Křivkový integrál funkce

Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd plikcí si všk vyžduje uvžovt obecnější přípd, ve kterém je intervl nhrzen křivkou. Tuto úlohu můžeme formulovt následovně. Je dán rovinná křivk nezáporná spojitá funkce f : R. Jk veliký je povrch plochy, jejíž spodní okrj je tvořen křivkou v souřdnicové rovině xy horní okrj grfem funkce f? (viz obr. 6..) z f y x Obr. 6.. Oznčme tuto hlednou hodnotu symbolem S(f, ). V prktické formulci problému je S(f, ) npříkld ploch plotu, jehož půdorys je tvořen křivkou který nemá všude stejnou výšku. (Výšk odpovídjící bodu (x, y) v půdorysu je f(x, y).) S podobnou otázkou jsme se setkli již v předchozích kpitolách při definici výpočtu objemu těles délky křivky. Opět si víme rdy v některých speciálních přípdech (npříkld povrch válce), postrádáme všk definici obshu pro obecnou křivku obecnou spojitou funkci f. Nštěstí nejen problémy, le metody jejich řešení jsou v mtemtice čsto nlogické. Inspirováni úspěšným použitím xiomtické metody při problému objemu těles délky křivky, pokusíme se upltnit stejný přístup i při stnovení obshu uvedené plochy. Formulujme si proto pokud možno co nejjednodušší poždvky, které musí hodnot S(f, ) splňovt. Především budeme místo křivky uvžovt pouze oblouk. Njdeme-li odpověď pro oblouk, pk ji budeme znát i pro křivku. 89

9 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE Nechť, rozdělení oblouku. Pk celkový obsh plochy nd obloukem by měl být roven součtu obshů nd oblouky,, jk je znázorněno n obrázku obr. 6.. z f y x Vyjádřeno rovnicí: Obr. 6.. S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Tuto vlstnost nzveme ditivitou plochy. Vycházeje ze smozřejmé předstvy, že větší ploch má větší obsh, dospějeme k názoru, že hodnot S(f, ) bude nejvýše rovn obshu plochy se zákldnou konstntní výškou mx (f). Podobně, S(f, ) bude jistě nejméně rovno obshu plochy se zákldnou konstntní výškou min (f), viz. obr. 6.3. z x Obr. 6.3. f mx f min f y Je jsné, že povrch plochy s konstntní výškou v je roven součinu l() v, délky půdorysu l() výšky v. Tímto můžeme náš poždvek vyjádřit nerovností min(f) l() S(f, ) mx(f) l(). Ve schodě s terminologií předchozích kpitol nzveme tuto vlstnost monotonií obshu plochy. Náš seznm přirozených vlstností plochy bychom mohli dále rozšiřovt o dlší položky. Ukážeme si všk, že ditivit monotonie již tento pojem jednoznčně vymezují. ostáváme tk zákldní tvrzení této kpitoly. Vět 6.. Existuje pouze jediné zobrzení, které kždému oblouku spojité funkci f n přiřdí číslo S(f, ) tk, že jsou splněny následující xiomy:

. EFINIE A ZPŮSOB VÝPOČTU 9 (A) ditivit: S(f, ) + S(f, ) = S(f, ), kdykoliv je, rozdělení oblouku n dv n sebe nvzující oblouky. (M) monotonie: min(f) l() S(f, ) mx(f) l(). ůkz. Myšlenky tohoto důkzu jsou velice podobné důkzu Věty.9. Proto již budeme stručnější při komentování jednotlivých kroků. Nejdříve ukžme, že zobrzení S(f, ) (o kterém ztím ni nevíme, že existuje) je jednoznčně určeno. Pro dné dělení = {,,..., n } oblouku spojitou funkci f n křivce budeme definovt následující nlogie horních dolních integrálních součtů funkce jedné proměnné: S(f, ) = S(f, ) = n i= n i= mx i (f) l( i ) min i (f) l( i ). Monotonie ditivit zobrzení S(f, ) nyní implikuje (zcel stejně jko v Tvrzení.8), že (6.) S(f, ) S(f, ) S(f, ). Skutečně, S(f, ) = S(f, ) + S(f, ) + + S(f, n ) mx (f) l( ) + mx(f) l( ) + + mx(f) l( n ) = S(f, ). Obrácená nerovnost se ukáže nlogicky. Ze vzthu (6.) dále vyplývá, že (6.) sup S(f, ) S(f, ) inf S(f, ), kde infim suprem se v tomto přípdě uvžují vzhledem ke všem možným dělením oblouku. Čtenář znlý postupu z první kpitoly teď jistě tuší, že se pokusíme dokázt rovnost (6.3) sup S(f, ) = inf S(f, ). To by pk podle (6.) znmenlo jedinou možnost jk definovt S(f, ). ůkz rovnosti (6.3) je opět zložen n důležité vlstnosti spojitých funkcí n uzvřených intervlech, kterou je stejnoměrná spojitost. Je-li ϕ:, b prmetrizce oblouku, pk i složená funkce g = f ϕ:, b R n

