probrt veškerý obsh tohoto textu. Při výkldu se v zimním semestru soustředíme n témtiku obsženou v kpitolách 2-4 n zčátku kpitoly 6. Zbývjící části kpitoly 6 dlším kpitolám se budeme věnovt v letním semestru ve druhé části této přednášky. Kpitoly 2-4 poskytují přehled o vlstnostech tříd funkcí, se kterými se v této přednášce nejvíce prcuje: funkce s konečnou vricí, funkce bsolutně spojité funkce regulovné. Rozsáhlá pátá kpitol je věnován klsickým definicím Riemnnov-Stieltjesov integrálu vlstnostem tkto definovných integrálů. Této témtiky se při přednášce dotkneme pouze okrjově uvedeme zákldní definice upozorníme n ty jejich vlstnosti, které se výrzně liší od vlstností integrálu, kterému se budeme zejmén věnovt který nzveme integrál Kurzweilův-Stieltjesův. Integrál Kurzweilův-Stieltjesův je hlvním objektem přednášky. Jeho definici zákldním vlstnostem je věnován objemná kpitol 6. Budeme demonstrovt přednosti této definice: šíře třídy funkcí integrovtelných v tomto smyslu, široká škál vlstností tkto definovného integrálu, npř. pltnost velmi obecných vět o limitním přechodu včetně Hkeovy věty, o integrci per-prtes různých formách substituce. Závěrečné dvě kpitoly jsou věnovány některým plikcím KS integrálu ve funkcionální nlýze terii zobecněných diferenciálních rovnic. Jk je obvyklé, odkzy n tvrzení či rovnice jsou dvoumístná čísl, první číslo oznčuje kpitolu, druhé pořdí v rámci kpitoly. Závěrem předmluvy chci poděkovt z velkou pomoc mým vzácným kolegům Jroslvu Kurzweilovi, Ireně Rchůnkové, Antonínu Slvíkovi, Jiřímu Šremrovi Ivo Vrkočovi, kteří podrobně přečetli rukopis tohoto textu pomohli mi odstrnit mnohé nedosttky vylepšit výkld. Text byl vysázen v systému LTeX s využitím některých prvků stylu vyvinutého v Instituto de Ciêncis Mtemátics e de Computção Universidde de São Pulo v São Crlos v Brzílii. Z jeho poskytnutí děkuji kolegyním Giselle Antunes Monteiro Jqueline Godoy Mesquit.

Kpitol 1 Úvod Z mnoh motivcí pro studium Stieltjesov integrálu jsou určitě důležité plikce ve fyzice geometrii: npř. momenty či křivkové integrály. Stručné seznámení s těmito plikcemi je obsženo v kpitole 1 knihy [63]. Zde si ještě všimněme motivce, kterou nám poskytuje funkcionální nlýz. Předpokládám, že posluchči již bsolvovli spoň zákldní kurs funkcionální nlýzy. Nicméně, připomeňme si zde některé potřebné pojmy: Necht X je Bnchův prostor s normou x X x X. Lineárním zobrzením prostoru X do prostoru R reálných čísel říkáme lineární funkcionály n X. Lineární funkcionál Φ n X se nzývá spojitý jestliže pro kždou posloupnost {x n } X prvků prostoru X tkovou, že pltí lim x n = x X n lim Φ(x n) = Φ(x). n Je známo, že lineární funkcionál Φ n X je spojitý právě tehdy, když je ohrničený, tj. existuje číslo K [0, ) tkové, že Φ(x) K x X pltí pro kždé x X. Prostor spojitých lineárních funkcionálů n Bnchově prostoru X znčíme X nzýváme duální (nebo též djungovný prostor) k X. Předpisem Φ X Φ X = sup { Φ(x) : x X, x X 1} je přirozeně definován norm n X X je vzhledem k této normě tké Bnchův prostor. Jednou ze zákldních otázek funkcionální nlýzy je nlezení representce spojitých lineárních funkcionálů n některých důležitých prostorech funkcí. Jedním z tkových prostorů je pochopitelně prostor C[, b] funkcí spojitých n uzvřeném ohrničeném intervlu [, b]. Je známo, že tento prostor je lineární prostor vzhledem k přirozeně definovnému součtu funkcí násobku sklárem je to Bnchův prostor vzhledem k supremální normě x := sup{ x(t) : t [, b]} pro x C[, b]. (1.1) Je známo, že konvergence posloupnosti {x n } C[, b] k funkci x C[, b] v topologii určené touto normou (tj. lim n x n x = 0) je ekvivlentní se stejnoměrnou konvergencí x n x n intervlu [, b]. Význmnou roli v teorii spojitých lineárních funkcionálů hrje vět Hhnov-Bnchov, která říká, že pro kždý podprostor Y Bnchov prostoru X lze kždý spojitý lineární funkcionál n Y rozšířit n spojitý lineární funkcionál n celém X, přičemž zůstne zchován jeho norm. Přesněji, pltí: 9

10 ÚVOD Necht X je Bnchův prostor Y X je jeho podprostor. Potom pro kždý spojitý lineární funkcionál Φ n Y existuje spojitý lineární funkcionál Φ n X tkový, že Φ(y) = Φ(y) pro y Y Φ X = Φ Y. (1.2) Bud tedy dán libovolný spojitý lineární funkcionál Φ n C[, b] necht M[, b] znčí množinu všech funkcí ohrničených n [, b]. M[, b] je zřejmě Bnchův prostor vzhledem k opercím normě definovným stejně jko v (1.1). Dále, protože je zřejmé, že limit stejnoměrně konvergentní posloupnosti spojitých funkcí je spojitá, C[, b] je uzvřený podprostor v M[, b]. Pro jednoduchost, pišme ndále X = M[, b] Y = C[, b]. Podle Hhnovy-Bnchovy věty můžeme funkcionál Φ rozšířit n celý prostor X, tj. existuje funkcionál Φ X tkový, že pltí (1.2). Položme p(t) = { 0 když t =, Φ(χ [,t] ) když t (, b] (1.3) kde χ [,t] je chrkteristická funkce intervlu [, t], tj. { 1 když t [, t], χ [,t] (s) = 0 když t (t, b ]. (Funkce χ [,t] je element prostoru X hodnot Φ(χ [,t] ) tedy i funkce p jsou tudíž dobře definovány.) Konečné množiny bodů σ = {σ 0, σ 1,..., σ m } intervlu [, b] tkové, že je = σ 0 < σ 1 < < σ m = b, nzýváme dělení intervlu [, b]. Nyní, kždé funkci x Y kždému dělení σ = {σ 0, σ 1,..., σ m } intervlu [, b] přiřd me po částech konsttní funkci x σ X předpisem x(σ 1 ) když t [, σ 1 ], x σ (t) = x(σ j ) když t (σ j 1, σ j ] j {2, 3,..., m}. Potom x(t) x(σ 1 ) když t [, σ 1 ], x(t) x σ (t) = x(t) x(σ j ) když t (σ j 1, σ j ] j {2, 3,..., m}. Tudíž x x σ ω(x, σ) := mx sup{ x(t) x(s), : t, s [σ j 1, σ j ]} (1.4),2,...,m

