æ æ
Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2. Určete, zda vektor (2; 4; 5; 2) je lineární kombinací vektorů (2; 2; 0; 1), (2; 1; 2; 0) a (4; 6; 5; 3). 3. Pomocí determinantů (Cramerovo pravidlo) vypočtěte z ze soustavy 5x + 3y + z = 4 3x + y z = 4 4x + 2y + z = 2 4. Určete inverzní matici k matici 2 0 1 4 2 1. 4 2 2 OTOČTE!
5. Určete body, ve kterých má funkce f lokální extrémy a sedla: f(x, y, z) = e x3 3x+y 2 +z 2 +4z. 6. Uvažujme funkci f(x, y) = ln(2x + y) a množinu M = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 10, x 0, y 0}. Pomocí Kuhn-Tuckerových podmínek nalezněte bod maxima funkce f na množině M. Zdůvodněte jeho existenci. 7. Ukažte, že je f(x, y, z) = 16xy 2 z 2 je ryze kvazikonvexní, resp. ryze kvazikonkávní na K = {[x, y, z] R 3 ; x > 0, y > 0, z > 0}. Určete její extrémy na množině M = {[x, y, z] R 3 ; x + y + z = 10, x > 0, y > 0, z > 0}. x 3 x 2 13x 17 8. Vypočtěte x 2 dx. x 12 9. Vypočtěte (x 2 + x) e x dx. 10. Vypočtěte 1 2 x 2 1 x 3 dx.
Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta B 1. Určete, zda jsou vektory lineárně závislé: (6; 5; 2; 0; 2), (6; 0; 0; 4; 1), (9; 0; 0; 2; 2), (0; 3; 0; 0; 0). 2. Určete obecné řešení soustavy vzhledem k reálnému parametru a: 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 8x 4 + 10x 5 = 4 3x 1 + 6x 2 + 12x 4 + 15x 5 = 6 3x 1 + 6x 2 + 7x 3 + 10x 4 + 15x 5 = 6 3x 1 + 6x 2 + 9x 3 + 12x 4 + ax 5 = 6 1 5 2 5 2 1 0 2 3. Vypočítejte determinant matice. 0 1 2 3 1 2 3 0 4. Vyřešte maticovou rovnici XA = B, kde A = 5 6 0 9 10 0, B = 2 4 2 1 3 1 1 0 1 0 0 0 OTOČTE!
5. Určete body, ve kterých má f(x, y) = ln(3x 2 + 5y 2 + 1) lokální vázané extrémy vzhledem k vazbě M = {[x, y] R 2 ; y 2 = x 2 1}. 6. Uvažujme funkci f(x, y) = e 2x+4y+6 a množinu M = {[x, y] R 2 ; xy + x 1, x 0, y 0}. Pomocí Kuhn-Tuckerových podmínek nalezněte bod maxima funkce f na množině M. Zdůvodněte jeho existenci (neexistenci). 7. Ukažte, že je f(x, y) = 4 (x + 1) 2 + y 2 + 1 ryze konvexní, resp. ryze konkávní. Určete její extrémy. 8. Vypočtěte 70x + 140 x 2 + 4x + 40 dx. ln x + 3 9. Vypočtěte dx. x 10. Určete obsah obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích y = ln x, y = 0, x = 2.
Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta C 1. Určete, pro které hodnoty reálného parametru a jsou vektory lineárně nezávislé: (2, 4, 4, 0, 4), (2, 2, 8, 4, 2), (0, 2, 8, 0, 4), (4, 5, 8, 4, a). 2. Určete obecné řešení soustavy: 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 8x 4 + 10x 5 = 6 x 1 + 2x 2 + 4x 4 + 5x 5 = 6 x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 4x 4 + 7x 5 = 8 3x 1 + 6x 2 + 9x 3 + 12x 4 + 17x 5 = 2 1 2 x 0 1 1 4 2 3. Řešte rovnici = 0 1 4 0 7 x x 1. 4 4 0 2 4. Vyřešte maticovou rovnici XA = X + B, kde A = 2 0 1 ( ) 1 0 2 1 11 1, B = 2 3 10 1 3 2 OTOČTE!
