Exonenciální funkce - jejic "vužití" ři řešení diferenciálníc rovnic (Tto dolňková omůck nemůže v žádném řídě nrdit sstemtickou mtemtickou řírvu.) Vlstností exonenciální funkce lze výodně oužít ři řešení diferenciálníc rovnic. Změříme se n řešení lineárníc diferenciálníc rovnic.. řádu s konstntními koeficient, které mjí zásdní význm ři řešení lineárníc elektrickýc obvodů. Obecně jsou obvod osán i diferenciálními rovnicemi vššíc řádů, le to již ředstvuje jen rozšíření zákldníc úv. Řešení diferenciálníc rovnic. řádu (lineárníc, s konstntními koeficient) Mějme obvodovou funkci f (x), kde může být elektrický roud, elektrické nětí, mgnetický tok,... Obvod. řádu jsou otom modelován neomogenní rovnicí ("s rvou strnou", d / dx ) g(x) () g (x) je "budicí" funkce (roud, nětí,...) je konstnt definovná obvodovými rvk (R, L, C, M,... ). Vlstnosti smotnéo obvodu jsou vlstně definován již smotnou omogenní rovnicí, která řísluší k rovnici () () (rostě "odstrníme" rvou strnu). Řešením omogenní rovnice je nějká funkce která slňuje odmínku, (3) Dále necť existuje nějké známé rtikulární řešení, které vovuje rovnici () - t v sobě zrnuje i situci "vnucenou" funkcí g(x). Pltí ted, že g(x) (4) Sndno ukážeme, že otom je celkovým řešením rovnice () součet řešení rostě dosdíme do () uvážíme ltnost (3) (4):, ( ) ( ) g( x) Řešení omogenní diferenciální rovnice. řádu Předokládejme, že omogenní rovnici () voví nějká exonenciální funkce K e. Pokud má vovovt, musí ltit (viz derivce exonenciální funkce):
Ke Ke Ke ( ) (5) Je zřejmé, že omogenní rovnice (5) může být slněn jen ted, ltí-li (crkteristická rovnice) (6) Prtikulární řešení diferenciální rovnice. řádu - ro g( x) G ( konstnt) V tomto jednoducém řídě stčí ledt řešení ve tvru A (rovněž konstnt, nejčstěji oisuje stejnosměrný zdroj roudu nebo nětí). Dosďme A do (), ted ( A ) A G A G / (7) rotože derivce konstnt je rovn nule. Celkové (obecné) řešení je v tomto řídě definováno součtem Ke G / (8) Je zřejmé, že vzt (8) vlstně definuje nekonečně mnoo odobnýc řešení ro různá K. Musíme určit tuto konstntu omocí nějkéo známéo bodu řešení, nejčstěji omocí známé očáteční odnot (odmínk) ro x =. Potom Ke G / K G / (9) Z ov vztu (8) je zřejmé, že ro x vžd ltí Ke G / G / roto se řešení diferenciálníc rovnic. řádu s konstntou n rvé strně čsto zisuje ve tvru ( G / ) e G / ( ) e () Vzledem k určování konstnt K říslušející řešení omogenní rovnice se někd říká, že omogenní rovnice oisuje odezvu sstému n očáteční odmínk. Prtikulární řešení je "vnuceno" funkcí g(x). Prtikulární řešení diferenciální rovnice. řádu - ro g( x) Gm sin( kx ) Budicí funkci je vodné urvit do odob (goniometrické funkce součtu úlů): g x) Gm (sin kx cos cos kx sin ) G sin kx G cos kx ( G G mcos ; G G msin ; G G Gm; G / Gtg Potom ředokládejme rtikulární řešení ve tvru Acos kx Bsin kx, odkud sndno určíme, že ka( sin kx) kb cos kx. Doszením uvedenýc vztů do rovnice () obdržíme o úrvác relci Musí roto ltit, že ( ka B)sin kx ( kb A)cos kx G sin kx G cos kx