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 11 t.j. Φ(x) Φ( x σ ) = Φ(x) Φ( x σ ) = Φ(x x σ ) Φ X x x σ Φ Y ω(f, σ), Φ(x) Φ( x σ ) Φ Y ω(f, σ). (1.5) Funkci x σ můžeme vyjádřit jko lineární kombinci chrkteristických funkcí intervlů, tj. m x σ (t) = x(σ 1 ) χ [] (t) + x(σ j ) χ (σj 1,σ j ](t) pro t [, b]. Odtud, vzhledem k lineritě funkcionálu Φ k definici (1.3), dostneme Φ( x σ ) = x(σ 1 ) Φ(χ m [,σ1 ]) + x(σ j ) [ Φ(χ[,σj ]) Φ(χ [,σj 1 ]) ] j=2 = x(σ 1 ) [ p (σ 1 ) p () ] + = m x(σ j ) [ p (σ j ) p (σ j 1 ) ] j=2 m x(σ j ) [ p (σ j ) p (σ j 1 ) ], kde jsme nvíc použili evidentní vzthy χ (σj 1,σ j ] = χ [,σj ] χ [,σj 1 ] pro j = 2, 3,..., m. Odtud s pomocí (1.5) odvodíme postupně nerovnosti Φ(x) m x(σ j ) [ p (σ j ) p (σ j 1 ) ] Φ(x) = Φ( xσ ) Φ Y ω(x, σ). Pro kždou funkci x Y tedy pltí Φ(x) m x(σ j ) [ p (σ j ) p (σ j 1 ) ] Φ Y ω(x, σ). (1.6) Veličinu ω(x, σ) vyskytující se n prvé strně tohoto odhdu jsme definovli v relci (1.4). Protože kždá funkce spojitá n uzvřeného ohrničeném intervlu [, b] je n tomto intervlu stejnoměrně spojitá, vidíme z této definice, že pro kždou funkci x spojitou n intervlu [, b] můžeme volbou dělení σ intervlu [, b] udělt tuto veličinu

12 ÚVOD libovolně mlou. Přesněji řečeno: Pro kždou funkci x spojitou n [, b] kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že } ω(x, σ) < ε pro kždé dělení σ = {σ 0, σ 1,..., σ m } intervlu [, b] 1 (1.7) tkové, že σ := mx{σ j σ j 1 : j = 1, 2,..., m} < δ. Z odhdů (1.6) (1.7) usoudíme, že pro kždou funkci x C[, b] můžeme hodnotu Φ(x) libovolně přesně proximovt pomocí součtů tvru Σ σ := m x(σ j ) [ p (σ j ) p (σ j 1 ) ], přičemž přiblížení bude tím přesnější čím jemnější bude dělení σ, tj. čím menší bude jeho norm σ. Tyto úvhy nznčují, že vhodně definovná limitní hodnot výrzů Σ σ, kterou oznčíme funkcionálu Φ, t.j. bude Φ(x) = x d p x d p, pro x C[, b]. bude pro kždé x C[, b] rovn příslušné hodnotě Z nšich předchozích úvh si ovšem už můžeme domyslet jk by t vhodná definice by mohl vypdt: x d p = I R právě tehdy, když pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že nerovnost Σσ I < ε pltí pro kždé dělení σ intervlu tkové, že σ < δ. Tkto definovný objekt se nzývá Stieltjesův integrál funkce x vzhledem k funkci p. Není náhodou, že jeho definice velmi připomíná integrál Riemnnův, se kterým by studenti nvštěvující tento kurs již měli být obeznámeni. Podle nlogie s Riemnnovým integrálem je odtud už jenom krůček k definici, která se ukázl jko výhodná pro nejen pro explicitní vyjádření obecných spojitých funkcionálů n protoru spojitých funkcí: Dvojici (σ, ξ) nzveme znčeným dělením intervlu [, b], jestliže σ = {σ 0, σ 1,..., σ ν(σ) } je dělení intervlu [, b] ξ = {ξ 1, ξ 2,..., ξ ν(σ) } je množin bodů z [, b] tkových, že pltí σ j 1 ξ j σ j pro všechn j = 1, 2,..., ν(σ).

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 13 Prvkům tkové množiny ξ budeme říkt znčky dělení σ. Mějme dány dvě funkce x, p : [, b] R. Pro libovolné znčené dělení (σ, ξ) intervlu [, b] definujeme ν(σ) S(σ, ξ) := x(ξ j ) [p(σ j ) p(σ j 1 )] řekneme, že jestliže x d p = I pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že S(σ, ξ) I < ε pltí pro kždé znčené dělení (σ, ξ) tkové, že σ < δ. Veličinu p. x d p nzýváme Riemnnův-Stieltjesův integrál funkce x vzhledem k funkci Z teoretických důvodů je vhodné tuto definici ještě doplnit následujícím způsobem: jestliže c [, b] funkce x, p jsou definovány v bodě c, pk kldeme Existuje-li integrál c x d p, pk definujeme c x dp = 0. b x d p = poznáme i jiné ( obecnější) definice integrálu tohoto typu. x dp. Později ovšem ještě Podívejme se ještě podrobněji n funkci p, kterou jsme k dnému funkcionálu Φ přiřdili předpisem (1.3). Bud dáno libovolné dělení σ = {σ 0, σ 1,..., σ ν(σ) } intervlu [, b]. Podle definice (1.3) je kde ν(σ) ν(σ) p(σ j ) p(σ j 1 ) = Φ(χ [,σ1 ]) + Φ(χ [,σj ]) Φ(χ [,σj 1 ]) ν(σ) = α 1 Φ(χ[,σ1 ]) + α j Φ(χ(σj 1,σ j ]), j=2 α 1 = sign( Φ(χ [,σ1 ])) α j = sign( Φ(χ (σj 1,σ j ])) pro j = 1, 2,..., ν(σ). j=2

