Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOTI Iva Křvý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 004
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Iva Křvý
ÚVOD. PROSTOR ELEMENTÁRNÍCH JEVŮ 3.. Náhodé pokusy a áhodé jevy... 3.. Vztahy mez jevy a operace s jevy... 4.3. Prostor elemetárích jevů... 7. PRAVDĚPODOBNOST.. Úloha teore pravděpodobost..... Kolmogorovova axomatcká soustava. Pravděpodobostí prostor....3. Klasfkace pravděpodobostích prostorů... 6.4. Klascká defce pravděpodobost... 7.5. Kombatorcký výpočet pravděpodobostí... 9.6 Geometrcká pravděpodobost... 4.5. Pravděpodobost a četost. Statstcká defce pravděpodobost... 6 3. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3 3.. Podmíěá pravděpodobost... 3 3.. Nezávslost jevů... 33 3.3. Vzorec pro úplou pravděpodobost... 36 3.4. Bayesův vzorec... 37 Korespodečí úkol... 4 4. NÁHODNÉ VELIČINY A JEJICH ROZDĚLENÍ 43 4.. Základí pojmy... 43 4.. Dstrbučí fukce... 45 4.3. Rozděleí dskrétí áhodé velčy... 48 4.4. Rozděleí absolutě spojté áhodé velčy... 5 4.5. Náhodé vektory a jejch dstrbučí fukce... 54 4.6. Rozděleí áhodých vektorů... 57 A. Sdružeé rozděleí dvou dskrétích áhodých velč... 57 B. Sdružeé rozděleí dvou absolutě spojtých áhodých velč... 60 4.7. Nezávslost áhodých velč... 6 4.8. Fukce áhodých velč... 64 A. Fukce jedé absolutě spojté áhodé velčy... 64 B. Fukce ěkolka absolutě spojtých áhodých velč... 66 5. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN 69 5.. Klasfkace charakterstk... 69 5.. Středí hodota... 70 5.3. Rozptyl a směrodatá odchylka... 74 5.4. Mometové charakterstky... 76 5.5. Kvatlové a jé charakterstky... 79 5.6. Charakterstky áhodých vektorů... 8 A. Margálí charakterstky... 8 B. Podmíěé charakterstky... 8 C. Charakterstky vztahu mez áhodým velčam... 8 6. ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍHO TYPU 87 6.. Beroullovy pokusy... 87 6.. Bomcké rozděleí... 88 6.3. Possoovo rozděleí... 9 6.4. Já rozděleí... 94 A. Alteratví rozděleí... 94 B. Negatvě bomcké rozděleí... 94
C. Geometrcké rozděleí... 95 D. Hypergeometrcké rozděleí... 95 E. Rovoměré dskrétí rozděleí... 96 7. ROZDĚLENÍ ABSOLUTNĚ SPOJITÉHO TYPU 99 7.. Normálí rozděleí... 99 7.. Expoecálí rozděleí... 0 7.3. Rovoměré spojté rozděleí... 04 7.4. Specálí rozděleí... 06 A. χ rozděleí... 06 B. t rozděleí... 07 C. F rozděleí... 08 Korespodečí úkol... 8. ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL 3 8.. Čebyševovy erovost... 3 8.. Kovergece podle pravděpodobost... 5 8.3. Záko velkých čísel v Čebyševově tvaru... 6 8.4. Záko velkých čísel v Beroullově tvaru... 9 9. CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 9.. Laplaceův dv... 9.. Movreova - Laplaceova formulace cetrálí lmtí věty... 9.3. Ljapuovova formulace cetrálí lmtí věty... 5 9.4. Užtí cetrálí lmtí věty... 7 A. Pravdlo 3σ... 8 B. Pravděpodobost a relatví četost... 8 C. Aplkace a artmetcký průměr... 9 LITERATURA 3 Příloha I. 33
ANOTACE Předkládaá dstačí opora představuje úvod do moderí teore pravděpodobost. Je určea posluchačům dstačího studa studjího oboru Aplkovaá matematka. Zahruje ásledující témata: Prostor elemetárích jevů, áhodý jev, algebra jevů. Kolmogorovova axomatcká soustava. Pravděpodobostí prostory. Podmíěá pravděpodobost, ezávslost jevů, věta o úplé pravděpodobost, Bayesova věta. Náhodé velčy, jejch rozděleí a číselé charakterstky. Náhodé vektory. Fukce áhodých velč. Zákoy velkých čísel. Cetrálí lmtí věta a její aplkace. V příloze I je avíc uvedea tabulka hodot Laplaceovy fukce, určeá k výpočtu pravděpodobostí pro áhodé velčy s ormálím rozděleím.