3 ka B G A kb G Řešením získnéo souboru dvou rovnic zjistíme, že A G ; B kg k Celkové (obecné) řešení je v tomto řídě definováno součtem kg G () k Ke Acos kx Bsin kx Ke Y m sin( kx ) () uděláme-li substituci A Ym sin ; B Ym cos, ted Y m A B ; tg A / B. Řešení diferenciálníc rovnic. řádu (lineárníc, s konstntními koeficient) Obvod. řádu jsou d / dx ) modelován neomogenní rovnicí ("s rvou strnou", g( x) (3) g (x) je "budicí" funkce (roud, nětí,...), jsou konstnt definovné obvodovými rvk (R, L, C, M,... ). Řešení oět rozložíme n řešení omogenní rovnice (4) nlezení nějkéo rtikulárnío řešení. Řešení omogenní diferenciální rovnice. řádu Předokládejme, že omogenní rovnici (4) voví nějká exonenciální funkce K e. Sndno určíme, že K e ; ( ) K e. Po doszení do (4) úrvác určíme, že musí ltit: ( ) (5) Vzt (5) lze slnit, nbývá-li crkteristický olnom diferenciální rovnice druéo řádu nulové odnot, ted je-li slněn crkteristická rovnice (6) V tomto jednoducém řídě se musí řešit ouze kvdrtická rovnice. Získáme dv kořen
4, 4 (7) Homogenní řešení je ted osáno lineární kombincí odovídjící oběm kořenům: x K e K e (8) Prtikulární řešení diferenciální rovnice. řádu - ro g( x) G ( konstnt) V tomto řídě je nlezení rtikulárnío řešení sndné. Oět ředokládáme, že A, rvní i druá derivce konstnt jsou nulové. Proto o doszení do (3) sndno určíme, že musí ltit A G A G / (9) Celkové řešení nbývá odob K x x e K e G / () Pro určení dvou konstnt otřebujeme znát dvě odmínk řešení. Známe-li O ( x ) rvní derivci O ( x ), otom o doszení do () derivovnéo vztu () určíme, že K e K e G / K K G / K e K e K K Z těcto údjů jsme již sconi obě konstnt určit. Jsou-li ob kořen reálné záorné, bude řecodný děj (ro x t) eriodický, bez zákmitů. Je-li kořen kvdrtické rovnice reálný dvojný (, ) má řešení omogenní rovnice tvr K e K x e () dlší ostu je stejný. Pro dvojný kořen záorné odnot se jedná rávě o mez eriodicit - řecodný děj je "nejrclejší" ještě bez zákmitů. Jsou-li kořen komlexně sdružené tu Eulerovýc vztů lze dosět k oisu tu, j, ltí oět vzt (). Alikcí e ( S sin S cos)
5 Přecodný děj bude robít s tlumenými kmit ři reálné části kořenů (- ) záorné. Přecodný děj bude robít s nrůstjícími (netlumenými) kmit ři reálné části kořenů kldné(- ). Kvlittivní zobrzení uvedenýc skutečností je n obr.- vžd ro nulovou očáteční odmínku. DVA REÁLNÉ ZÁPORNÉ KOŘENY (NEBO OBVOD. ŘÁDU) DVOJNÝ KOŘEN ZÁPORNÝ KOMPLEXNĚ SDRUŽENÉ - REÁLNÁ ČÁST ZÁPORNÁ KOMPLEXNĚ SDRUŽENÉ - REÁLNÁ ČÁST KLADNÁ G/ NEBO (G/) PRO. ŘÁD x Obr.. Kvlittivní zobrzení řešení diferenciálníc rovnic ři nulové očáteční odmínce. Litertur: Kolmn, Č.: Mtemtik ve sdělovcí tecnice. SNTL, Pr 96 Rektors, K.: Co je k čemu je všší mtemtik. ACADEMIA, Pr 3 Kvsnic, J.: Mtemtický rát fzik. ACADEMIA, Pr 997 (. vdání) 4 Devlin, K.: Jzk mtemtik. Argo Dokořán, Pr 5 Angot, A.: Užitá mtemtik ro elektrotecnické inženýr. SNTL, Pr 97 6 Punčocář, J.: Exonenciální funkce jejic "vužití" - A. Pomocné studijní text leden 4.