7.2.10 Sklární sočin IV Předpokld: 7209 Pedgogiká poznámk: Tto hodin je kontet čebnie zláštní. Obshje d důkz jeden příkld z klsiké čebnie. Všehn tři zdání jso znčně obtížná ždjí nápd, proto je řeším normálně tble poze n rčitýh místeh neháám stdent dělt smosttně některé krok. Kromě toho, že něo děljí smosttně, je tk možné zjistit i jejih ětší pozornost. Žádná z mšlenek této hodin se e zbtk nltiké geometrie nepožíá, proto si přes mtemtiko zjímost této hodin mslím, že jde o jedn z těh, kterýh je neméně škod, přípdě spěh ji neháám dobroolníkům n dom. Sklární sočin můžeme žít i pro rhlé proedení některýh plnimetrikýh důkzů. Dokážeme, že ýšk trojúhelník se protínjí jednom bodě. Oznčíme si průsečík ýšek jko bod P. Získáme tk ektor = P, = P = P. P Př. 1: Urči pomoí ektorů,, ektor:,. Při sčítání ektorů jsme si kzoli, že ektor získný z konoýh bodů do ektorů se společným počátkem, je roen jejih rozdíl: b b- nlogik pltí: =, = =. - - - P 1
Přímk P P jso ýšk trojúhelník proto pltí: P je kolmá n ( ) = 0 = 0 P je kolmá n ( ) = 0 = 0 heme dokázt, že pltí: P je kolmá n. Trik: Sečteme ronosti: = 0 = 0 : + = 0 = 0 ( ) = 0 P je kolmá n bod P je i průsečíkem ýšk b s ýškmi. Vektoroé odození kosinoé ět: V trojúhelník si oznčíme: = = pltí ted i =. - Vjádříme si drho monin ektor : = + 2 (tto ronost jsme požíli při důkz zore pro sklární sočin). Pro sklární sočin pltí: Dosdíme: = osα. 2 2 = + 2 = + 2 osα Vět je dokázán, přehlednější bde důkz, kdž elikosti ektorů npíšeme jko elikosti strn: = + 2 osα = + 2 osα b b Pomoí ektorů se řeší i fzikální příkld z pre: N stropě toární hl jso zbdoán d hák e zdálenosti 10, m od sebe. N jednom z háků je zěšeno lno dlohé 8, m, n drhém lno dlohé m. Volné kone obo ln jso spojen tomto místě je zěšen kldk. Jko mimální hmotnost může mít předmět zěšený n kldk, pokd mjí obě ln nosnost 10 t? 2
Př. 2: Nkresli shémtiký náčrtek site. od, e kterém je zěšeno delší lno oznč, bod zěšení drhého ln, bod e kterým jso ln spojen oznč. Nrhni místění sořdné sost, které b lehčilo následjíí ýpočet. Sost sořdni zolíme tk, b o nejětšího počet sořdni bodů, které nás zjímjí bl nloý npříkld tk, b počátek sost sořdni bl bodě, os směřol odoroně k bod os směřol kolmo dolů. =O Př. 3: Urči sořdnie bodů,,. [ 0;0] - bod je shodný s počátkem sost sořdni [ 10,;0] - bod leží n ose, 10, m od bod ( ted i od počátk) Sořdnie bod msíme rčit pomoí trojúhelník. Pt ýšk oznčíme P. =O 10, P 8, Určíme úhel α pomoí kosinoé ět: = b + 2b osα b + 8, + 10, osα = = = 0, 49 α = 28 4 2b 2 8, 10, Vzdálenosti P P rčíme z proúhlého trojúhelník P: P osα = P = osα = 8, os 28 4 = 7, P sinα = P = sinα = 8, sin 28 4 = 4 [ 7,;4] Můžeme pokrčot řešení příkld: 3
Síl, ktero působí nákld n kldk můžeme znázornit sislým ektorem. Tento ektor ln rozloží n d ektor, které jso ronoběžné s jejih směr. =O 10, P 8, Pltí: = + - ektor je sočtem ektorů = k - ektor je ronoběžný s ektorem ( ) = l ( ) - ektor je ronoběžný s ektorem Př. 4: Urči sořdnie ektorů,. ( 7,;4) ( 3;4) ( 0; ) = = = je mimální hmotnost, ktero můžeme n ln poěsit. Dosdíme do ronie = + : = k ( ) + l ( ) Dosdíme sořdnie: ( 0; ) = k ( 7,;4) + l ( 3;4) Získááme sost: 7, k 3 l = 0 4k + 4l = 6 Z prní ronie dosdíme do drhé: k = l 1 6 4 4 1 l + l = 28 l = 6 l = k = =. 28 1 28 14 Určíme elikosti ektorů : 17 = k = 8, = 14 28 2 = l = = 28 28 Nosnost obo ln je 10 tn 17 = 10 16, 28 4
2 = 10 11, 2 28 hmotnost předmět msí hoot přísnější podmíne n kldk je možné zěsit mimálně 11,2 tn. Shrntí: