58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní tvr kvdrtiké rovnie, ztečně mnoho koefiientů, vdělím, před l jedničk (rovnie se tím nezmění) + + - normovný tvr kvdrtiké rovnie používá se i jiné oznčení koefiientů: + p q + + + p ; q Jk souvisí hodnot kořenů s koefiient rovnie? Př : Njdi kořen rovnie + + ± 9 4, + K ; { } Kdž znám kořen, dokážu npst rovnii v součinovém tvru: + + ( ) ( + )( ) Zkontroluju roznásoením: ( + )( + ) + + + + + Proč to funguje? Závork v součinovém tvru jsou npsán tk, se jedn z nih vnulovl, kdž dosdím jeden z kořenů (kždá oshuje neznámou číslo opčné k jednomu z kořenů, které se ním po doszení odečte): + Mám: Dosdím Dosdím Dosdím (kořen): ( )( ) (kořen): ( )( ) (není kořen): ( )( ) + + + + + + + + + 6 Př : Kvdrtiká rovnie + p + q má kořen Rozlož rovnii pomoí kořenů n součin správnost rozložení ověř doszením rozložení n součin: ( v kždé závore je neznámá opčné číslo k jednomu z kořenů)
Dosdím Dosdím : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jde o stejný sstém, který jsme používli u funkí, kdž jsme zjišťovli -vou souřdnii minim neo mim Ptli jsme se: Co mám dát z, se závork vnulovl? Vužiju pro zkoumání kořenů: + p + q ( ) + + + Má rovnii zpsnou pomoí koefiientů p, q i pomoí kořenů, O tvr porovnám: + ( ) + + p + q p ( ) q Těmto vzorům se říká Vietov Pltí vžd kdž má kvdrtiká rovnie lespoň jeden kořen, ted D 4 p 4 q Pro kořen, kvdrtiké rovnie pltí: p, q p q + +, kde p, q R p 4q Ve skutečnosti pro nás Vietov vzore nejsou ni nového Používli jsme je pro rozkládání n součin + 5 + 6 Hledáme do rozkldu dvě čísl: součet má ýt 5 ( p - čísl v rozkldu jsou opčná ke kořenům) součin má ýt 6 ( q ) K ; ( + ) ( + ) { } Př : Převeď kvdrtikou rovnii n součinový tvr urči její kořen: ) + 5 ) 4 ) + 7 + ) + 5 + 5 K { 5,} ) 4 4 + K {,4} )
+ 7 + + + 4 K { 4, } Př 4: Rozhodni, jké musí ýt hodnot koefiientů kvdrtiké rovnie její kořen l čísl nvzájem opčná p q + +, Kořen jsou nvzájem opčná čísl: Dosdím do součinového tvru uprvím n tvr + p + q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) použiju + teď roznásoím závork + přepíšu n poždovný tvr: p, q q p q + + + Pltí p Pokud mjí ýt kořen kvdrtiké rovnie čísl nvzájem opčná, musí se lineární člen rovnie rovnt nule solutní člen musí ýt záporné číslo neo nul To už le víme, tkové rovnie jsme řešili v předminulé hodině rozkládli jsme je pomoí vzore A B A B A + B Poznámk: Příkld je možné rovnou řešit doszením do Vietovýh vzorů: Kořen jsou nvzájem opčná čísl: p p + q Př 5: Urči jké vlstnosti musí mít koefiient,, kvdrtiké rovnie její kořen l čísl nvzájem převráená + +, Kořen jsou čísl nvzájem převráená: Dosdím do Vietovýh vzorů: p - ni zjímvého q
q Kořen kvdrtiké rovnie jsou čísl nvzájem převráená, kdž je její kvdrtiký člen roven členu solutnímu ( ) Př 6: Npiš liovolnou konkrétní kvdrtikou rovnii, jejíž kořen jsou čísl nvzájem převráená svůj odhd potvrď výpočtem kořenů Asolutní člen rovnie se musí rovnt jedné Npříkld:, 4 ± 4 4 4 ± 4 ± ± + + 4 4 + Př 7: Jeden z kořenů kvdrtiké rovnie o kořen hodnotu prmetru q 8 q + je třikrát menší než druhý Urči Vzth mezi kořen: Vzore mezi koefiient kvdrtiké rovnie jejími kořen máme v přípdě, že rovnie je zpsná v normovném tvru převedu rovnii n normovný tvr: 8 + q / : 8 q + 8 8 p + + 8 4 q q 4 Kvdrtiká rovnie má tvr 8 4 + jejími kořen jsou čísl Pedgogiká poznámk: Nejsem si úplně jistý, zd následujíí dv příkld mjí tkovou důležitost, jká se jim přikládá N druhou strnu si mslím, že smosttné řešení osmého příkldu je po většinou společném řešení sedmého dorým testem pohopení Řešení smotné sedmičk nemá podle mě ni čtvrtinový přínos jko řešení oou příkldů Př 8: Aniž s řešil rovnii + njdi rovnii, jejíž kořen jdou o jedn větší než kořen rovnie + Podle Vietovýh vzorů pltí: + 4
Hledná rovnie: + p + q, má kořen ; Kořen hledné rovnie jsou o jedn větší: +? + Vietov vzore pro novou rovnii: p + + + + + + + 5 p 5 q + + + + + + + 5 Kořen o jedn větší než jsou kořen rovnie + má rovnie 5 + 5 Pedgogiká poznámk: Víe než polovin studentů udělá hu n zčátku, kdž nepřevedou rovnii do normovného tvru I kdž se snžím, elý příkld počítli smosttně, tuto hu upozorňuji elou třídu, ztečně nezili příliš čsu počítáním n zákldě šptnýh hodnot p, q Př 9: Aniž s řešil rovnii + 5 njdi rovnii, jejíž kořen jdou dvkrát větší než kořen rovnie + 5 5 Uprvím původní rovnii do normovného tvru: + Podle Vietovýh vzorů pltí: 5 5 + Hledná rovnie: + p + q, má kořen ; Kořen hledné rovnie jsou krát větší:, Vietov vzore pro novou rovnii: 5 p ( + ) 5 q 4 4 6 Dvkrát větší kořen než jsou kořen rovnie + 5 má rovnie + 5 6 Př : Petáková: strn /vičení 7 strn /vičení 8 strn /vičení 9 strn /vičení strn /vičení strn /vičení Shrnutí: Mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie eistují vzth, které už jsme vužívli při rozkldu kvdrtikýh trojčlenů n součin 5