14 ÚVOD Dlšími jednoduchými úprvmi dostneme dále ν(σ) p(σ j ) p(σ j 1 ) = Φ(α 1 χ [,σ1 ]) + ν(σ) j=2 Φ(α j χ (σj 1,σ j ]) ν(σ) = Φ(α 1 χ [,σ1 ] + α j χ (σj 1,σ j ]) = Φ(h) Φ X j=2 h, kde h je funkce z M[, b] pro kterou zřejmě pltí ν(σ) h(t) = α 1 χ [,σ1 ](t) + α j χ (σj 1,σ j ](t) 1 pro kždé t [, b], j=2 neboli h 1. Protože je ovšem funkcionál Φ ohrničený, tj. Φ X <, znmená to, že pltí ν(σ) p(σ j ) p(σ j 1 ) Φ X = Φ Y < (1.8) pro kždé dělení σ = {σ 0, σ 1,..., σ ν(σ) } intervlu [, b]. Jinými slovy, definujeme-li ν(σ) vr b p := sup p(σ j ) p(σ j 1 ), kde supremum se bere přes všechn dělení σ = {σ 0, σ 1,..., σ ν(σ) } intervlu [, b], pk pltí vr b p Φ X <. Číslo vr b p se nzývá vrice funkce p n intervlu [, b] o funkcích f, pro které pltí vr b f < říkáme, že mjí konečnou vricí. Třídě funkcí s konečnou vricí bude věnován následující lekce. Zde si ještě povšimněme toho, že pro dnou spojitou funkci x, funkci p definovnou podle (1.3) proximují součty S(σ, ξ) hodnotu Φ(x) stejně dobře jko součty Σ σ. Pro libovolné dělení σ intervlu [, b] příslušné znčky ξ (tj. (σ, ξ) T [, b]) totiž vzhledem k (1.6) (1.8) pltí Φ(x) S(σ, ξ) Φ(x) Σσ + Σσ S(σ, ξ) ν(σ) Φ Y ω(x, σ) + x(σ j ) x(ξ j ) p (σ j ) p (σ j 1 ) 2 Φ Y ω(x, σ). N závěr uved me ještě přesnou formulcí tvrzení, ke kterému jsme směřovli. Jeho podrobný důkz vyžduje znlost vlstností Stieljesov integrálu njdete ho tké v kpitole 7 knihy [63].

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 15 Vět (F. RIESZ). Zobrzení Φ : C[, b] R je spojitý lineární funkcionál n prostoru C[, b] právě tehdy, když existuje funkce p s konečnou vricí n intervlu [, b] tková, že pltí Φ(x) = x d p pro kždou funkci x C[, b].

16 ÚVOD

Úmluvy oznčení (i) N je množin přirozených čísel (mezi něž nezhrnujeme nulu). R je množin reálných čísel, R m je prostor reálných m-vektorů (m-tic reálných čísel). Je-li x R m, jeho i-tý prvek znčíme x i. Píšeme x = ( x i nebo, nehrozí-li nedorozumění, )i=1,...,m x = ( ) x i. Norm v R m je definován předpisem x = ( x i )i=1,...,m Rm x = m x i. i=1 (ii) {x A : B(x)} znčí, jk je zvykem, množinu všech prvků x množiny A, které vyhovují podmínce B(x). Pro dné množiny P, Q symbolem P \ Q znčíme množinu P \ Q = {x P : x / Q}. Jk je zvykem, P Q znmená, že P je podmnožin množiny Q (kždý prvek množiny P je též prvkem množiny Q). Nehrozí-li nedorozumění, píšeme {x n } místo {x n R: n N}, resp. místo {x n R: n=1, 2,..., m}. Řekneme, že posloupnost {x n } je prostá, jestliže se v ní žádný prvek neopkuje (x k x n jestliže k n). (iii) Je-li < < b <, pk [, b] znčí uzvřený intervl {t R : t b} (, b) je otevřený intervl {t R : < t < b}. Odpovídjící polouzvřené, resp. polootevřené intervly znčíme [, b) (, b ]. Ve všech těchto přípdech nzýváme, b krjní body intervlu. Jestliže = b R,říkáme, že intervl [, b] degeneruje n jednobodovou množinu, píšeme [, b]=[]. Je-li I intervl (uzvřený, resp. otevřený, resp. polootevřený) s krjními body, b, znčíme symbolem I = b jeho délku ( [] = 0). Konečnou množinu bodů σ = {σ 0, σ 1,..., σ m } intervlu [, b] nzveme dělením intervlu[, b], jestliže pltí = σ 0 < σ 1 < < σ m = b. Množinu všech dělení intervlu [, b] znčíme D [, b]. Je-li σ D [, b], pk, nebude-li uvedeno jink, budeme jeho elementy znčit σ j, σ je délk nejdelšího z těchto podintervlů ν(σ) je počet podintervlů [σ j 1, σ j ] generovných dělením σ, tj. σ ν(σ) = b σ = mx (σ j σ j 1 ) pro σ D [, b]. j = 1,2,...,ν(σ) Jestliže σ σ, pk říkáme, že σ je zjemnění σ. 17

18 ÚMLUVY A OZNAČENÍ (iv) Pro dné A R znčíme A + = mx{a, 0} A = mx{ A, 0}. (Připomeňme, že pltí A + + A = A A + A = A pro kždé A R.) Dále 1 když A > 0, sign(a) = 1 když A < 0, 0 když A = 0. (v) Pro dnou množinu M R symbolem χ M znčíme její chrkteristickou funkci, tj. funkci R {0, 1} definovnou předpisem χ M (t) = { 1 pro t M, 0 pro t / M. (vi) Supremum (resp. infimum) množiny M znčíme sup M (resp. inf M). Pokud m = sup M M (m = inf M M) (čili m je mximum (resp. minimum) množiny M ), pk píšeme též m = mx M (resp. m = min M). Je-li M množin všech hodnot F (x) nějkého zobrzení F, kde proměnná x probíhá množinu B, neboli M = {F (x) : x B}, píšeme též sup F (x). Podobné prvidlo pltí i pro infimum, x B resp. mximum, resp. minimum. (vii) Zápis f : [, b] R znmená, že funkce f je definován pro kždé x [, b] kždá její hodnot f(x) je (konečné) reálné číslo. Pro libovolné funkce f : [, b] R g : [, b] R reálné číslo λ definujeme f + g : x [, b] f(x) + g(x) λ f : x [, b] λ f(x). (viii) Pro libovolnou funkci f : [, b] R znčíme f = sup f(x). x [,b ] (Není-li funkce f ohrničená n intervlu [, b], pk ovšem f =.) (ix) Je-li {x n } nekonečná posloupnost reálných čísel, která má limitu lim x n = A R { } { }, n píšeme též zkráceně x n A. Podobně, jestliže posloupnost funkcí {f n } konverguje k funkci f stejnoměrně n intervlu [, b], tj. lim n f n f = 0, píšeme též f n f n [, b].