ÚVOD Předkládaá dstačí opora (modul), která se Vám dostává do ruky, je určea pro jedosemestrálí studum základů teore pravděpodobost. Plě pokrývá požadavky učebích osov kurzu PAST (Pravděpodobost a statstka ), zařazeého do 3. semestru prezečího studa aplkovaé matematky a Přírodovědecké fakultě Ostravské uverzty. Navíc obsahuje základí formace o áhodých vektorech, jejch rozděleí a specálích rozděleích používaých v matematcké statstce. Posláí modulu Cíle modulu: Po prostudováí tohoto modulu pochopíte základí pojmy teore pravděpodobost (áhodý pokus, áhodý jev, pravděpodobost jevu, atd.), sezámíte se s axomatckým přístupem k teor pravděpodobost (Kolmogorovova axomatcká soustava), aučíte se počítat pravděpodobost áhodých jevů s využtím kombatorckých prcpů, vzorce pro úplou pravděpodobost a Bayesova vzorce, pochopíte výzam áhodých velč a áhodých vektorů v prax, aučíte se počítat číselé charakterstky áhodých velč s rozděleím dskrétího spojtého typu, pochopíte výzam růzých formulací zákoa velkých čísel cetrálí lmtí věty a aučíte se je aplkovat v prax. Celý modul je rozčleě do ásledujících devít lekcí : prostor elemetárích jevů, pravděpodobost, podmíěá pravděpodobost a ezávslost jevů, áhodé velčy a jejch rozděleí, číselé charakterstky áhodých velč, rozděleí dskrétího typu, rozděleí absolutě spojtého typu, záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta. Nedílou součástí skrpta jsou tabulky hodot Laplaceovy fukce (vz příloha I), užtečé k výpočtu pravděpodobostí pro áhodé velčy s ormálím rozděleím. U jedotlvých lekcí jsou dodržea ásledující pravdla: je specfková cíl lekce (tedy to, co by měl studet po jejím prostudováí umět, zát, pochopt), Obsah modulu Struktura modulu
vlastí výklad učva, popř. otázky k textu, řešeé příklady, kotrolí úkoly (příklady) k procvčeí učva, korespodečí úkoly. Oba zařazeé korespodečí úkoly mají charakter testů, které jsou určey k ověřeí Vašch zalostí po prostudováí příslušých témat. Součástí Vašch studjích povostí je splěí obou korespodečích úkolů; jejch hodoceí bude započteo do celkového hodoceí kurzu. V každé kaptole je uvedeo vše potřebé pro samostaté studum, počíaje defcem základích pojmů a koče využtím teoretckých pozatků v prax. Všechy uvedeé matematcké věty s výjmkou formulací cetrálí lmtí věty jsou podrobě dokazováy. V zájmu správého pochopeí probíraé látky jsou jedotlvá témata doplěa řešeím typových příkladů. Doporučujeme čteář, aby se ad každým příkladem důkladě zamyslel. Pochopeí prcpů řešeí je totž ezbytým předpokladem pro porozuměí dalšímu výkladu. Chtěl bychom také upozort a to, že obrázky, které užíváme k lustrac probíraých témat, jsou schématcké. Čas potřebý k prostudováí jedotlvých lekcí explctě euvádíme, eboť z ašch zkušeostí vyplývá, že rychlost studa začě záleží a Vašch schopostech a studjích ávycích. Předpokládáme, že s mozí z Vás budou chtít doplt a rozšířt pozatky studem dalších učebc a skrpt z teore pravděpodobost. Můžeme Vám proto doporučt učebí texty jak v čeště [,,5,8,9,,,3,6,8,9,0], tak ve sloveště [7], polště [7], aglčtě [3] a ruště [4]. K procvčeí praktckých dovedostí př řešeí příkladů Vám poslouží sbírky úloh [6,4,7]. Věříme, že Vám předkládaý studjí materál pomůže pochopt základí prcpy teore pravděpodobost, a přejeme Vám hodě úspěchů ve studu. Autor Autor děkuje touto cestou oběma recezetům (PaedDr. Hashmu Habballov, Ph.D., a RNDr. Aě Madryové, Ph.D.) za pečlvé pročteí rukopsu a řadu ceých přpomíek směřujících ke zkvaltěí předkládaého učebího textu.
. PROSTOR ELEMENTÁRNÍCH JEVŮ Tato kaptola je kocpováa tak, abyste po jejím prostudováí: pochopl ěkteré základí pojmy z teore pravděpodobost (áhodý pokus, áhodý jev, prostor elemetárích jevů), pozal základí vztahy mez jevy a operace s jevy a uvědoml s, že jde vlastě o vztahy mez možam a operace s možam, aučl se zázorňovat vztahy mez jevy a operace s jevy pomocí Veových dagramů, aučl se pracovat s výrazy, které obsahují jevy. V této kaptole se sezámíte s ěkterým základím pojmy teore pravděpodobost (áhodý pokus, áhodý jev, prostor elemetárích jevů), př výkladu vycházíme z učebce Tutubala [0]. Je důležté, abyste pochopl, že vztahy mez jevy a operace s jevy jsou vlastě vztahy mez možam a operace s možam, a proto je můžete zázorňovat pomocí Veových dagramů... Náhodé pokusy a áhodé jevy Teore pravděpodobost studuje matematcké modely áhodých pokusů, tj. takových pokusů, jejchž výsledek eí zcela jedozačě urče podmíkam