9 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE je opět spojitá funkce. Kždá funkce spojitá n uzvřeném omezeném intervlu je stejnoměrně spojitá. Pro předem zdné ε > tedy existuje δ > tk, že g(t ) g(t ) ε, jkmile t t < δ. Zvolme nyní dělení intervlu, b tk jemné, že jednotlivé dělící intervly I, I,..., I k mjí délku menší než δ. Pk obrzy těchto intervlů ϕ(i ), ϕ(i ),..., ϕ(i k ) jsou oblouky tvořící jisté dělení oblouku. Oznčme i = ϕ(i i ), i =,..., k. Pro jkkoliv zvolené body ϕ(t ), ϕ(t ) n jednom z oblouků i pk máme f(ϕ(t )) f(ϕ(t )) = g(t ) g(t ) ε. To utomticky znmená, že oscilce funkce f n jednotlivých obloucích je menší než ε, tj. mx(f) min(f) ε, i i pro všechny oblouky i, i =,..., k. ostáváme tedy následující odhdy S(f, ) S(f, ) = ε k i= (mx i (f) min(f))l( i ) i k l( i ) = ε l(). Protože ε můžeme volit libovolně, implikuje předchozí nerovnost, že Obrácená nerovnost pltí vždy, tudíž i= sup S(f, ) inf S(f, ). sup S(f, ) = inf S(f, ). Pro definování obshu S(f, ) tedy nemáme jinou volbu než hodnotu S(f, ) = sup S(f, ) = inf S(f, ). Zbývá tedy jen dokázt, že tto volb vyhovuje xiomům (A) (M). Nejdříve ověříme vlstnost monotonie. Zvolíme si dělení oblouku obshující pouze jediný prvek: = {}. Pk totiž (6.4) min(f) l() = S(f, {}) sup S(f, ) = = inf S(f, ) S(f, {}) = mx(f) l(), což je xiom (M). Podívejme se nyní n vlstnost ditivity. Nechť {, } je rozdělení oblouku. Zvolme dělení oblouku dělení oblouku. Pk = tvoří dělení oblouku. Pltí (6.5) S(f, ) = mx(f) l(k) = (f) l(k) + (f) l(k) K K mx K K mx K K = S(f, ) + S(f, ).

. EFINIE A ZPŮSOB VÝPOČTU 93 N druhé strně ze stejných důvodů (6.6) S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Z rovnosti (6.5) plyne S(f, ) = inf S(f, ) S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Přejdeme-li nyní n prvé strně k infimu přes všechn dělení oblouku všechn dělení oblouku dostneme (6.7) S(f, ) S(f, ) + S(f, ). Zcel stejně z nerovnosti (6.6) plyne S(f, ) = sup S(f, ) S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Přejdeme-li nyní n prvé strně k supremu přes všechn dělení částí máme (6.8) S(f, ) S(f, ) + S(f, ). Spojení nerovností (6.7) (6.8) okmžitě dává S(f, ) = S(f, ) + S(f, ), což je vlstnost ditivity kterou jsme chtěli dokázt. Tímto je důkz uzvřen. Přirozené geometrické poždvky nás přivedly k zobecnění určitého integrálu funkce jedné proměnné: efinice 6.. Nechť f je spojitá funkce definovná n oblouku. Číslo S(f, ), které získáme jko hodnotu zobrzení splňujícího xiomy (A) (M) Věty 6. se nzývá křivkový integrál funkce f podél oblouku. Pro jeho znčení budeme používt symbol f ds, nebo stručnější zápis f. Někdy se tento integrál nzývá křivkový integrál. druhu. Je-li f nezáporná funkce rovinný oblouk, f dává velikost obshu plochy M = {(x, y, z) (x, y), z f(x, y)}. Poznámk 6.3. efinice 6. zvádí křivkový integrál pro libovolnou spojitou funkci f oblouk v R n. Nše geometrická motivce se týkl přípdu, kdy byl rovinnou křivkou f nezápornou funkcí. Integrál přes prostorovou křivku již tento bezprostřední geometrický význm nemá. V prostoru R 3 nemáme dlší nezávislý směr nd křivkou. Ledže bychom opustily třírozměrné omezení chápli hodnoty f ds jko obsh plochy M = {(x, y, z, t) (x, y, z), t f(x, y, z)} ve čtyřrozměrném prostoru, tj. jko

