Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4 4 6 4 3 Získáno 6. Bud dán funkcionál Φ n množině = { y C, 3 y = 4, y3 = 3 } předpisem Φy = 4y y 5 83 y 6 d. Spočtěte první Gâteu derivci funkcionálu Φ v bodě y ve směru h. Tedy δφyh neboli DΦyh, záleží n znčení, kterému dáváte přednost. Popište přesně v jkém prostoru funkcí leží h. b Npište Euler Lgrnge rovnice pro funkcionál Φ. c Njděte etremálu funkcionálu Φ n množině, etremálu oznčte y et. d Spočtěte druhou Gâteu derivci funkcionálu Φ v bodě y ve směru h. Tedy δ Φyh, h neboli D Φyh, h, záleží n znčení, kterému dáváte přednost. e Vyčíslete druhou Gâteu derivci funkcionálu Φ v bodě y et ve směru h pro y et, které je řešením Euler Lgrnge rovnic pro funkcionál Φ. Ukžte, že Gteu derivce je v tomto bodě v libovolném směru h nekldná. Spočteme Gâteu derivci funkcionálu Φy dle definice DΦyh = d dt Φy + th t=. Po doszení Φy + th = derivujeme podle t výsledkem je d Φy + th = dt po doszení t = dostneme 4y + th y + th 5 83 y + th 6 d, 4h y + th 5 + y + th y + th 4 h 48 3 y + th 5 h d, DΦyh = 4h y 5 + y y 4 h 6 y 5 h d. Funkce h bereme z prostoru { h C, 3 h =, h3 = }. Integrcí metodou per prtes dostneme DΦyh = 4 y 5 d y y 4 + 6 d y 5 h d d d = 4 y 5 y 5 y d d y 4 + 6 y 5 + 6 d d y 5 h d = odkud lze přečíst Eulerovy Lgrngeovy rovnice pro funkcionál Φy y d d y 4 + 6 d d y 5 =. Rozepíšeme eplicitně derivce přepíšeme Eulerovy Lgrngeovy rovnice do tvru 8y y 3 y + 8 y 4 y =, y d d y 4 + 6 d d y 5 h d,
což lze uprvit to tvru y 3 y + y y =. Eulerovy Lgrngeovy rovnice vyřešíme jednoduchou úvhou. Bud musí být nebo nebo V prvním přípdě je řešením funkce y = y + y = y =. y = + b, kde b jsou integrční konstnty. V druhém přípdě řešíme rovnici pomocí stndrdního přepisu do tvru odkud plyne, že y y =, y = c, kde c je integrční konstnt. V třetím přípdě je řešením konstntní funkce y = d. Okrjové podmínky lze zjevně splnit pouze pro řešení ve tvru y = + b. Poždujeme y = 4, y3 = 3, odkud y et = + 6. Druhou derivci funkcionálu Φ spočteme podle definice D Φyh, h = d dt t= DΦy + thh = d 4h y + th 5 + y + th y + th 4 h 6 y + th 5 h d dt t= = h y + th 4 h + h y + th 4 h + 8 y + th y + th 3 h 8 y + th 4 h d = t= 4 y 4 hh + 8y y 3 h 8 y 4 h d. Pro dlší výpočty bude vhodné provést integrci per prtes v prvním členu, což vede k d D Φyh, h = d y 4 h + 8y y 3 8 y 4 h d, což je kupodivu totéž co plyne z obecné věty: Bud Φ funkcionál zdný předpisem Pk je jeho druhý diferenciál roven kde Φy = D Φyh, h = P = b b F y y, Q = F y y d d F, y, y d. P h + Qh d, F y y,
Spočteme nyní druhou Gteu derivci v bodě y et, kde y et = + 6 y et =. Přímým doszením do právě odvozeného vzorce pro druhou Gteu derivci dostneme D Φy et h, h = 8 + 6 h d = 48 h d.
6. Spočtěte I = kde R + je libovolné le pevné kldné reálné číslo. cos e d, Počítejme nejprve formálně bez ověření korektnosti prováděných opercí záměn derivce integrálu. Jest di + d = cos e d = což je integrál, který umíme přímo spočíst. Jest e d = Integrál cos e d spočteme klsickým postupem, + e cos e d, =. cos e d = u = cos u = sin + v = e v = e = cos e sin e d = sin e d = u = sin u = cos v = e v = e = + sin e + odkud plyne, že Celkem proto cos e d = di d = +. Diferenciální rovnici pro funkci I sndno vyřešíme přímou integrcí, kde C je integrční konstnt. +. I = ln + ln + C, cos e d = cos e d, Zbývá určit hodnotu integrční konstnty. To provedem pomocí it +. Z právě odvozeného vzthu plyne + I = + + ln + C = C. Přímým výpočtem ovšem získáme pokud lze změnit itu integrál I = + + Integrční konstnt je tedy rovn nule, pltí cos + e d = I = ln +. + e cos d =. Zbývá ověřit pltnost formálně provedených opercí. Nejprve se budeme zobírt záměnou ity integrálu, k tomu poslouží vět: Bud f, b : I J R, kde I R J R. Necht pltí Funkce f, b jkožto funkce proměnné b je diferencovtelná pro skoro všechn I. Funkce f, b jkožto funkce proměnné je lebesgueovsky měřitelná pro všechn b J. Eistuje lebesgueovsky integrovtelná funkce g : I R tková, že pro skoro všechn b J pltí d dbf, b g.