pokusu. Pokusem se přtom obecě rozumí každá realzace určtého komplexu podmíek. Oblíbeým příkladem áhodého pokusu je hod mcí. Hodíme-l totž mcí, může padout buď líc ebo rub mce. Teore pravděpodobost se ezabývá lbovolým áhodým pokusy, ale pouze těm, které mají vlastost: a) hromadost, b) statstcké stablty ebol stablty četostí. Určtý pokus má vlastost hromadost, když se může lbovolěkrát opakovat, ebo když se může realzovat a hromadě se vyskytujících rovoceých objektech. Vlastost statstcké stablty lze popsat takto: Ozačme písmeem A jede z možých výsledků áhodého pokusu a opakujme teto pokus -krát. Předpokládejme, že se v těchto pokusech vyskytl výsledek A právě A krát. Poměr A / se azývá relatví četostí výsledku A. Vlastost statstcké stablty spočívá v tom, že v opakovaých sérích pokusů př dostatečě velkém, pevě zvoleém kolísá tato relatví četost epatrě kolem jstého reálého čísla, které tutvě považujeme za pravděpodobost dosažeí výsledku A v daém pokusu. Základím pojmem teore pravděpodobost je áhodý jev. Náhodým jevem (stručě jevem) rozumíme jakýkolv možý výsledek provedeého áhodého pokusu. Každému pokusu přísluší určtá moža jevů (možých výsledků) a o každém jevu z možy, jež odpovídá tomuto pokusu, lze př každém výsledku pokusu rozhodout, zda astal č eastal. Vytvořeí abstraktího modelu ějakého áhodého pokusu Náhodý pokus Náhodý jev 3
Jev jstý Jev emožý Ekvvalece jevů Z jevu A plye jev B Průk (souč) jevů Sjedoceí (součet) jevů předpokládá, že se ejprve vymezí moža všech možých výsledků tohoto pokusu. Př vymezeí této možy jevů spjatých s daým pokusem se vychází z představy zdealzovaého (zjedodušeého) pokusu. V případě hodu mcí se uvažují pouze dva možé jevy: padutí líce a padutí rubu mce, když je možé, že se mce ztratí ze zorého pole ebo postaví a "hrau". Jev, který zákotě astae př každé realzac určtého pokusu (komplexu podmíek), se azývá jevem jstým. Jestlže je zámo, že ějaký jev emůže prcpálě v daém pokusu astat, pak se teto jev azývá jevem emožým. Jev, jež př realzac určtého pokusu astat může, ale emusí, se azývá jevem možým. Z uvedeého je zřejmé, že má smysl mluvt o utost, emožost ebo áhodost ějakého jevu je ve vztahu k určtému pokusu... Vztahy mez jevy a operace s jevy Předpokládejme, že je dá určtý komplex podmíek (pokus). Uvažme možu jevů A, B, C,..., z chž každý může př realzac zmíěého pokusu astat č eastat, a sledujme vztahy mez m. K ozačováí jevů budeme v těchto skrptech zpravdla používat velkých písme latské abecedy. Jev jstý budeme ozačovat písmeem Ω, jev emožý písmeem «.. Dva jevy, které př každé realzac pokusu buď oba astaou, ebo oba eastaou, považujeme za ekvvaletí (sobě rovy). Skutečost, že jevy A a B jsou ekvvaletí, začíme symbolem =, tz. píšeme A= B.. Jestlže výskyt (astoupeí) jevu A má vždy za ásledek výskyt jevu B, potom říkáme, že z jevu A plye jev B, a tuto okolost zapsujeme A B. 3. Jev, který astae právě tehdy, astae-l současě jev A jev B, azýváme průkem (součem) jevů A a B a začíme A B(ebo AB). Tím je defováa bárí operace průku (ásobeí) jevů. Výsledek této operace zřejmě ezávsí a pořadí jevů A a B, takže platí komutatví záko A B = B A. Dále je zřejmé, že každý jev je dempotetí vzhledem k operac průku, což lze zapsat ve tvaru A A= A. Defc průku jevů je možo zobect a lbovolý počet jevů, přčemž lze sado ukázat, že pro operac průku jevů platí asocatví záko A ( B C) = ( A B) C. 4. Jev, jež astae právě tehdy, astae-l aspoň jede z jevů A a B, azýváme sjedoceím (součtem) jevů A a B a začíme A B (ebo A+ B). Je bezprostředě vdět, že pro takto defovaou operac sjedoceí platí záko komutatví 4
a rověž záko asocatví A B= B A A ( B C) = ( A B) C. Defc sjedoceí jevů lze tedy zřejmým způsobem rozšířt a větší počet jevů. Každý jev je také dempotetí vzhledem k operac sjedoceí, tj, platí A A= A. 5. Okolost, že jev A eastal, představuje rověž určtý jev. Začíme jej A a azýváme jevem opačým (komplemetárím) k jevu A. Jevy A a A jsou avzájem opačé, jestlže současě splňují tyto vztahy Přímo z defce opačého jevu plye A A=Ω, A A=. A= A. 6. Jev, který astae právě tehdy, když astae jev A a současě eastae jev B, se azývá rozdílem jevů A a B v tomto pořadí a ozačuje A B. Bárí operace odčítáí se a možě všech možých jevů defuje vzorcem A B= A B. S pomocí operace odčítáí lze zapsat opačý jev v této formě A=Ω A. Odčítáí jevů evyhovuje všem pravdlům zámým z algebry. 7. Jevy A a B se azývají eslučtelým, jestlže jejch současý výskyt je jevem emožým, tj, jestlže platí A B =. Uvedeou defc lze zobect a lbovolý počet jevů takto: Jevy A, A,..., A jsou eslučtelé, jestlže jsou po dvou eslučtelé, tj. jestlže platí A A = pro každé j;, j =,,...,. j Jev opačý (komplemetárí) Rozdíl jevů Neslučtelost jevů 8. Jestlže platí B = A, = A A = pro každé j (, j =,,..., ), j A, ( =,,..., ), pak říkáme, že jevy A, A,..., A tvoří rozklad jevu B ebo že se jev B skládá z dílčích jevů A, A,..., A. Rozklad jevu 5
