Zálady Teorie Grafů (pozámy z předáše Pavel Strachota, FJFI ČVUT 30 srpa 006
Disclaimer Vzhledem bezplatému posytutí produtu se a produt evztahuje žádá zárua, a to v míře povoleé záoem Poud eí písemě staoveo jia, posytují držitelé autorsých práv popřípadě jié stray produt ta, ja je, bez záruy jaéhooliv druhu, at výslově ebo vyplývající, včetě, ale ioli je, záru prodejosti a vhodosti pro určitý účel Poud jde o valitu a výoost produtu, leží vešeré rizio a vás Poud by se u produtu projevily závady, padají álady za všechu potřebou údržbu, opravy či ápravu a váš vrub V žádém případě, s výjimou toho, dyž to vyžaduje platý záo, aebo dyž to bylo písemě odsouhlaseo, vám ebude žádý z držitelů autorsých práv odpovědý za šody, včetě všech obecých, speciálích, ahodilých ebo ásledých šod vyplývajících z užíváí aebo eschoposti užívat produtu (včetě ale ioli je, ztráty ebo zresleí dat, ebo trvalých šod způsobeých vám ebo třetím straám, ebo selháí fuce produtu v součiosti s jiými produty, a to i v případě, že taový držitel autorsých práv ebo jiá straa byli upozorěi a možost taových šod Copyright c 006 Pavel Strachota Permissio is grated to copy, distribute ad/or modify this documet uder the terms of the GNU Free Documetatio Licese, Versio or ay later versio published by the Free Software Foudatio; with o Ivariat Sectios, o Frot-Cover Texts, ad o Bac-Cover Texts A copy of the licese is icluded i the sectio etitled GNU Free Documetatio Licese
Obsah Úvod 7 Stadardí urs teorie grafů 9 Záladí pojmy 9 Graf, izomorfismus grafů, samoomplemetárí grafy 9 Stupeň vrcholu, sóre 3 Zobecěá defiice grafu, adjacečí matice grafu 4 Souvislost 5 Počet souvislých grafů a vrcholech 5 Adjacečí matice souvislého grafu 7 3 Bipartití grafy 8 4 Stromy 9 5 Hledáí miimálí ostry grafu 6 Jedotažy 7 Hamiltoovsé ružice a grafy 3 8 Párováí v grafech 6 8 Párováí v bipartitích grafech 8 9 Toy v sítích 30 9 Hledáí maximálího tou pomocí f-easyceých cest 3 0 Hraové obarveí grafu 34 0 Problém rozvrhu hodi 34 0 Vizigova věta 36 Vrcholové obarveí grafu 39 -riticé grafy 4 Broosova věta 44 Plaárí grafy 47 Barevost plaárích grafů 5 Miimálí počet řížeí v grafu 5 3 Vlastí čísla adjacečí matice grafu 55 Rozšířeý urs teorie grafů 6 Brouwerova věta o pevém bodě 6 Pravděpodobostí důazy v teorii grafů 65 3 Extremálí teorie grafů 66 3 Turáova věta 66 3 Erdösova věta 70 33 Graf s #E blízým Erdösovu odhadu 73 34 Počet K 3 a K 3 v grafu 76 35 Odhady α(g a ω(g 76 4 Ramseyovsá čísla 80 4 Odhady ramseyovsých čísel 8 4 Erdösova věta - dolí odhad r(, 84 3
3 Geerující fuce 87 3 Obyčejé mocié řady 87 3 Pravidla pro počítáí s OPS 87 3 Jedoduché přílady 89 33 Rozměňovací problém 9 34 Tvrzeí z teorie čísel doazatelá pomocí OPS 97 3 Expoeciálí geerující fuce 0 3 Pravidla pro počítáí s EGF 0 3 Jedoduchý přílad 03 33 Beroulliova čísla 03 34 Ivertovací formule 08 35 Stirligova čísla 0 36 Bellova čísla 37 Sládáí geerujících fucí 5 4
Sezam obrázů Schéma grafu V = {a, b, c, d}, E = {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {c, d}} 9 Samoomplemetárí grafy V = {,, 3, 4} E = {a, b, c, d, e, f} 3 Zobecěý graf defiovaý tato: ϕ(a = {, } ϕ(d = {} ϕ(b = {, } ϕ(e = {, 4} 4 ϕ(c = {, } ϕ(f = {, 3} Souvislé grafy a 4 vrcholech 6 3 Cesty P x a P y 8 6 Tvorba cylu v eulerovsém grafu 3 6 Jedotaža se startovím a cílovým vrcholem 4 8 Bezeové jádro a teoreticé sloučeiy 7 8 M-střídající cesta 8 83 Kompoety se sudým (S a lichým (L počtem vrcholů 30 9 To v síti a miimálí řez 3 9 f-easyceá cesta v síti 3 93 Algoritmus hledáí maximálího tou pomocí f-easyceých cest 33 4-riticý graf 43 Jedoprvový řez grafem 44 3K důazu věty 6 44 K 4 aresleý do roviy 48 K 5 eí plaárí 48 3K 5 a toru a K 3,3 a Möbiově listu 49 4Zbytečé řížeí hra a jeho odstraěí 53 5Miimálí počet řížeí v grafu K 6 53 Bijece ruhu a trojúhelí 6 Správá a esprává triagulizace 6 3 Páry vzdáleých bodů v roviě 69 3 Kostruce G pro p = 73 5
6
Úvod V průběhu přípravy a zoušu ze Záladů teorie grafů jsem si uvědomil, že mé zápisy z předášy jsou atoli valití, že by bylo možé je použít jao zálad pro docela slušá sripta z tohoto předmětu Ještě před samotou zoušou jsem tedy zusil apsat pár stráe a s výsledem jsem byl atoli spooje, že jsem s chutí poračoval dál, pouze s motivací vytvořit ěco smysluplého a užitečého Přesto mám poěud rozporuplé pocity z ásledů, teré uveřejěí tohoto materiálu může mít Je jasé, že dobré zápisy elze sestavit a záladě edobrých předáše Svělé a zajímavé předášy paí docety Edity Pelatové je vša soro šoda publiovat ta, aby byly aždému sado a volě dostupé Studet zísá určitou jistotu, o terou se v případě potřeby bude moci opřít, ale po rátém čase usoudí, že sám si o moho lepší pozámy z předášy eodese Je-li studet trochu líější, a předášce se už euáže Je pravda, že ve čtvrtém ročíu již velá většia studetů brzy rozpozá valitu předáše a doáže si jí vážit Ale vy, teří jste v poušeí, vězte, že byste přišli opravdu o hodě I dybyste a žádé jié předášy echodili, a grafy chod te, protože sutečě stojí za to A dělejte si zápisy, protože ta se toho ejvíc aučíte :- ZTG se od aademicého rou 005/006 dělí a dva předměty s odlišou áplí ZTG-B se sládá z předášy a cvičeí týdě Na předášce jsou představey záladí apitoly z teorie grafů, teré porývá prví část těchto zápisů Na cvičeí jsou pa předmětem studia mimo jié algoritmy řešící ěteré zámé grafové úlohy ZTG-A se sládá ze předáše týdě, přičemž jeda je vždy vedea v době, dy posluchači variaty B tohoto předmětu mají zrova cvičeí Předmětem této předášy jsou ěteré poročilejší partie teorie grafů, jao jsou věty z extremálí teorie grafů a ramseyovsá čísla, dále pa geerující fuce a jejich využití demostrovaé a velmi pěých příladech z oboru ombiatoriy ebo teorie čísel Tato část předášy je poryta ve druhé a třetí apitole Celý text velmi těsě opíruje látu vyložeou a předášách, ěteré pasáže jsou vša mírě modifiováy, aby jejich pochopeí ebo ávazost byly (z mého pohledu přirozeější Vzhledem tomu, že existuje valití a přitom a iteretu volě dostupá aglicá literatura (dva přílady jsou uvedey v sezam použité literatury, opatřil jsem moho defiic jedotlivých pojmů též jejich aglicým zěím Důazy jsou ědy ometováy až příliš, mou sahou vša bylo eechat žádého čteáře a holičách Na druhou strau vša platí, že ejlépe si pamatujeme to, a co přijdeme sami Přeji vám všem, aby vám tyto pozámy byly užitečou pomůcou při studiu a abyste úspěšě složili zoušy eje z teorie grafů Pavel Strachota 7
8
