Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si si(++si, R, kπ cos 4 Najděte defiičí obor a obor hodot fukcí 5 Trojúhelíková erovost: f( =, f( = +y + y,,y R 6 Důsledek: y y,,y R 7 Dokažte (užitím matematické idukce: ++3+ + = (+, N
Domácí úkol č Dokažte: + +3 + + = (+(+, N 6 Cvičeí 8008 Dokažte: ( +! <, AG erovost : pro všecha N a pro všecha a,,a 0 platí a a a + +a Postup důkazu: ( =, ( platí-li erovost pro, pak i pro (3 platí-li erovost pro +, pak i pro 3 Možiové operace (připomeutí defiic - průiky, sjedoceí, rozdíly 4 De Morgaova pravidla: Jsou-li B X a A α X, α I, pak ( B \ A α = (B \A α, α I α I ( B \ A α = (B \A α α I α I 5 Pro zobrazeí f : X Y defiujeme obraz možiy A X a vzor možiy B Y f(a := {f( : A} f (B := { X : f( B} Domácí úkol č Dokažte, že pro zobrazeí f : X Y, A,B X a C,D Y platí f(a B = f(a f(b, f (C D = f (C f (D Cvičeí 5008 Pro zobrazeí f : X Y, A,B X a C,D Y platí: (a f (C D = f (C f (D, (b f(a B f(a f(b,
(c je-li f prosté, pak i f(a f(b f(a B defiice suprema, ifima 3 sup{ : N} = 0 4 sup{ +( : N} = 3 5 je-li f : A R omezeá, pak sup A f( := supf(a 6 sup A (f(+g( sup A f(+sup A g( 7 a = a def ( ε > 0( 0 N( 0 : a a < ε 8 = 0 9 ( + = 0 Domácí úkol č 3 Dokažte ebo vyvrat te, že pro dvě omezeé fukce f,g : A R platí (f(+g( supf(+ if g( A sup A Prví test se píše 9008 (supremum a vlastí ity poslouposti Cvičeí 008 ( 3 + 3 = 0 A Necht a m a R, b b R Pak a +b a+b, a b a b, a b a b, je-li b 0, platí a b a b 3 3+6 3 +37+400 = 3 4 Je-li posloupost (a omezeá a b 0, pak a b 0 5 a = a 6 = 7 q (, = q 0 8 Necht a > 0, a + a = q < Pak a 0 (Podílové kriterium 9 3 0, 4! 0 3
Domácí úkol č 4 Spočtěte ( + 3 3 + Nápověda: a 6 b 6 = (a b(a 5 +a 4 b+a 3 b +a b 3 +ab 4 +b 5 Typové příklady pro prví test 90 (5 4 3 +3 4 4+3 + 5, 3 +6(, 4 ++0 3 + 3 3 +, ( 3 ( +, 4 + 6 +!, 4 4 +, Cvičeí 9008 (+3 00 (+ 00 (+ 00 00, ( +si( 4 + 4 +, 3 + + 3+ 7 + +9, ( + q (, = q 0 (důkaz prví zápočtový test Domácí úkol č 5 Spočtěte (s řádým zdůvoděím Cvičeí 508 +3 a (připomeutí defiice a = a 0 a > 0, a 0 = a! 3 ita rekuretě zadaé poslouposti: a =, a + = +a, Pak a Domácí úkol č 6 Spočtěte a, jestliže a > 0 a a + = (a + a 4
Cvičeí 08 Limita fukce (vlastí i evlastí - defiice Heieho věta 3 Spojitost fukce v bodě (defiice 4 5 6 7 +7 8 0 +6 7, +7 8 +6 7, +7 8 +6 7 0 + 00 + 50 + m, m, N Druhý test se píše 608 (ita fukce a poslouposti Domácí úkol č 7 Spočtěte 7 Cvičeí 908 Fukce si cos, tg, cotg + 3 +0 4 +9 si cos 0 =, 0 =, 0 tg( = 3 Věta o itě složeé fukce: Necht a f( = b, y b g(y = c, a je splěa ěkterá z podmíek: (A ( δ > 0( : 0 < a < δ = f( b, (B fukce g je spojítá v bodě b Pak a (g f( = c 4 Příklad: 0 si =, 0 si = 5 Fukce arcsi, arctg 0 arcsi( =, 0 arctg( = 6 π/4 tg(tg( π 4, ( cos + cos e 7 Fukce ep, log 0 0, p R =, 0 log(+ =, p e = 5
