KAPITOLA 1: Míra a měřitelné funkce P(X) = {A A X} potenční možina množiny X 1.1 Měřitelné množiny dále předpokládáme X Systém S podmnožin množiny X se nazývá algebra, jestliže (A1) S, (A2) (A3) A S X\A S (uzavřenost na doplněk), A, B S A B S (uzavřenost na sjednocení). Systém S se nazývá σ-algebra, pokud splňuje podmínky (A1), (A2) a (A3σ) A 1, A 2,... S A j S. Je-li S σ-algebra na X, nazýváme dvojici (X, S) měřitelný prostor a množiny A S nazýváme S-měřitelné. Platí: Podmínky (A1), (A2) v definici (σ-)algebry lze nahradit podmínkami (A1 ) X S (A2 ) A, B S A \ B S Platí: a) Každá algebra je uzavřená na průnik. b) Každá algebra je uzavřená na konečná sjednocení a konečné průniky, tj. A 1, A 2,..., A n S A 1 A 2... A n S a A 1 A 2... A n S. c) Každá σ-algebra je uzavřená na spočetné průniky. Nechť F P(X). Nejmenší σ-algebru, která obsahuje všechny množiny z F ( obsahuje F ) značíme σ(f) a říkáme jí σ-algebra generovaná F. (Podobně lze definovat algebru generovanou F.) 1.2 Míra a vnější míra Je-li Y a G P(Y ), pak zobrazení τ : G R, kde R = R {, + }, říkáme množinová funkce. Jsou-li U, V P(Y ), U V, µ : U R, ν : V R, µ(a) = ν(a) pro všechna A U, pak ν je rozšíření µ z U na V a µ je zúžení ν z V na U. Nechť (X, S) je měřitelný prostor (tj. S P(X) je σ-algebra). Množinová funkce µ : S 0, se nazývá míra, jestliže splňuje: (M1) µ( ) = 0, (M2) Jsou-li A j S, j = 1, 2,..., po dvou disjunktní (tj. A i A j = pro i j), pak ( µ j N ) A j = µ(a j ). (σ-aditivita) j N Trojici (X, S, µ) nazýváme prostor s mírou. 1
Příklady: iracova míra: ( =) X libovolná množina, a X pevně zvolené, S = P(X) { 1, a A δ a (A) = 0, a A Aritmetická (též (po)čítací) míra: ( =) X libovolná množina, S = P(X) { počet prvků A pro A konečnou α(a) = pro A nekonečnou Lebesgueova míra: zobecňuje pojmy délka intervalu, obsah obdélníka, objem kvádru (více viz dále) Věta 1.1 (vlastnosti míry) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, (A j ) S. Pak (1) Je-li A 1 A 2, pak µ(a 1 ) µ(a 2 ). (monotonie míry) (2) µ ( ) A j µ(a j ). (3) Je-li A 1 A 2 A 3..., pak (4) Je-li A 1 A 2 A 3... a µ(a 1 ) <, pak µ ( µ ( A j ) = lim j µ(a j). A j ) = lim j µ(a j). Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Pak míru µ nazýváme konečná je-li µ(x) <, σ-konečná existují-li X 1, X 2,... X tak, že µ(x j ) < j a X j = X, pravděpodobnostní je-li µ(x) = 1, (X, S, µ) pak nazýváme pravděpodobnostní prostor, úplná je-li každá podmnožina množiny míry nula měřitelná Věta 1.2 (zúplnění míry) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Pak existuje nejužší rozšíření (S, µ) míry (S, µ) na úplnou míru. Míru (S, µ) nazýváme zúplnění míry (S, µ). Tvrzení 1.3 : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, S. Pak (, S, µ ), kde S = {A S A } (= {B B S}) a µ = µ S, je prostor s mírou. Pokud je míra µ úplná, je i míra µ úplná. Konstrukce míry z množinové funkce přes vnější míru Mějme G P(X) a množinovou funkci τ : G 0, splňující G, τ( ) = 0. efinujme množinovou funkci τ : P(X) 0, tak, že pro A X položíme { τ (A) = inf τ(b j ) B j G pro j N a A B j }. 2
Jsou-li B j G a A B j, nazýváme τ(b j) horní součet k τ (A). Poznámka : Může se stát, že τ (A) τ(a) pro nějaké A G. Množinová funkce γ : P(X) 0, se nazývá vnější míra na množině X, jestliže (VM1) γ( ) = 0 (VM2) A B γ(a) γ(b) (monotonie) (VM3) γ( A j ) γ(a j ) (σ-subaditivita) Věta 1.4 : Množinová funkce τ je vnější míra (na X). Nechť γ : P(X) 0, je vnější míra na X. Množina A X se nazývá γ-měřitelná (podle Carathéodoryho), jestliže pro každou množinu T X platí γ(t ) = γ(t A) + γ(t \A). Množinu všech γ-měřitelných množin značíme M(γ) a pro A M(γ) pokládáme γ (A) = γ(a). Tedy γ = γ M(γ) (zúžení γ na M(γ) ). Věta 1.5 (Carathéodoryova) : Nechť γ σ-algebra a γ je úplná míra. je vnější míra na X. Pak systém γ-měřitelných množin M(γ) je 1.3 Lebesgueova míra na R n a, b R = R {, + }, a b (a, b), a, b), (a, b, a, b (jednorozměrný) interval (a, b usměrněný interval (není to běžně používaný název, zjednoduší nám ale vyjadřování) I 1 = {I I - interval, a, b R} (systém všech omezených intervalů v R) Ĩ 1 = {(a, b < a b < } (systém všech omezených usměrněných intervalů v R) délka intervalu I s krajními body a, b, kde < a b < : l(i) ( = l 1 (I) ) = b a Platí: Pokud sjednocením, průnikem či rozdílem usměrněných intervalů je interval, pak je usměrněný. n-rozměrný interval: I = I 1 I 2... I n, kde I i jsou jednorozměrné intervaly usměrněný n-rozměrný interval: I n = {I R n I je omezený interval } I = I 1 I 2... I n, kde I i jsou usměrněné jednorozměrné intervaly Ĩ n = {I I n I je usměrněný } usměrněný poloprostor: množina typu {x R n x i c} nebo {x R n x i > c}, kde c R a i {1,..., n} je vhodná dvojice čísel 3
elementární objem n-rozměrného intervalu I = I 1 I 2... I n I n : l n (I) = l(i 1 ) l(i 2 )... l(i n ) Platí: Každý usměrněný interval v R n je průnik 2n usměrněných poloprostorů. Platí: Jsou-li I usměrněný interval a H usměrněný poloprostor v R n, pak I H a I\H jsou usměrněné intervaly. Vlastnosti funkce l n na Ĩn: l n je aditivní v tomto smyslu: pro každý usměrněný interval I n a usměrněný poloprostor H platí l n (I) = l n (I H) + l n (I\H) l n je nezáporná (zřejmé) l n je zprava spojitá v tom smyslu, že kdykoliv (Q j ) Ĩn, I Ĩn a Q j I (tj. Q j+1 Q j, I = Q j ) nebo Q j I (tj. Q j Q j+1, I = Q j ), pak l n (Q j ) l n (I) pro j. Příklady dalších aditivních nezáporných zprava spojitých funkcí intervalu: iracova funkce: x R n pevně zvoleno, I Ĩn d x (I) = { 1, x I 0, x I funkce m n : Ĩ n R definovaná pomocí neklesající zprava spojité funkce F : R R tak, že m n (I 1 I 2... I n ) = m 1 (I 1 ) m 1 (I 2 )... m 1 (I n ), kde pro I j = (a j, b j je m 1 (I j ) = F (b j ) F (a j ). Vnější míru ln na R n generovanou elementárním objemem l n na Ĩn, tj. ln(a) = inf{ l n (Q j ) Q j Ĩn pro j N, A Q j }, nazýváme Lebesgueova vnější míra. Vnější míru m, která je daná obecnou konečnou aditivní nezápornou zprava spojitou funkcí m na Ĩn nazýváme Lebesgue-Steiltjesova vnější míra generovaná m. Platí: Lebesgueova vnější míra je definovaná na celé P(R n ), je monotonní a σ-subaditivní. Věta 1.6 : Pro každé I Ĩn platí l n(i) = l n (I). ůsledek 1.7 : Nechť I I n. Pak l n(i) = l n (I). Tvrzení 1.8 : l n je translačně invariantní, tj. pro každé A R n, x R n je při označení A + x = {a + x a A} l n(a + x) = l n(a). Řekněme, že A R n je lebesgueovsky měřitelná (píšeme A M n ), jestliže pro každý usměrněný interval Q Ĩn platí ln(q) = ln(q A) + ln(q\a). Pro A M n položíme λ n (A) = l n(a). λ n nazýváme Lebesgueova míra. Podobně pro m nezápornou zprava spojitou aditivní funkci na intervalu dostaneme Lebesgue-Stieltjesovu míru generovanou m. 4