Kapitola Stadardí urs teorie grafů Záladí pojmy Úmluva Necht r N, echt V je oečá možia Potom počet prvů možiy V začíme symbolem #V Dále začíme ( V = {A V #A = r} r To zameá, že ( V r ozačuje možiu všech r-prvových podmoži možiy V Dále budeme používat ozačeí ˆ = {,, 3,, } Pozorováí Platí # ( ( V r = #V r Graf, izomorfismus grafů, samoomplemetárí grafy Defiice Necht V je oečá možia, E ( V Uspořádaá dvojice G = (V, E se azývá (eorietovaý graf V azýváme možiou vrcholů (z aglicého vertex, E možiou hra (z aglicého edge Pozáma Grafy si zpravidla představujeme ta jao a obrázu Vrcholy se zázorňují jao body (mohou představovat apřílad města Hray, což jsou dvouprvové možiy vrcholů se zobrazují jao úsečy ebo řivy spojující daé vrcholy (mohou představovat apřílad cesty mezi daými městy Řada úloh z teorie grafů má velmi orétí využití v praxi, což si uvědomíme, hed ja si pod vrcholy a hraami představíme sutečé objety, jao to uazují uvedeé přílady Důazy ěterých vět ás vša přesvědčí, že struturu grafu lze mohdy vybudovat i ad objety, teré mají daleo do právě popsaé geometricé představy grafu Úmluva Později se ve výladu vysyte formálě esprávé začeí, teré má vša ituitiví výzam Bud te G = (V, E, H = (U, F grafy, v V, e E Potom defiujeme: G H = (V U, E F (tj oba grafy spojíme do jedoho, a c b d Obráze : Schéma grafu V = {a, b, c, d}, E = {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {c, d}} 9
0 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ G\F = (V, E\F, poud F ( V, resp F E (tj z grafu G ubereme hray, teré leží v F, ( G\U = V \U, E ( V \U (tj z grafu G ubereme všechy vrcholy, teré leží v U, a všechy hray, teré z ich vedou, v {v}, e {e} (prve ztotožíme s jedoprvovou možiou, poud emůže dojít edorozuměí Dále se vysyte případ, dy budeme mluvit o grafu G, aiž specifiujeme možiy jeho vrcholů a hra Proto yí zaved me ozačeí E(G pro možiu hra grafu G a ozačeí V (G pro možiu vrcholů grafu G Pozáma Obvyle budeme používat písmea m, ve smyslu = #V a m = #E Podle předchozího pozorováí můžeme říci, že počet růzých grafů a vrcholech je (, ebot to je počet všech růzých podmoži E ( V Defiice Necht G = (V, E, H = (U, F jsou grafy Řeeme, že graf G je izomorfí s grafem H a začíme G H, jestliže existuje bijece Π : V U taová, že platí ( u, v V ({u, v} E {Π(u, Π(v} F Pozáma Grafy jsou spolu izomorfí, jestliže jsou stejé až a ozačeí svých vrcholů Bijece Π provádí právě oo přezačeí vrcholů grafu G a vrcholy grafu H Pozáma 3 Na tříprvové možiě jsou 4 avzájem růzé eizomorfí grafy Izomorfismus grafů je evivalece a možiě všech grafů o vrcholech V jedé třídě evivalece je maximálě! grafů, ebot toli je růzých bijecí (permutací a dvou -prvových možiách Neizomorfích grafů a vrcholech je tedy více ebo rovo ež (,! přičemž pro je s užitím Stirligovy formule pro vyjádřeí fatoriálu (! ( e π = ( log log e+ log (π + Defiice 4 Necht G = (V, E je graf Potom graf ( ( V Ḡ = V, \E azveme doplňem (agl complemet grafu G Platí-li G Ḡ, říáme, že G je samoomplemetárí (agl self-complemetary Pozorováí Platí Ḡ = G Na třech vrcholech eexistuje žádý samoomplemetárí graf! e π
ZÁKLADNÍ POJMY G Ḡ H H Obráze : Samoomplemetárí grafy Pozáma Necht G Ḡ Potom musí pro m = #E N 0 platit ( m = m, z čehož plye m = ( ( = N 0 4 Proto pro = a = 3 samoomplemetárí graf eexistuje, existuje vša pro = 4 a = 5 Jedoduché samoomplemetárí grafy vidíme a obrázu Pozáma Existuje-li samoomplemetárí graf a vrcholech, potom platí 0 (mod 4 ebo Platí i obráceá impliace? Stupeň vrcholu, sóre Defiice 5 Bud G = (V, E graf, v V Číslo d G (v = # {u V {u, v} E} azýváme stupěm (agl degree vrcholu v Je to počet hra, teré vedou z vrcholu v Dále defiujeme miimálí stupeň grafu G jao δ(g = mi v V d G(v, maximálí stupeň grafu G jao a průměrý stupeň grafu G jao (G = max v V d G(v ρ(g = d G (v i Pozáma Pro aždý v V platí 0 δ(g d G (v (G i= Věta 6 d G (v = #E v V Důaz Tvrzeí je zřejmé Každá hraa e = {u, v} přispěje jedičou e stupi dvou vrcholů u, v Důslede Součet stupňů v V d G(v je vždy sudý Defiice 7 Posloupost čísel (d, d,, d azveme sóre, existuje-li graf G = (V, E a vrcholech V = {v, v,, v } taový, že ( i ˆ (d i = d G (v i
KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ Přílad (, 3, 3, 4, 6, 6, 6 eí sóre, protože součet d i je lichý (,, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 8, 9 eí sóre, protože posledí vrchol v 0 by byl apoje hraou a všechy předchozí, vrchol v 9 by pa byl apoje a všechy romě jedoho Oba vrcholy v a v tedy emohou mít stupeň rove Věta 8 Necht (d, d,, d je -tice ezáporých celých čísel taová, že d d d Potom (d, d,, d je sóre, právě dyž (d, d 3,, d d+, d d+,, d je sóre Pozáma S pomocí uvedeé věty lze o libovolé -tici rozhodout, zda je to sóre Iteraci zastavíme s odpovědí e, jestliže ám v průběhu výpočtu vzie záporé číslo Dojdeme-li v p-té iteraci až ( jediému číslu d (p, ta původí -tice je sóre, právě dyž d (p = 0 Důaz : Necht existuje graf se sóre (d, d 3,, d d+, d d+,, d K tomuto grafu přidáme ový vrchol, terý hraami spojíme s prvími d vrcholy Ta zísáme graf, terý bude mít sóre (d, d,, d : Mějme graf se sóre (d, d,, d, chceme zostruovat graf se sóre (d, d 3,, d d+, d d+,, d Mohou astat dva případy: Hray z vrcholu v vedou právě do ásledujících d vrcholů v, v 3,, v d+ V tom případě vrchol v odebereme a zísáme graf se sóre (d, d 3,, d d+, d d+,, d Existuje i {, 3,, d + } taové, že {v, v i } / E To zameá, že rověž existuje j {d +,, } taové, že {v, v j } E Pro aždé / {, i, j} ta může astat právě jede z případů a ásledujícím obrázu Přerušovaé čáry ozačují, že mezi vrcholy evede hraa Na existeci hray mezi vrcholy v a v ezáleží, a proto ji v rozlišováí jedotlivých případů euvažujeme v i v v j v i v v j v i v v j v i v v j v v v v 3 4 Alespoň pro jedo vša musí astat případ 4 Kdyby totiž astávaly pouze případy, a 3, přispěl by aždý další vrchol v e stupi d j = d G (v j alespoň toli jao e stupi d i = d G (v i Protože vša předpoládáme {v, v j } E a přitom {v, v i } / E, platilo by d i < d j, což je spor s uspořádáím čísel d,, d Vezměmě tedy taové, pro ějž astává případ 4 Vyrobíme yí ový graf, jež vzie záměou hra provedeou tato: v v v i v j v i v j v v