Úplý systém eslučtelých jevů 9. Soustava jevů A, A,..., A se azývá úplým systémem eslučtelých jevů, platí-l vztahy A =Ω, A Aj = pro každé j (, j =,,..., ), = A, ( =,,..., ), Úplou soustavou eslučtelých jevů je ve smyslu této defce apř. soustava (A, A ), ovšem za předpokladu, že A, A Ω. Příklady.. Průmyslově vyráběý fltr je podrobe třem růzým zkouškám. Jev A spočívá v tom, že áhodě vybraý fltr obstojí př prví zkoušce, jev B v tom, že obstojí ve druhé, a jev C v tom, že obstojí ve třetí zkoušce. Vyjádřete symbolcky, že fltr obstojí: a) je v prví zkoušce; b) ve všech třech zkouškách; c) alespoň v jedé zkoušce? Řešeí a) Současé astoupeí jevů AB, a Cse symbolcky vyjádří jako průk A B C. b) Současé astoupeí jevů A, B a C se symbolcky vyjádří jako průk A B C. c) Jev "obstát alespoň jedou" je opačým jevem k jevu "eobstát a jedou", takže celou stuac lze symbolcky popsat jako.. Zjedodušte ásledující výraz Řešeí. Ω A B C = A B C. ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) = A ( B B) = A = A. Kotrolí úkoly.. Zjedodušte ásledující výrazy: a) ( A B) ( B C), b) A B A B A B, c) A B A B,.. Dokažte: a) A B = A B, b) A B = A B, c) A B C D = ( A B) ( C D). 6
.3. Do terče se vystřelí tř ráy. Nechť jev A k ozačuje zásah př k- tém výstřelu ( k = ) s jevy A k a,, 3. Vyjádřete pomocí operací A k ásledující jevy: a) všechy tř zásahy, d) zásah pouze třetím výstřelem, b) alespoň jede zásah, e) ejvýše jeda chybá ráa, c) ejméě dva zásahy, f) všechy tř ráy chybé..3. Prostor elemetárích jevů Jev A se azývá složeým jevem, jestlže jej lze vyjádřt jako sjedoceí (součet) dvou jevů, z chž žádý eí ekvvaletí jevu A: A= B C, kde B A, C A. Předpoklady B A, C A jsou uté k tomu, abychom vyloučl trválí vyjádřeí A= A, A= A A, která jsou možá pro každý jev A. Jevy, jež elze takto vyjádřt, se azývají elemetárím jevy. Složeé jevy mohou astat ěkolka růzým způsoby, kdežto elemetárí jevy pouze jedím. Nemožý jev «se epočítá mez elemetárí jevy. Vysvětleme s rozdíl mez složeým a elemetárím jevy a kokrétím příkladě. Uvažme áhodý pokus, který spočívá v hodu dvěma hracím kostkam. Nechť A začí jev, že pade součet 0, a B jev, že pade součet. Jev A je zřejmě složeý jev, eboť součtu 0 může být dosažeo jedou tak, že a obou kostkách pade číslo 5, podruhé tak, že padou čísla 4 a 6. Přtom posledě uvedeý jev je zase složeý, protože může padout buď číslo 4 a prví a číslo 6 a druhé kostce, ebo obráceě. Naprot tomu jev B je jevem elemetárím, eboť může astat jedě tak, že a obou kostkách pade číslo 6. V moderí teor pravděpodobost se uvažují matematcké modely, v chž jsou zachycey všechy možé elemetárí (dále erozložtelé) výsledky pokusu. Každému takovému výsledku pokusu odpovídá právě jede elemetárí jev. Moža všech elemetárích jevů spjatých s uvažovaým pokusem se azývá prostorem elemetárích jevů a začí se zpravdla písmeem Ω. Povaha prvků prostoru elemetárích jevů je epodstatá; mohou to být body eukledovského prostoru, fukce jedé ebo více proměých apod. Prostor elemetárích jevů, který obsahuje koečý ebo spočetý počet elemetárích jevů, azýváme dskrétím prostorem elemetárích jevů. Jedoduchým příkladem dskrétího prostoru elemetárích jevů jsou možy všech možých elemetárích jevů př hodu mcem ebo hracím kostkam. Poěkud složtější je stuace v případě pokusu, který spočívá v tom, že se hází mcí do té doby, ež pade poprvé apř. líc mce. Prostor elemetárích jevů tvoří zakové posloupost E = L, E = RL, E 3 = RRL,..., v chž symbol R ozačuje padutí rubu a symbol L padutí líce mce. Také v tomto případě jde o dskrétí prostor elemetárích jevů, protože moža možých elemetárích jevů je sce ekoečá, ale spočetá. Ne všechy prostory elemetárích jevů jsou ovšem dskrétí. Lze dokázat, že prostor elemetárích jevů sestávající ze všech kladých čísel eí dskrétí. Složeý jev Elemetárí jev Prostor elemetárích jevů 7