94 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE plochu hypotetického plotu, jehož zákldn je v třírozměrném prostoru má tvr křivky, přičemž výšku f(x, y, z) nnášíme do čtvrtého rozměru. I tkové plochy mjí svůj význm, npříkld v teorii reltivity. Křivkovému integrálu můžeme nicméně vždy přisoudit následující jsný fyzikální význm. Předstvme si, že oblouk je idelizcí fyzikálního těles, jehož dv rozměry jsou znedbtelné vůči třetímu (npř. tenký drát). Nechť funkce f popisuje hustotu rozložení hmoty n. Ptáme se, jká je celková hmotnost oblouku. Oznčme toto ztím neznámé nezáporné číslo symbolem m(f, ). Je zřejmé, že pro rozdělení, oblouku je celková hmotnost rovn součtu dílčích hmotností tj. m(f, ) = m(f, ) + m(f, ). Je-li homogenní hmotný oblouk, tj. je-li hustot f konstntní funkce, pk celková hmotnost je rovn součinu délky oblouku hustoty. Konečně, zcel přirozeně očekáváme, že zmenšením či zvětšením hustoty se stejným způsobem změní i hmotnost. Tedy číslo m(f, ) vždy respektuje nerovnost min(f) l() m(f, ) mx(f) l(). Jink řečeno, zobrzení přiřzující kždému oblouku hustotě f hmotnost m(f, ) splňuje xiomy (A) (M). Podle Věty 6. je tedy nutně m(f, ) = Křivkový integrál tedy můžeme tké chápt jko hmotnost křivky s dnou (obecně nikoliv konstntní) hustotou. f. Víme již, jk obsh plochy nd obloukem či hmotnost oblouku definovt zjímá nás přirozeně otázk, jkým způsobem je spočítt. Vět 6.4. Nechť f je spojitá funkce definovná n oblouku. Pro kždou prmetrizci ϕ:, b pltí b f ds = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Speciálně, hodnot integrálu vprvo nezávisí n prmetrizci. ůkz. Nechť je oblouk s prmetrizcí ϕ:, b nechť f je funkce spojitá n. Nejprve ukážeme, že integrál b f(ϕ) ϕ dt nezávisí n volbě prmetrizce. Zvolme si jinou prmetrizci ψ : c, d téhož oblouku. Podle Tvrzení 5.4 existuje spojitá trnsformce prmetru h:, b c, d,

. EFINIE A ZPŮSOB VÝPOČTU 95 že ϕ(t) = ψ(h(t)) h je spojitá nenulová n (, b) Tím můžeme psát b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = b f ( ψ(h(t)) ) ψ (h(t)) h (t) dt. Stejným rozborem přípdů h > h < jko v důkze Věty 5.7 dostneme, že substitucí s = h(t) máme b f ( ψ(h(t)) ) ψ (h(t)) h (t) dt = b f(ψ(s)) ψ (s) ds. Vidíme, že hodnot zkoumného integrálu nezávisí n prmetrizci. Teď ovšem má smysl definovt pomocné zobrzení S(f, ) = b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, pro oblouk spojitou funkci f n. Zjistíme, jké vlstnosti má zobrzení S. íky ditivitě integrálu vůči integrčnímu oboru máme pro dělení = ϕ(, α ), = ϕ( α, b ) rovnost S(f, ) + S(f, ) = α b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt + α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = = b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = S(f, ). Zobrzení S vyhovuje xiomu ditivity pro křivkový integrál. ále monotonie jednorozměrného integrálu zručí, že S(f, ) = Zcel stejně pltí i S(f, ) = b b b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt mx (f) b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt min (f) ϕ (t) dt = mx(f) l(). ϕ (t) dt = min(f) l(). Tímto jsme odvodili, že zobrzení S(f, ) vyhovuje xiomům (A) (M) z Věty 6.. N zákldě jednoznčnosti uvedené ve Větě 6. musí pltit S(f, ) = S(f, ). Protože S(f, ) je jiné oznčení pro křivkový integrál (viz efinici 6.), je důkz hotov.