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 19 (x) Jestliže f : [, b] R, t [, b) s (, b ] jestliže existují konečné jednostrnné limity lim f(τ) lim f(τ), pk znčíme τ t+ τ s f(t+) = lim τ t+ f(τ), + f(t) = f(t+) f(t), f(s ) = lim f(τ), τ s f(s) = f(s) f(s ), f(x) = f(x+) f(x ) pro x (, b). Zprvidl používáme následující úmluvu: f( ) = f(), f(b+) = f(b), f() = + f(b) = 0. (xi) C[, b] je prostor reálných funkcí spojitých n intervlu [, b] s normou definovnou předpisem f = sup f(x) x [,b ] pro f C[, b]. L 1 [, b] je prostor reálných funkcí lebesgueovsky integrovtelných n [, b], přičemž f = g L 1 [, b] f(x) = g(x) pro s.v. x [, b] norm je definovná předpisem f 1 = f(x) dx pro f L 1 [, b]. Prostor vektorových funkcí zobrzujících intervl [, b] do Bnchov prostoru Y spojitých n [, b] znčíme C([, b], Y). Podobný význm má symbol L 1 ([, b], Y) i nlogické symboly pro dlší prostory funkcí, které v textu zvedeme. (xii) Je-li M podmnožin Bnchov prostoru X, pk symbolem M znčíme její uzávěr v prostoru X. Lin(M) je množin všech konečných lineárních kombincí prvků M, m tj. množin všech prvků x M tvru x = c j x j, kde m N, c 1, c 2,..., c m R x 1, x 2,..., x m M. (xiii) Množinu všech spojitých lineárních zobrzení Bnchov prostoru X do Bnchov prostoru Y znčíme L (X, Y). Je-li X = Y, píšeme L (X) místo L (X, X). Speciálně L (R m, R n ) je prostor reálných mtic typu m n neboli m n mtic L (R m, R) je prostor sloupcových m-vektorů, který ztotožňujeme s prostorem R m.

20 ÚMLUVY A OZNAČENÍ (xiv) Je-li A L (R m, R n ), pk její element v i-tém řádku j-tém sloupci znčíme i,j. Píšeme A = ( ) i,j i=1,...,m. Pro kždé n znčíme symbolem I jednotkovou mtici,...,n typu n n, tj. I = ( { ) 1 když i = j, e i,j i=1,...,n, kde e i,j =,...,n 0 když i j. Norm v L (R m, R n ) je definován předpisem0 A = mx,...,m n i=1 i,j pro A = ( ) i,j i=1,...,m L (R m, R n ).,...,n Speciálně pro x R m = L (R m, R) máme x = m x i, což souhlsí s bodem (i). Dále A = sup { A x : x 1 }, tj. tkto zvedená norm mtice souhlsí s operátorovou normou v L (R m, R n ) (vzhledem k normě v R n z bodu (i)). (xv) V omezené míře, leč přece jen se to občs zdá být výhodné, ž nutné, používáme stndrdní logické symboly. Npříkld znmená,, ε > 0 δ > 0 : (A B) = C,,pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pltí-li součsně A i B, pk pltí tké C. i=1

Kpitol 2 Funkce s konečnou vricí V této kpitole vrici funkce odvodíme zákldní vlstnosti třídy funkcí, které mjí konečnou vrici n dném uzvřeném konečném intervlu. Funkce s konečnou vricí jsou užitečné v celé řdě fyzikálních technických problémů, v teorii prvděpodobnosti, teorii Fourierových řd, v diferenciálních rovnicích v dlších oblstech mtemtiky. 2.1 Definice zákldní vlstnosti Necht < < b <. Připomeňme, že děleními intervlu [, b] nzýváme konečné množiny bodů σ = {σ 0, σ 1,..., σ m } intervlu [, b] tkové, že = σ 0 < σ 1 < < σ m = b symbol D [, b] znčí množinu všech dělení intervlu [, b]. Prvky dělení σ D [, b] jsou zprvidl znčeny symboly σ j, ν(σ) = m, σ ν(σ) = b σ = mx j = 1,2,...,ν(σ) (σ j σ j 1 ) Jestliže σ σ, pk říkáme, že σ je zjemnění σ. pro σ D [, b]. 2.1 Definice. Pro dnou funkci f : [, b] R dělení σ intervlu [, b] definujeme ν(σ) V (f, σ) = f(σ j ) f(σ j 1 ) vr b f = sup V (f, σ). σ D [,b ] Je-li = b, definujeme vr b f = vr f = 0. Veličinu vr b f nzýváme vrice funkce n intervlu [, b]. Je-li vr b f <, říkáme, že funkce f má konečnou vrici n [, b]. Množinu funkcí s konečnou vricí n [, b] znčíme BV[, b]. Geometrický význm pojmu vrice nám přiblíží následující tvrzení, zprvidl nzývné DRUHÁ JORDANOVA VĚTA. Dříve než ji budeme formulovt, připomeňme, jk se definuje délk křivky, která je zdán jko grf spojité funkce f n intervlu [, b] : Pro kždé dělení σ intervlu [, b] je součet ν(σ) (σj ) 2 ( λ(f, σ) := σ j 1 + f(σj ) f(σ j 1 ) ) 2. roven délce lomené křivky proložené body [σ j, f(σ j )], j = 0, 1,..., m, ležícími n grfu funkce f. Délk grfu Λ(f; [, b]) funkce f n intervlu [, b] se pk definuje jko Λ(f; [, b]) = sup λ(f, σ). σ D [,b ] 21

22 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ 2.2 Vět (DRUHÁ JORDANOVA VĚTA). Necht f je spojitá n [, b]. Potom má její grf n intervlu [, b] konečnou délku právě tehdy, když f má konečnou vrici n intervlu [, b]. D ů k z. Použijeme nerovnosti β α 2 + β 2 α + β, (2.1) které pltí pro libovolná reálná čísl α, β. (Odvodíme je odmocněním triviálních nerovností β 2 α 2 + β 2 ( α + β ) 2.) Pro libovolné dělení σ D [, b] máme podle (2.1) neboli ν(σ) V (f, σ) = f(σ j ) f(σ j 1 ) ν(σ) (σj ) 2 ( σ j 1 + f(σj ) f(σ j 1 ) ) 2 = λ(f, σ) ν(σ) [ (σj ) σ j 1 + f(σj ) f(σ j 1 ) ] = (b ) + V (f, σ) V (f, σ) λ(f, σ) V (f, σ) + (b ). Přechodem k supremu dostneme nerovnosti vr b f Λ(f; [, b]) vr b f + (b ), ze kterých tvrzení věty okmžitě plyne. 2.3 Příkld. Bud f funkce spojitá n intervlu [, b] tková, že pro kždé x (, b) pltí f (x) M <, kde M nezávisí n x. Podle věty o střední hodnotě tedy pltí f(y) f(x) M y x pro všechn x, y [, b]. Pro kždé dělení σ intervlu [, b] tedy máme ν(σ) [ ] V (f, σ) M σj σ j 1 = M [b ]. Vidíme, že kždá funkce spojitá n intervlu [, b], která má n jeho vnitřku (, b) ohrničenou derivci, má konečnou vrici.

