Definice tvrzení funce(integrál Nechť f je funce n intervlu I. Řeneme,žefunce Fjeprimitivnífuncefn I,jestližeje Fspojitán I,diferencovtelnánvnitřu I O F = fn I O. Nechť Fjeprimitivnífuncefnintervlu I. 1 c IR: G(x=F(x+cjeprimitivnífuncefn I. 2Nechť Gjejináprimitivnífuncefn I.P c IR: G=F+ cn I. Nechť F je funce, terá má n intervlu I derivci. P tto derivce splňuje vlstnost mezihodnoty n I. Důslede. Nechť f je funce n intervlu I. tto funce nesplňuje vlstnost mezihodnoty n I, p nemůže mít primitivní funci n I. je funce spojitá n intervlu, p n něm má primitivní funci. Nechť f je funce, terá má n intervlu I primitivní funci. Definujeme neurčitý integrál f n I jo množinu všech tových primitivních funcí. Znčení: f(x={f; Fjeprimitivnífuncefn I}. máme jednu tovou primitivní funci F, p nepřesně le trdičně píšeme f(x=f(x+c, x I. Poud tto primitivní funce pltí n více intervlech, zpisujeme to njednou ve tvru f(x=f(x+c,podmínpltnosti. Integrál je p pltný n libovolném intervlu, terý splňuje specifiovné podmíny. Nědyvynechávámeproměnnouufunce: f. (tbulové integrály x = x+1 +1 + C, 1,podmíndle. 1 x=ln x +C, x 0. e x =e x + C, x IR; x = x ln( + C, x IR. sin(x= cos(x+c, x IR; cos(x=sin(x+c, x IR; cos 2 (x =tg(x+c, x π 2 + π; 1 x =rcsin(x+c, x ( 1,1; 2 sinh(x=cosh(x+c, x IR; =tgh(x+c, x IR; cosh 2 (x x2 =rgsinh(x+c, x IR; +1 x 2 1 =rgtgh(x+c, x ( 1,1; = cotg(x+c, x π. sin 2 (x x 2 +1 =rctg(x+c, x IR. cosh(x=sinh(x+c, x IR; = cotgh(x+c, x 0. sinh 2 (x x2 =rgcosh(x+c, x 1; 1 x 2 1 =rgcotgh(x+c, x >1. (linerit Nechť Fjeprimitivnífuncefnintervlu I Gjeprimitivnífuncegn I,nechť α,β IR.P αf+ βg jeprimitivnífunceαf+ βgn I. Zápis neurčitým integrálem: (αf+ βg(x=α f(x+β g(x. (přímá substituce Nechť Fjeprimitivnífuncefnintervlu I. Nechť ϕjefunce J I,terájespojitán Jmáderivci n J O.P F(ϕjeprimitivnífuncef(ϕ ϕ n J. Zápis integrálem: f(ϕ(tϕ (tdt=f(ϕ(t+c, t J. (nepřímá substituce Nechť fjefuncenintervlu I.Nechť ϕjespojitábijece J I,terájediferencovtelnán J O.je Gprimitivnífuncef(ϕϕ n J,p G(ϕ 1 jeprimitivnífunefn I. Zápis integrálem: f(x=g(ϕ 1 (x+c, x I. 1
Zápis substituce při výpočtu: přímá: f(ϕ(tϕ (tdt= x=ϕ(t =ϕ (tdt = f(x=f(x+c= F(ϕ(t+C. nepřímá: x=ϕ(t f(x= =ϕ (tdt = f(ϕ(tϕ (tdt=g(t+c= G(ϕ 1 (x+c. (integrce per prtes Nechť f,gjsoufuncediferencovtelnénintervlu I.existujeprimitivnífunce F f (xg(xn I,p je G(x=f(xg(x F(xprimitivnífunce Gf(xg (xn I. Zápis integrálem: f(xg (x=f(xg(x f (xg(x. Jiné trdiční zápisy: f g =fg fg, u v =uv uv, udv= uv vdu. Nechť p je polynom stupně n. 1 p má přesně n omplexních ořenů včetně násobnosti. 