ZÁKLADNÍ POJMY 3 Teto ový graf bude mít zřejmě stejé sóre jao graf původí Liší se vša tím, že z v vede oproti původímu grafu více hra do vrcholů v, v 3,, v d+ Potom bud astává případ (, ebo stále existuje i {, 3,, d + } taové, že {v, v i } / E, taže můžeme úvahu provedeou v případu ( opaovat Pozáma Rozhodovací algoritmus založeý a předchozí větě má složitost maximálě O( Podle důazu impliace : lze sado pro daé sóre alézt odpovídající graf Věta 9 Bud (d, d,, d -tice ezáporých celých čísel taových, že d d d Potom je-li (d, d,, d sóre, ta pro aždé i {,,, } platí i d i(i + = =i+ mi{i, d } Důaz Mějme graf G a vrcholech V = {,,, } s daým sóre Pro pevé i ˆ disutujme, teré hray přispívají do součtu prvích i stupňů d,, d i v grafu G: Hray, teré vedou mezi vrcholy {,, i}, přispívají sumě i = d dvojou Proto maximálí součet stupňů dosažeý pouze pomocí těchto hra je ( i = i(i (viz věta 6 Další hray, teré přispívají daé sumě, vedou mezi vrcholy u, v, de u {,, i} a v {i +,, } Tyto vrcholy přispívají sumě je jedičou Přitom z aždého vrcholu v z uvedeé možiy emůže zřejmě vést do prvích i vrcholů více hra, ež je i, ale ai více hra, ež je d(v Pozáma Poud avíc je i= d i sudé číslo, platí ve větě evivalece Defiice 0 Bud G = (V, E graf Graf G = (V, E taový, že V V a E (E ( V, azýváme podgrafem (agl subgraph grafu G Jestliže G G, pa se G azývá vlastím podgrafem (agl proper subgraph grafu G Graf G[V ] = (V, E ( V se azývá podgraf G iduovaý (možiou vrcholů V Obecě, jestliže pro podgraf G = (V, E grafu G platí E = (E ( V, azýváme G iduovaým podgrafem (agl iduced subgraph grafu G Pozáma Je-li G podgrafem G, ta občas též říáme, že G je adgrafem G (agl supergraph Pro relaci být podgrafem používáme možiové ozačeí G G Defiice Zavádíme ásledující pojmeováí a ozačeí pro tyto speciálí typy grafů: Úplý (agl complete graf a vrcholech K = ({,,, }, {{i, j} i, j {,,, }, i j} = Cesta (agl path dély a + vrcholech P = (ˆ {0}, {{i, i} i ˆ} ( (ˆ ˆ, Hvězda S = (ˆ {0}, {{0, i} i ˆ} Kružice (agl cycle dély C = (ˆ, {{i, i + } i {,,, }} {{, }}
4 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ a b c d f e 3 4 Obráze 3: Zobecěý graf defiovaý tato: V = {,, 3, 4} E = {a, b, c, d, e, f} ϕ(a = {, } ϕ(d = {} ϕ(b = {, } ϕ(e = {, 4} ϕ(c = {, } ϕ(f = {, 3} 3 Zobecěá defiice grafu, adjacečí matice grafu Defiice Bud te V, E oečé možiy Bud ϕ : E ( V ( V Potom uspořádaou trojici G = (V, E, ϕ azýváme graf E jsou je jméa hra ϕ aždé hraě přiřazuje její ocové vrcholy Připouští se ásobé hray i hray z vrcholu do sebe sama Defiice 3 (Zobecěá defiice orietovaého grafu Bud te V, A oečé možiy Bud ϕ : A ( V (V V Potom uspořádaou trojici D = (V, A, ϕ azýváme orietovaý graf (agl directed graph tato defiice připouští orietovaé hray (z V V i eorietovaé hray (z ( V hraa z vrcholu v do sebe sama může být reprezetováa uspořádaou dvojicí (v, v Defiice 4 Bud G = (V, E graf, = #V Adjacečí maticí (agl adjacecy matrix grafu G (maticí sousedostí rozumíme matici A G {0, },, pro jejíž prvy platí (A G ij = { pro {v i, v j } E 0 jia Pozáma 5 Adjacečí matice má ásledující zřejmé vlastosti: A G je symetricá, a tedy diagoalizovatelá, s reálým spetrem Pro taovou matici platí Tr A G = λi, de λ i jsou všecha vlastí čísla matice A G Protože ovšem ( i ˆ ((A G ii = 0, ta 0 = Tr A G = λ i Uvědomíme-li si, jaým způsobem vziá (i, j-tý prve matice A G A G = A G, ta ze symetrie A G plye ( A G = d ii G(v i Z toho dále plye λ i = Tr ( A G = d G (v i = #E i= i=
SOUVISLOST 5 Souvislost Defiice Bud G = (V, E graf Posloupost vrcholů v 0, v,, v azýváme sledem (agl wal dély, jestliže platí ( i ˆ ({v i, v i } E Sled v 0, v,, v azveme cestou (agl path dély, poud avíc ( i, j {0,,, } (i j v i v i Sled v 0, v,, v, pro terý platí v 0 = v, azýváme cylem (agl closed path dély Cylus v 0, v,, v azveme ružicí (agl cycle (! dély, poud ( i, j {0,,, } (i j v i v i Defiice Bud G = (V, E graf, u, v V Řeeme, že vrcholy u a v jsou spojey (agl lied v G, existuje-li sled v G s počátečím vrcholem u a ocovým vrcholem v, tj sled u = v 0, v,, v, v = v Pozáma Relace být spoje je evivalece a možiě vrcholů V Přitom aždý vrchol je spoje sám se sebou sledem dély 0 Defiice 3 Třídy evivalece podle uvedeé relace azýváme ompoety (agl compoet grafu G Jejich počet začíme c(g Jestliže c(g =, říáme, že graf G je souvislý (agl coected Pozáma Graf G je souvislý, právě dyž mezi dvěma libovolými vrcholy existuje sled Přílad Z 8 grafů a 3 vrcholech jsou 4 souvislé Přitom pro #V = 3 platí, že G je souvislý, právě dyž Ḡ eí souvislý Pozáma 4 Platí: G eí souvislý Ḡ je souvislý Opačá impliace eplatí Důaz Možiu vrcholů grafu G rozdělíme a jedu ompoetu V V a zbyte V V Potom mezi těmito dvěma podmožiami eexistují žádé hray Naopa v doplňu grafu G existují hray mezi libovolým u V a v V Proto mezi libovolými dvěma vrcholy existuje sled, a to maximálě dély Příladem vyvracejícím platost opačé impliace jsou grafy H a H a obrázu Počet souvislých grafů a vrcholech Ozačme s počet růzých souvislých grafů a vrcholech Přílad Obráze uazuje všechy typy souvislých grafů a 4 vrcholech, přičemž čísla pod jedotlivými grafy udávají počet izomorfích grafů stejého typu I dyž to eí pro výlad důležité, uážeme pro úplost, jaým způsobem lze a uvedeá čísla přijít (grafy oometujeme zleva doprava: Jasé Chybí jeda hraa Možostí, ja z úplého grafu odebrat hrau, je zjevě 6 3 Dvě růzé dvojice ejsou spojey hraou Prví dvojici vybereme ( 4 = 6 způsoby, druhá je již jedozačě dáa Pořadí výběru dvojic vša ehraje roli, proto je počet souvislých grafů tohoto typu rove 6 = 3 4 Z jedoho vrcholu ( zdroje evedou dvě hray (do dvou vrcholů cílů Zdroj lze vybrat 4 způsoby, cíle lze vybrat ( 3 = 3 způsoby 5 Prostředí hraa (mezi vrcholy a,b lze vybrat 6 způsoby, hray do zbylé dvojice vrcholů lze zvolit způsoby
6 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ a b a b a b a b a b a b c d c d c d c d c d c d x 6x 3x x x 4x Obráze : Souvislé grafy a 4 vrcholech 6 Jede vrchol je spoje se třemi ostatími Teto vrchol lze vybrat 4 způsoby Celem máme a 4 vrcholech s 4 = + 6 + 3 + + + 4 = 38 souvislých grafů Ja sado spočítat s pro libovolé uazuje ásledující věta Věta 5 Bud s počet souvislých grafů a vrcholech Potom platí ( = = ( s ( Důaz Uvedeou rovost doážeme zajímavou úvahou Vyjádříme počet všech uspořádaých dvojic (G, x de G je graf a vrcholech a x je jede z vrcholů tohoto grafu, a to dvěma způsoby Počet všech grafů je (, v aždém z ich lze vrchol x zvolit způsoby, uvedeých dvojic je tedy P = ( Zvolme pevě ˆ Počet dvojic (G, x, de x se achází v ompoetě grafu G, terá má vrcholů, je ( p = s (, protože: (a ( způsoby lze vybrat vrcholů z, (b způsoby lze z vybraých vrcholů zvolit vrchol x, (c s je počet růzých ompoet (souvislých podgrafů, teré lze a vybraých vrcholech vytvořit (d a ( je počet všech grafů (a vrcholech, teré mohou být vytvořey a vrcholech, teré jsme evybrali Protože pro pro aždou dvojici (G, x se x zřejmě achází v ompoetě o počtu vrcholů alespoň a ejvýše, platí ( = P = = p Pozáma Po vyděleí přejde rovost a tvar ( = = ( s (
SOUVISLOST 7 Přílad Protože už víme, že s =, s =, s 3 = 4, lze dosazeím do reuretího vzorce pro = 4 zísat postupě 4 ( 3 (4 = s (4 = 64 = 8 + 6 + + s 4 38 = s 4 Je vidět, že jsme se v ašich úvahách předvedeých v předchozím příladu espletli Adjacečí matice souvislého grafu Věta 6 Bud A G adjacečí matice grafu G, echt ˆ Potom prve sledů dély z vrcholu v i do vrcholu v j Důaz Tvrzeí sado doážeme iducí podle : pro = : Podle defiice platí (A G ij = { pro {v i, v j } E 0 jia, ( A G ij je rove počtu což zjevě představuje počet sledů dély (což jsou přímo hray z v i do v j idučí ro + : Platí ( ij = A + G l= ( A G (A G lj = il l= {v l,v j} E ( A G il } {{ } (* ( představuje počet sledů dély z v i do v l Sčítá se vša pouze přes taové vrcholy v l, z ichž vede hraa do vrcholu v j Proto ( rověž představuje počet sledů dély + z v i do v j taových, že předposledím vrcholem v sledu je v l Součtem přes všechy taové v l dostaeme celový počet sledů dély + z v i do v j Důslede Necht A G je adjacečí matice grafu G = (V, E, = #V Potom G je souvislý právě tehdy, dyž A G > 0, =0 tj právě dyž všechy prvy uvedeé matice jsou ladé Důaz Je zřejmé, že mezi dvěma růzými vrcholy existuje sled, právě dyž mezi imi existuje cesta (Ze sledu obsahujícího vícerát stejý vrchol lze odstrait všechy úsey, teré leží mezi dvěma výsyty tohoto vrcholu ve sledu, čímž aoec zísáme cestu Každá cesta v grafu a vrcholech má délu maximálě : ( G je souvislý ( pro i, j ˆ, i j, existuje cesta (a tedy i sled z v i do v j ějaé dély A G > 0 =0 ij A G > 0 Každý prve uvedeé matice je tedy ladý : i, j ˆ ( =0 A G ij do v j G je souvislý ij > 0 {,, } ta, že ( A G > 0 existuje sled (dély z v i ij
8 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ x y z u Obráze 3: Cesty P x a P y 3 Bipartití grafy Defiice 3 Řeeme, že graf G = (V, E je bipartití (agl bipartite, existuje-li rozlad možiy V a dvě disjutí eprázdé možiy V, V taový, že E ( V ( =, E V =, tj taový, že mezi žádými dvěma vrcholy z V ai mezi žádými dvěma vrcholy z V evede hraa Pozáma 3 Jestliže je G bipartití, lze očíslovat vrcholy ta, že prvích vrcholů leží ve V a zbylých vrcholů ve V Adjacečí matice má potom tvar ( 0 B A G = B T 0 Naopa: G je bipartití, existuje-li permutace vrcholů (a tedy zároveň řádů i sloupců matice A G taová, že A G má uvedeý tvar Defiice 33 Bipartití graf G = (V V, E se azývá úplý, jestliže ( u V ( v V ({u, v} E Věta 34 Bud G = (V, E graf, #V Potom G je bipartití právě tehdy, dyž eobsahuje ružici liché dély Důaz : Libovolá ružice prochází střídavě vrcholy z V a V Zvolíme-li ějaý vrchol za počátečí a půjdeme po ružici, aoec se do tohoto vrcholu vrátíme Jdeme tedy ěolirát z V do V a zpět, taže ružice emůže mít lichou délu : Nejprve předpoládejme, že G je souvislý Necht tedy v G eexistuje ružice liché dély Zvolme libovolě u V a defiujme ejratší cesta z u do v má sudou délu V = {v V ejratší cesta z u do v má sudou délu}, V = V \V Protože G je souvislý, ta vrcholy z V mají ejratší cestu do u liché dély Platí zřejmě u V, V V = a avíc z u určitě vede ějaá hraa, třeba do vrcholu z, což zameá, že z V (ejratší cesta z u do z je po jedié hraě, tj má délu, a to je liché číslo V i V jsou tedy eprázdé Uážeme sporem, že ve V evede hraa: Necht ( x, y V ({x, y} E Bud P x ejratší cesta z u do x, podobě P y ejratší cesta z u do y P x i P y jsou sudé dély Ozačmě z ejbližší bod od bodů x, y a cestách P x a P y, terý je pro obě cesty stejý (v rajím případě může být tímto bodem i u, viz obráze 3 Potom úse cesty P x mezi z a u je stejě dlouhý jao tetýž úse po cestě P y Kdyby tomu ta ebylo, mohli bychom te ratší z ich (echt je to třeba úse P x použít pro vytvořeí ratší cesty z y do u, což je spor s volbou P y jao ejratší cesty Z toho ale plye, že sled složeý z úseů x do z po P x,
4 STROMY 9 z do y po P y, 3 y do x po hraě {x, y} je ružice liché dély, což je spor Je to proto, že cesta x z u z y je sudé dély, její úse z u z, po terém ejdeme, je vša taé sudé dély, a ta i cesta x z y musí být sudé dély Hraa {x, y} ji pa uzavírá a ružici liché dély Zcela stejě uážeme, že ai mezi vrcholy z V evede hraa Jestliže G eí souvislý, provedeme důaz pro jeho ompoety G (,, G (m a zísáme ta možiy V (,, V (m a V (,, V (m Potom defiujeme V = V = m j= m j= V (j V (j Pozáma Necht G = (V, E je souvislý Potom zobrazeí d : V V N 0 defiovaé jao d(u, v =déla ejatšího sledu z u do v je metria a možiě vrcholů v Číslo d(u, v azýváme vzdáleostí vrcholů u, v v grafu G 4 Stromy Defiice 4 Graf, terý eobsahuje ružice, azýváme les (agl forest Souvislý les azýváme strom (agl tree Pozáma Každý les je bipartití graf Pozorováí 4 Graf G = (V, E je strom právě tehdy, dyž pro aždé u, v V, u v existuje právě jeda cesta z u do v Důaz : G je strom G je souvislý pro aždé dva růzé vrcholy u, v existuje cesta z u do v Dále postupujme sporem: echt existují růzé cesty z u do v Potom ajdeme prví vrchol ve směru od u, de se obě cesty rozdělí, a dále ajdeme prví vrchol, de se opět spojí Úsey obou cest mezi alezeými vrcholy tvoří zřejmě ružici, což je spor : Mezi aždými dvěma vrcholy vede právě cesta G je souvislý Nyí opět sporem: echt v G existuje ružice Vezmeme-li libovolé dva vrcholy z této ružice, je zřejmé, že mezi imi existují dvě růzé cesty Věta 43 Necht G = (V, E je souvislý, = #V Potom G je strom, právě dyž #E = Důaz Při důazech obou směrů evivalece postupujme iducí podle : : Necht G je strom Pro = máme zřejmě E =, taže #E = 0 = Idučí ro: Necht G je strom a vrcholech, e = {u, v} E jeho libovolá hraa Sestrojíme graf G = (V, E\e Potom G je les, ebot určitě eí souvislý: mezi aždými dvěma vrcholy existovala totiž jediá cesta, tudíž i mezi u a v existovala cesta je po hraě e Počet ompoet grafu G je, dyby to bylo více, emohli bychom vráceím jedé hray e zísat souvislý graf Tyto ompoety jsou tedy stromy, echt mají počty vrcholů a Potom mají počty hra a, a po přidáí hray e do G zísáme zpět graf G, jež má počet hra ( + ( + = :