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 23 Jestliže je nvíc f riemnnovsky integrovtelná n intervlu [, b] (n příkld f je spojitá n (, b)), můžeme vrici funkce f n intervlu [, b] přesně určit. Pltí totiž vr b f = (R) f (x) dx, (2.2) kde n prvé strně je Riemnnův integrál. Důkz tohoto tvrzení pochopitelně předpokládá znlost Riemnnov integrálu. Bud dáno ε > 0. Předpokld o existenci konečné hodnotě Riemnnov integrálu (R) f (x) dx znmená, že existuje δ > 0 tkové, že ν(σ) f (ξ j ) (σ j σ j 1 ) (R) f (x) dx < ε 2 (2.3) pltí pro kždé dělení σ intervlu [, b] tkové, že σ < δ kždý výběr bodů ξ j tkových, že ξ j [σ j 1, σ j ] pro j = 1, 2,..., ν(σ). (2.4) N druhou strnu, podle definice vrice existuje σ D [, b] tkové, že σ < δ vr b f V (f, σ) > vr b f ε 2. (2.5) Podle věty o střední hodnotě existují body ξ j, j = 1, 2,..., ν(σ), splňující (2.4) tkové, že ν(σ) V (f, σ) = f (ξ j ) (σ j σ j 1 ). Odtud podle (2.3) (2.5) dostáváme, že pltí vr b f (R) f (x) dx ν(σ) vr b f V (f, σ) + f (ξ j ) (σ j σ j 1 ) (R) < ε 2 + ε 2 = ε. Vzhledem k tomu, že ε > 0 bylo libovolné, to znmená, že pltí (2.2). f (x) dx

24 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ 2.4 Cvičení. Určete vr b f odhdněte délku grfu funkce f, jestliže ) f(x) = sin 2 x, = 0, b = π, b) f(x) = x 3 3 x + 4, = 0, b = 2, c) f(x) = cos x + x sin x, = 0, b = 2 π. 2.5 Poznámk. Z definice 2.1 je zřejmé, že pro kždou funkci f : [, b] R je vr b f 0. Dále je-li dáno libovolné dělení ρ D [, b], pk pltí vr b f = sup V (f, σ). σ ρ (2.6) To plyne z několik elementárních pozorování: Zprvé, protože {V (f, σ) : σ D [, b] σ ρ} {V (f, σ) : σ D [, b]}, musí být sup V (f, σ) vr b f. σ ρ Dále díky trojúhelníkové nerovnosti pro libovolná dvě dělení σ, σ intervlu [, b] tková, že σ σ, kždou funkci f : [, b] R máme V (f, σ) V (f, σ ). Konečně, je-li σ D [, b] libovolné σ = σ ρ, pk σ ρ tedy V (f, σ) V (f, σ ). To znmená, že pro kždé d {V (f, σ) : σ D [, b]} existuje d {V (f, σ) : σ D [, b] σ ρ} tkové, že d d, tedy vr b f sup V (f, σ). σ ρ Pltí tedy (2.6). 2.6 Cvičení. Dokžte následující vlstnosti vrice funkcí s konečnou vricí. (i) Je-li [c, d] [, b], pk pro kždou funkci f : [, b] R pltí f(d) f(c) vr d c f vr b f. (ii) vr b f ( = d R ) ε > 0 σ ε D [, b] : σ σ ε = d ε V (f, σ) d. (iii) vr b f = ( K > 0 σ K D [, b] : V (f, σ K ) K ). (iv) vr b f= ( {σ n } D [, b] : lim n V (f, σ n ) =.

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 25 (v) Jestliže pro funkci f : [, b] R existuje L R tkové, že f(x) f(y) L x y pltí pro všechn x, y [, b], pk vr b f L (b ). (V tkovém přípdě říkáme, že f splňuje Lipschitzovu podmínku n [, b], nebo též, že je lipschitzovská n [, b].) 2.7 Příkld. Necht { 0 pro x = 0, f(x) = x sin( π ) pro x (0, 2]. x Všimněme si, že f(x) = 0 právě když x = 0 nebo x = 1 pro nějké k N pro x (0, 2] k pltí x právě když x = y k = 2 f(x) = 4 k + 1, k N {0}, x právě když x = z k = 2 4 k 1, k N. Pro dné n N dělení σ n = {0, y n, z n,..., y 1, z 1, 2} dostneme V (f, σ n ) = f(0) f(y n ) + Je známo, že = y n + = y 0 + 2 k=1 n f(y k 1 ) f(z k ) + k=1 n ( ) n ( ) yk 1 + z k + yk + z k k=1 k=1 k=1 k=1 n f(y k ) f(z k ) k=1 n ( ) n 8 k yk + z k = 2 + 4 16 k 2 1 2( 1 + 1 =. Tudíž lim k V (f, n σn ) = vr 2 0 f =. Sndno můžeme určit vrici monotónních funkcí. n k=1 1 ). k 2.8 Vět. Pro kždou funkci f monotónní n [, b] pltí vr b f = f(b) f(). D ů k z. Je-li f nerostoucí n [, b] σ D [, b], pk V (f, σ) = m [ f(σj 1 ) f(σ j ) ] = [ f() f(σ 1 ) ] + [ f(σ 1 ) f(σ 2 ) ] + + [f(σ m 2 ) f(σ m 1 ) ] + [f(σ m 2 ) f(b) ] = f() f(b),