2Je-li cořenpolynomu p,pexistujepolynom qsplňujícíst(q=st(p 1=(x cq(x.jsou pcreálné,jeiqreálný. 3Je-li cořenpolynomu p,jeiomplexněsdruženéčíslo c ořenempolynomu p. Nvíc(x c(x c = x 2 2Re(cx c 2 = x 2 + αx+β,de α,βjsoureálné. Důslede. Nechť = n x n +...+ 1 x+ 0 jepolynomstupně n. P = n (x c 1 (x c 2... (x c n,de c i jsouořenypolynomu p. Pté = n (x d 1 n1 (x d 2 n2... (x d N nn,de d i jsourůznéořeny ponásobnostech n i, n i = n. P té = n (x d 1 n1 (x d 2 n2... (x d N nn (x 2 + α 1 x+β 1 m1... (x 2 + α M x+β M mm, de d i jsourůznéreálnéořeny ponásobnostech n i (x 2 + α j x+β j jsourůznéireducibilní(tj.nerozložitelnévdrticéftory,ždýodpovídjícídvojicisdruženýchomplexníchořenů c j,c j onásobnosti m j, ni +2 m j = n. Rcionálnílomenáfuncejefuncetvru p q,de p,qjsoupolynomy. Tová rcionální funce je ryzí, jestliže st(p < st(q. Nechť p, q jsou polynomy. P existují jednoznčně určené polynomy, r splňující =(x q(x+r(x st(r <st(q. Jinýmislovy, p q = + r q.poznám: r q jepryzí. (oddělení ořene Nechť p, q jsou polynomy st(p < st(q. 1 dje -násobnýmořenem q,tj. q(x=(x d q(x q(d 0,p A IR polynom psplňující st( p <st(q 1: q(x = A (x d + (x d 1 q(x. 2(x 2 + αx+βje -násobnýmireducibilnímftorem q,tj.(x 2 + αx+βnelzerozložitnlineární ftory, q(x=(x 2 + αx+β q(x qnenídělitelné(x 2 + αx+β,p B,C IR polynom psplňující st( p <st(q 2: q(x = Bx+C (x 2 + αx+β + (x 2 + αx+β 1 q(x. Konstnty A, popř. B, C jsou určeny jednoznčně. Důslede: (rozld n prciální zlomy Nechť p, q jsou polynomy splňující st(p < st(q. Nechť q(x= n (x d 1 n1 (x d 2 n2... (x d N nn (x 2 + α 1 x+β 1 m1... (x 2 + α M x+β M mm, de d i jsourůznéreálnéořeny donásobnostech n i (x 2 +α j x+β j jsourůznéireducibilnívdrticéftory, ždýodpovídjícídvojicisdruženýchomplexníchořenů c j,c j onásobnosti m j, n i +2 m j = n. P A 1,1,...A 1,n1,A 2,1,...,A N,nN IR B 1,1,C 1,1,...,B 1,m1,C 1,m1,B 2,1,...,C M,mM IR: 2
q(x = A1,1 x d 1 + A1,2 (x d 1 2 +...+ A1,n 1 (x d 1 n 1 + A2,1 x d 2 + A2,2 (x d 2 2 +...+ A2,n 2 (x d 2 n 2 +...+ AN,n N (x d N n N + B1,1x+C1,1 x 2 +α 1x+β 1 + B1,2x+C1,2 (x 2 +α 1x+β 1 2 +...+ B1,m 1 x+c1,m 1 (x 2 +α 1x+β 1 m 1 + B2,1x+C2,1 x 2 +α 2x+β 2 + B2,2x+C2,2 (x 2 +α 2x+β 2 2 +...+ B2,m 2 x+c2,m 2 (x 2 +α 2x+β 2 m 2 +...