Náhodý jev Defce operací s jevy pomocí elemetárích jevů Lbovolou podmožu dskrétího prostoru elemetárích jevů Ω azveme áhodým jevem ebo stručě jevem. Jev je tedy je jé ozačeí pro podmožu prostoru Ω, proto lze očekávat, že pro jevy budou platt všecha tvrzeí, která platí pro možy. Operace s jevy se redukují a operace s možam a řídí se týmž pravdly. V dalším uvedeme defce základích jevových relací v ové termolog, založeé a pojmu prostoru elemetárích jevů. Jde v podstatě o "překlad" defc uvedeých v předcházejících odstavcích do možového jazyka.. Jev jstý je ekvvaletí možě všech elemetárích jevů. Jev emožý je ekvvaletí prázdé možě.. Průkem (součem) jevů A a B azýváme jejch možový průk, tj. jev, který se skládá právě z těch elemetárích jevů, jež patří současě k oběma jevům A B. 3. Sjedoceím (součtem) jevů A a B azýváme jejch možové sjedoceí, tj. jev, který se skládá právě z těch elemetárích jevů, jež patří k jevu A ebo k jevu B ebo k oběma současě. 4. Rozdílem jevů A a B azýváme jejch možový rozdíl v uvedeém pořadí, tj. jev, který se skládá právě z těch elemetárích jevů, jež patří k jevu A a epatří k jevu B. 5. Opačým (komplemetárím) jevem k jevu A azýváme možový doplěk možy A vzhledem k možě Ω, tj. jev, který se skládá právě z těch elemetárích jevů, jež epatří k jevu A. Aalogckým způsobem lze defovat pomocí ové termologe všechy další jevové relace. Ke grafckému zázorěí jevových relací se běžě využívá Veových dagramů (vz obr..). Ω Ω A B A B A B A B a) průk jevů A a B b) sjedoceí jevů A a B Ω Ω A B A A B A c) rozdíl jevů A a B d) jev opačý k jevu A Obr... Veovy dagramy pro zázorěí základích operací s jevy. 8
Pojmy k zapamatováí: áhodý pokus áhodý jev jev jstý a jev emožý jev opačý (komplemetárí) ekvvalece jevů průk (souč) jevů sjedoceí (součet) jevů rozdíl jevů rozklad jevu eslučtelost jevů úplý systém eslučtelých jevů jev složeý a jev elemetárí prostor elemetárích jevů Shrutí V této úvodí kaptole jste pozal ěkteré základí pojmy teore pravděpodobost (áhodý pokus, áhodý jev, prostor elemetárích jevů atd.) a aučl jste se pracovat s algebrackým výrazy, které obsahují jevy. Je velm důležté, abyste zavedeé pojmy správě pochopl. Věujte této část mmořádou pozorost a teprve, až se ujstíte, že jste všemu porozuměl, přstupte ke studu dalších kaptol. 9
0
. PRAVDĚPODOBNOST Obsah této kaptoly je kocpová tak, abyste po jejím prostudováí: pozal základy moderí teore pravděpodobost založeé a Kolmogorovově axomatcké soustavě, pochopl základí pojmy této axomatcké soustavy (σ-algebra jevů, pravděpodobostí prostor, pravděpodobostí míra), pozal základí vlastost pravděpodobostí míry (pravděpodobost), aučl se (s využtím těchto základích vlastostí) počítat pravděpodobost složtějších jevů, zopakoval s středoškolské pozatky z teore pravděpodobost (klascká pravděpodobost, geometrcká pravděpodobost), pochopl statstcký přístup k zavedeí pravděpodobost jevu. V této kaptole jsme zvoll etradčí přístup k výkladu základů teore pravděpodobost. Nejprve se budeme zabývat Kolmogorovovou axomatckou soustavou a provedeme klasfkac pravděpodobostích prostorů. Ukážeme, že defce klascké geometrcké pravděpodobost vycházejí ze specálích typů pravděpodobostího prostoru. Základí vlastost pravděpodobost budou strktě dokázáy. Důkazů se obávat emusíte. Sam pozáte, že jsou vesměs velm jedoduché... Úloha teore pravděpodobost Věda a základě pokusů a pozorováí formuluje zákoy, kterým se řídí průběh sledovaých dějů. V přírodě se vyskytují zákoy dvojího typu: a) determstcké, b) pravděpodobostí ebol stochastcké. Schéma determstckého zákoa je jedodušší. Lze jej formulovat takto: Př každé realzac pokusu (komplexu podmíek) K utě astae určtý jev A. Uveďme jedoduchý příklad. Př lbovolé chemcké reakc probíhající v ějakém zolovaém systému (komplex podmíek K) zůstává celkové možství látky kostatí (jev A). Uvedeé tvrzeí je formulací zákoa o zachováí hmoty. Čteář jstě sám aleze celou řadu příkladů podobých zákoů ve fyzce, chem, bolog a jých vědách. V přírodě v běžém žvotě se však vyskytují četé děje, které elze popsat determstckým schématem a které lze charakterzovat takto: V důsledku realzace pokusu (komplexu podmíek) K může jev A astat, ale může také eastat. Zákoy tohoto typu se azývají pravděpodobostím ebol stochastckým zákoy. Sledujeme-l apř. určtý atom radoaktvího prvku po určtou dobu, pak je možé, že se teto atom během sledováí rozpade, avšak je také možé, že se Determstcký záko Stochastcký záko