26 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ tj. vr b f = f() f(b) = f(b) f(). Podobně bychom ukázli, že je-li f neklesjící n [, b], pk vr b f = f(b) f() = f(b) f(). 2.9 Cvičení. Dokžte,že funkce f : [, b] R má konečnou vrici n [, b] právě tehdy, když existuje tková neklesjící funkce ϕ n [, b], že f(x) f(y) ϕ(x) ϕ(y) pro x, y [, b], y x. 2.10 Příkldy. (i) Příkldem jednoduché funkce, která nemá ohrničenou derivci n intervlu [0, 1] ( tudíž tvrzení z příkldu 2.3 (i) nezručuje, že má konečnou vrici n [0, 1]) je f(x) = x. Protože je le f rostoucí, je vr 1 0 f = 1 podle věty 2.8. (ii) Konečnou vrici mohou mít i funkce nespojité, jk ukzuje příkld 0 je-li x = 0, f(x) = 1 k je-li x (0, 1] x ( 1 ] pro nějké k N. k+1 k Tto funkce je zřejmě definovná neklesjící n intervlu [0, 1]. Podle věty 2.8 je tedy vr 1 0 f = 1. 2.11 Vět. Pro kždé c [, b] kždou funkci f : [, b] R pltí vr b f = vr c f + vr b c f. D ů k z. Bud te dány funkce f : [, b] R bod c [, b]. Pokud c = nebo c = b, je tvrzení věty triviální. Necht tedy c (, b). Necht σ = {, c, b} necht σ je libovolné dělení intervlu [, b] tkové, že σ σ. Pk nutně c σ. Dělení σ lze tudíž rozdělit n dělení σ intervlu [, c] dělení σ intervlu [c, b ], tj. σ = σ σ, kde σ D [, c ] σ D [c, b ]. Zřejmě pk tké pltí V (f, σ) = V (f, σ ) + V (f, σ ). (2.7) Podle poznámky 2.5 dostáváme tedy vr b f = sup V (f, σ) vr c f + vr b c f. σ σ N druhou strnu pro kždá dvě dělení σ D [, c] σ D [c, b ] je jejich sjednocení σ = σ σ dělením intervlu [, b] pltí opět (2.7). Odtud plyne, že vr c f + vr b c f = sup σ D [,c ] V (f, σ ) + sup σ D [c,b ] V (f, σ ) vr b f. Tím je důkz věty hotov.

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 27 2.12 Příkld. Bud dáno n N. Vyšetřujme funkci { 0 pro 0 x 1, n f n (x) = x sin( π x ) pro 1 x 2. n Její derivce f n(x) = { 0 pro 0 x < 1 n, sin( π x ) π x cos (π x ) pro 1 n < x 2 je ohrničená n (0, 1 ) n ( 1 1/n, 2). Zřejmě je vr n n 0 f n = 0. Podle příkldu 2.3 (i) je dále vr 2 1/n f n <. Vět 2.11 tedy implikuje, že je tké vr 1 0f n < pro kždé n N. N množině BV[, b] jsou přirozeným způsobem definovány operce sčítání násobení sklárem (viz Úmluvy oznčení (x)). Následující tvrzení je zřejmé. 2.13 Lemm. Pro libovolné dvě funkce f 1, f 2 : [, b] R reálné číslo c pltí vr b (f 1 + f 2 ) vr b f 1 + vr b f 2 vr b (c f 1 ) = c vr b f 1. (2.8) Dále vr b f = 0 tehdy jen tehdy, když f je konstntní n [, b]. Stčí si totiž uvědomit, že pro kždé dělení σ D [, b] pltí V (f 1 + f 2, σ) V (f 1, σ) + V (f 2, σ) V (c f, σ) = c V (f, σ) dále že je-li vr b f = 0, musí pro kždé x (, b ] pltit f(x) f() = 0. 2.14 Vět. f BV[, b] tehdy jen tehdy, když existují funkce f 1 f 2 neklesjící n [, b] tkové, že pltí f(x) = f 1 (x) f 2 (x) pro kždé x [, b]. D ů k z. Jestliže f 1 f 2 jsou neklesjící n [, b] f = f 1 f 2, pk podle věty 2.8 mjí f 1 i f 2 konečnou vrici n [, b] podle (2.8) je tké vr b f <. Stčí tedy dokázt, že pro kždou funkci f BV[, b] existují funkce f 1 f 2 neklesjící n [, b] tkové, že f = f 1 f 2. Necht tedy f BV[, b]. Položme f 1 (x) = vr x f f 2 (x) = f 1 (x) f(x) pro x [, b]. Necht x, y [, b] y x. Potom podle věty 2.11 je f 1 (y) = f 1 (x) + vr y x f, protože vrice je vždy nezáporná, znmená to, že funkce f 1 je neklesjící n [, b]. Dále podle věty 2.11 máme f 2 (y) = f 1 (x) + vr y x f f(y) f 2 (y) f 2 (x) = vr y x f (f(y) f(x)) 0 (viz cvičení 2.6 (i)). To znmená, že funkce f 2 je tké neklesjící n [, b] důkz je hotov.

28 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ 2.15 Cvičení. Necht f BV[, b]. Dokžte, že obě funkce 0 pro x =, ν(σ) p (x) = ( sup f(σj ) f(σ j 1 ) ) + pro x (, b ] σ D [,x] 0 pro x =, ν(σ) n(x) = ( sup f(σj ) f(σ j 1 ) ) pro x (, b ] σ D [,x] jsou neklesjící nezáporné n [, b] pltí f(x) = f() + p (x) n(x) vr x f = p (x) + n(x) pro x [, b]. 2.16 Důsledek. Pro kždou funkci f s konečnou vricí n [, b] pro všechn t [, b) s (, b ] existují konečné limity f(t+) = lim f(τ) f(s ) = lim f(τ) τ t+ τ s (tj. f může mít v [, b] pouze nespojitosti prvního druhu ). 1 D ů k z. Podle věty 2.14 můžeme předpokládt, že f je neklesjící n [, b]. Pro kždé x [, b] je f() f(x) f(b), tudíž pltí tké f() f() Ukážeme, že f(t+) = Oznčme d = sup f(x) f(b) pro kždé s (, b ] x [,s) inf f(x) f(b) pro kždé t [, b ). x (t,b ] inf f(x), jestliže t [, b). (2.9) x (t,b ] inf x (t,b ] existuje t (t, b ] tkové, že d f(t ) < d + ε. f(x) necht je dáno libovolné ε > 0. Potom podle definice infim Vzhledem k monotónnosti funkce f odtud plyne, že nerovnost d f(x) < d + ε pltí pro kždé x (t, t ]. Dokázli jsme tedy vzth (2.9). Podobně bychom ukázli, že pltí tké f(s ) = sup f(x), jestliže s (, b ]. (2.10) x [,s) 1 Říkáme, že bod x je bodem nespojitosti 1. druhu funkce f, jestliže existují konečné limity f(x ), f(x+), přičemž f(x ) f(x+)

