Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro Vás připravili tento materiál, s jehož pomocí můžete bezprostředně po ukončení testování provést se svými žáky první zhodnocení vybraných testových úloh, zařazených do souboru testových úloh z matematiky Úloha Řešení následujících nerovnic v uvedených oborech zapište intervalem pro 0, 0 Správné řešení je 0; 6 6 0;0 ( ; 6 0; 6 pro R Správné řešení je 0; 0 ( ) 0 0; log 0 pro R Správné řešení je ; ) odmínka pro eistenci logaritmu je > 0, dále platí: log = 0 log log Základ je větší než (rostoucí funkce), proto se při odlogaritmování znaménko nerovnosti nemění a platí, podmínka eistence logaritmu je splněna, tedy ; ) 4 cos < sin pro 0, π ) π 5π Správné řešení je ; 4 4 Kladná část osy tvoří počáteční ramena úhlů α, α s vrcholy v počátku O souřadného systému π 5π Na ose I a III kvadrantu leží koncová ramena úhlů α =, α =, pro 4 4 něž je hodnota sinu i kosinu totožná V polorovině ohraničené osou I a III kvadrantu, v níž leží i kladná část osy y, jsou koncová ramena těch úhlů α, pro které je cos α < sinα ro hledané hodnoty úhlů α, resp platí: π 5π α < < α, tedy ; 4 4 Úloha Je dána funkce f svým grafem (viz obrázek) Určete definiční obor D f funkce f Rozlišujte uzavřený, a otevřený (, ) interval Správné řešení je D = ( ; ) Definiční obor funkce je tvořen hodnotami prvních souřadnic () všech bodů jejího grafu, tj od do kromě těchto dvou hodnot 5 π 4 O O y y π 4
Určete obor hodnot H f funkce f Správné řešení je H = ; Obor hodnot funkce je tvořen hodnotami druhých souřadnic (y) všech bodů jejího grafu, tj od do včetně obou uvedených hodnot Zapište všechny hodnoty, pro které platí f ( ) (Kreslete do obrázku) = y Správná jsou dvě řešení =,5; = Eistují dva body funkce, jejichž druhá souřadnice má hodnotu (růsečíky grafu funkce s vodorovnou přímkou procházející bodem 0 ; ) Hodnoty prvních souřadnic () těchto bodů jsou hledaná řešení O 4 Je funkce ve svém definičním oboru prostá? Správné řešení je NE Funkce není prostá, neboť eistují dva různé body se stejnou hodnotou souřadnice y Úloha V rovině ρ jsou umístěny dva různé body a Vlevo jsou popsány čtyři různé množiny bodů X roviny ρ Ke každé množině zapsané v až 4 přiřaďte jeden ze šesti obrázků A až F, v němž je příslušná množina zobrazena Řešení uveďte do záznamového archu { X ρ ; < X = 90 o } Správné řešení je C Body, z nichž je vidět úsečka pod úhlem 90 o, tvoří Thaletovu kružnici nad průměrem Body a nepatří k řešení Množina je zakreslena na obrázku C X ρ ; X + X = { } Správné řešení je F Součet vzdáleností bodu X od bodů a je konstantní a je větší než vzdálenost bodů, Množina bodů X se nazývá elipsou a je zobrazena na obrázku F obrázek A Osa úsečky obrázek C Kružnice s průměrem kromě bodů a obrázek B římka kolmá k úsečce obrázek D Kružnice s průměrem
{ X ρ ; X } X = Správné řešení je B ro délky úseček X, X a platí ythagorova věta Nejdelší úsečka X tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku Odvěsny a X svírají pravý úhel Body X leží na kolmici k úsečce procházející bodem Uvedený vztah splňuje i bod X splývající s bodem, kdy platí X = 0 Odpovídající množina je zakreslena na obrázku B X ρ ; X X = 4 { } Správné řešení je E Na obrázku E je polopřímka, jejíž body X jsou k bodu blíže než k bodu právě o velikost úsečky, což je vyjádřeno vztahem v zadání úlohy obrázek E olopřímka opačná k