erozpade. Okamžk, kdy k rozpadu dojde, závsí a dějích, které se odehrávají v atomovém jádru a které většou ezáme a emůžeme pozorovat. O výskytu áhodých jevů, jež astávají ve velkém počtu, lze získat určtou formac avzdory jejch áhodé povaze. Uvažujeme-l apř. radoaktví rozpad určté látky, můžeme předpovědět, jaká část této látky se během daé doby rozpade. Radoaktví rozpad se řídí expoecálím zákoem, který je charakterzová poločasem rozpadu, tj. dobou, během íž se rozpade polova atomů radoaktví látky. Expoecálí záko rozpadu je typckým pravděpodobostím zákoem; přtom je expermetálě potvrze s emeší přesostí ež větša tzv. determstckých zákoů přírodích věd. V případě pravděpodobostích zákoů eí ovšem komplexem uvažovaých podmíek urče přesý průběh dějů. Základí úlohou teore pravděpodobost je studum pravděpodobostích zákoů a zákotostí, jmž se řídí hromadé jevy. Odtud také vyplývá velký praktcký výzam teore pravděpodobost, vždyť s hromadým áhodým jevy se setkáváme téměř ve všech oblastech vědy, techky každodeího žvota. Skoro každé determstcké schéma přírodích věd se př podrobějším zkoumáí ukáže pravděpodobostím. Uvažme apř. chemckou reakc dvou látek X a Y ve vodém roztoku. Rychlost této reakce je v každém časovém okamžku úměrá souču okamžtých kocetrací látek X a Y. Teto záko se obvykle považuje za determstcký. Přtom se ovšem atomy, resp. oty, obou látek volě pohybují v roztoku, takže pouze průměrý počet "srážek" částc látky X s částcem látky Y je úměrý souču kocetrací obou látek. Jde tedy v podstatě o záko pravděpodobostí povahy. σ-algebra.. Kolmogorovova axomatcká soustava. Pravděpodobostí prostor Matematcké vlastost pravděpodobost se vymezují prostředctvím tzv. axomatcké soustavy vlastostí. Tato soustava postuluje mmálí možý počet vlastostí pravděpodobost, z chž lze všechy další vlastost vyvodt deduktvím postupem. Tvrzeí axomatcké soustavy se považují za pravdvá a v rámc daé soustavy se edokazují. Exstuje více přístupů k axomatcké výstavbě teore pravděpodobost, prví z ch pochází jž z roku 97 od Berstea. V těchto skrptech se však omezíme pouze a vysvětleí podstaty Kolmogorovovy axomatcké výstavby teore pravděpodobost. Kolmogorov vychází z pojmu prostor elemetárích jevů (vz odstavec.3). Nechť je dáa lbovolá eprázdá moža Ω. Neprázdý systém À podmož možy Ω azýváme σ-algebrou, jestlže a) Ω À, b) A À Ω A À, c) A À, =,,... A À. =
Uvedeou defcí se a prostoru elemetárích jevů Ω zavádí σ-algebra áhodých jevů. Dvojce {Ω, À}se azývá jevové pole. Nyí uvedeme bez důkazu základí vlastost σ-algebry áhodých jevů (σ-algebry jevů). ) «œ À, ) A œ À, =,,..., A À, = 3) A œ À, =,,... A À, = 4) A œ À, =,,..., A À. = Základí axomy Kolmogorovovy soustavy lze formulovat takto: Axom (axom ezáporost). Každému jevu A À lze přřadt ezáporé číslo P(A), které se azývá pravděpodobost jevu A. Axom (axom ormováí). jedotková, tj. P( Ω ) =. Pravděpodobost jevu jstého je Axom 3 (axom o σ-adtvtě pravděpodobostí). Pro lbovolou posloupost eslučtelých jevů A, A,... ( A À, =,,...) platí P( A) = P( A). = Z uvedeých tří axomů lze sado odvodt ěkolk dalších výzamých vlastostí pravděpodobost.. Pravděpodobost jevu emožého je rova ule, tj. P( ) = 0. Důkaz. Položíme A =Ω, A = A3 =... = a použjeme axomu 3. = Protože jevy A, A,... jsou eslučtelé a platí = = A P( Ω ) = P( Ω ) + P( ), z čehož bezprostředě plye dokazovaé tvrzeí.. Jsou-l jevy A, A,..., A À eslučtelé, pak platí = Ω, dostaeme Ñ σ-algebra jevů Jevové pole Kolmogorovovy axomy Základí vlastost pravděpodobost P( A) = P( A). = = Důkaz se provádí aalogcky jako u vlastost. 3. Jestlže pro jevy AB, À platí A B, pak PA ( ) PB ( ). Ñ Důkaz. Platí B = A ( A B), přčemž jevy A a A Bjsou eslučtelé. Z vlastost vyplývá PB ( ) = PA ( ) + PA ( B) a odtud s použtím axomu plye uvedeá erovost. Ñ 3
4. Pro lbovolý jev A À platí soustava erovostí 0 PA ( ). Důkaz. Vlastost plye z axomů, a z vlastost 3. 5. Jestlže pro jevy AB, À platí A B, pak PB ( A) = PB ( ) PA ( ). Důkaz vyplývá z důkazu vlastost 3, eboť platí B A= B A. Ñ 6. Pro lbovolý jev A À platí PA ( ) = PA ( ). Důkaz. Platí A= Ω A a zároveň A Ω. Vztah pro pravděpodobost jevu opačého pak vyplývá z axomu a vlastost 5. Ñ 7. Pro lbovolé dva jevy AB, À platí PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B). Důkaz. Vyjděme ze zřejmých vztahů: A B = A ( B ( A B)), B=(A B) (B-(A B)). Jevy A, B ( A B) jsou eslučtelé a totéž platí o jevech A B, B ( A B). Z vlastost vyplývá PA ( B) = PA ( ) + PB ( ( A B)), PB ( ) = PA ( B) + PB ( ( A B)). Odtud ovšem přímo plye dokazovaý vzorec pro pravděpodobost sjedoceí lbovolých jevů AB, À. 8. Pro lbovolé jevy A, A,..., A À platí P( A) = PA ( ) PA ( A) + j = = = j= + PA ( Aj Ak)... + ( ) P( A). = j= + k= j+ = + Důkaz se provede matematckou dukcí. Ñ (.) 9. Nechť jevy A, A,..., A,... tvoří posloupost takovou, že A A + pro =,,..., a echť PA ( ) = lm PA ( ). Důkaz. Uvažujme posloupost jevů defovaých vztahem B = A, B = A A,..., B = A A,.... Zřejmě platí A= B a A = B, přčemž jevy B B = = axomu 3 máme,,... = PA ( ) = PB ( ) = lm PB ( ) = lm PA ( ). = = A= A. Potom platí jsou eslučtelé. Podle Podobě jako vlastost 9 lze dokázat ásledující dvě vlastost pravděpodobost (vz apř. [9]). 4