96 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE Příkld 6.5. Určete velikost S části pláště válce x + y =, z, omezené shor rovinou x + y + z = (znázorněte si dný útvr n obrázku). Jedná se o plochu, jejímž půdorysem je oblouk (jednotková kružnice v rovině xy se středem v počátku) která je shor omezená grfem funkce f(x, y) = x y. ostáváme tk, že hledný plášť má velikost S = ( x y) ds. Volbou prmetrizce ϕ(t) = (cos t, sin t), t, π máme S = π ( cos t sin t) dt = 4π. Ztím máme zveden křivkový integrál podél oblouků. Protože kždá křivk se skládá z konečně mnoh n sebe nvzujících oblouků,..., n, položíme (6.9) f ds = f ds + + f ds. Toto bude definovt křivkový integrál funkce f podél křivky. Ukázli jsme, že křivkový integrál reprezentuje hmotnost křivky se zdnou funkcí hustoty. Podobně je možno pomocí křivkového integrálu f ds stnovit celkové množství dné kvntity (náboje, tepl, pod.), známe-li funkci f popisující její koncentrci podél křivky. Z tohoto pohledu můžeme poměr celkového množství (tj. integrálu f ds) k délce křivky chápt jko střední hodnotu funkce f n dné křivce. Následující vět říká, že střední hodnot je vždy rovn hodnotě funkce f v nějkém bodě uvžovné křivky. Vět 6.6. Nechť f je spojitá funkce n křivce. Pk existuje bod (x, y, z) tk, že f ds = f(x, y, z) l(). ůkz. Nechť ϕ:, b je prmetrizce křivky. Funkce f ϕ:, b R je spojitá funkce, která tento intervl zobrzí n jistý intervl c, d, viz [], Kpitol 4. Tedy f() = c, d. N druhé strně monotonie křivkového integrálu říká, že c l() = min(f) l() f mx(f) l() = d l(). Tedy c l() n f d. Existuje proto lespoň jeden bod (x, y, z) tk, že l() f = f(x, y, z).

. VIČENÍ 97 vičení Úloh. Určete x + y ds, kde je kružnice v rovině se středem v bodě (/, ) s poloměrem /. Řešení. Volbou prmetrizce ( ϕ(t) = + cos t, ) sin t, t, π, máme ϕ (t) = / tedy x + y ds = π = 4 ( + ) ( ) cos t + sin t dt = 4 π 4 cos t π dt = cos u du =. π + cos t dt Úloh. Vypočtěte obsh plotu S, jehož půdorys tvoří elips x + y 5 =, víme-li, že výšk v bodě (x, y) je rovn (/4)x + 4y. Řešení. Hledný obsh S je dán křivkovým integrálem S = (/4)x + 4y ds. Volb prmetrizce ϕ(t) = ( cos t, 5 sin t), t, π, pk dá (/4)x + 4y ds = = = π π π 5 cos t + sin t 5 cos t + sin t dt 5 + cos t cos t + sin t + 5 cos t dt dt = 5π. Úloh. Určete hmotnost m drátu ve tvru oblouku cykloidy = {(r(t sin t), r( cos t) t, π }, je-li hustot rovn druhé mocnině vzdálenosti dného bodu od osy x.

98 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE Řešení. V tomto přípdě je hustot dán funkcí f(x, y) = y celková hmotnost m je dán integrálem f ds. Výpočtem pk dostáváme m = = 6r 3 y ds = π π Úloh. Vypočtěte r ( cos t) r cos t dt = r 3 sin 5 z dz = 56 5 r3. xy ds, kde = {(x, y, z) x + y + z =, x + y + z = }. π 4 ( sin 4 t ) t sin dt Řešení. Uvedená křivk je kružnicí se středem v počátku poloměrem, která leží v rovině x+y +z =. K její prmetrizci postčí znát vnitřní (ortogonální) souřdnice dné roviny. Tyto souřdnice jsou dány libovolnou dvojicí v, v nvzájem kolmých jednotkových vektorů, které leží v rovině x + y + z =. Npř. vektor (,, ) leží v dné rovině. Nlezneme nějký k němu kolmý, který rovněž leží v té smé rovině, npř. (,, ). Nyní je znormujeme, by měli velikost jedn. Tk 6 v = (,, ), v = (,, ). 6 Křivku pk můžeme prmetrizovt zobrzením ϕ(t) = (cos t) v + (sin t) v, Vzhledem k tomu, že ϕ (t) =, máme, xy ds = = π π = 3 π. ( cos t + ( cos t + ) 6 sin t t, π. ) ( ) 6 6 6 sin t cos t + 6 sin t dt = π ( + cos t dt ) + 6 Úloh. Určete xyz ds, kde křivk je dán soustvou podmínek x + y + z = r, x + y = r, x, y, z, r >. 4 ( ) cos t Řešení. Křivk je částí průniku válce kulové plochy. Jedn z možných prmetrizcí je ( r ϕ(t) = cos t, r ) sin t, r r = r ( cos t, sin t, ) 3, t, π 4. dt

