Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě 0.. 2 + 2y 2 + y 4 y 5 = 0, [0, ] 2. e y + sin y + y 2 =, [2, 0] 3. siny + cosy =, [π, 0] 4. 2 4 y + 3 + y 3 + y =, [, 0] 5. log 2 + y 2 + cosy + y = 0, [0, 0] 6. log + arctg y + + y = 0, [0, 0] 7. y + y = 2y, [, ] 8. y 3 2 + y 2 2 + sin y = 0, [0, 0] 9. e sin 2 + e sin y = 2y + 2, [0, 0] 0. π 2 + arcsin + y2 = arccosy + 2, [0, 0]. Je dán vztah 2 + 2y 2 + 3z 2 + y z 9 = 0 a bod [, 2, ]. Dokažte, že tímto vztahem je definována hladká funkce z = z, y v jistém okolí U bodu [, 2], pro kterou platí z, 2 =, určete v okolí U, napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z = z, y v bodě [, 2]. z, z 2. Dokažte, že množina bodů [, y, z] R, které splňují vztah 2 + y 2 + z 2 3yz = 0 je v okolí bodu [,, ] popsatelná jako graf funkce f, y definované na jistém okolí bodu,, pro kterou je f, =. Určete totální diferenciál v bodě [, ] a napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f v tomto bodě. 3. Spočtěte parciální derivace funkce z v bodě [0, ], která je implicitně zadaná rovnicí z = log z y a splňuje z0, =. V následujících třech úlohách ukažte, že uvedená soustava rovnic určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0, u 0, v 0 ] implicitně zadané funkce u, v proměnných, y. Spočtěte obě parciální derivace prvního řádu těchto funkcí v bodě [ 0, y 0 ]. 4. e u+v + 2uv =, ye u v u +v = 2, [, 2, 0, 0] 5. = u cos v u, y = u sin v u, [, 0,, 0] 6. = e u + u sin v, y = e u u cos v, [e +, e,, π/2] 7. Ukažte, že vztahy u = arctgπ + y 2 z, v = e + 2 y z, w = cos2y + 2 z definují na okolí bodu [u, v, w] = [4, 3 2, 5] hladké funkce u, v, w, yu, v, w, zu, v, w, pro které platí 4, 3 2, 5 = 0, y4, 3 2, 5 =, z4, 3 2, 5 = 4. Rozhodněte, zda má funkce yu, v, w totální diferenciál v bodě [4, 3 2, 5], a pokud ano, spočtěte jej. Má funkce yu, v, w v bodě [4, 3 2, 5] stacionární bod? 8. Ukažte, že vztahy u = sin + y + e z, v = cos y + e y, w = 2 + 2y cosz definují na okolí bodu [u, v, w] = [ + sin, 2, 0] hladké funkce u, v, w, yu, v, w, zu, v, w, pro které platí + sin, 2, 0 =, y + sin, 2, 0 = 0, z + sin, 2, 0 = 0. Rozhodněte, zda má funkce u, v, w totální diferenciál v bodě [ + sin, 2, 0], a pokud ano, spočtěte jej. 9. Dokažte, že vztahy u = sinπy arctg y, v = 3y2 +e +y definují na okolí bodu [u, v] = [ π 4, 2] hladké funkce, y proměnných u, v takové, že π 4, 2 = a y π 4, 2 =. Je-li navíc z, y := log 2 + y 2, spočtěte z π 4, 2. 20. Dokažte, že vztahy u = tgy + log 2 + y 2, v = arcsin2 3 y definují na okolí bodu [u, v] = [0, ] hladké funkce, y proměnných u, v takové, že 0, = 0 a y0, =. Rozhodněte, zda má funkce y v bodě [u, v] = [0, ] totální diferenciál, a pokud ano, spočítejte jej. 2. Ukažte, že vztahy u = cosπy + 2 z, v = y 2 log z, w = 2 arctgyz definují na okolí bodu [u, v, w] = [3, 0, 2 ] hladké funkce u, v, w, yu, v, w, zu, v, w, pro které platí 3, 0, 2 =, y3, 0, 2 = 0, z3, 0, 2 =. Rozhodněte, zda má funkce yu, v, w totální diferenciál v bodě [3, 0, 2 ], a pokud ano, spočtěte jej.