Eistuje b J tk, že funkce f, b jkožto funkce proměnné je lebesgueovsky integrovtelná n I. Pk je pro kždé b J funkce f, b, jkožto funkce, lebesguovsky integrovtelná n I, funkce F b = f, bd je diferencovtelná n I pltí I df db = d f, bd. I db V nšem přípdě je I = R + J = ε, +, kde ε je libovolné kldné reálné číslo, cos f, = e. Diferencovtelnost funkce f, vůči proměnné je zřejmá, měřitelnost vůči proměnné je zjevná ze spojitosti vůči proměnné. Zbývá zjistit, zd eistuje J = ε, + tkové, že funkce f, je lebesgueovsky integrovtelná n I = R +. To je ovšem sndné. Předně funkci f, lze spojitě dodefinovt v nule, cos f, = = e =. + Lebesgueovská integrovtelnost f, n intervlu, K, kde K R +, je tedy zřejmá ze spojitosti f, n intervlu, K. Zbývá vyšetřit chování v nekonečnu. N intervlu, + pltí odhd cos e e, kde n prvé strně stojí lebesgueovsky integrovtelná funkce n R +. Hledné J = ε, + je tedy libovolné číslo z poždovného intervlu. Posledním krokem je nlezení mjornty pro derivci. Derivce f, je dán vzthem f, = cos e, hledný odhd pro ε, + je cos e e e ε, kde n prvé strně zjevně stojí lebesgueovsky integrovtelná funkce n R +. Záměnu ity integrálu odůvodníme npříkld podle Lebesgueovy věty, která říká: Necht pltí: Posloupnost {f n } + n= je posloupnost měřitelných funkcí n množině. Posloupnost {f n } + n= konverguje pro skoro všechn k funkci f, neb pro skoro všechn pltí f n = f. Eistuje lebesgueovsky integrovtelná funkce g, tková, že pro všechn n N pro skoro všechn pltí f n g. Pk pltí: Funkce f lebesgueovsky integrovtelná funkce n množině. Lze změnit itu integrál, f n d = Funkce g se nzývá integrovtelná mjornt funkce f. f n d = f d.
nožin je v nšem přípdě, +, posloupnost f n tvoří funkce n cos f n = e, kde n je nějká posloupnost pro kterou pltí n n = +, přičemž můžme bez újmy n obecnosti uvžovt pouze posloupnost, kde pltí n n+. Pltí f n = cos e n = cos e, kde n prvé strně stojí lebesgueovsky integrovtelná funkce. Použijeme stejnou rgumentci jko při vyšetřování pltnosti předpoldů věty o záměně ity integrálu. Lze tedy změnit itu + integrál. Použili jsme Lebesgueovu větu pro posloupnosti, což je le vzhledem k Heineho větě totéž jko kdybychom zkoumli itu funkce.
4 3. Spočtěte itu n e n e d. Postupujme formálně, záměnou ity integrálu získáme n e n e d = n e n e d = Výsledný integrál sndno spočteme jednoduchou substitucí e d = u = du = d = e u du = e u + u= =. e n e d n Zbývá ověřit, že můžeme provést záměnu ity integrálu, npříkld podle Lebesgueovy věty: Necht pltí: = e d. Posloupnost {f n } + n= je posloupnost měřitelných funkcí n množině. Posloupnost {f n } + n= konverguje pro skoro všechn k funkci f, neb pro skoro všechn pltí f n = f. Eistuje lebesgueovsky integrovtelná funkce g, tková, že pro všechn n N pro skoro všechn pltí f n g. Pk pltí: Funkce f lebesgueovsky integrovtelná funkce n množině. Lze změnit itu integrál, f n d = Funkce g se nzývá integrovtelná mjornt funkce f. nožin je v nšem přípdě, +, posloupnost f n tvoří funkce f n d = f d. f n = n e n e. ěřitelnost jednotlivých členů f n posloupnosti plyne z jejich spojitosti n, +. Vzth f n = e zjevně pltí pro všechn, +. Dále pltí n 3 4 e n = n n + n! + + n + n +...! 3! 4! proto =! + n n! f n = 3 n + n 3! = n n! + 4 n + n 4! n e n e e + = e + 4, 3 4 n + n + n +...! 3! 4! + +! +! + 3 3! + 4 4! + = e, kde n prvé strně zjevně stojí funkce, která je lebesgueovsky integrovtelná n intervlu, +.