Tvrzení 1.9 : a) Je-li H usměrněný poloprostor v R n, pak H M n. b) Je-li H usměrněný poloprostor v R n a A M n, pak H A M n. c) Je-li I usměrněný interval v R n, pak I M n (tedy Ĩn M n ). Věta 1.10 : Množina A R n tj. je lebesgueovsky měřitelná právě tehdy, když je l n-měřitelná podle (Carathéodoryho), l n(t ) = l n(t A) + l n(t \ A) T R n. Tedy M n = M n (l n) a λ n = (l n). (M n je tak σ-algebra a λ n je úplná míra). ůsledek 1.11 : Každý interval je lebesgueovsky měřitelný. Věta 1.12 : Existuje množina B (0, 1) taková, že B M 1 (tj. B je neměřitelná). Tedy Lebesgueova vnější míra l1 není aditivní. 1.4 Borelovské množiny v R n x = (x 1, x 2,..., x n ) R n... x = x 2 1 +... + x2 n norma x r > 0, x R n... B r (x) = {y R n x y < r} otevřená koule se středem x a poloměrem r (okolí bodu x o poloměru r) (x k ) k=1 Rn, x R n, x k x 0 pro k... x k x pro k, Množina M R n je otevřená, jestliže pro každé x M existuje r > 0 tak, že B r (x) M. Množina M R n je uzavřená, jestliže je množina R n \ M otevřená. To nastává právě tehdy, když platí kdykoliv (x k ) k=1 M, x R N a x k x, pak x M. Platí: R n, jsou otevřené množiny. R n, jsou uzavřené množiny. Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina. Průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina. Průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená množina. Sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina. Tvrzení 1.13 : Každá otevřená množina G R n je sjednocením spočetně mnoha usměrněných intervalů. Označme G = {A R n A je otevřená }. Pak definujeme B(R n ) = σ(g), tedy B(R n ) je nejmenší σ-algebra podmnožin R n, která obsahuje všechny otevřené množiny. Množiny ze σ-algebry B(R n ) nazýváme borelovské. Platí: B(R n ) obsahuje také všechny uzavřené množiny. 5
Je-li A σ-algebra obsahující všechny usměrněné intervaly v R n, pak B(R n ) A. B(R n ) M n. Tedy každá borelovská množina je lebesgueovsky měřitelná. Věta 1.14 (charakterizace lebesueovsky měřitelných množin) : Buď E R n. Pak jsou ekvivalentní tvrzení (i) E M n (ii) Pro každé ε > 0 existují otevřená množina G R n a uzavřená množina F R n, takové že F E G a λ n (G\F ) < ε. (iii) Existují borelovské množiny P, Q R n (přesněji P typu F σ spočetné sjednocení uzavřených množin, Q typu G δ spočetný průnik otevřených množin) takové, že P E Q a λ n (Q\P ) = 0. (iv) Existují borelovské množiny M, N takové, že λ n (N) = 0 a (E\M) (M\E) N. 1.5 Měřitelné funkce Nechť (X, S) je měřitelný prostor, S. Pak f : R nazýváme S-měřitelná funkce na, jestliže pro každé α R platí {x f(x) > α} = f 1 ((α, ) S. Komplexní funkce na je S-měřitelná, jestliže jsou S-měřitelné její reálná i imaginární část. Zřejmě: Je-li f S-měřitelná na S, S,, pak je f S-měřitelná i na. Je-li f S-měřitelná na 1, 2 S, pak je f S-měřitelná i na 1 2. Platí: Následující tvrzení jsou ekvivalentní f je S-měřitelná na, tj. pro každé α R je {x f(x) > α} = f 1 ((α, ) S. Pro každé α R je {x f(x) α} = f 1 (, α ) S. Pro každé α R je {x f(x) < α} = f 1 (, α)) S. Pro každé α R je {x f(x) α} = f 1 ( α, ) S. Aritmetické operace v R = R {, + }: nedefinujeme: + ( ), definujeme (zde): 0 (± ) = 0 ± ±, a 0 (a R) Tvrzení 1.15 : Nechť f, g jsou S-měřitelné funkce na X, α R. Pak a) {x X f(x) < g(x)} S ( zkráceně zde {f < g} S a analogicky jinde ) b) {x X f(x) = + } = f 1 ({+ }) S {x X f(x) = } = f 1 ({ }) S c) {x X f(x) = α} = f 1 ({α}) S 6
Značení: Pro f : R označíme f + = max{f, 0} (kladná část f), f = max{ f, 0} (záporná část f). Tvrzení 1.16 : Nechť f je S-měřitelná funkce na S, φ spojitá funkce na otevřené nebo uzavřené množině G R. Pak množina = {x f(x) G} je měřitelná a funkce φ f je S-měřitelná na. Věta 1.17 : Nechť f, g, f 1, f 2,... jsou S-měřitelné funkce na S, λ R. Pak a) funkce λf, f, f +, f, f 2 jsou S-měřitelné na, funkce 1 f f g je S-měřitelná na {x f(x) 0}, b) funkce f + g, f g, f g, jsou S-měřitelné na podmnožině množiny, na které má daná operace smysl, ( ) c) funkce max {f 1,..., f n }, min {f 1,..., f n }, sup {f j }, inf {f EF. j}, lim sup f j = lim sup{f i }, j N j N j j i j ( ) lim inf f def. j = lim inf {f i} jsou S-měřitelné na, j j i j d) množina všech x, kde existuje lim j f j(x) je S-měřitelná a funkce lim f j je S-měřitelná na. j ůsledek 1.18 : Nechť f, g jsou S-měřitelné funkce na S. Pak {x f(x) = g(x)} S. Nechť A X. Funkci χ A : X {0, 1} takovou, že { 1, x A χ A (x) = 0, x / A nazýváme charakteristická funkce množiny A v X. Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme zúžení funkce χ A na množinu S (tj. charakteristickou funkci množiny A v ) značit také χ A. Zřejmě: χ A je měřitelná, právě když je A měřitelná pro i j a Systém {A 1,..., A n } podmnožin množiny se nazývá rozkladem množiny, jestliže A i A j = n A i =. i=1 Funkce f se nazývá jednoduchá, pokud je lineární kombinací charakteristických funkcí měřitelných množin, tj. existují množiny A 1,..., A n S a čísla α 1,..., α n R taková, že f = n α i χ Ai. i=1 Věta 1.19 : Nechť (X, S) je měřitelný prostor a f je nezáporná měřitelná funkce na S. Pak existují jednoduché nezáporné funkce f k f (tj. f k+1 f k pro každé k a lim f k(x) = f(x) pro každé x). Navíc f lze k vyjádřit ve tvaru ( n ) f = 2 j χ Ej = lim 2 j χ Ej, kde E j S. j= n j= n ůsledek 1.20 : Nechť f je S-měřitelná na S. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí (f n ) n=1 taková, že f n f a f n f na. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. ále nechť f : R je S-měřitelná funkce na S,, µ(\ ) = 0. Pak funkci f nazveme µ-měřitelnou na. Poznámka : Pokud v budoucnu použijeme bez dalšího upřesnění jen stručné označení funkce měřitelná na, budeme mít na mysli funkci µ-měřitelnou na. 7
KAPITOLA 2: Abstraktní Lebesgueův integrál (X, S, µ) prostor s mírou, S s.v. = skoro všude, pro skoro všechna apod.... až na množinu míry nula 2.1 Zavedení a základní vlastnosti Konstrukce integrálu Při konstrukci integrálu postupujeme v několika krocích. definujeme ho nejdříve pro nejjednodušší funkce a od nich pak přecházíme k funkcím obecnějším. Nechť S (1) Je-li s nezáporná jednoduchá funkce, s = m α j χ Aj, kde A i A j = i j, pak definujeme s dµ = m α j µ(a j ). (2) Je-li f nezáporná S-měřitelná funkce na, pak definujeme { f dµ = sup s dµ } s je jednoduchá funkce, 0 s f na. (3) Je-li f S-měřitelná funkce na, pak definujeme f dµ = má-li tento rozdíl smysl (tj. není ). f + dµ f dµ, (4) Je-li f S-měřitelná na, µ(\ ) = 0 (tedy f je také µ-měřitelná na ), definujeme f dµ = f dµ, pokud je integrál vpravo definován. Je-li integrál f dµ definován, říkáme, že má smysl nebo že f má integrál. Pokud je integrál navíc konečný, říkáme, že f dµ konverguje nebo že f je integrovatelná na. Poznámky: 1) Je-li funkce f integrovatelná, je integrovatelná i f. Tedy každá integrovatelná funkce je absolutně integrovatelná (říkáme též, že Lebesgueův integrál je absolutně konvergentní). Zřejmě přitom platí f dµ f dµ. 2) efinice abstraktního integrálu z jednoduché funkce je korektní, tj. nezávisí na výběru vyjádření funkce s jako lineární kombinace charakteristických funkcí po dvou disjunktních množin. 3) Určení f dµ pro f 0 jednoduchou podle (1) a (2) dává stejné hodnoty. 4) Je-li S, µ() = 0, pak pro každou měřitelnou funkci f je f dµ = 0. 5) efinice integrálu µ-měřitelné funkce je korektní, tedy nezávisí na volbě množiny uvedených vlastností. 8
6) Je-li f definována na S a M, M S, pak zřejmě platí f dµ = fχ M dµ. M 7) Někdy (např. když integrál bude záviset na parametru) budeme psát f(x) dµ(x) místo f dµ. 8) Pro (X, S, µ) = (R n, M n, λ n ) používáme značení f dx := f dλ n, E E Index u M a λ označující dimenzi někdy vynecháváme. b a f dx := (a,b) f dλ 1. 9) Při výpočtu integrálů používáme tento vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem: Nechť f je riemannovsky integrovatelná funkce na a, b. Potom Lebesgueův integrál funkce f od a do b (tj. přes a, b ) konverguje a je roven integrálu Riemannovu. Tvrzení 2.1 : Nechť S a funkce f, g jsou měřitelné na. Pak platí a) Je-li f 0, 1, 2 S, 1 2, pak 1 f dµ 2 f dµ. b) Je-li f dµ <, pak f < skoro všude na. c) Je-li f dµ = 0, pak f = 0 skoro všude na. d) Jestliže f, g mají integrál přes a f g skoro všude na, pak f dµ g dµ. (monotonie integrálu) e) Je-li g dµ < a f g skoro všude na, pak f je integrovatelná. ůsledek 2.2 : a) Jestliže f dµ = 0 pro každou měřitelnou množinu E S, pak f = 0 s.v. na. E b) Nechť f a g jsou integrovatelné na S. Jestliže E f dµ g dµ pro každou měřitelnou množinu E, E pak f g s.v. na. Věta 2.3 (Leviho o monotonní konvergenci) : Nechť (f j ) je posloupnost měřitelných funkcí na S, 0 f 1 f 2... a f = lim f j. Potom j f dµ = lim f j dµ. j Poznámka: Předpoklad 0 f 1 ve Větě 2.3 lze nahradit předpokladem f 1 dµ >. ůsledek 2.4 (Spojitá závislost na integračním oboru) : a f je nezáporná měřitelná funkce na. Potom f dµ = lim f dµ. k E k Nechť, E k S, E 1 E 2..., k=1 E k = Věta 2.5 (Linearita integrálu) : a) Nechť funkce f a g jsou měřitelné na S. Potom (f + g) dµ = má-li pravá strana smysl. f dµ + g dµ, 9
b) Nechť f je měřitelná funkce na S, τ R. Pokud má f integrál, pak τf dµ = τ f dµ. Tvrzení 2.6 : Nechť 1, 2 S, 1 2 =, 1 2 =. Pak f dµ = f dµ + f dµ, 1 2 pokud má některá strana smysl. Značení: Z předchozího dostáváme: Tvrzení 2.7 (Vlastnosti L 1 (µ)) : L 1 (µ) = { f X } f dµ konverguje. a) Je-li f L 1 (µ), pak f L 1 (µ) a X f dµ f dµ. X b) Je-li f L 1 (µ), pak f < s.v. na X. c) Je-li f, g L 1 (µ), α, β R, pak αf + βg L 1 (µ) (tj. L 1 (µ) je lineární prostor) a platí (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ. X X X d) Pro f, g L 1 (µ) je max{f, g}, min{f, g} L 1 (µ). e) Je-li f měřitelná, g L 1 (µ), f g s.v., pak f L 1 (µ). 2.2 Záměna limity a integrálu (Mezi tyto věty patří také Leviho věta o monotonní konvergenci viz Věta 2.3) Vsuvka: Limes superior a limes inferior posloupnosti (a j ) ( ) lim inf a j = lim inf {a i}, lim sup j j i j j jsou definovány vztahy ( ) a j = lim sup {a i }. j i j Tedy zřejmě vždy platí lim inf j a j lim sup j a rovnost nastává právě tehdy, když existuje limita posloupnosti (a j ). V tom případě jsou jí lim inf j a j lim sup j a j rovny, tedy a j a lim sup a j = lim inf a j = a právě tehdy, když existuje lim a j = a. j j j Lemma 2.8 (Fatouovo) : Nechť S a (f j ) je posloupnost nezáporných měřitelných funkcí na. Pak lim inf j dµ lim inf f j dµ. j j Věta 2.9 (Lebesgueova o majorizované konvergenci) : Nechť S a f, f j, j = 1, 2,..., jsou měřitelné funkce na. Nechť posloupnost (f j ) konverguje s.v. na k f a existuje integrovatelná (na ) funkce g (tzv. majoranta) tak, že f j (x) g(x) pro každé j N a s.v. x. 10
Potom f dµ = lim f j dµ. j Poznámka: Rovnost ( limj f j ) dµ = limj ( f j dµ) obecně neplatí. Věta 2.10 (Leviho pro řady) : Nechť S a g j 0, j = 1, 2,..., jsou funkce měřitelné na. Pak g j dµ = g j dµ. Věta 2.11 (Lebesgueova pro řady) : Nechť (h j ) je posloupnost měřitelných funkcí na S g je integrovatelná funkce na. Jestliže n h j (x) g(x) pro každé n N a řada h j konverguje s.v. na, pak h j dµ = h j dµ. 2.3 Střední hodnota náhodné veličiny Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor (tj. je to prostor s mírou, v kterém P (Ω) = 1). Pak A-měřitelnou funkci X : Ω R nazýváme náhodná veličina, integrál z náhodné veličiny X vzhledem k míře P (pokud existuje) nazýváme střední hodnota náhodné veličiny X a značíme jej EX, tj. ( ) EX = X dp = X(ω) dp (ω), distribuční funkci F X náhodné veličiny X definujeme vztahem ( F X (x) = P ({X x}) = P ({ω Ω X(ω) x}) Ω Ω ), x R. Střední hodnota diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny Řekneme, že náhodná veličina je diskrétní (má diskrétní rozdělení), pokud existují posloupnost reálných čísel (x n ) n N0 (N 0 N) a posloupnost kladných čísel (p n ) n N0 takové, že p n = 1 n N 0 a p n = P ( {X = x n } ) ( ) = P ({ω Ω X(ω) = x n }). Poznámka: Pro distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny X zřejmě máme F X (x) = P ({X x}) = n N0 xn x p n. Platí: Jestliže je X diskrétní náhodná veličina, pak EX = n N 0 x n p n. 11
Řekneme, že náhodná veličina je absolutně spojitá (má absolutně spojité rozdělení), pokud existuje nezáporná borelovsky měřitelná funkce f taková, že F X (x) = P ({X x}) = Funkci f pak nazýváme hustota náhodné veličiny X. x f(t) dt. Platí: Jestliže je X absolutně spojitá náhodná veličina, pak EX = tf(t) dt. 2.4 Fubiniova věta v R N Značení: Nechť n, k N a N = n + k. Pro x = (x 1,..., x n ) R n a y = (y 1,..., y k ) R k označíme (x, y) := (x 1,..., x n, y 1,..., y k ) R N. Je-li M R n+k měřitelná množina, f měřitelná funkce na M, pak používáme značení f(x, y) dx dy := f dλ n+k. M M Je-li M R n+k, pak pro x R n a y R k položíme M x, = {y R k (x, y) M}, M,y = {x R n (x, y) M}. Množinám M x, a M,y říkáme řezy. Tvrzení 2.16 : Nechť M R n+k je M n+k -měřitelná množina. Pak pro každá x R n a y R k je množina M x, M k -měřitelná a množina M,y M n -měřitelná, funkce x λ k (M x, ) a y λ n (M,y ) jsou měřitelné a λ n+k (M) = λ k (M x, ) dλ n = λ n (M,y ) dλ k. R n R k Věta 2.19 (Fubiniova v R N ) : Nechť M R n+k je měřitelná množina a f je funkce měřitelná na M, která má integrál M f dλ n+k. Potom pro skoro všechna x R n je definován integrál g(x) := f(x, y) dλ k (y) M }{{} x, píšeme: dy a platí neboli M M f(x, y) dx dy = f dλ n+k = R n R n g dλ n, ( ) f(x, y) dy dx. M x, Poznámka : Ve větě 2.19 není podstatné, že x 1,..., x n je právě prvních n složek bodu z R n+k. Stejným způsobem bychom za předpokladu existence integrálu M f dλ n+k (ten je ve Větě 2.19 podstatný) dostali také ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. M R k M,y Mohli bychom tedy zaměnit pořadí inegrace: ( ) f(x, y) dy dx = M x, R n R k ( ) f(x, y) dx dy. M,y 12
2.5 Věta o substituci Nechť G R n je otevřená množina a ψ = (ψ 1,..., ψ n ) : G R n má v bodě x G všechny (první) parciální derivace. Pak matici ( ) ψi ( x) x j i=1,...,n,...,n se nazýváme Jacobiho matice zobrazení ψ v bodě x. eterminant této matice nazýváme Jacobián zobrazení ψ v bodě x a značíme ho J ψ ( x). Existuje-li lineární zobrazení L : R n R n takové, že ψ( x + h) ψ( x) L(h) lim h 0 h = 0, řekneme, že ψ má v bodě x (Frechetovu) derivaci. V tomto případě je L reprezentováno Jacobiho maticí a značí se ψ ( x). Zobrazení ψ nazveme regulární na G, jestliže má na G spojitou derivaci (tj. všechny jeho parciální derivace jsou na G spojité) a J ψ (x) 0 pro každé x G. Věta 2.20 (O substituci) : Nechť G R n je otevřená množina a ψ : G R n je prosté regulární zobrazení. Nechť u je funkce na M ψ(g). Potom u(x) dx = u(ψ(t)) J ψ (t) dt, pokud má alespoň jedna strana smysl. M ψ 1 (M) 2.6 Integrály závislé na parametru Věta 2.21 (Spojitost integrálu závislého na parametru) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, S, a R a U je okolí bodu a. Nechť funkce F : U R má tyto vlastnosti (a) pro s.v. x je funkce F (., x) spojitá v a, (b) pro všechna t U je funkce F (t,. ) měřitelná, (c) existuje g L 1 () tak, že pro všechna t U je F (t,. ) g skoro všude na (tj. F (t, x) g(x) pro skoro všechna x ). Potom pro všechna t U je spojitá v a, neboli je F (t,. ) L 1 () a funkce G : t F (t,. ) dµ lim F (t, x) dµ(x) = lim G(t) = G(a) = t a t a F (a, x) dµ(x). Věta 2.22 (erivace integrálu podle parametru) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, S a I R je otevřený interval. Nechť funkce F : I R má tyto vlastnosti: (a) pro s.v. x je funkce F (., x) diferencovatelná na I, (b) pro všechna t I je funkce F (t,. ) měřitelná (c) existuje g L 1 (µ) tak, že pro všechna t I je t F (t,. ) g s.v. na, (d) existuje t 0 I tak, že F (t 0,. ) L 1 (µ). 13
Potom pro všechna t I je F (t,. ) L 1 (µ), funkce G : t je diferencovatelná na I a platí vzorec ( tj. d d t G (t) = F (t, x) dµ(x) = F (t,. ) dµ F (t,. ) dµ t F ) t (t, x) dµ(x). KAPITOLA 3: Prostory L p Nechť Y je lineární prostor. Pak zobrazení. : Y R nazveme norma, jestliže pro každé u, v Y a α R platí (1) αu = α u (2) u + v u + v (trojúhelníková nerovnost) (3) a) u 0 b) u = 0 u = 0 (nulový prvek v Y ) vojici (Y,. ) pak nazveme normovaný prostor. (Obvykle píšeme pouze Y.) Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, u je µ-měřitelná funkce na X. Pro p 1, ) definujeme ( 1/p u p = u dµ) p. ále definujeme u = ess sup u := inf{c R u C s.v. na X}. X Pro p 1, položíme L p (X) = {u u p <, u je µ-měřitelná}. Poznámka : Hodnotě ess sup f = inf {C R f C s.v. na X} se říká podstatné (esenciální) supremum funkce f na X. Je ho možné také vyjádřit ve tvaru ess sup f = inf E S µ(e)=0 { sup x X\E f(x) }. Lemma 3.1 (Youngova nerovnost) : Nechť a, b 0, p, q (1, ), 1 p + 1 q = 1. Pak Rovnost nastává právě tehdy, když a p = b q. ab ap p + bq q. Věta 3.2 (Hölderova nerovnost) : 1 Nechť u, v jsou µ-měřitelné funkce na X, p, q (1, ), p + 1 q = 1. Potom platí uv 1 u p v q. Pokud uv 1 <, rovnost nastává, právě když existují čísla c 1, c 2 R, z nichž je alespoň jedno 0, taková, že c 1 u p = c 2 v q s.v. na X. 1 ůsledek 3.3: Nechť p, q (1, ), p + 1 q = 1, u Lp (X), v L q (X). Pak uv L 1 (X). Navíc ( ) 1/p ( 1/q. uv dµ u p dµ v dµ) q X X X 14
ůsledek 3.4: Nechť µ(x) < a 1 p < q. Pak L q (X) L p (X) a existuje konstanta C taková, že f p C f q pro každé f L q (X). Věta 3.5 (Minkowského nerovnost) : Jsou-li u, v µ-měřitelné funkce na X, p (1, ), pak u + v p u p + v p. ůsledek 3.6: Jestliže u, v L p (X), p 1,, pak též u + v L p (X). ůkaz: Jde o bezprostřední důsledek Minkowského nerovnosti. Ekvivalence na L p (X), prostor L p (X) Na L p (X) uvažujme ekvivalenci u v, jestliže u = v s.v. na X (zřejmě u v u p = v p ). Pro u L p (X) označme jemu odpovídající třídu ekvivalence [u] = {v L p (X) u v} a položme Na L p (X) definujeme operace L p (X) = {[u] u L p (X)}. [u] + [v] = [u + v] α[u] = [αu] pro α R a normu [u] p = u p. Poznámka : Prvky prostorů L p (X) a L p (X) obvykle nerozlišují zápisem ani pojmenováním. Nechť Y je normovaný prostor. Řekněme, že posloupnost (y n ) n N prvků z Y je cauchyovská, jestliže ε > 0 n 0 N tak, že m, n N, m, n n 0 platí y m y n < ε. Řekněme, že posloupnost (y n ) n N konverguje v normě k prvku y Y, jestliže lim y n y = 0, n tj. ε > 0 n 0 N tak, že n N, n n 0 platí y n y < ε. Normovaný prostor se nazývá úplný, jestliže je v něm každá cauchyovská posloupnost konvergentní (tj. konverguje v normě k nějakému jeho prvku). Poznámka : Zřejmě každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Ne v každém normovaném prostoru však jsou všechny cauchyovské posloupnosti konvergentní. Věta 3.7 (Úplnost prostorů L p ) : Nechť (f j ) j N je posloupnost prvků z L p (X), která je cauchyovská v normě. p. Pak existuje f L p (X) tak, že lim j f j f = 0. Navíc existuje posloupnost (g k ) k N vybraná z (f j ) j N taková, že g k f skoro všude na X. 15
Poznámka (prostory l p ) : Je-li (a n ) n N posloupnost reálných (příp. komplexních) čísel, položme pro p 1, ) a Pro p 1, definujeme (a n ) l p = (a n ) l ( ) 1/p a n p n=1 = sup a n. n N l p = {(a n ) (a n ) l p < }. Pak (l p,. l p) je úplný normovaný prostor. KAPITOLA 4: Normované prostory X, Y vektorové prostory nad R nebo C. Norma na X je funkce. : X 0, ) splňující pro všechna x, y X (N1) x 0 (N2) x = 0 x = 0 (N3) αx = α x (N4) x + y x + y (trojúhelníková nerovnost) vojici (X,. ) nazýváme normovaný prostor. x velikost vektoru x d(x, y) = x y vzdálenost x a y Platí: x y x y. ( Značení: B X = {x X x 1} ) = {x X d(0, x) 1} jednotková (uzavřená) koule v X Nechť (x n ) n=1 je posloupnost v X. (i) Řekneme, že posloupnost (x n ) konverguje k x X, jestliže Značíme lim n x n = x. lim x n x = 0. n (ii) Řekneme, že posloupnost (x n ) je cauchyovská, jestliže ε > 0 n 0 n, m n 0 : x n x m ε. Pozorování : Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Z cauchyovskosti ale obecně konvergence nevyplývá. Normovaný prostor (X,. ) je úplný (Banachův) prostor, jestliže je v něm každá cauchyovská posloupnost konvergentní. Nechť X je normovaný prostor, x X, (x n ) n=1 X. Řekneme, že x je součtem řady n=1 x n, píšeme n=1 x n = x, jestliže x = lim N 16 N x n. n=1
Nechť X je normovaný prostor. Množina A X se nazývá omezená, jestliže existuje K 0 tak, že x K x A. Tvrzení : Každá cauchyovská posloupnost (x n ) n=1 X je omezená. Nechť X a Y jsou normované prostory (nad stejným tělesem). Pak zobrazení f : X Y definované na (f) X je spojité, jestliže pro každou posloupnost (x n ) n=1 (f) a x (f) takové, že lim n x n = x, platí lim n f(x n) = f(x), neboli x n x f(x n ) f(x). Tvrzení : Nechť X, Y jsou normované prostory, f : X Y a x X. Pak jsou ekvivalentní tvrzení: (i) Pro každou posloupnost (x n ) n=1 (f) takovou, že lim n x n = x, platí lim f(x n) = f( x). n (ii) Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, x x X < δ f(x) f( x) Y < ε. Příklad: Uveďme některé často používané normy na R n, C n. Pro x = (x 1,..., x n ) definujeme x = max x i, i=1,...,n n x 1 = x i. i=1 x 2 = x 1 2 + x 2 2 +... + x n 2. Příklad: M m n matice typu m n. Pro definujeme např. A = ( a ij ) i=1,...,m,...,n A = A r = (tedy A r je maximální řádkový součet matice A). M m n max a ij, i=1,...,m,...,n n max a ij i=1,...,m Mějme dvě normy. 1 a. 2 na prostoru X. Řekněme, že tyto normy jsou ekvivalentní, jestliže existují konstanty K 1, K 2 > 0 tak, že K 2 x 2 x 1 K 1 x 2 x X. Poznámka: Ekvivalentní normy mají stejnou konvergenci. Základní principy analýzy v konečné dimenzi: Bolzano-Weierstrassova věta: Každá omezená posloupnost v C (a tedy i v R) má konvergentní podposloupnost. 17
Princip maxima: Každá spojitá funkce na uzavřené omezené množině v C n maxima a minima. (a tedy i v R n ) je omezená a nabývá svého Věta : Každé dvě normy na prostoru X konečné dimenze jsou ekvivalentní. ůsledky : a) Každý konečně dimenzionální prostor je úplný. b) Všechny konvergence na konečně dimenzionálním prostoru jsou stejné a rovnají se konvergenci po souřadnicích vzhledem k dané bázi. Poznámka : Ekvivalence norem na prostoru nekonečné dimenze neplatí. Tvrzení : Nechť X je úplný prostor a Y jeho podprostor. Pak Y je úplný právě tehdy, když Y je uzavřený v X (tj. kdykoliv (y n ) n=1 Y, y n x X, pak x Y ). ůsledek : Každý konečně dimenzionální podprostor je uzavřený. Je to totiž kopie úplného prostoru R n nebo C n. Bod x normovaného (obecněji topologického) prostoru X je bodem uzávěru M množiny M X, jestliže pro každé okolí U(x) bodu x platí U(x) M. Poznámka : Uzávěr množiny M v prostoru X je průnik všech uzavřených podmnožin prostoru X, které obsahují M jako svou podmnožinu. Je to tedy nejmenší (ve smyslu inkluze) uzavřená množina v X, jejíž částí je množina M. KAPITOLA 5: Operátory Lineární zobrazení T : X Y mezi normovanými prostory (nad stejným tělesem) se nazývá operátor. T (x), T x hodnota operátoru T v x (T ) definiční obor operátoru T (podprostor prostoru X, neřekneme-li jinak, předpokládáme (T ) = X) Operátor T : X Y je omezený, jestliže existuje K 0 tak, že T x K x B X (neboli T (B X ) K B Y ). Prostor všech omezených operátorů z prostoru X do prostoru Y X = Y, používáme zkrácené označení B(X) := B(X, X). Pro T B(X, Y ) pokládáme značíme B(X, Y ). Je-li T = sup T x. x B X Platí : 1) Pro omezený operátor T : X Y je T x T = sup x 0 x = sup T x. x =1 2) Je-li T : X Y omezený operátor, pak T x T x x X. 3) Nechť T : X Y je omezený operátor, pak T je nejmenší konstanta c 0 taková, že T x c x x X. 18
4) (B(X, Y ),. ) je normovaný prostor (tj.. je norma na B(X, Y )). 5) Nechť T B(X, Y ), U B(Y, Z). Pak složené zobrazení UT : X Z je spojité a platí UT U T. Věta : Pro operátor T : X Y jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) T B(X, Y ). (ii) T je spojité zobrazení z X do Y. (iii) T je spojité v nějakém bodě x 0 X. Příklad : Nechť X, Y jsou normované prostory konečné dimenze, B = {x 1,..., x n } je báze prostoru X a U = {y 1,..., y m } je báze prostoru Y. Mějme lineární zobrazení T : X Y takové, že T (x j ) = m a ij y i pro j = 1,..., n. i=1 Nechť bod x X má vzhledem k bázi B souřadnice x B = (α 1,..., α n ) (tj. x = α 1 x 1 +... + α n x n ). Pak T x = α 1 T x 1 +... + α n T x n = n m α j i=1 a ij y i = m ( m ) a ij α j yi = ( n ) a 1j α j y1 +... + ( n ) a mj α j ym i=1 j=n a T x má vzhledem k bázi U souřadnice T x U = A x B, kde A je matice typu m n s prvky a ij (tj. A = ( ) a ij i=1,...,m ).,...,n Tvrzení : Každý lineární operátor definovaný na prostoru konečné dimenze je omezený (a tedy i spojitý). Funkcionál na normovaném prostoru X je lineární zobrazení f : X C (R). (C resp. R je tu těleso skalárů prostoru X.) KAPITOLA 6: Hilbertovy prostory Prostor se skalárním součinem je dvojice (V,.,. ), kde V je lineární prostor a.,. : V V C (R) splňuje pro všechna x, y, z V a α C (R) následující podmínky (i) x, y = y, x (ii) x + y, z = x, z + y, z (iii) αx, y = α x, y, (iv) x, x 0 (v) x, x = 0 x = 0. Na základě bodu (i) je skalární součin v reálném prostoru symetrický. Poznámka : Jako jednoduché důsledky axiomů dostáváme x, αy = α x, y, x, y + z = x, y + x, z. 19
Značení : x = x, x (později ukážeme, že. je norma na V ) Prvky x, y V jsou kolmé (ortogonální) (značíme x y), jestliže x, y = 0. Věta (Pythagorova) : Pro x, y V platí x y x + y 2 = x 2 + y 2. Věta (Geometrický rozklad) : Pro x, y V, y 0 existují jediná z V a λ C tak, že z y a x = z + λ y. (Jde o rozklad x do dvou kolmých směrům, přičemž jeden z nich je zadán.) Věta (Schwarzova nerovnost) : Pro každé dva prvky x, y prostoru se skalárním součinem V platí x, y x y. Rovnost nastává právě tehdy, když x, y jsou lineárně závislé. ůsledek : Pro prostor V se skalárním součinem platí x + y x + y a. je norma na V. Tvrzení (Rovnoběžníkové pravidlo) : Pro x, y V máme x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2). Tvrzení : Skalární součin je spojitá funkce, tj. } x n x y n y x n, y n x, y. Úplný prostor se skalárním součinem se nazývá Hilbertův prostor. Nejlepší aproximace Nechť X je normovaný prostor, M X a x X. Potom vzdálenost bodu x od množiny M je dist(x, M) = δ(x, M) = inf{ x y y M} Bod x 0 M je nejbližším bodem k bodu x, jestliže x x 0 = dist(x, M). Nechť x, y L, kde L je lineární prostor. Úsečkou s krajními body x, y je množina Množina K L je konvexní, jestliže platí implikace [x, y] = {λx + (1 λ)y 0 λ 1}. x, y K [x, y] K. Věta (Nejlepší aproximace) : Nechť K je uzavřená konvexní množina v Hilbertově prostoru H. Ke každému x H existuje jediný nejbližší bod z množiny K. 20
Značení : Pro x H, M, N H pokládáme x M x, y = 0 y M, N M x, y = 0 x N, y M, M = { x H x M}. Pro jakoukoliv podmnožinu M H je množina M uzavřený podprostor prostoru H. Věta : Nechť M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a x H. Bod x 0 M je nejbližším bodem množiny M k bodu x právě tehdy, když x x 0 M. Podprostory V 1 a V 2 lineárního prostoru V tvoří algebraický rozklad prostoru V (prostor V je direktním součtem podprostorů V 1 a V 2 ), jestliže V = lineární obal V 1 V 2 a V 1 V 2 = {0}. Píšeme V = V 1 lin V 2. Ekvivalentně: Pro každé v V existují jediné dva prvky v 1 V 1 a v 2 V 2 tak, že v = v 1 + v 2. Prostor V se skalárním součinem je ortogonální součet podprostorů V 1 a V 2, jestliže V = lineární obal V 1 V 2 a V 1 V 2. Píšeme V = V 1 V 2. Ekvivalentně: Pro každé v V existují jediné dva prvky v 1 V 1 a v 2 V 2 tak, že v = v 1 + v 2 a v 1 v 2. Věta (Projekční) : Je-li M uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H, pak H = M M. Poznámka : Projekční věta nám vlastně říká toto: Pro každé x H je x = x M +x M, kde x M M a x M M. Aproximace x M a x M prvku x v M a M jsou určeny jednoznačně a jsou v odpovídajícím podprostoru nejlepší. Nechť M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H. Potom zobrazení P M : H M takové, že nazýváme ortogonální projekce. P M : x x M - nejlepší aproximace x v M, Platí : P M je omezený lineární operátor, pro který je P M = 1 a P 2 M = P M. ůsledky (projekční věty) : a) Pro každý vlastní uzavřený podprostor M v Hilbertově prostoru H existuje nenulový vektor x H tak, že x M. b) Je-li M uzavřený podprostor, pak pro M = (M ) platí M = M. c) Je-li A podmnožina H, pak [A] = A, kde [A] = lin A. 21
Poznámka : Předpokládejme, že H je Hilbertův prostor a M jeho podprostor takový, že M = lin (e 1,..., e n ), kde e j = 1 j = 1,..., n a e j, e i = 0 i j (tj. množina {e 1,..., e n } je ortonormální). Potom pro každé x H je P M (x) = n x, e j e j = x, e 1 e 1 +... + x, e n e n. Je-li M konečně dimenzionální podprostor s obecnou lineární bází {φ 1,..., φ n } a x H, pak P M (x) = a 1 φ 1 +... + a n φ n, kde z podmínek kolmosti (x P M x) φ i i {1,..., n} dostaneme koeficienty a 1,..., a n jako řešení soustavy rovnic n a j φ j, φ i = x, φ i i = 1,..., n. Matice této soustavy ( φj, φ i ) i,,...,n se nazývá Gramova matice vektorů φ 1,..., φ n (obecně ne nutně lineárně nezávislých). V našem případě, kdy φ 1,..., φ n tvoří bázi podprostoru M, je Gramova matice regulární. Metoda nejmenších čtverců Uvažujme H = R m (m velké). Mějme dánu tabulku naměřených hodnot funkce f x 1 x 2... x m - uzly měření x f 1 f 2... f m - naměřené hodnoty f Funkci f bychom chtěli aproximovat pomocí lineární kombinace funkcí φ 1,..., φ n, kde n m, pro které jsou vektory (φ 1 (x 1 ),..., φ 1 (x m )),..., (φ n (x 1 ),..., φ n (x m )) z R m lineárně nezávislé (pak jsou nutně i funkce φ 1,..., φ n lineárně nezávislé). Můžeme mít např. φ 1 = 1, φ 2 = x, φ 3 = x 2,..., φ n = x n 1. Hledaná aproximace φ = n a i φ i (x) funkce f by měla minimalizovat střední kvadratickou odchylku i=1 ( m f j φ(x j ) 2) 1/2 = (f1,..., f m ) (φ(x 1 ),..., φ(x m ) 2. Jedná se tu o úlohu ortogonální projekce na lineární obal vektorů (φ 1 (x 1 ),..., φ 1 (x m )),..., (φ n (x 1 ),..., φ n (x m )) v R m. Zobecnění: V R m uvažujeme skalární součin (x 1,..., x m ), (y 1,..., y m ) = m w i x i y i, i=1 kde w i > 0 jsou váhy určující důležitost daného měření. Ortonormální báze Množina A v prostoru se skalárním součinem V je ortogonální, jestliže x, y = 0, kdykoliv x, y A, x y. Množina A je ortonormální, jestliže je ortogonální a x = 1 pro všechna x A. Poznámka : Nechť V je prostor se skalárním součinem konečné dimenze a {e 1,..., e n } je jeho ortonormální báze. Potom pro každá x, y V platí 22
x = n x, e j e j (konečně dimenzionální Fourierův rozklad) x 2 = x, y = n x, e j 2, n x, e j y, e j. Konečně dimenzionální Hilbertovy prostory jsou tedy v podstatě l 2 n. Otázka: Jak je tomu v nekonečné dimenzi? Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Nechť x 1, x 2,... je lineárně nezávislá posloupnost. Nalezněme ortonormální posloupnost e 1, e 2,... tak, že pro všechna n 1. krok 2. krok lin(e 1,..., e n ) = lin(x 1,..., x n ) : e 1 = x 1 x 1 3. krok v 2 = x 2 P lin(e1)(x 2 ) = x 2 x 2, e 1 e 1 e 2 = v 2 v 2. v 3 = x 3 P lin(e1,e 2 )(x 3 ) = x 3 x 3, e 1 e 1 x 3, e 2 e 2 e 3 = v 3 v 3 n-tý krok n 1 v n = x n P lin(e1,e 2,...,e n 1)(x n ) = x n x n, e j e j e n = v n v n Množina A v normovaném prostoru X je hustá, jestliže jejím uzávěrem je celý prostor X, tj. pokud A = X. Normovaný prostor X je separabilní, pokud v X existuje spočetná množina {x n n N} taková, že {x n n N} = X (tj. existuje-li v X spočetná hustá podmnožina). Tvrzení : Normovaný prostor X je separabilní, jestliže existuje spočetná množina {y n n N} X tak, že lin {y n n N} = X. 23
Ortonormální báze (ONB) Hilbertova prostoru H je ortonormální množina A taková, že lin A = H ( A = {0}). Věta : (1) Každý Hilbertův prostor má ortonormální bázi. (2) Každá ortonormální množina v Hilbertově prostoru je částí ortonormální báze. (3) Každá ortonormální množina v separabilním Hilbertově prostoru je spočetná. Tvrzení : Ať (x n ) n=1 je ortonormální množina v Hilbertově prostoru H. (i) Řada n=1 α nx n, kde (α n ) n=1 C(R), konverguje právě tehdy, když n=1 α n 2 <. (ii) Pro x = n=1 α nx n je x 2 = n=1 α 2 ( nekonečná Pythagorova věta ). Věta : Ať H je separabilní Hilbertův prostor s ortonormální bází (e n ) n=1, pak pro každé x H platí x = x, e n e n n=1 (abstraktní Fourierův rozvoj) a x = x, e n 2 n=1 (Parsevalova rovnost). Věta : Ať (f n ) n=1 je ortonormální posloupnost v Hilbertově prostoru H. Ať P je ortogonální projekce na uzavřený podprostor lin {f n n = 1, 2,... }. Potom P x = x, f n f n n=1 a x 2 x, f n 2 n=1 (Besselova nerovnost). ůležité aproximační věty Věta (Weierstrassova) : Pro < a < b < tvoří polynomy hustou množinu v C a, b (s maximovou normou). Věta : Je-li 1 p, < a < b <, pak spojité funkce tvoří hustou množinu v L p a, b. Nosič funkce je uzávěr množiny všech bodů, v kterých je funkce nenulová. Věta : Nekonečně diferencovatelné funkce s omezeným nosičem jsou husté v prostoru L p a, b, kde 1 p, a < b. ůsledek : Pro < a < b < platí (i) Polynomy jsou husté v L 2 a, b. (ii) lin (1, x, x 2,...) = L 2 a, b. ůsledek : Ortogonalizací posloupnosti 1, x, x 2,... získáme ONB prostoru L 2 a, b, kde < a < b <. 24
Funkcionály a operátory na Hilbertových prostorech Věta (Rieszova) : y H tak, že Pro každý spojitý lineární funkcionál f na Hilbertově prostoru H existuje právě jeden vektor f(x) = x, y x H. Navíc platí f = y. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou a f L (X). Pak operátor T f : L 2 (X) L 2 (X) definovaný předpisem T f g = fg nazýváme multiplikativní operátor. Tvrzení : Nechť H, K jsou Hilbertovy prostory a T : H K je omezený lineární operátor (tj. T B(H, K)). Pak existuje jediný operátor T B(K, H) takový, že T x, y K = x, T y H x H, y K. Operátor T z předchozího tvrzení se nazývá adjungovaný operátor k operátoru T. Platí : Nechť T B(H, K). Pak T ( = (T ) ) = T a T = T. Platí : Pravidla pro adjunkci Pro T, R B(H) platí (a) (T + R) = T + R (b) (α T ) = α T, α C (c) (T R) = R T (d) T = T Značení : Nechť T B(H), potom označíme R(T ) = {T x x H} ( range, obor hodnot operátoru T ), N(T ) (= Ker(T ) ) = {x H T x = 0} (jádro, nulový prostor operátoru T ). Věta : Nechť T B(H). Potom N(T ) = R(T ). Poznámka : Máme rozklady H = N(T ) R(T ) a H = N(T ) R(T ), pro konečnou dimenzi H = N(T ) R(T ) a H = N(T ) R(T ). Tedy např. je-li operátor T na, pak je operátor T prostý, apod. Nechť V je komplexní lineární prostor. Potom b : V V C se nazývá seskvilineární forma, jestliže pro každá x, y, z V, α C platí (i) (ii) (iii) b(x + y, z) = b(x, z) + b(y, z), b(x, y + z) = b(x, y) + b(x, z), b(α x, y) = α b(x, y), b(x, α y) = α b(x, y). 25
Věta (Polarizační identita) : Nechť b je seskvilineární forma na V. Potom 4 b(x, y) = b(x + y, x + y) b(x y, x y) + i [ b(x + iy, x + iy) b(x iy, x iy) ]. ůsledek : Je-li b seskvilineární forma na V, pak b(x, x) = 0 x V b(x, y) = 0 x, y V. ůsledek : Nechť T, S B(H), kde H je komplexní Hilbertův prostor. Potom platí: (i) Jestliže T x, x = 0 pro každé x H, pak T = 0. (ii) Jestliže T x, x = Sx, x pro každé x H, pak T = S. Poznámka : Předchozí důsledek neplatí pro reálný prostor. Nechť T B(H). Pak (i) T se nazývá samoadjungovaný, jestliže T = T, (ii) T se nazývá pozitivní, jestliže T x, x 0 pro každé x H, (iii) T se nazývá unitární, je-li bijekce a přitom T 1 = T ( T T = T T = I). Tvrzení : Nechť H je komplexní Hilbertův prostor. Operátor T B(H) je samoadjungovaný právě tehdy, když T x, x R x H. ůsledek : Každý pozitivní operátor T B(H) na komplexním Hilbertově prostoru H je samoadjungovaný. Tvrzení : Nechť H je Hilbertův prostor a x 1,..., x n H. Potom matice ( x i, x j ) i,,...,n je pozitivně semidefinitní. Tvrzení : (i) T je unitární. Nechť H je komplexní Hilbertův prostor a T B(H). Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (ii) T je izometrie (tj. T x = x x H) a T je surjektivní. (iii) T zachovává skalární součin a T je surjektivní. (Surjektivní zobrazení je zobrazení na.) Tvrzení : Nechť T B(H) je unitární operátor. Pak k němu adjungovaný operátor T je také unitární. Matice A C n n se nazývá unitární, pokud je unitární operátor T B(C n ) definovaný předpisem α 1 T (α 1,..., α n ) = A., (α 1,..., α n ) C n. α n Tvrzení : Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) A je unitární matice. (ii) Sloupcové vektory s 1,..., s n matice A tvoří ortonormální bázi v C n. (iii) Řádkové vektory r 1,..., r n matice A tvoří ortonormální bázi v C n. Zobrazení U : H K mezi Hilbertovými prostory H a K se nazývá unitární, jestliže je bijektivní a zachovává skalární součin. Existuje-li takové zobrazení mezi H a K, nazýváme prostory H a K izomorfní. Věta : Každý separabilní Hilbertův prostor je izomorfní s l 2. 26