. 2, 4 2. Rovnice tečny: 0. 3. Položme Výsledky F, y = siny + cosy. Funkce F je definována na R 2 a pro její parciální derivace platí:, y = cosy y siny y,, y = cosy siny. platí F π, 0 = 0 a π, 0 = π 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [π, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace sinϕ + cosϕ =, cosϕ ϕ + ϕ sinϕ ϕ + ϕ = 0, sinϕ ϕ + ϕ 2 + cosϕ 2ϕ + ϕ cosϕ ϕ + ϕ 2 sinϕ 2ϕ + ϕ = 0. Dosadíme-li = π a použijeme-li ϕπ = 0, dostaneme ϕ π = 0 a ϕ π = 0. 4. Položme F, y = 2 4 y + 3 + y 3 + y. Funkce F je definována na R 2 a pro její parciální derivace platí:, y = 83 y + 3 2 + y,, y = 24 + 3y 2 +. platí F, 0 = 0 a, 0 = 3 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace 2 4 ϕ + 3 + ϕ 3 + ϕ = 0, 8 3 ϕ + 2 4 ϕ + 3 2 + 3ϕ 2 ϕ + ϕ + ϕ = 0, 24 2 ϕ + 8 3 ϕ + 8 3 ϕ + 2 4 ϕ + 6 + 6ϕϕ 2 + 3ϕ 2 ϕ +ϕ + ϕ + ϕ = 0. Dosadíme-li = a použijeme-li ϕ = 0, dostaneme ϕ = a ϕ = 4. 5. Položme F, y = log 2 + y 2 + cosy + y. Funkce F je definována na jisté otevřené množině G lze ukázat, že dokonce G = R 2 obsahující bod [0, 0] a pro její parciální derivace platí:, y = 2 + y 2 2 siny y, + cosy, y = 2 + y 2 2y siny +. + cosy platí F 0, 0 = 0 a 0, 0 = 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu
[0, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace log 2 + ϕ 2 + cosϕ + ϕ = 0, 2 + ϕ 2 + cosϕ 2 + 2ϕϕ sinϕϕ + ϕ + ϕ = 0, 2 + ϕ 2 + cosϕ 2 2 + 2ϕϕ sinϕϕ + ϕ 2 + 2 + ϕ 2 + cosϕ 2 + 2ϕ 2 + 2ϕϕ cosϕϕ + ϕ 2 sinϕ2ϕ + ϕ + ϕ = 0. Dosadíme-li = 0 a použijeme-li ϕ0 = 0, dostaneme ϕ 0 = 0 a ϕ 0 = 2. 6. Položme F, y = log + arctg y + + y. Funkce F je definována na jisté otevřené množině G obsahující bod [0, 0] a pro její parciální derivace platí:, y = + arctg y + + y,, y = + arctg y + + y 2 +. platí F 0, 0 = 0 a 0, 0 = 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [0, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace + arctg ϕ + log + arctg ϕ + + ϕ = 0, + ϕ + ϕ 2 + arctg ϕ + 2 + ϕ + ϕ = 0, + ϕ + ϕ 2 + + arctg ϕ + ϕ + ϕ 2 2ϕ ϕ ϕ + ϕ 2 2 +ϕ + ϕ + ϕ = 0, 2 Dosadíme-li = 0 a použijeme-li ϕ0 = 0, dostaneme ϕ 0 = a ϕ 0 = 2. 7. Položme F, y = y + y 2y. Funkce F je definována na otevřené množině G = 0, + 0, +, která obsahuje bod [, ]. Pro parciální derivace F platí:, y = yy + y log y,, y = y log + y 2. platí F, = 0 a, = 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [, ] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace ϕ + ϕ 2ϕ = 0.