5. Ukažte, že funkce f(x, y, z) = xy e z je ryze kvazikonvexní, resp. ryze kvazikonkávní v množině K = {[x, y, z] R 3 ; x > 0, y > 0, z > 0}. Nalezněte body, v kterých má absolutní vázané extrémy vzhledem k M = {[x, y, z] R 3 ; x > 0, y > 0, z > 0, x + y z = 0}. 6. Určete body, ve kterých má funkce f(x, y, z) = ln(x 3 y 2 + z 2 3x + 10) lokální volné extrémy a sedla. 7. Ukažte, že je f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 4 x1 x 2 x 3 +x 3 4 ryze konvexní, resp. ryze konkávní v K = {[x 1, x 2, x 3, x 4 ] R 4 ; x 1, x 2, x 3, x 4 > 0} 8. Vypočtěte x 3 x 2 6x + 9 dx. 9. Vypočtěte ( ) 1 ln x 2 dx. 10. Určete obsah obrazce ohraničeného grafy f(x) = 2 3 x, g(x) = x, h(x) = 0.
Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta D.15 1. Určete, zda jsou vektory lineárně závislé: (6; 5; 2; 0), (3; 0; 1; 2), (9; 2; 0; 2), (0; 3; 1; 4). 2. Určete obecné řešení soustavy vzhledem k reálnému parametru a: 3x 1 + 8x 2 + 13x 3 + 4x 4 + 7x 5 = 6 x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 2 3x 1 + 6x 2 + 9x 3 + x 4 + 3x 5 = 8 x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 3x 4 + ax 5 = 5 1 5 2 0 2 5 0 2 3. Vypočítejte determinant matice. 0 1 2 3 1 2 3 0 4. Vyřešte maticovou rovnici XB + 3B = A + 2X, kde A = ( ) 5 6, B = 9 16 ( ) 2 4 1 3 OTOČTE!
5. Určete body, ve kterých má f(x, y) = xy lokální vázané extrémy vzhledem k vazbě M = {[x, y] R 2 ; y 2 + x 2 = 18}. 6. Uvažujme funkci f(x, y) = 2x + 4y + 6 a množinu M = {[x, y] R 2 ; xy 50, x 0, y 0}. Pomocí Kuhn-Tuckerových podmínek nalezněte bod minima funkce f na množině M. Zdůvodněte jeho existenci. 7. Ukažte, že je f(x, y) = 7 (3x y) 2 (x 2) 2 ryze konvexní, resp. ryze konkávní. Určete její extrémy. 8. Vypočtěte 3 x 2 4x + 20 dx. 9. Vypočtěte x (1 ln x) dx. 10. Určete obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí f(x) = x 2 + 6 a g(x) = 2x 2 + x.
V ý s l e d k y Varianta A 1. lomin v [1, 1, 0, 0], 2. ryze kvazikonkávní, 3. f, g konkávní, min v [1, 6; 3, 2], 4. 3 2 x3 20 x + 50 x + 2x ln 2 2 x ln 2 + c, ( ) x 5. 3 3 4x ln x x3 3 + 4x + c,
V ý s l e d k y Varianta B 1. lovamin v [1, 1], 2. ryze konkávní, max v [3, 2, 1], 3. f, g kvazikonkávní, min v [2, 2], 4. 2 5 x5 + 4 x 3 + 18 x 25 5x ln 5 + c, 3 5. x ln 3 ( (x2 3) 2 x3 x ln 3 ln 3 ) 3x ln + c, 2
V ý s l e d k y Varianta C 1. ryze konvexní, min v [0, 1, 0], 2. lovamin v [ 1 2, 1 2 ], lovamax v [ 1 2, 1 2 ], 3. f, g kvazikonkávní, max v [1, 1], 4. 3 2 3 x8 12 5 3 x5 + 3 2 5. e x ( x 2 + 3x 3) + c, 3 x2 + 25x ln 25 + c,