polopřímce obrázek F Elipsa s ohnisky, a s hlavní poloosou délky Úloha 4 opište množinu bodů X zakreslenou v obrázku G obdobným způsobem, jako jsou popsány množiny v úlohách 4 Správné řešení je zápis množiny { X ρ ; X + X = } Leží-li bod X na úsečce, pak součet obrázek G jeho vzdáleností od obou krajních bodů je roven velikosti úsečky Odpovídající Úsečka zápis množiny je X ρ ; X + X = { } Úloha 5 Vyberte všechny hodnoty parametru p z množiny = { ; ; 0,5; 0; ;; ; 9}, pro něž předpis + py = 9 charakterizuje níže uvedenou množinu bodů v rovině okud rovnice nemůže být rovnicí uvedené množiny, zapište do záznamového archu NELZE 5 Kružnice Správné řešení je p = ro p = dostáváme rovnici + y = 9, což je rovnice kružnice se středem v počátku souřadného systému a s poloměrem délkové jednotky 5 Elipsa (kromě kružnice) Správné řešení je p ; ; 9 U rovnice elipsy je hodnota parametru kladná a je různá od čísla Střed elipsy je opět v počátku, jedna poloosa má velikost, druhá musí mít odlišnou velikost, a to Odpovídající hodnoty parametru p p jsou,, 9
5 Hyperbola Správné řešení je p { ; ; 0,5} ro hyperbolu mají koeficienty u proměnných a y opačná znaménka, proto hodnoty parametru p musí být záporné, tj, a 0,5 Střed hyperboly a velikosti poloos se určí podobně jako u elipsy jen s rozdílem, že poloosy mohou mít i stejnou velikost ( p = ) 54 arabola Správné řešení je NELZE arabola obsahuje pouze jeden kvadratický člen, v tomto případě, a druhá proměnná tvoří lineární člen (py, kde p je nenulové číslo) Žádná hodnota parametru nepřevede kvadratický člen py na lineární Rovnici paraboly NELZE zapsat 55 Dvojice přímek Správné řešení je p = 0 Je-li p = 0, rovnici = 9 je možné upravit do tvaru ( ) ( + ) = 0 = = oslední dvě rovnice popisují dvě přímky rovnoběžné s osou y Úloha 6 Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE) Odpověď, kterou považujete za správnou, zakřížkujte v záznamovém archu 6 ro libovolná dvě reálná čísla a, b platí a b = b a Správné řešení je ANO Výrazy v absolutní hodnotě se liší pouze znaménkem, neboť ( a b) = ( b a) čísel jsou shodné 500 50 + 6 = 5 Správné řešení je ANO 500 50 500 + + = 499 499 ( ) 5 499 = = 5 6 ro každá dvě nezáporná čísla a, b platí ( b) a b Správné řešení je NE a + = + Např pro a = b = platí: L= ( a + b) = a = + = + =, proto L 64 = 0 5 5 + 45 55 Správné řešení je ANO 80 80 = =, podobně 5 80 5 55 = 5 45, proto L = 0, absolutní hodnoty opačných Úloha 7 V kvadratické rovnici + ( a + ) + = 0 s neznámou je a reálný parametr Všechny hodnoty parametru a, pro něž má rovnice dva různé reálné kořeny, jsou: A) Všechna reálná čísla kromě čísel z intervalu 5 ; B) ( 5; ) C) ( ;+ ) D) ( ; ) ( ; + ) 4
Správné řešení je A + ( a + ) + = 0 D = ( a + ) 4 = a + 6a + 5 = ( a + ) ( a + 5) Aby eistovala dvě různá reálná řešení, musí být D > 0 ( a + )( a + 5) > 0 pro a < 5 nebo a > Odpověď je možné zapsat např: R \ 5 ; Výchozí tet k úlohám 8 a 9 Čísla, 6 a 6 jsou tři členy konečné aritmetické posloupnosti Je mezi nimi uveden první i poslední člen posloupnosti Úloha 8 Určete největší možnou diferenci d takové posloupnosti Do kterého z uvedených intervalů nalezená hodnota diference d patří? A) ( 0 ;,5) B),5; 4) C) 4 ; 5,5 ) D) Do žádného z uvedených intervalů Správné řešení je C Libovolné dva členy a r, as aritmetické posloupnosti se liší o násobek diference d, neboť platí ar as = ( r