0 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ Necht #E = Platí i V d(i = #E = (, a G je souvislý, tudíž d(i pro aždý i V Proto existuje vrchol i taový, že d(i = Sestrojíme graf G = (V \i, E\{i, x}, de x je vrchol, do ějž vede jediá hraa z i Potom je G stále souvislý (žádá cesta mezi dvěma vrcholy u, v (u i, v i samozřejmě evedla přes i, a tudíž z idučího předpoladu je to strom, jež má vrcholů a hra Přidáme-li zpětě vrchol i a hrau {i, x} do G, ružici evytvoříme, a tedy vzie strom a vrcholech s hraami Věta 44 Necht Potom existuje stromů a vrcholech Než tuto větu doážeme, vyslovíme a doážeme ásledující lemma: Lemma 45 Necht (d,, d jsou přirozeá čísla taová, že d i = ( Potom existuje N (d,,d = (! (d!(d! (d! stromů a vrcholech {,, } taových, že i ˆ je d(i = d i Důaz Podmía d i = ( je utá pro to, aby (d,, d bylo sóre Dále důaz vedeme iducí podle : Pro = je d = d = a vztah platí zřejmě Idučí ro : Ze stejého důvodu jao v miulém důazu existuje ta, že d = Bez újmy a obecosti ( BÚNO předpoládejme, že d = a mějme tedy graf se sóre (d,, d, Ubereme-li yí -tý vrchol, z ěhož jediá hraa vedla do vrcholu i (de utě d i, zísáme graf a vrcholech se sóre (d,, d i,, d Ke aždému stromu a vrcholech se sóre (d,, d, tedy existuje i ta, že se teto strom sládá ze stromu a vrcholech se sóre (d,, d i,, d, z vrcholu a z hray {i, } Počet stromů a vcholech s uvedeým sóre ale umíme spočítat dle idučího předpoladu Proto platí: N (d,,d = i= d i N (d,,d i,,d = i= d i rozšíříme (d i a díy tomu můžeme sčítat již přes všecha i = i= ( 3! (d i ( 3! (d! (d i! (d! = = (! (d! = ( 3! (d! (d i! (d! = P (( di ( =( ( = {}}{ 0! }{{} (d i i= = (d! (d! = Nyí můžeme provést důaz věty 44: Důaz Ozačme si Počet stromů a vrcholech je rove N = ( i ˆ(d P i di=( ( i ˆ (α i = d i N (d,,d = ( i ˆ(d P i di=( (! = (d! =
5 HLEDÁNÍ MINIMÁLNÍ KOSTRY GRAFU = ( i ˆ(α P i 0 αi= (! = α! = Pozáma Posledí rovost je apliací zobecěé biomicé věty, tzv -omicé věty, terou lze celem sado doázat iducí použitím stadardí biomicé věty Jedá se o vztah ( i ˆ(α P i 0 αi=! α j! j= x α xα xα = ( i ˆ(α P i 0 αi= ( ( α α α = (x + x + + x ( α j α x α xα xα = Přílad Moleuly acylicých uhlovodíů si lze představit jao stromy, de vrcholy představují atomy uhlíu (C a vodíu (H Hray pa představují vazby mezi imi Ja zámo, uhlí je čtyřvazý a vodí je jedovazý Nasýtá se otáza, ja a záladě této zalosti vyjádřit sumárí vzorec uhlovodíů ve tvaru C a H b Využijeme vztahu di = #E = ( terý je pro áš případ možo přepsat do podoby 4a + b = (a + b Z toho dostaeme, že b = a +, taže sumárí vzorce acylicých uhlovodíů mají tvar C H + 5 Hledáí miimálí ostry grafu Necht je dá souvislý graf G = (V, E a zobrazeí c : E (0, +, teré přiřazuje hraám jejich ceu Úolem je ajít taovou podmožiu Ẽ E, že graf G = (V, Ẽ je souvislý a přitom cea c (E := e Ẽ c(e je miimálí Této úloze říáme úloha a alezeí miimálí ostry grafu Pozorováí G bude strom Důaz Poud G eí strom, pa v G je ružice Je tedy možé ubrat hrau, aiž se poruší souvislost grafu, a cea c(ẽ se přitom síží Pro hledáí miimálí ostry v grafu je možo použít ásledující algoritmus, terý je příladem tzv hladového (greedy algoritmu Algoritmus 5 (Krusalův algoritmus ostruce miimálí ostry Uspořádej hray z E podle jejich cey od ejlevější ejdražší Bud T možia hra, iicializovaá a T := Obsahuje-li T hray f,, f i, vyber ejlevější hrau f i+ taovou, že graf G i+ = (V, T {f i+ } eobsahuje ružici, a zařad ji do T Teto ro opauj, doud to jde
KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ Je zřejmé, že v oamžiu uočeí bude G = (V, T souvislý a bude to tedy strom Druhý ro algoritmu se bude opaovat právě ( -rát Věta 5 Krusalův algoritmus ostruuje strom s miimálí ceou Důaz Ozačme T Kr možiu hra dodaých Krusalovým algoritmem Defiujme možiu T = {T E graf (V, T je souvislý a c(t je miimálí }, tj jao možiu všech vhodých výběrů hra, a ichž se abývá miima cey Důaz provedeme sporem: předpoládejme tedy, že T Kr / T Potom lze oretě defiovat zobrazeí g : T {,,, } vztahem g(t = mi {i f i / T Kr } Necht T T je taová možia hra, že := g( T = max T T g(t Přidáme-li hrau f do T, vzie možia hra, a tedy graf (V, T obsahuje ružici V í musí ležet ějaá hraa e / T Kr, protože jia by graf (V, T Kr emohl být strom Sestrojme ovou možiu vrcholů T = T {f }\{e}, tj vyjměme hrau e ze zmiňovaé ružice Potom graf (V, T zůstává souvislý, avíc # T =, a je to tedy strom Pro ceu platí c( T = c( T + c(f c(e Abychom zjistili, ja vysoá je cea T v porováí s ceou T, uvažujme tato: V -tém rou se Krusalův algoritmus rozhodl pro hrau f a ioli pro hrau e, přičemž se pro e rozhodout mohl, protože hray{f,, f, e} T a tyto hray tedy etvoří ružici Důvodem, proč se algoritmus rozhodl pro f, musí tedy být c(f c(e Z toho plye, že taé c( T c( T, ale protože už c( T byla miimálí, musí zde platit rovost Každopádě T T Ovšem T obsahuje i hrau f, taže g( T >, což je spor s volbou 6 Jedotažy Název apitoly eformálě vystihuje vlastost tzv eulerovsých grafů, teré je možé areslit jedím tahem Vše, co bude řečeo o eulerovsých grafech, lze apliovat i a zobecěé grafy ve smyslu defiice Úmluva 6 Bud G = (V, E graf, v 0, v,, v sled v G Potom teto sled zapisujeme taé jao v 0 e v e v e v, přičemž ( i {,,, } (e i = {v i, v i } Defiice 6 Graf G = (V, E, resp G = (V, E, ϕ, se azývá eulerovsý (agl euleria, existuje-li v ěm eulerovsý cylus (agl Euler tour v 0 e v e v e m v m taový, že a E = {e,, e m }, tj m = #E ( i, j {,,, m} (i j e i e j } Pozáma Řeeme, že sled v 0 e v e v e v je tah (agl trail v G, jestliže ( i, j {,,, } (i j e i e j } Věta 63 Bud G = (V, E souvislý graf Potom G je eulerovsý, právě dyž ( v V (d(v je sudý
7 HAMILTONOVSKÉ KRUŽNICE A GRAFY 3 3 Obráze 6: Tvorba cylu v eulerovsém grafu Důaz : G je eulerovsý, v G tedy existuje cylus, terý projde všechy hray, a to aždou právě jedou Půjdeme-li po tomto cylu, je zřejmé, že vstoupíme do aždého vrcholu právě tolirát, olirát z ěj vystoupíme, a to idy po hraě, po teré jsme již prošli Z toho plye, že a aždý vrchol je apoje sudý počet hra : Když má aždý vrchol sudý stupeň, ta jede (v vybereme a vydáme se po libovolé hraě, terá z ěj vede Z vrcholu, do ějž jsme se dostali, poračujeme stejým způsobem dál Přitom za sebou obarvujeme hray a idy se evydáme po hraě, terá je již obarveá Je zřejmé, že jediý vrchol, z ějž už ebudeme schopi poračovat dál, je te, ze terého jsme začíali Potom už jsme bud prošli všechy hray, ebo z ěolia vrcholů vede eulový, ale sudý počet dosud eobarveých hra Vybereme jede (v taový, terý leží a cylu, terý jsme již obarvili (to musí být možé, jia by graf ebyl souvislý Z ěj začeme ový cylus Po jeho doočeí oba cyly sjedotíme, a to ta, že původí cylus začeme ve v, přerušíme jej ve v, provedeme druhý cylus, a ásledě doočíme cylus původí Úvahu lze opaovat, doud existují eobarveé hray Právě popsaý postup je zázorě a obrázu 6 Pozáma Existují taé tzv áhodě eulerovsé grafy, teré mají jede vrchol s tou vlastostí, že při áhodém průchodu grafu a barveí cest za sebou lze vždy poračovat po eobarveých hraách až a případ, dy se acházíme ve startovím vrcholu a všechy hray už jsou obarveé Pozáma Uvažujme jedotažy taové, že je možé je amalovat jedím tahem a přitom začít a sočit v obecě růzých vrcholech Tyto jedotažy jsou právě taové souvislé grafy, teré splňují jedu z ásledujících dvou podmíe (viz obráze 6: Všechy vrcholy mají sudý stupeň Právě dva vrcholy mají lichý stupeň 7 Hamiltoovsé ružice a grafy Defiice 7 Řeeme, že ružice v grafu G = (V, E je hamiltoovsá (agl Hamilto cycle, jestliže má délu = #V Řeeme, že cesta v G je hamiltoovsá (agl Hamilto path, jestliže má délu Graf G se azývá hamiltoovsý (agl hamiltoia, jestliže obsahuje hamiltoovsou ružici