0. Nechť jevy A, A,..., A,... tvoří posloupost takovou, že A A + pro =,,..., a echť PA ( ) = lm PA ( ). A= A. Potom platí =. Pro lbovolou posloupost jevů A, A,... platí P( A) P( A). = Kolmogorovova axomatcká soustava je bezrozporá, protože exstují takové reálé objekty, které vyhovují všem třem axomům. Uvažme apř. lbovolou možu W sestávající z koečého počtu prvků, tj. Ω= { E, E,..., E }. Nechť À je systém všech podmož možy W. Položíme = PE ( ) = p, PE ( ) = p,..., PE ( ) = p, kde p, p,..., p jsou lbovolá ezáporá reálá čísla, pro ěž platí p =. Dále pro lb. eprázdou podmožu { E, E,..., } E s možy = W s ( < <... < ; s ) položíme P ({ E, E,..., E }) = p + p +... + p. s Pak jsou zřejmě splěy všechy axomy Kolmogorovovy soustavy. Kolmogorovova soustava axomů je evdetě eúplá. Pro daý prostor elemetárích jevů W lze pravděpodobost jevů ze σ-algebry À zvolt růzým způsoby. Ukážeme to a jedoduchém příkladě hodu hrací kostkou, přčemž jedotlvé elemetárí jevy ozačíme symboly E, E, E3, E4, E5, E 6. Pravděpodobost jevů v příslušém jevovém pol lze zadat buď soustavou PE ( ) = PE ( ) = PE ( 3) = PE ( 4) = PE ( 5) = PE ( 6) = 6 ebo soustavou PE ( ) = PE ( ) = PE ( 3) =, PE ( 4) = PE ( 5) = PE ( 6) = 4 ebo ějakou jou soustavou, ale takovou, že platí s 6 = PE ( ) =. Neúplost Kolmogorovovy axomatcké soustavy elze v žádém případě považovat za její edostatek. V prax je třeba často řešt takové úlohy, v chž se uvažují detcké možy áhodých jevů, ale s růzým hodotam příslušých pravděpodobostí. Axomatcká defce pravděpodobost představuje zavedeí v prostoru elemetárích jevů jsté ormovaé (axom ), ezáporé (axom ) a σ-adtví (axom 3) míry P, defovaé pro všechy jevy 5
Pravděpodobostí míra Pravděpodobostí prostor Koečý pravděpodobostí prostor Klascký pravděpodobostí prostor Spočetý pravděpodobostí prostor Spojtý pravděpodobostí prostor příslušé σ-algebry À. Míru P s uvedeým vlastostm azýváme pravděpodobostí mírou a trojc { Ω, À, P} pravděpodobostím prostorem..3. Klasfkace pravděpodobostích prostorů Rozlšíme tř základí typy pravděpodobostího prostoru:. koečý pravděpodobostí prostor,. spočetý pravděpodobostí prostor, 3. spojtý pravděpodobostí prostor. Jedotlvé složky koečého pravděpodobostího prostoru jsou defováy ásledujícím způsobem. a) Prostor elemetárích jevů Ω je eprázdá moža obsahující koečý počet prvků N. b) σ-algebra jevů À je moža všech podmož Ω (včetě trválích podmož); obsahuje tedy právě N podmož (áhodých jevů). c) Pro pravděpodobost elemetárích jevů ω, ω,..., ω N platí ω Ω: P( ω) 0; P( ω ) =. = Odtud pro pravděpodobost lbovolého jevu A À vyplývá PA ( ) = P( ω ). : ω A Specálím případem koečého pravděpodobostího prostoru je klascký pravděpodobostí prostor. Te se odlšuje pouze tím, že pravděpodobost všech elemetárích jevů jsou s rovy, tj. ω Ω : P( ω ) =, N takže pro pravděpodobost lbovolého jevu A À vyplývá k PA ( ) =, kde k začí počet elemetárích jevů obsažeých v jevu A. N Složky spočetého pravděpodobostího prostoru jsou defováy aalogcky. a) Prostor elemetárích jevů Ω je spočetá moža, má právě tolk prvků jako moža přrozeých čísel. b) σ-algebra jevů À je moža všech podmož Ω. c) Pro pravděpodobost elemetárích jevů ω, ω,..., ω N, platí N ω Ω: P( ω) 0; P( ω ) = = a pravděpodobost lbovolého jevu A À je dáa stejým vztahem jako v případě koečého pravděpodobostího prostoru. Spojtý pravděpodobostí prostor je defová odlšě. Na tomto místě uvedeme pouze jeho zjedodušeou defc. a) Prostor elemetárích jevů Ω je ějaká tegrovatelá podmoža - rozměrého eukldovského prostoru. b) σ-algebra jevů À je systém všech tegrovatelých podmož Ω. 6