+ BM,m M x+cm,m M (x 2 +α Mx+β M m M. Určitý integrál. Nechť, b je intervl. Jehoděleníjelibovolnámnožin D={x 0,x 1,...,x n }splňující =x 0 < x 1 <... < x n = b. Nechť f je omezená funce n, b. Pro libovolné dělení D tohoto intervlu definujeme hornísoučet S(f,D= n sup (f (x x 1, =1 x 1,x dolnísoučet S(f,D= n inf (f (x x 1. =1 x 1,x Lemm. Nechť Djenějéděleníintervlu,b, nechť Djenějéjeho zjemnění, tj. D = D {x}pronějé x,b \ D.Nechť fjeomezenán,b.p S(f,D S(f, D S(f, D S(f,D. Nechť f je omezená funce n, b. Prolibovolnádělení D 1,D 2 intervlu,b : inf (f (b S(f,D 1 S(f,D 2 sup(f (b.,b,b Důslede důsledu: Nechť fjeomezenáfuncen,b. P S=sup{S(f,D; Ddělení,b } IR, S=inf{S(f,D; Ddělení,b } IR S S. Nechť f je omezená funce n, b. Řeneme, že f je Riemnnovsy integrovtelná n, b, jestliže S = S. P definujeme(riemnnův určitý integrál f od do b jo b f(x=s. Nechť fjeomezenáfuncen,b. ( fjeriemnnovsyintegrovtelnán,b D 1,D 2,... dělení,b : lim S(f,Dn S(f,D n =0. b ( P té f(x= lim S(f,Dn ( = lim S(f,Dn. Numericé metody výpočtu určitého integrálu: obdélníová metod, lichoběžníová metod, Simpsonov metod. 1je fmonotonnín,b,pjeriemnnovsyintegrovtelnán,b. 2je fspojitán,b,pjeriemnnovsyintegrovtelnán,b. 1(lineritNechť f,gjsouriemnnovsyintegrovtelnén,b.p α,β IR: αf+ βgjeriemnnovsy integrovtelná n, b b (αf+ βg(x=α b f(x+β b g(x. 2(srovnáníNechť f,gjsouriemnnovsyintegrovtelnén,b. f gn,b,p b f(x b g(x. 3Nechť fjeriemnnovsyintegrovtelnán,b.pjetmriemnnovsyintegrovtelnái f b b f(x f(x. 4Nechť f jeriemnnovsyintegrovtelnán,b. P uzvřenýintervl J,b : f jeriemnnovsy integrovtelná n J. 5Nechť < b < c, ffuncen,c. f je Riemnnovsy integrovtelná n, c f je Riemnnovsy integrovtelná n, b f je Riemnnovsy integrovtelná n b, c. P té c f(x= b f(x+ c b f(x. 3
1Nechť f jeriemnnovsyintegrovtelnán,b. m,m IR: m f(x M n,b,p m(b b f(x M(b. 2 Nechť f je Riemnnovsy integrovtelná n,. je flichá,p f(x=0. je fsudá,p Nechť f je omezená funce n, b. Definujeme b f(x= f(x f(x=0. b f(x=2 f(x. Nechť f je omezená Riemnnovsy integrovtelná funce n I =, b. x Zvolme c Idefinujme F(x= f(tdtpro x I. c 1 Fjespojitán I. 2je fspojitáv I O,pje Fdiferencovtelnávpltí F (=f(. (Záldní vět diferenciálního počtu Nechť fjespojitáfuncen I=,b. x 1Zvolme c Idefinujme F(x= f(tdtpro x I.P Fjeprimitivnífuncefn I. 2Nechť Fjenějáprimitivnífuncefn I.P Znčení: F(b F(= [ F(x ] b. b c f(x=f(b F( (Newton-Leibnizovformule. Aplice. Nechť f,gjsouspojitéfuncen,b f gn,b.obshoblstimezigrfy f gn,b je A= b [g(x f(x]. Nechť fmáspojitouderivcin,b.pdélřivydnégrfem fn,b je b L= 1+[f (x] 2. Nechť fjespojitán,b. 1Nechť c IRsplňuje c inf(f.objemrotčníhotělesdnéhorotcígrfu fn,b oolovodorovné,b osy y= cje V = b π ( f(x c 2 (metoddisů. Nechť f má nvíc spojitou derivci n, b. Povrchový obsh pláště tohoto rotčního těles je S= b 2π ( f(x c 1+[f (x] 2. 