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic Nechť H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Tvrzení : Operátor T B(H) je normální právě tehdy, když T x = T x x H. Tvrzení : Každý samoadjungovaný, pozitivní nebo unitární operátor je normální. Spektrum, σ(t ), operátoru T B(H) je podmnožina C taková, že λ σ(t ) právě tehdy, když (T λi) nemá inverzi v B(H). Neboli Hodnotu λ σ(t ) právě tehdy, když existuje S B(H) tak, že S(T λi) = (T λi)s = I. r(t ) = sup{ λ λ σ(t ) } nazýváme spektrální poloměr operátoru T. Bodové spektrum operátoru T je množina σ p (T ) = {λ C T λi není prostý}. Prvek λ σ p (T ) se nazývá vlastní číslo operátoru T. Vektor v H \ {0}, pro který platí T v = λ v, se nazývá vlastní vektor příslučný vlastnímu číslu λ. Věta : Každý operátor T B(H) má neprázdné spektrum a spektrum je vždy omezená uzavřená množina v C. Poznámka : Obecně může pro λ C platit λ σ(t ) ze tří důvodů: 1) Operátor T λi není prostý. Pak je λ σ P (T ). 2) Operátor T λi je prostý, ale není na, tj. R(T ) H. V tomto případě sice existuje operátor (T λi) 1, není ale definovaný na celém H (tedy nemůže být v B(H)). 3) Operátor T λi je prostý i na (tedy inverzní operátor existuje a je definován na celém H), operátor (T λi) 1 ale není spojitý. Tvrzení : Nechť T B(H), dim H <. Pak σ(t ) = σ P (T ). Tvrzení : Nechť operátor T B(H) má v B(H) inverzi. Pak λ σ(t ) právě tehdy, když λ 1 σ(t 1 ). Tvrzení : Nechť T B(H) je normální. Pak (i) (ii) T x = λx pro nějaké λ C implikuje T x = λx. Jestliže λ 1 λ 2, potom Ker(T λ 1 I) Ker(T λ 2 I). 27
Tvrzení : Nechť T B(H) je normální operátor. Pak λ σ(t ) právě tehdy, když existuje c > 0 tak, že (T λi)x c x x H. ůsledek : Nechť T B(H) je normální. Pak λ σ(t ) právě tehdy, když existuje posloupnost jednotkových vektorů (x n ) n=1 tak, že lim n λx n = 0. n Tvrzení : Je-li T B(H) normální, pak σ(t ) { T x, x x = 1 }. Tvrzení : Nechť T B(H). Pak (i) T je samoadjungovaný σ(t ) R, (ii) T je pozitivní σ(t ) R + = 0, ), (iii) T je unitární σ(t ) {z C z = 1}. Věta : Nechť T B(H) je normální. Pak T = r(t ). Spektrální věty V této části se zaměříme na Hilbertovy prostory konečné dimenze. Připomeňme, že v tomto případě je spektrum operátoru T tvořeno právě jeho vlastními čísly, tj. σ(t ) = σ P (T ). Věta : Nechť H je Hilbertův prostor, dim H <, T B(H) je normální operátor. Pak existuje ortonormální báze prostoru H složená z vlastních vektorů operátoru T. ůsledek : Nechť H je Hilbertův prostor konečné dimenze a T B(H) je normální operátor. Pak T = r(t ). Poznámka : á se ukázat, že pro obecný operátor T B(H) na Hilbertově prostoru konečné dimenze platí T = r(t T ). Z tohoto důvodu se také normě operátoru indukované skalárním součinem říká spektrální norma. Protože není těžké dokázat, že T T = T 2, vidíme, že uvedená rovnost je zobecněním výsledku, který jsme dostali pro normální operátory. Věta (Spektrální rozklad) : Pak Nechť H je Hilbertův prostor konečné dimenze a T B(H) je normální operátor. T = λ 1 P 1 +... + λ k P k, kde λ i σ(t ) a P 1,..., P k jsou ortogonální projekce na navzájem kolmé podprostory. Operátor T B(H) nazýváme jednoduchý, jestliže je lineární kombinací ortogonálních projekcí s navzájem kolmými obory hodnot. 28
Poznámka : Na základě spektrální věty je každý normální operátor na prostoru konečné dimenze jednoduchý. Spektrální teorie pro obecný Hilbertův prostor říká, že jednoduché operátory jsou husté v množině normálních operátorů. Tedy každý normální operátor je limitou jednoduchých operátorů. Poznámka : Uvažujme operátor T B(H). Víme, že pokud je T samoadjungovaný, pak σ(t ) R, je-li pozitivní, pak σ(t ) 0, ), a konečně v případě unitárního operátoru máme σ(t ) {z C z = 1}. Pokud je operátor T normální, můžeme uvedené implikace obrátit. Poznámka : Explicitní tvar konečně dimenzionálního normálního operátoru. Nechť dim H < a T B(H) je normální operátor. Mějme ortonormální bázi v 1,..., v n složenou z vlastních vektorů, T v i = λ i v i. (Vlastní čísla λ i obecně nemusí být po dvou různá.) Pak pro x H platí T x = λ 1 x, v 1 v 1 +... + λ n x, v n v n. Věta (iagonalizace) : Nechť H je Hilbertův prostor konečné dimenze a (e i ) n i=1 jeho ortonormální báze. Nechť T B(H) je normální operátor a T = (t ij ) n i, jeho matice vzhledem k bázi (e i) n i=1, tj. t ij = T e j, e i. Pak existují diagonální matice a unitární matice U takové, že T = U 1 U. Alternativní pohled na kvadratickou formu Abychom zjednodušili formulace a zápis, nebudeme v této části rozlišovat mezi maticí z M m n (C) a jí odpovídajícím operátorem z B(C n, C m ). Pro hermitovsky sdruženou matici k matici A M n (C) a adjungovaný oprátor k operátoru A B(C n ) budeme používat společné označení A. Vektory z C n si podle situace představíme zapsané buď jako řádky (při aplikaci operátoru) nebo jako sloupce (při násobení maticí). Je-li matice A typu m n reálná, můžeme se na ni dívat jako na omezený operátor z R n do R m. Analogické úvahy a zjednodušení, jaká jsme provedli výše pro komplexní případ, můžeme provést i pro případ reálný. Platí : Je-li A je reálná symetrická matice typu n n, λ 1... λ n jsou její vlastní čísla a g(x) = Ax, x, pak max{g(x) x = 1} = λ 1 a kvadratická forma g této hodnoty nabývá pro všechny jednotkové vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu λ 1. Podobně min{g(x) x = 1} = λ n a této hodnoty se nabývá ve všech jednotkových vlastních vektorech příslušných k vlastnímu číslu λ n. V dalším se pro jednoduchost omezíme na reálný případ. Singulární hodnoty matice A M m n (R) jsou čísla σ 1 = λ 1,..., σ n = λ n, σ 1 σ 2... σ n 0, kde λ 1... λ n 0 jsou vlastní čísla matice A A. Platí : Je-li A M m n (R) a x R n, pak Ax 2 = A A x, x. Platí : Největší hodnota funkce h(x) = Ax na jednotkové sféře {x R n x = 1} je σ 1 a nabývá se jí právě ve všech vlastních vektorech příslušných k vlastnímu číslu λ 1 operátoru A A. Jinými slovy A = σ 1. 29
Tvrzení (SV rozklad) : Nechť A je reálná matice typu m n a σ 1... σ r > 0, σ r+1 =... = σ n = 0 jsou její singulární hodnoty. Nechť je dále {v 1,..., v n } ortonormální báze prostoru R n tvořená vlastními vektory operátoru A A, A Av i = σ 2 i v i, a {u 1,..., u n } je taková ortonormální báze prostoru R m, že u i = 1 σ i Av i pro i = 1,..., r. Potom kde U M m (R), V M n (R) jsou unitární matice U = u 1... u m A = UΣV,, V = v 1... v n a Σ M m n (R) je matice Σ = σ 1 0... Or (n r) 0 σ r O (m r) r O (m r) (n r) (O k l je tu nulová matice typu k l). Tedy A = u 1... u m σ 1 0... O r (n r) 0 σ r O (m r) r O (m r) (n r) v 1. v n. 30