4 4. Bud dán posloupnost funkcí f n = + e n. Njděte bodovou itu f této posloupnosti v intervlu I =,. Rozhodněte, zd posloupnost {f n } + n= konverguje stejnoměrně k f n intervlu J K, kde J =,, b K = α,, kde α,. N intervlu I =, zjevně pltí { + e n =, =,,,. Oznčme f = {, =,,,.. Zbývá rozhodnout, zd pltí f n f. Použijeme ekvivlentní chrkterizci stejnoměrné konvergence, která říká: konverguje pro n + stej- Bud {f n } + n= R posloupnost funkcí. Posloupnost funkcí {f n} + n= noměrně k funkci f n intervlu, neb právě když pro n + pltí kde σ n = def f n f, σ n, sup f n f. Zbývejme se nyní intervlem J. Pltí σ n = sup J f n f = sup + e n. ůžeme si povšimnout, že +e < bsolutní hodnotu je tedy nutné odstrnit se záporným znménkem. n Nlezneme etrém funkce +. + e n Derivce této funkce je J d d + e n + = ne n <, + e n funkce je proto klesjící pltí σ n = sup f n f = sup J J + e n = + + e n = následně tedy σ n pro n +. Konvergence proto není n intervlu J stejnoměrná. N intervlu K pltí σ n = sup f n f = sup K K + e n = α+ + e n = + e nα + následně tedy σ n pro n +. Konvergence je proto n intervlu K stejnoměrná.
6 5. Spočtěte plošný obsh plochy S, která je popsán jko část válcové plochy +y = R ležící uvnitř koule +y +z R v prvním oktntu >, y >, z >, viz Obrázek. Číslo R R+ je prmetr. z R R y Obrázek : Ploch S. Válcová ploch je dán rovnicí + y = R, což uprvíme n R + y = R, jedná se tedy o válcovou plochu se středem v bodě = R o poloměru R. Situce je znázorněn n Obrázku. Npíšeme prmetrizci plochy válcové souřdnice se středem v bodě = R = R + R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = z, kde ϕ, π vyždujeme >, y >. Prmetr z ovšem není libovolný, musí být splněn podmínk +y +z R neb R z R + y = R 4 + R R cos ϕ + 4 cos ϕ + R 4 sin ϕ = R cos ϕ odkud R z, cos ϕ =, R sin ϕ. Hledná prmetrizce plochy tedy je = R + R cos ϕ, Φ = y = R sin ϕ, z = z, kde z, R sin ϕ ϕ, π. Spočteme element plochy kde g = det dz dz dϕ dz ds = gdϕdz, dz dϕ dϕ dϕ Je tedy ds = R dzdϕ, zbývá zintegrovt přes dnou plochu S ds = π ϕ= R sin ϕ z= = det R. 4 R dz dϕ = R π R sin ϕ R dϕ = cos ϕ π = R. ϕ= ϕ=
Plošný obsh plochy S je tedy R. Je možné použít i válcové souřdnice se středem v počátku. Válcovou plochu tedy popíšeme pomocí ze vzthu + y = R pk plyne, že neb = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r = rr cos ϕ, r = R cos ϕ. Proměnná ϕ je nyní z rozmezí, π, rozmezí hodnot pro proměnnou z dostneme z podmínky + y + z R, neb z = R + y = R r = R cos ϕ = R sin ϕ. Celkem tedy kde ϕ, π, z, R sin ϕ. Spočteme element plochy kde Tečné vektory jsou proto dz =, = R cos ϕ, Φ = y = R cos ϕ sin ϕ, z = z, g = det ds = gdϕdz, dz dz dϕ dz dz dϕ dϕ dϕ R cos ϕ sin ϕ R sin ϕ dz = R sin ϕ + R cos ϕ = R cos ϕ, g = det R. Je tedy ds = R dzdϕ, zbývá zintegrovt přes dnou plochu S ds = π ϕ= R sin ϕ z= π Rdz dϕ = R R sin ϕdϕ = R cos ϕ π ϕ= = R, ϕ= což se kupodivu shoduje s výsledkem zíkným výpočtem s užitím původní prmetrizce..
4 6. Spočtěte integrál kde je křivk v R dná prmetrickými rovnicemi pro t, π oblouk cykloidy. I = yd + dy, γ = t sin t, y = cos t, Spočteme přenos diferenciální formy zobrzením Φ ω = yd + dy, Φt = { = t sin t, y = cos t, kde t, π. Diferenciály souřdnicových funkcí jsou po řdě Přenos formy ω je tedy nyní již můžeme spočíst integrál d = cos tdt, dy = sin tdt. Φ # ω = cos t cos t + t sin t sin t dt, π I = cos t + cos t + t sin t sin t dt π = cos t + t sin t sin t π dt = t sin tdt = u = t u = π v = sin t v = cos t = t cos t π + cos tdt = π.