. VIČENÍ 99 Tedy ϕ (t) = r xyz ds = r π r 4 cos t sin t 3 r3 3 r dt = 6 π cos t sin t dt = r3 3 3. Úloh. Určete střední hodnotu H funkce f(x, y) = x n části prboly y = x, x,. Tto střední hodnot je vlstně rovn x-ové souřdnici těžiště uvedené křivky. Řešení. Spočítejme nejdříve délku křivky. Volb prmetrizce ϕ(t) = (t, t ), kde t, dá l() = ále máme + 4t dt = [ t + 4t + 4 ln(t + + 4t )] = 5 + 4 ln( + 5). x ds = Užitím substituce u = + 4t dostneme Proto x ds = 8 H = 5 t + 4t dt. [ ] 5 u 3/ u du = = 8 3/ ( 5 ). ( 5 ) 5 + 4 ln( + 5) = 5 6 5 + 3 ln( + 5). Vypočtěte následující křivkové integrály. x y ds, kde je úsečk s krjními body A = (, ), B = (4, ).. xy ds, kde = {(x, y) x + y b =, x, y > }, b. 3. y ds, kde je část Bernoulliho lemniskáty (x + y ) = x y, x, y >. 4. (x4/3 + y 4/3 ) ds, kde je steroid o rovnici x /3 + y /3 = /3. 5. y ds, kde je část cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t, π. 6. (z x + y ) ds, kde je závit kuželové šroubovice {(t sin t, t cos t, t) t, π }.

KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE 7. x ds, kde je dán rovnicemi x + y + z =, >, x + y + z =. 8. z x +y ds, kde je oblouk šroubovice {( cos t, sin t, t) t, π }. 9. z ds, kde je oblouk dný soustvou rovnic x + y = z, x x + y =, který má počáteční bod (,, ) koncový (,, ).. Zákldn plotu je křivk y = x, kde 3 x 3; výšk plotu nd bodem (x, y) je. Určete plochu plotu. +x. Vypočtěte obsh pláště zobecněného válce V = {(x, y, z) x +y = r, z xy r }.. Njděte plochu části pláště válce x + y = rx, která se nchází uvnitř koule se středem v počátku poloměrem r. 3. Určete hmotnost prboly o rovnici y = px, x p, p >, s hustotou ρ(x, y) = y. 4. Určete hmotnost oblouku drátu ve tvru křivky x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, kde t, t, z předpokldu, že hustot je nepřímo úměrná vzdálenosti od počátku souřdnic v bodě (,, ) je rovn jedné. 5. Nlezněte těžiště oblouku cykloidy {((t sin t), ( cos t) t, π }. Hustot je konstntní funkce. 6. Nlezněte těžiště homogenního obvodu sférického trojúhelníku T = {(x, y, z) x + y + z =, x, y, z }. 7. Určete momenty setrvčnosti závitu šroubovice {( cos t, sin t, h π t) t, π } vzhledem k souřdnicovým osám. 8. Nlezněte moment setrvčnosti homogenní kružnice o poloměru vzhledem k přímce procházející jejím středem ) kolmé n rovinu kružnice b) ležící v rovině kružnice c) svírjící s rovinou kružnice úhel α. Výsledky.. 5 ln ;. b(b3 3 ) 3(b ) ; 3. /; 4. 4 7/3 ; 5. 4π 3/ ; 6. 3 [( + π ) 3/ ]; 7. π3 3 ; 8π 8. 3 3 + ; 9. ( + ln( + ) ) ;. ln( + r 3);. ;. 4r ; 3. 3 p [( + /p) 3/ ]; 4. t 3; 5. (π, 4 3 ); 6. 4 3π (,, ); 7. I x = I y = ( + h 3 ) 4π + h, I z = 4π + h ; 8. ) π 3 b) π 3 c) π 3 ( + sin α).