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 29 2.2 Prostor funkcí s konečnou vricí Podle lemmtu 2.13 kždá lineární kombince funkcí s konečnou vricí má tké konečnou vrici. Z toho plyne, že množin BV[, b] je lineární prostor. Ukážeme, že při vhodně zvolené normě se BV[, b] stne lineárním normovným prostorem. 2.17 Vět. BV[, b] je lineární normovný prostor vzhledem k normě definovné předpisem f BV = f() + vr b f pro f BV[, b]. (2.11) D ů k z. BV[, b] je lineární prostor podle lemmtu 2.13. Dále pro kždou funkci f : [, b] R kždé x [, b] pltí f(x) f() + f(x) f() f() + vr b f (Rozmyslete si, proč tomu tk je.) Tudíž pro x [, b]. f f BV < pro f BV. (2.12) Podle lemmtu 2.13 relce f + g BV f BV + g BV c f BV = c f BV (2.13) pltí pro všechny funkce f, g BV[, b] kždé reálné číslo c R. Konečně, jestliže f BV = 0, musí být f() = 0 vr b f = 0 Podle lemmtu 2.13 je tedy f(x) f() = 0 n [, b], tj. f je nulový prvek BV[, b]. Dokázli jsme tedy, že rovnost (2.11) definuje normu n BV[, b]. 2.18 Poznámk. Nerovnost (2.12) implikuje, že kždá funkce, která má ohrničenou vrici n [, b] je tké ohrničená n [, b]. Podle věty 2.17 je BV[, b] lineární normovný prostor vzhledem k normě definovné předpisem (2.11). Nyní dokážeme, že BV[, b] je Bnchův prostor vzhledem k této normě. Toto tvrzení umožňuje používání metod funkcionální nlýzy při práci s funkcemi s konečnou vricí. Nejprve le připomeňme Bolznovu-Weierstrßovu větu, kterou budeme potřebovt. 2.19 Vět (BOLZANO-WEIERSTRAß). Z kždé ohrničené posloupnosti reálných čísel je možno vybrt konvergentní podposloupnost. 2.20 Vět. BV[, b] je Bnchův prostor. D ů k z. Zbývá dokázt, že BV[, b] je úplný, tj. že kždá posloupnost cuchyovská v BV[, b] má v BV[, b] limitu. Necht {f n } BV[, b] je posloupnost cuchyovská v BV[, b]. Potom pltí } ε > 0 n ε : (2.14) n, m n ε = f n (x) f m (x) f n f m BV < ε pro x [, b].

30 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ ) Podle (2.14) je pro kždé x [, b] posloupnost reálných čísel {f n (x)} cuchyovská. Pro kždé x [, b] tedy existuje konečná limit lim f n(x) = f(x). n b) Necht je dáno libovolné ε > 0 necht n ε N je určeno podmínkou (2.14). Potom pro kždé x [, b] máme tké f(x) f nε (x) = lim n f n (x) f nε (x) ε, tudíž pro kždé n n ε kždé x [, b] pltí f(x) f n (x) f(x) f nε (x) + f nε (x) f n (x) < 2 ε. To ovšem znmená, že lim f f n = 0 n neboli posloupnost {f n } konverguje k f stejnoměrně n [, b]. c) Podle (2.13) (2.14) existuje n 1 N tkové, že vr b f n f n BV f n1 BV + 1 pro n n 1. Číselná posloupnost {vr b f n } je tedy ohrničená. Podle Bolznovy-Weierstrßovy věty můžeme z ní vybrt podposloupnost {vr b f nk : k N}, pro kterou pltí tj. lim k vr b f nk = d <, ( ) ε > 0 k ε N : k k ε σ D [, b] = V (f nk, σ) < d + ε ε > 0 σ D [, b] : V (f, σ) = lim k V (f nk, σ) d + ε. Odtud ovšem už plyne, že je vr b f = sup V (f, σ) d <, σ D [,b ] tj. f BV[, b]. d) Podle (2.14) tedy pro kždé ε > 0 existuje n ε N tkové, že n, m n ε = V (f n f m, σ) vr b (f n f m ) < ε pro σ D [, b]. Tudíž, je-li m n ε, pk pro kždé σ D [, b] pltí V (f f m, σ) = lim n V (f n f m, σ) ε neboli vr b (f f m ) ε. To ovšem znmená, že lim m f f m BV = 0, což zbývlo ještě dokázt.

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 31 2.3 Konečná vrice spojitost Podle důsledku 2.16 mohou mít funkce s konečnou vricí nespojitosti pouze prvního druhu. Podívejme se nyní trochu podrobněji n vlstnosti funkcí s konečnou vricí související se spojitostí. 2.21 Vět. Kždá funkce f BV[, b] má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti n intervlu [, b]. D ů k z plyne z důsledku 2.16 z následujícího lemmtu. 2.22 Lemm. Necht J R je otevřený intervl,f : J R M je množin bodů nespojitosti 1. druhu funkce f v J. Potom M je nejvýše spočetná. D ů k z. ) Oznčme M + = {x J : f(x+) f(x)}, M = {x J : f(x ) f(x)} M + 1 = {x M + : f(x) < f(x+)}, M + 2 = {x M + : f(x) > f(x+)}. Potom je M = M + M M + = M 1 + M + 2. Uspořádejme množinu P rcionálních čísel do posloupnosti P = {r k }. (Uvědomte si všk, že množinu P nelze uspořádt,,podle velikosti, tj. tk by pltilo r k < r k+1 pro kždé k N.) Necht r znčí zobrzení, které kždému x M 1 + přiřdí první (při dném uspořádání množiny P ) rcionální číslo, které leží v intervlu (f(x), f(x+)). Přesněji řečeno, r(x) = r j r j (f(x), f(x+)) {r 1, r 2,..., r j 1 } (f(x), f(x+)) =. Dále pro kždé q P oznčme symbolem r 1 (q) jeho vzor při zobrzení r, tj. r 1 (q) = {x M + 1 : r(x) = q}. Máme M + 1 = r 1 (q). q P Ukážeme-li tedy, že kždá množin r 1 (q), q P je spočetná, budeme mít součsně tké dokázáno, že i množin M 1 + je spočetná. Necht je tedy dáno libovolné q P. Vzhledem k definici množiny M 1 + zobrzení r pro kždé x r 1 (q) existuje δ(x) > 0 tkové, že x < y < x+δ(x) = f(y) > r(x). Jsou-li x 1, x 2 r 1 (q) tková, že x 1 < x 2 r(x 1 ) = r(x 2 ) = q, pk musí pltit (x 1, x 1 + δ(x 1 )) (x 2, x 2 + δ(x 2 )) =.