4 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ start cíl Obráze 6: Jedotaža se startovím a cílovým vrcholem Pozáma Půjdeme-li po hamiltoovsé cestě, projdeme aždým vrcholem grafu právě jedou Půjdemeli po hamiltoovsé ružici, vrátíme se avíc do vrcholu, z ějž jsme vyšli Každý hamiltoovsý graf obsahuje hamiltoovsou cestu Pozáma Problém existece hamiltoovsé ružice v obecém grafu je NP-úplý To zhruba zameá, že jej eí možé řešit algoritmem s lepší ež expoeciálí složitostí Věta 7 (Chvátal, 97 Necht G = (V, E je graf a x, y dva jeho vrcholy taové, že d G (x + d G (y a přitom {x, y} / E Potom G je hamiltoovsý právě tehdy, dyž G = (V, E {x, y} je hamiltoovsý Důaz : Zřejmé : Důaz provedeme sporem Necht G je hamiltoovsý a G eí Ozačme si hamiltoovsou ružici jao x = v, v,, v, v = y, tj jao a obrázu: x v v Ozačme E = E {x, y} a dále defiujme možiy v + v {x, y} y T = {i {x, v i+ } E }, S = {j {y, v j } E } Potom paltí, že S T = Kdyby totiž existovalo S T, astala by tato situace: v + v x v v y Uvedeme bez detailů jedu z moha defiic NP-úplosti (viz []: Problém je otáza, a iž očeáváme odpověd ANO/NE Problém je třídy NP, existuje-li edetermiisticý algoritmus s ejvýše polyomiálí složitostí, terý jej rozhoduje Problém P 0 je NP-těžý, lze-li a ěj polyomiálě trasformovat libovolý problém P třídy NP, tj jedozačá trasformace zadáí P a zadáí P 0 má ejvýše polyomiálí složitost Problém je NP-úplý, jestliže je NP-těžý a je třídy NP Jsou zámy desíty NP-úplých problémů Přitom, vzhledem defiici NP-úplosti, ajde-li se determiisticý algoritmus rozhodující jede z těchto problémů s polyomiálí složitostí, bude možé rozhodout aždý NP-úplý problém s polyomiálí složitostí Dosud se vša taový algoritmus eašel a proto se věří, že NP-úplé problémy elze řešit v polyomiálím čase Neí to vša doázáo Koečě, aždý edetermiisticý algoritmus s polyomiálí složitostí lze sado převést a determiisticý algoritmus s expoeciálí složitostí, což odůvodňuje formulaci aší pozámy
7 HAMILTONOVSKÉ KRUŽNICE A GRAFY 5 Jiými slovy, existovala by hamiltoovsá ružice i v původím grafu G, bez přidáí hray {x, y} Díy tomu platí #(S T = #S + #T a avíc zřejmě #S = d G (y, #T = d G (x Sado si ověříme, že 0 / T a hlavě / S T Proto což je ovšem spor s předpoladem věty > #(S T = #S + #T = d G (y + d G (x, Chvátalova věta ás opravňuje ásledující defiici : Defiice 73 Uzávěrem grafu G = (V, E rozumíme miimálí adgraf C(G = (V, Ẽ grafu G taový, že pro aždé x, y V, x y platí {x, y} / E d C(G (x + d C(G (y < (= #V Pozáma 74 Uzávěr grafu je defiová jedozačě Důaz Koretost (tedy jedozačost defiice doážeme ta, že popíšeme algoritmus ostruce C(G: Ozačíme G (0 := G Dále echt i := 0 Používejme ozačeí G (i = (V, E (i Přiřadíme E (i+ := E (i 3 Procházíme všechy dvojice vrcholů x, y grafu G (i = ( V, E (i, teré ejsou v hraě, a poud platí d G (i(x + d G (i(y, přidáme hrau {x, y} do E (i+ Poté, co projdeme všechy taové dvojice, vzie ový graf G (i+, v ěmž díy přidaým hraám mohly vziout další dvojice, de d G (i+(x + d G (i+(y 4 i := i + Jdeme a ro, doud eastae G (i+ = G (i, tj ebylo již uté ic přidávat V rajím případě to astae teprve tehdy, dyž G (i je už úplý graf 5 C(G := G (i Důslede 75 Graf G je hamiltoovsý, právě dyž C(G je hamiltoovsý Důaz Postupé přidáváí taových hra do G, pro teré součet stupňů jejich ocových vrcholů je alespoň, podle Chvátalovy věty eměí hamiltoovsost grafu G Triviálím důsledem předchozího tvrzeí je i věta, terou vša ezávisle a Chvátalovi formuloval Dirac (mladší již v roce 95: Věta 76 (Dirac, 95 Necht G = (V, E je graf, = #V Jestliže δ, potom G je hamiltoovsý Důaz Podmía δ zřejmě vyucuje, aby C(G byl úplý graf, terý je samozřejmě hamiltoovsý Proto i G je hamiltoovsý Lze tedy shrout, že postačující podmíou pro to, aby graf byl hamiltoovsý, je dostate hra Věta 77 Necht G = (V, E je graf se sóre d d d Jestliže sóre G má vlastost ( < (d d, pa G je hamiltoovsý
6 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ Důaz Stejě jao v důazu Diracovy věty se uáže, že uvedeá podmía již impliuje C(G = K Věta 78 Necht G = (V, E, x / V Ozačme G = (V {x}, E {{x, v} v V } Potom G obsahuje hamiltoovsou cestu, právě dyž G je hamiltoovsý Důaz je téměř zřejmý Věta 79 Každý samoomplemetárí graf obsahuje hamiltoovsou cestu Důaz Necht G = (V, E je samoomplemetárí graf, s vrcholy uspořádaými ta, že jejich stupě (sóre grafu G splňují d d d Potom jeho doplě má sóre d }{{} d }{{} d d d }{{ } d G je ovšem samoomplemetárí, tj G Ḡ, eboli oba grafy jsou až a ozačeí vrcholů stejé Vzhledem vzestupému uspořádáí vcholů grafu G podle veliosti jejich stupňů pa musí platit vztah azačeý svorami: ( i ˆ (d i = d + i Nyí z G utvoříme graf G = (V {x}, E {{x, v} v V } de x / V a o ěm uážeme, že je hamiltoovsý Uděláme to ta, že ověříme podmíu věty 77 Potom z věty 78 již plye doazovaé tvrzeí Ozačme si d i stupě vrcholů grafu G Potom zřejmě pro všecha i ˆ platí d i = d i + a d + = Zvolme yí < + a ověřme zmíěou podmíu Postupě platí d d + ( d + + d + ( + < (d + + ( + d (+ 8 Párováí v grafech Defiice 8 Bud G = (V, E graf Párováí (agl matchig v G je podmožia M E taová, že ( e, f E (e f e f =, tj žádé dvě hray esdílí ocový vrchol Defiice 8 Řeeme, že párováí M je maximálí, poud pro aždé jié párováí M platí #M #M Přílad K tomuto párováí elze přidat žádou hrau, ale eí to maximílí párováí: Maximálí párováí je až toto: Defiice 83 Necht M je párováí v G = (V, E Vrchol v V taový, že ( e M (v e, azýváme M-saturovaý Je-li aždý vrchol z V M-saturovaý, říáme, že M je perfetí párováí Pozáma Každé perfetí párováí je maximálí Nutá podmía pro existeci perfetího párováí je, aby #V byl sudý Pozáma Tato se zlepšovala složitost zámých algoritmů pro alezeí perfetího párováí: 965 O( 4 969 O( 3
8 PÁROVÁNÍ V GRAFECH 7 beze eexistuje Obráze 8: Bezeové jádro a teoreticé sloučeiy 974 O( m (přitom ovšem m ( = O( 980 O( m Pozáma Necht G = (V V, E je bipartití graf (třeba možia že a mužů - hray pa určují, do se s ým zá Ptejme se, zda má graf perfetí párováí (zda si aždý může vybrat partera mezi těmi, teré zá, a ido ezůstae sám Nutou podmíou je zřejmě #V = #V Dále si připomeňme, ja vypadá adjacečí matice bipartitího grafu s vhodě uspořádaými vrcholy: ( 0 B A G = B T, 0 de B = (b ij Je-li π S, tj je to permutace π : ˆ ˆ, pa M = { {v i, v π(i } i ˆ } představuje perfetí párováí, právě dyž b π( b π( b π( = Počet perfetích párováí v G je potom rove permaetu matice B, tj číslu per B = π S b π( b π( b π( Na rozdíl od výpočtu determiatu je vša výpočet permaetu matice NP-úplá úloha O existeci perfetího párováí v bipartitím grafu tedy eí vhodé rozhodovat a záladě podmíy per B > 0 Následující výlad uáže mimo jié postačující podmíu existece perfetího párováí Přílad Pojem perfetí párováí ealézá uplatěí pouze v taečích ursech, ýbrž apřílad i v orgaicé chemii Ja zámo, dvojé vazby v bezeovém jádře emají ve sutečosti jedozačé umístěí, a proto se ědy v jeho vzorci reslí místo samotých vazeb je olečo Platí, že utou podmíou pro existeci sloučeiy složeé z bezeových jader je, aby graf tvořeý jejím vzorcem měl perfetí párováí Přitom sloučeia je tím stabilější, čím více růzých perfetích párováí existuje (viz obráze 8 Defiice 84 Necht M je párováí v grafu G = (V, E Řeeme, že cesta v 0, v,, v je M-střídající, poud i {,,, } platí {v i, v i } M {v i, v i+ } / M M-střídající cestu v 0, v,, v azveme M-zlepšující, poud vrcholy v 0 a v ejsou M-saturováy
8 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ v v 0 v 3 v v 4 Obráze 8: M-střídající cesta Pozáma Každá M-zlepšující cesta má zřejmě lichou délu Na obrázu 8 je M-střídající cesta, terá eí M-zlepšující Ai její úse v,, v 4 eí M-zlepšující, protože vrchol v je M-saturová V ásledujících důazech bude potřeba si podobé sutečosti plyoucí z defiic dobře uvědomovat Defiice Bud te A, B dvě možiy Symetricou diferecí moži A, B rozumíme možiu A B = (A\B (B\A = (A B \ (A B Věta 85 (Berge, 957 Párováí v grafu G je maximálí právě tehdy, dyž v G eexistuje M-zlepšující cesta Důaz Oba směry evivalece doážeme sporem : Necht M je maximálí a přitom existuje M-zlepšující cesta, terou ozačíme P Defiujeme yí párováí M = M P Řečeo slovy: M vzie ta, že mimo cestu echáme M ja je a a cestě dáme do M aopa je ty hray, teré ejsou v M Je zřejmé, že M bude opět párováí, přičemž #M > #M, a to je spor : Necht v G eexistuje M-zlepšující cesta a přitom M eí maximálí Potom existuje párováí M taové, že #M > #M Defiujme yí graf H = (V, M M Potom je zřejmé, že H se sládá je z ružic a cest, a ichž se střídají hray z M a z M (to taé zameá, že v H jsou všechy ružice sudé dély Protože #M > #M, ta taé M M obsahuje více hra z M ež z M Z toho plye, že v H musí existovat alespoň jeda cesta liché dély, terá obsahuje + ( N 0 hra, z toho hra je z M a + hra je z M, a avíc její ocové vrcholy ejsou M-saturováy v G (Posledí vlastost lze formulovat i ta, že uvedeá cesta eí vlastím podgrafem ějaé cesty v H - ejde už prodloužit Tato cesta je ovšem M-zlepšující, což je spor 8 Párováí v bipartitích grafech Defiice 86 Možiou sousedů (agl eighbours vrcholu v v grafu G = (V, E rozumíme možiu N(v = {u V {u, v} E} Možiou sousedů vrcholů z možiy S V rozumíme možiu N(S = v S N(v Věta 87 (Hall, 935 Necht G = (V V, E je bipartití graf Potom v G existuje párováí saturující celé V právě tehdy, dyž ( S V (#N(S #S
8 PÁROVÁNÍ V GRAFECH 9 Důaz : Je-li celé V saturováo, je aždý vrchol z V spárová s ějaým vrcholem z V Pro libovolou S V je tedy #S vrcholů z V spojeo s ejméě #S vrcholy z V, taže #N(S #S : Sporem Bud M maximálí párováí v G, teré podle předpoladu esaturuje celé V Existuje tedy u V taové, že eí M-saturováo Poud zvolíme S = {u}, ta #N(S, taže d(u Defiujme možiy X = {v V z u do v existuje M-střídající cesta}, Y = {v V z u do v existuje M-střídající cesta} Potom zřejmě u X (existuje M-střídající cesta dély 0 z u do u Protože u eí M-saturová, ta a M-střídajících cestách z u do vrcholů ve V i V eí prví hraa z M Po aždé taové cestě tedy jdeme z V do V po hraě, terá eí v M, a do V se vracíme po hraě, terá je v M Dále platí, že aždá maximálí 3 M-střídající cesta vycházející z u očí ve V, protože v opačém případě by byla M-zlepšující To by ale podle Bergeovy věty byl spor s tím, že M je maximálí párováí Každý vrchol v Y je tedy spoje hraou z možiy M s ějaým vrcholem w X, w u Je taé jasé, že aždý soused libovolého vrcholu z X musí ležet v Y Shreme-li provedeé úvahy, lze psát #X = #Y + a taé taže #X > #Y = #N(X, což je spor N(X = Y, Důslede 88 Když G = (V V, E je bipartití graf, ta v G existuje perfetí párováí, právě dyž ( S V (#N(S #S a zároveň ( S V (#N(S #S Defiice 89 Graf G = (V, E azveme r-regulárí, jestliže tj ( v V (d G (v = r δ(g = (G = r, Důslede 80 ( sňatový problém Necht G = (V V, E je r-regulárí bipartitií graf, r Potom G má perfetí párováí Důaz Ověříme předpolady a pravé straě evivalece v důsledu 88 Vezměme S V, ozačme E možiu hra, teré mají jede oec v S (druhé oce těchto hra tvoří N(S a dále ozačme E možiu hra, teré mají jede oec v N(S Potom je zřejmé, že E E, taže #E #E Z r-regularity grafu G vša plye #E = r #S, #E = r N(S Po zráceí číslem r > 0 dostáváme pro libovolou podmožiu S V erovost #N(S #S Naprosto totéž lze provést i pro S V, čímž je důaz uoče Pozameejme, že z obou erovostí též oamžitě plye samozřejmá podmía #V = #V Věta 8 Necht G = (V, E je graf Potom v G existuje perfetí párováí, právě dyž ( S V (#S o(g\s, de o(g\s je počet ompoet grafu G\S, teré mají lichý počet vrcholů
30 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ S L S Obráze 83: Kompoety se sudým (S a lichým (L počtem vrcholů Důaz Uážeme pouze impliaci zleva doprava, opačý směr je obtížý Pro libovolou S V lze situaci zázorit jao a obrázu 83 V původím grafu zřejmě emohla existovat ompoeta s lichým počtem vrcholů, protože v í elze alézt párováí saturující všechy vrcholy Po odebráí možiy S vzie určitý počet ompoet s lichým počtem vrcholů, a aždá z ich musí obsahovat alespoň jede vrchol, terý je v perfetím párováí spárová s vrcholem z S To už zameá, že #S o(g\s 9 Toy v sítích Defiice 9 Necht V je oečá možia, A V V Uspořádaou dvojici D = (V, A azýváme orietovaým grafem (agl directed graph, digraph Prvy možiy A se azývají orietovaé hray (agl arcs Defiice 9 Necht D = (V, A je orietovaý graf, X V, Y V, X, Y a echt je dáo zobrazeí c : A N Potom uspořádaá čtveřice (D, X, Y, c se azývá sít (agl etwor Vrcholy z X se azývají zdroje (agl sources, vrcholy z Y spotřebiče (agl sis, vrcholy z I := V \X\Y se azývají uzlové body (agl itermediate vertices Pro a A představuje c(a apacitu hray a Defiice 93 Necht N = (D, X, Y, c je sít Zobrazeí f : A R + 0 platí azveme toem v síti N, jestliže ( a A (f(a c(a, tj to po hraě je omeze její apacitou, ( ( v I f ((u, v = f ((v, u, tj v uzlových bodech platí, že co do vrcholu vtéá, (u,v A (v,u A to z ěj taé vytéá Defiice 94 Necht f je to v síti N = (D, X, Y, c Necht S V je taová, že X S, S Y = Ozačme S = V \S Potom dvojici (S, S azýváme řezem (agl cut v síti N Kapacitou řezu (S, S rozumíme číslo c ( (S, S = c ((u, v (u,v A u S,v S Dále ozačme f + (S = f(u, v f(u, v (u,v A (u,v A u S,v S u S,v S 3 Maximálí M-střídající cestou rozumíme taovou cestu, terá eí vlastím podgrafem ějaé M-střídající cesty Jiými slovy to zameá, že už ejde prodloužit, aiž by přestala být M-střídající