s)d Hledaná diference je tedy největším společným dělitelem rozdílu libovolných dvou členů, tj čísel 5, 0 a 5 Hledanou hodnotou je číslo 5, které leží v intervalu 4 ; 5,5 ) Úloha 9 Kolik členů by měla aritmetická posloupnost (viz výchozí tet) pro diferenci d = 0, 5? A) 40 B) 4 C) 47 D) ro danou diferenci nejsou splněny podmínky v zadání úlohy Správné řešení je B Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti je a n = a + ( n )d o dosazení platí: 6 = + ( n ) 0, 5, z rovnice vypočteme n = 4 Dosazením hodnoty 6 za a n do stejného vzorce ověříme, že 6 je hodnota 0 členu téže aritmetické posloupnosti Úloha 0 Na obrázku je vyznačena rovnoběžka na 0 stupni severní šířky Zeměkouli považujeme za kouli s poloměrem r = 678km 0 Určete poloměr ρ kruhu vymezeného 0 rovnoběžkou A) ρ = 4 5 km B) ρ = 68 km C) ρ = 89 km D) jiná hodnota Správné řešení je D ρ r α=0 o 5
R ρ r α α=0 o V pravoúhlém trojúhelníku je při vrcholu rovněž úhel α (střídavé úhly) ρ latí = cosα ρ = r cosα o dosazení je r ρ = 6 78 cos0 o = 55,5 km 0 Určete délku d rovnoběžky na 0 stupni severní šířky zaokrouhlenou na stovky kilometrů A) d = 98 864 00 km B) d = 949 00 km C) d = 4 700 km D) jiná hodnota Správné řešení je C Délku rovnoběžky spočteme jako obvod kruhu s poloměrem ρ = 55, 5 km podle vzorce d = πρ o dosazení a zaokrouhlení na stovky km je d = 4 700 km Úloha Honza je na zkoušce, která obsahuje dvě témata U prvního tématu zná správné odpovědi na 60 % otázek, ve druhém tématu umí správně odpovědět jen na ze 0 otázek ři zkoušce si vylosuje po jedné otázce z každého tématu Jaká je pravděpodobnost, že správně zodpoví obě tažené otázky? A) p = 0, B) p = 0,4 C) p = 0,60 D) p = 0,65 Správné řešení je B Ve druhém tématu zná Honza 70 % správných odpovědí Vytažení čísla otázky z prvního a druhého tématu je nezávislé ravděpodobnost průniku obou jevů je součin pravděpodobností jednotlivých jevů roto je p = 0,6 0,7 p = 0, 4 Jiný způsob: ro první téma zvolíme rozumný počet otázek tak, aby 60 % bylo celé číslo, např opět 0 8 otázek 60 % z nich je 8 otázek latí: p = = 0, 4 0 0 Jaká je pravděpodobnost, že bude znát správnou odpověď alespoň na jednu z obou tažených otázek? A) p = 0,58 B) p = 0,70 C) p = 0,88 D) p = 0,90 Správné řešení je C Výhodné je určit pravděpodobnost opačného jevu a její hodnotu odečíst od ravděpodobnost, nebude znát odpověď na žádnou z tažených otázek, je p = 0,4 0, = 0, Hledaná hodnota pravděpodobnosti p se vypočte: p = 0, = 0, 88, p, že 6
Úloha Je dána krychle ABCDEFGH Rozhodněte, zda jsou pro ni následující tvrzení pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE) římka AB je kolmá k přímce FC Správné řešení je ANO římka AB je kolmá k rovině stěny BCGF, proto je kolmá ke všem jejím přímkám, tedy i k přímce FC římky AF a FH jsou na sebe kolmé Správné řešení je NE Trojúhelník AFH je rovnostranný, proto je velikost úhlu AFH = 60 o Libovolná přímka, která je kolmá k přímce AB a současně k přímce AH, je kolmá ke všem přímkám roviny ABH Správné řešení je ANO Je-li přímka kolmá k rovině, pak je kolmá k libovolné přímce této roviny 4 římka FC je kolmá k přímce BH Správné řešení je ANO římka BH leží v rovině ABG(H), která je kolmá k přímce CF římka CF je kolmá ke všem přímkám této roviny, tedy i k přímce BH K některým úlohám je možné najít ještě jiné způsoby řešení Vypracovaly: hdr Eva Řídká, CSc RNDr Eva Lesáková 7