32 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ Vskutku, kdyby bylo x 1 < x 2 < x 1 + δ(x 1 ), bylo by též (vzhledem k definici δ ) q = r(x 1 ) <f(x 2 ) < r(x 2 ) = q, což není možné. Systém intervlů { (x, x + δ(x)), x r 1 (q) } je tedy disjunktní. Kždému x r 1 (q) lze tedy přiřdit jediné rcionální číslo p (x, x + δ(x)) tím definovt prosté zobrzení r 1 (q) do P. To znmená, že pro kždé q P je množin r 1 (q) spočetná. b) Protože M + 2 = {x J : f(x) < f(x+)}, můžeme použít část ) tohoto důkzu k důkzu spočetnosti množiny M 2 +. c) Konečně, M = {x J : f( x) f( x+)}, tkže podle částí ) b) tohoto důkzu je tké M spočetná množin. 2.23 Poznámk. Klíčovým rgumentem pro pltnost lemmtu 2.22 je tvrzení: Kždý disjunktní systém intervlů v R je spočetný. Důkz tohoto tvrzení je v nšem důkzu lemmtu 2.22 obsžen. Necht f BV[, b] v(x) = vr x f pro x [, b]. (2.15) Podle důkzu věty 2.14 víme, že funkce v v f jsou neklesjící n [, b]. Ukážeme nyní, že funkce v kopíruje spojitost funkce f. 2.24 Lemm. Necht f BV[, b] v : [, b] R je definován vzthem (2.15). Potom v(x) = f(x) pro x (, b] (2.16) + v(x) = + f(x) pro x [, b). (2.17) D ů k z. ) Jestliže x [, b), pk v(t) v(x) vr t x f f(t) f(x) pltí pro kždé t [x, b]. Podobně, je-li x (, b], pk v(x) v(s) vr x t f f(x) f(s) pltí pro kždé s [, x]. Odtud, limitními přechody t x zprv resp. s x zlev dostáváme nerovnosti v(x) f(x) pro x (, b] (2.18) + v(x) + f(x) pro x [, b). (2.19)

STIELTJESŮV INTEGRÁL (KURZWEILOVA TEORIE) 33 b) Necht x (, b] ε > 0 jsou libovolné. Zvolme δ > 0 tk, by pltilo f(x ) f(s) < ε/2 pro s (x δ, x). (2.20) Dále, zvolme dělení σ = {σ 0, σ 1,..., σ m } intervlu [, x] tk, by pltilo součsně σ m 1 x δ 2 v(x) V (f, σ) < ε/2. (2.21) Potom, podle (2.21) (2.20), bude v(x) m 1 Protože je zřejmě m 1 f(σ j ) f(σ j 1 ) < V (f, σ) + ε/2 m 1 f(σ j ) f(σ j 1 ) = f(x) f(σ m 1 ) + ε/2 f(x) + f(x ) f(σ m 1 ) + ε/2 f(x) + ε. f(σ j ) f(σ j 1 ) v(σ m 1 ) v(t) v(σ m 1 ) pro kždé t (σ m 1, x), plyne odsud, že pltí tké v(x) v(t) v(x) v(σ m 1 ) v(x) m 1 f(σ j ) f(σ j 1 ) f(x) + ε pro kždé t (σ m 1, x) kždé ε > 0. Odtud, po limitním přechodu t x zlev vzhledem k tomu, že ε může být libovolné kldné číslo, dostáváme nerovnost v(x) f(x), která společně s (2.18) dokzuje rovnost (2.16). c) Necht x [, b) ε > 0 jsou libovolné. Zvolme δ (0, b x ) tk, by pltilo 2 f(s) f(x+) < ε/2 pro kždé s (x, x + δ). (2.22) Dále, zvolme dělení σ = {σ 0, σ,..., σ m } intervlu [, b] tk, by pltilo součsně x σ v(b) V (f, σ) < ε/2. (2.23) Necht k {1, 2,..., m 1} je index tkový, že x = σ k. Bez újmy n obecnosti můžeme předpokládt, že je nvíc σ k+1 < x + δ. Máme k+1 v(σ k+1 ) f(σ j ) f(σ j 1 ) k+1 = ( v(σ j ) v(σ j 1 ) f(σ j ) f(σ j 1 ) )

34 FUNKCE S KONEČNOU VARIACÍ m ( ) v(σ j ) v(σ j 1 ) f(σ j ) f(σ j 1 ) = v(b) V (f, σ) < ε/2. Protože je tké v(x) = v(σ k ) k f(σ j ) f(σ j 1 ), dostáváme podle (2.22) pro kždé t (x, σ k+1 ) (x, x + δ) v(t) v(x) v(σ k+1 ) v(x) k+1 k f(σ j ) f(σ j 1 ) + ε/2 f(σ j ) f(σ j 1 ) = f(σ k+1 ) f(x) + ε/2 = + f(x) + f(σ k+1 ) f(x+) + ε/2 < + f(x) + ε. Pltí tedy v(t) v(x) < + f(x) + ε pro kždé t (x, σ k+1 ) kždé ε > 0. Odtud, po limitním přechodu t x+ dostneme nerovnost + v(x) + f(x), společně s (2.19) implikuje (2.17). která Následující tvrzení je okmžitým důsledkem lemmtu 2.24. 2.25 Důsledek. Necht f BV[, b] v : [, b] R je definován vzthem (2.15). Potom je f spojitá v bodě x [, b) zprv právě tehdy, když je v tomto bodě spojitá zprv i funkce v. Podobně, f je spojitá v bodě x (, b ] zlev právě tehdy, když je v tomto bodě spojitá zlev i funkce v. Z dlší věty vyplyne, že součet bsolutních hodnot skoků funkce s konečnou vricí je vždy konečný. Pro její důkz budeme potřebovt následující tvrzení. 2.26 Lemm. Necht f je libovolná funkce s konečnou vricí n [, b] necht funkce p n jsou definovány jko ve cvičení 2.15. Potom p(x) = ( f(x)) +, n(x) = ( f(x)) pro x (, b], (2.24) + p(x) = ( + f(x)) +, + n(x) = ( + f(x)) pro x [, b). (2.25) D ů k z. Vzhledem k definicím obsženým ve cvičení 2.15, můžeme důkz provést zcel nlogicky jko důkz tvrzení obsžených v lemmtu 2.24. (Jenom je třeb prcovt s (f(σ j ) f(σ j 1 )) + resp. (f(σ j ) f(σ j 1 )) místo s f(σ j ) f(σ j 1 ).) Podrobný důkz je ponechán čtenáři jko cvičení.