2Nechť f 0n,b,nechť d IR\,b.Objemrotčníhotělesdnéhorotcíoblstipodgrfemfunce fn,b oolosvisléosy x=dje V = b 2π(x df(x Nechť f je Riemnnovsy integrovtelná n, b. (metod slupe. Definujemeprůměrnebolistředníhodnotu fn,b joave (f= 1,b b (Vět o střední hodnotě pro integrál Nechť fjespojitán,b.p c,b : f(c=ave (f.,b (spojitost vůči integrčním mezím Nechť f je Riemnnovsy integrovtelná n, b. P b ( B f(x= lim f(x B b, b b ( b A + A f(x= lim 0 f(x. f(x. 4
Nevlstní integrál. 1Nechť IR, b IR { }splňují < b.nechť fjefuncen,btová,že B (,b: fjeriemnnovsy integrovtelná n, B. P definujeme nevlstní Riemnnův integrál f od do b jo b ( B f(x= lim f(x, poud tto limit existuje. B b 2Nechť IR { }, b IRsplňují < b. Nechť f jefuncen(,b tová, že A (,b: f je Riemnnovsy integrovtelná n A, b. P definujeme nevlstní Riemnnův integrál f od do b jo b f(x= lim f(x, poud tto limit existuje. ( b A + A Terminologie pro ob přípdy: Poud on limit existuje, řeneme, že dotyčný integrál existuje, jin že neexistuje. Poud tto limit onverguje, řeneme, že onen integrál onverguje, jin diverguje. { { 1 diverguje, p 1; 1 x p 1 = 1 1 diverguje, p 1; p 1, p >1. x p 0 = 1 1 p, p <1. Nechť f jefuncenmnožině,b \ P,de P = {x 0 < x 1 <... < x n }jedělení,b. Předpoládejme,že x =1,...,nexistujenevlstníintegrál f(x. PdefinujemezobecněnýRiemnnůvintegrál fod x 1 do bjo b f(x= n =1 x Poud no, řeneme, že integrál x 1 f(x,poudmátentosoučetsmysl. b f(xexistuje. Poudjetovlstníčíslo,řeneme,žeintegrál x b f(x onverguje(n to musí onvergovt všechny f(x. x 1 (testy pro šptný prvý onec Nechť IR, b IR { }, < b.nechť f,gjsoufuncen,btové,že B (,b: f,gjsouriemnnovsy integrovtelná n, B. 1(srovnávcíritériumNechťnvíc0 f gn,b. b b f(x diverguje, p g(x onverguje, p b b g(xdiverguje. f(x onverguje. 2(limitnísrovnávcíritériumLSKNechť f,g >0n,b,nechť lim x b ( f(x g(x onvergujeeldnémučíslu. P b f(x onverguje Evivlentně, b b f(x diverguje g(xonverguje. b g(xdiverguje. (testy pro šptný levý onec Nechť IR { }, b IR, < b.nechť f,gjsoufuncen(,b tové,že A (,b: f,gjsouriemnnovsy integrovtelná n A, b. 1(srovnávcítestSTNechťnvíc0 f gn(,b. b b f(x diverguje, p g(x onverguje, p b b g(xdiverguje. f(x onverguje. 2(limitnísrovnávcítestLSTNechť f,g 0n(,b,nechť lim x + ( f(x g(x onvergujeeldnémučíslu. P b f(x onverguje Evivlentně, b b f(x diverguje g(xonverguje. b g(xdiverguje. 5