9 TOKY V SÍTÍCH 3 x 3 II IV a 3 III III I 0 V II b c y c((s, S = 6 c((s, S = 5 c((s 3, S 3 = 8 Obráze 9: To v síti a miimálí řez Číslo val f := f + (X azýváme hodotou tou f (agl value of f v síti N Pozáma Je sadé uázat, že pro aždý řez (S, S v síti N platí f + (S = f + (X Formálě by to bylo možé provést postupou ostrucí možiy S z možiy X přidáváím vrcholů jedoho po druhém Z defiice tou f pa plye, že přidáí jediého vrcholu do S ezměí hodotu f + (S Defiice 95 To f v síti N azveme maximálí, jestliže pro aždý jiý to f v N platí val f val f Pozorováí 96 Pro aždý to f a řez (S, S v síti N platí val f c ( (S, S Pozáma 97 Speciálě platí, že hodota maximálího tou je ež hodota miimálího řezu, tj řezu s ejmeší apacitou Najdeme-li to f a řez (S, S ta, že pa to f je maximálí a řez (S, S je miimálí val f = c ( (S, S, Přílad Na obrázu 9 jsou římsými číslicemi vyzačey apacity hra a arabsými číslicemi to f po jedotlivých hraách Dále jsou tam vyzačey řezy (S, S, (S, S, (S 3, S 3 a jejich apacity Protože val f = 5 = c ( (S, S, je řez (S, S miimálí a to f je maximálí Pozáma Každou sít lze sado převést a sít s jediým zdrojem a jediým spotřebičem Přidáme zdroj x 0, spotřebič y 0 a všechy původí zdroje spojíme s vrcholem x 0 hraami o dostatečě velé apacitě (apř rové součtu všech apacit v síti To samé provedeme pro spotřebiče Díy tomu můžeme dále bez újmy a obecosti uvažovat pouze sítě s jediým zdrojem a jediým spotřebičem, teré budeme místo (D, {x 0 }, {y 0 }, c začit je jao (D, x 0, y 0, c 9 Hledáí maximálího tou pomocí f-easyceých cest Defiice 98 Necht f je to v síti N = (D, x 0, y 0, c a echt P je eorietovaá 4 počátečím vrcholem x 0 Pro aždou hrau a P 5 položme { c(a f(a je-li a (a cestě P orietováa ve směru z x 0 ι(a = f(a je-li a (a cestě P orietováa ve směru do x 0 (!! cesta s 4 Cestu P uvažujeme ta, jao dyby graf D ebyl orietovaý, tj aždé hraě a = (u, v odpovídá eorietovaá hraa {u, v} Formálě můžeme zapsat, že orietovaému grafu D = (V, A přísluší eorietovaý graf G D = (V, { {u, v} (u, v A} 5 Poud uvažujeme P jao podgraf G D, pa bychom měli psát spíše a A taová, že a = (u, v a {u, v} E(P
3 KAPITOLA STANDARDNÍ KURS TEORIE GRAFŮ x VI e 4 0 IV IV 5 V 5 d 0 5 y I I 5 3 V III V a c III II b Obráze 9: f-easyceá cesta v síti Jestliže ι(p := mi a P ι(a > 0, pa řeeme, že cesta P je f-easyceá Přílad Na obrázu 9 je tlustou čarou zázorěa f-easyceá cesta P Výzam číslic je vysvětle v miulém příladě Podle defiice zjistíme, že ι(p = Nyí upravíme to v síti ásledově Na hraách, teré vedou po cestě P ve směru od x, zvýšíme to o ι(p a a hraách vedoucích po P ve směru do x sížíme to o ι(p Potom ové zobrazeí f, teré vzie z f uvedeými úpravami, je opět f : A R + 0 a též prví podmía a to v defiici 93 je zřejmě splěa Co se týá druhé podmíy, lze situace, teré astaou a cestě P, shrout a ásledujících schématech: +ι(p +ι(p ι(p ι(p +ι(p ι(p ι(p +ι(p Je vidět, že at jsou hray a vrcholech cesty P orietováy jaoliv, bude v aždém uzlovém bodě stále zachováa bilace vtou a výtou Proto f je to, terý má hodotu val f = val f + ι(p Věta 99 To f v síti N = (D, x 0, y 0, c je maximálí tehdy a je tehdy, dyž eexistuje f-easyceá cesta očící ve spotřebiči y 0 Důaz : Důaz této impliace bude v podstatě shrutím úvah provedeých v miulém příladu Postupujme sporem: echt existuje f-easyceá cesta P očící v y 0 Potom defiujeme zobrazeí f tato: a A, a / P položíme f(a = f(a, a A, a P, terá je po cestě P orietováa ve směru z x 0 do y 0, položíme f(a = f(a + ι(p, a A, a P, terá je po cestě P orietováa ve směru z y 0 do x 0, položíme f(a = f(a ι(p ( ( Potom je opět ( a A 0 f(a c(a a rověž ( v I f ((u, v = f ((v, u, taže f je to a pro jeho hodotu platí (u,v A val f = val f + ι(p > val f, (v,u A
9 TOKY V SÍTÍCH 33 x 0 m m m P y 0 m P Obráze 93: Algoritmus hledáí maximálího tou pomocí f-easyceých cest což je spor s maximalitou tou f : Defiujme M = {v V f-easyceá cesta z x 0 do v} Potom x 0 M a z předpoladu platí y 0 / M (M, M je tedy řez v síti N Potom a aždé hraě a = (u, v A, u M, v M musí z defiice M platit ι(a = 0, eboli f(a = c(a, jia by totiž v M Stejě ta i a aždé hraě a = (u, v A, u M, v M musí být ι(a = 0, což v tomto případě odpovídá (z defiice ι(a rovosti f(a = 0 Proto platí c ( (M, M = c ((u, v = f + (M = f + (x 0 = val f (u,v A u M,v M Našli jsme tedy řez, pro ějž je c ( (M, M = val f, a tedy podle pozámy 97 je f maximálí to Pozáma Celočíselost apacit hra (tj fuce c zaručuje, že algoritmus hledáí maximálího tou fugující a pricipu hledáí easyceých cest je fiití Poud totiž začíá s toem f(a = 0 pro aždé a A, ta v aždém rou zvede hodotu tou o ι(p, přičemž apacita miimálího řezu, teré aoec hodota tou f dosáhe, je rověž oečé přirozeé číslo Navíc val f N 0 v aždém rou Přílad Na obrázu 93 je vidět, že algoritmus emusí být příliš efetiví Poud bude střídavě volit f-easyceé cesty P a P, zvýší v aždém rou hodotu tou pouze o (čísla m a u jedotlivých hra udávají jejich apacity Pozáma Algoritmus hledáí maximálího tou pomocí f-easyceých cest lze použít alezeí perfetího párováí v bipartitiím grafu G = (V V, E Tomuto grafu přiřadíme sít N = (D, x 0, y 0, c defiovaou tato: D = ({x 0, y 0 } V, A, de A = {(x 0, v v V } {(u, v u V v V {u, v} E} {(v, y 0 v V } a ( a A (c(a = To zameá, že přidáme vrcholy x 0 a y 0, z x 0 vedeme hray do všech vrcholů ve V, mezi V a V orietujeme existující hray ve směru do V a ze všech vrcholů z V vedeme hray do y 0 Všechy hray mají jedotovou apacitu Najděme yí maximálí to pomocí ašeho algoritmu Potom ( a A (f(a {0, }, tj eexistují hray s eceločíselým toem 6 Ozačme M = {u, v} E f((u, v = }{{} A 6 Obecě lze ajít maximálí to i s eceločíselými hodotami fuce f Proto je důležité, že používáme algoritmus hledáí f-easyceých cest!