8 Obecá mocia: a := ep(alog, > 0, a R a b = a+b, ( a b = ab 9 0 (+ = e, a tedy (+ = e 0 0 (+e Druhý test se píše 608 (ita fukce a poslouposti Jsou povoley vzorečky ebo tabulky Domácí úkol č 8 Spočtěte 0 cos 3 cos si Typové příklady pro druhý test 6 + + + ( + cos 3 0 si, cos 0 si, ( + + Cvičeí 608 3 +6 3, 8 ( N, ( 3 0 (3 30, (+ 50,, si πcos (cos 4 si 4, (cos, 0 ( +si Druhý zápočtový test ep(si cos 0 Domácí úkol č 9 Spočtěte +cos +cos3 0 log(+ 6
Cvičeí 308 Kovergece číselé řady: připomeutí defiice, utá podmíka, kriteria pro kovergeci řad s ezáporými koeficiety (srovávací, ití srovávací, podílové, odmociové p koverguje p > (připomeutí 3 Vyšetřete kovergeci řad: (a +30 3 + +6, (b ( +, (c 5, (d! 4 Sečtěte řadu = (+3 Domácí úkol č 0 Vyšetřete kovergeci řad: Cvičeí 008 Třetí test se píše 709 + (+ ; ( cos Zjistěte, pro které hodoty parametru a R kovergují ásledující řady: 4 a a,, ( cos a log Neabsolutí kovergece řad Absolutí kovergece implikuje kovergeci Leibitzovo kriterium: a ց 0 = ( a koverguje 3 Následující řady kovergují: (, ( (, ( ( 005 Domácí úkol č (i Vyšetřete kovergeci řady ( log +cos +cos (ii Zjistěte, pro která α R koverguje řada 4 3α 7
Cvičeí 708 Třetí test se píše 709 Bude sestávat z jedoho příkladu a itu fukce, jedoho a kovergeci číselé řady a jedoho a derivaci fukce Řada koverguje eabsolutě ( +5si( Derivace fukce: je-li fukce f defiovaá a ějakém okolí bodu a R, defiujeme její derivaci v bodě a jako f f( f(a (a := a a Jedostraé derivace(zprava, zleva defiujeme jako příslušé jedostraé ity 3 Pravidla pro derivováí fukcí: (f ±g (a = f (a±g (a, (f g (a = f (ag(a+f(ag (a, ( f g (a = f (ag(a f(ag (a g(a, (g f (a = g (f(a f (a, (f (a = f (f (a, u posledí rovosti avíc předpokládáme, že fukce f je rostoucí ebo klesající a okolí bodu f (a 4 (arcsi =, (, Jedostraé derivace fukce arcsi v a jsou rovy 5 Spočtěte derivace fukce ve všech bodech, kde eistují f( = arcsi + 8
Typové příklady pro třetí test 7 ( π arctg, ( e, ( 0+ 0+ ( cos, (3 (sie 0 e, (4 vyšetřete kovergeci řady vyšetřete kovergeci řady = = log +, (5 + log vyšetřete absolutí a eabsolutí kovergeci řady vyšetřete absolutí a eabsolutí kovergeci řady, (6 ( (, (7 = = cos(π( +, (8 ajděte derivaci fukce f( = e všude, kde eistuje (9 ajděte derivaci fukce f( = všude, kde eistuje (0 ( ajděte derivaci fukce f( = arcsi všude, kde eistuje + ( ajděte derivaci fukce f( = cos, 0, f(0 = 0, všude, kde eistuje ( 9