Tento vztah si přepišme na tvar Nyní postupně obdržíme e ϕ log ϕ log + ϕ e ϕ log ϕ log + ϕ e ϕ log + e log ϕ 2ϕ = 0. +e log ϕ + e log ϕ log ϕ + ϕ ϕ 2 + e ϕ log ϕ log + 2 ϕ 2 log ϕ + ϕ ϕ ϕ +e log ϕ ϕ + ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2ϕ = 0, ϕ 2 2ϕ = 0. Dosadíme-li = a použijeme-li ϕ =, dostaneme ϕ = a ϕ = 4.Položme F, y = y + y 2y. Funkce F je definována na otevřené množině G = 0, + 0, +, která obsahuje bod [, ]. Pro parciální derivace F platí:, y = yy + y log y,, y = y log + y 2. platí F, = 0 a, = 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [, ] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace Tento vztah si přepišme na tvar Nyní postupně obdržíme e ϕ log ϕ log + ϕ e ϕ log ϕ log + ϕ ϕ + ϕ 2ϕ = 0. e ϕ log + e log ϕ 2ϕ = 0. +e log ϕ + e log ϕ log ϕ + ϕ ϕ 2 + e ϕ log ϕ log + 2 ϕ 2 log ϕ + ϕ ϕ ϕ +e log ϕ ϕ + ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 Dosadíme-li = a použijeme-li ϕ =, dostaneme ϕ = a ϕ = 4. 8. Položme F, y = y 3 2 + y 2 2 + sin y. Funkce F je definována na R 2. Pro parciální derivace F platí:, y = 2y3 + 2y 2,, y = 3y2 2 + 2y 2 + cos y. 2ϕ = 0, ϕ 2 2ϕ = 0. platí F 0, 0 = 0 a 0, 0 = 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu
[0, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace Postupně obdržíme ϕ 3 2 + ϕ 2 2 + sin ϕ = 0. 3ϕ 2 ϕ 2 + 2ϕ 3 + 2ϕϕ 2 + 2ϕ 2 + cos ϕ ϕ = 0, 6ϕϕ ϕ 2 + 3ϕ 2 ϕ 2 + 6ϕ 2 ϕ + 6ϕ 2 ϕ +2ϕ 3 + 2ϕ ϕ 2 + 2ϕϕ 2 + 4ϕϕ +4ϕϕ + 2ϕ 2 sin ϕ ϕ ϕ + cos ϕ ϕ = 0. Dosadíme-li = 0 a použijeme-li ϕ0 = 0, dostaneme ϕ 0 = 0 a ϕ 0 = 0. 9. Položme F, y = e sin 2 + e sin y 2y 2. Funkce F je definována na R 2. Pro parciální derivace F platí: 2, y = esin cos 2 2 + e sin y cos y y,, y = esin y cos y 2. platí F 0, 0 = 0 a 0, 0 = 2 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [0, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která sama je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její derivace Postupně obdržíme e sin 2 + e sin ϕ 2ϕ 2 = 0. e sin 2 cos 2 2 + e sin ϕ cos ϕ ϕ + ϕ 2ϕ = 0, e sin 2 cos 2 2 2 e sin 2 sin 2 4 2 +e sin 2 cos 2 2 + e sin ϕ cos ϕ ϕ + ϕ 2 e sin ϕ sin ϕ ϕ + ϕ 2 + e sin ϕ cos ϕ 2ϕ + ϕ 2ϕ = 0. Dosadíme-li = 0 a použijeme-li ϕ0 = 0, dostaneme ϕ 0 = 0 a ϕ 0 =. 0. Položme F, y = π/2 + arcsin + y 2 arccosy + 2. Bod [0, 0] je ve vnitřku definičního oboru funkce F můžeme tedy spočítat parciální derivace funkce F na jistém okolí G bodu [0, 0]:, y = + y2 + 2 2 y + 2 2 2y, y = + y2 + 2 y + 2. 2 Obě parciální derivace jsou na jistém okolí bodu [0, 0] spojité a navíc tam jsou jejich parciální derivace spojité, tj. f C 2 G. Dále platí F 0, 0 = 0 a 0, 0 = 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu [0, 0] implicitně zadanou funkci proměnné, která je třídy C 2. Funkci označme ϕ a její
derivace arcsin + ϕ 2 + π/2 arccosϕ + 2 = 0, + 2ϕϕ + ϕ2 + ϕ + 2 2 ϕ + 2 = 0, 2 2 + ϕ2 2 3 2 2 + ϕ 2 + 2ϕϕ 2 + + ϕ 2 2 2 2ϕ 2 + 2ϕϕ 2 ϕ + 2 2 3 2 2ϕ + 2 ϕ + 2 2 + ϕ + 2 2 2 ϕ + 2 = 0. Dosadíme-li = 0 a využijeme-li ϕ0 = 0, dostaneme ϕ 0 = a ϕ 0 = 4.. Rovnice tečné roviny: L, y = 7 5 y + 2 +. 2. Rovnice tečné roviny: L, y = z y +. 3. 0, =, z 0, = 4., 2 = 0,, 2 =,, 2 = /3,, 2 = /3 5., 0 =,, 0 = 0,, 0 = 0,, 0 = 6. e +, e = / + e, e +, e = e/e +, e +, e = 0, e +, e = 7. y4, 3 2, 5 = 2 π+6, 2π π+6, π 8 π+6, funkce yu, v, w v bodě [4, 3 2, 5] nemá stacionární bod 8. + sin, 2, 0 = 0, 2, z 4 9. π 4, 2 = 2 9 2π 20. y0, = 2 log 3, 22 log 3 2. y3, 0, 2 = 2, 2, 2, funkce yu, v, w nemá v bodě [3, 0, 2 ] stacionární bod