c) Na prostoru elemetárích jevů je defováa ezáporá tegrovatelá fukce π( x, x,..., x ) taková, že splňuje podmíku ormováí ( )... π x, x,..., x dxdx... dx =. Ω Pak pro pravděpodobost lbovolého jevu A À platí. A PA ( ) =... π x, x,..., x dxdx... dx ( ).4. Klascká defce pravděpodobost V předcházejícím odstavc jsme ukázal souvslost klascké pravděpodobost s klasckým pravděpodobostím prostorem. Z hledska hstorckého však klascká defce pravděpodobost vychází z pojmu stejé možost" astoupeí jevů. Uvedeý pojem se považuje za fudametálí a edefuje se. V případě hodu hraí kostkou, která je zhotovea z homogeího materálu a má přesě symetrcký tvar, lze za stejě možé považovat padutí kteréhokol z čísel,, 3, 4, 5, 6, protože eí důvodu preferovat ěkterou ze stě před ostatím. V obecém případě se uvažuje koečá moža stejě možých elemetárích jevů ω, ω,..., ω takových, že tvoří úplou soustavu eslučtelých jevů (rozklad možy Ω). Laplaceova defce pravděpodobost: Nechť určtý pokus může vykázat celkem růzých, vzájemě se vylučujících výsledků, které jsou a podkladě symetre a homogety stejě možé. Jestlže m z těchto výsledků má evyhutelě za ásledek realzac určtého jevu A, kdežto zbývajících - m výsledků j vylučuje, pak pravděpodobost jevu A je rova m PA ( ) =. V aplkacích teore pravděpodobost se užívá poěkud odlšé termologe. Moža všech eslučtelých a stejě možých jevů ω ( =,,..., ), které jsou spjaty s ějakým pokusem, se azývá možou možých výsledků tohoto pokusu. Ty z možých výsledků, jež vedou k astoupeí jevu A, tvoří možu výsledků přízvých jevu A. S použtím právě zavedeé termologe lze klasckou defc pravděpodobost vyslovt takto: Pravděpodobostí jevu A rozumíme poměr počtu výsledků přízvých jevu A k počtu výsledků možých. Tato defce je přrozeě jedodušší, ovšem epřesá, protože ezahruje předpoklad o stejé možost jedotlvých výsledků pokusu. V souladu s Laplaceovou defcí je každému jevu A, tj. každé m podmožě A Ω, přřazea určtá pravděpodobost PA ( ) =, kde m začí počet těch elemetárích jevů ω ( =,,..., ), z chž se skládá 7
jev A. Pravděpodobost P(A) lze tedy považovat za fukc jevu A. Tato fukce má ásledující vlastost: Uvědomte s, že klascký přístup k zavedeí pravděpodobost evychází z žádých axomů, proto je uto dokázat ta tvrzeí, která se v Kolmogorovově přístupu považují za axomy.. Pro každý jev A platí PA ( ) 0. Důkaz. Uvedeá vlastost je zřejmá, eboť poměr m defce abývat záporých hodot. emůže podle. Pravděpodobost jstého jevu je jedotková, tj. platí P( Ω ) =. Důkaz. Jstému jevu jsou přízvé všechy možé výsledky pokusu, takže P( Ω ) = =. 3. Jestlže se jev A skládá z dílčích jevů B a C, pak P(A) = P(B C) = P(B) + P(C). Důkaz. Nechť se jev B skládá z m a jev C z m elemetárích jevů E, =,,...,. Jevy B a C jsou podle předpokladu eslučtelé, a proto ty elemetárí jevy E, z chž se skládá jede z jevů, jsou vesměs růzé od elemetárích jevů E, z chž sestává druhý. Exstuje tedy celkem m+ m elemetárích jevů E, ze kterých se skládá jev B C (které jsou přízvé astoupeí jevu B C ). m+ m m m Zřejmě platí PA ( ) = = + = PB ( ) + PC ( ). 4. Pravděpodobost jevu A (jevu opačého k A) je rova PA ( ) = PA ( ). Důkaz. Jevy A a A jsou eslučtelé, takže v souladu s vlastostí 3 platí PA ( A) = PA ( ) + PA ( ). Navíc je zřejmé, že A A=Ω, a proto vzhledem k vlastost musí být PA ( A) = P( Ω ) =. Dokazovaé tvrzeí vyplývá bezprostředě ze srováí dvou posledích rovostí. 5. Pravděpodobost jevu emožého je rova ule, tj. platí P( ) = 0. 8
Důkaz. Jevy Ω a jsou eslučtelé, proto P( Ω ) = P( Ω ) = P( Ω ) + P( ). Odtud však okamžtě plye, že P( ) = 0. 6. Jestlže z jevu A plye jev B, pak platí PA ( ) PB ( ). Důkaz. Jev B může být vyjádře jako sjedoceí dvou eslučtelých jevů A a A B. S použtím vlastostí 3 a sado dostaeme PB ( ) = PA ( ( A B)) = PA ( ) + PA ( B) PA ( ). 7. Pro pravděpodobost lbovolého jevu A z příslušého jevového pole platí 0 PA ( ). Důkaz. Lbovolý jev A jevového pole splňuje zřejmě vztahy A = A= A Ω Ω. Odtud ovšem a použtím vlastost 6 odvodíme erovost 0 = P( ) P( A) P( Ω ) =. Klascká defce pravděpodobost jevu zavádí pojem aprorí pravděpodobost. Vychází sce z objektvích vlastostí jevu samého, ale je zcela ezávslá a výsledcích expermetu. K vážým edostatkům klascké defce patří její omezeost a koečě moho elemetárích jevů, eurčtost a dokoce bludý kruh, spočívající v tom, že vychází z pojmu "stejá možost" ve smyslu "stejé pravděpodobost". Přestože se moderí teore pravděpodobost emůže spokojt s klasckou defcí pravděpodobost, využívá se v prax této defce k řešeí celé řady problémů (vz odstavec.5), zejméa těch, které se dají převést a tzv. urová schémata..5. Kombatorcký výpočet pravděpodobostí Výpočet pravděpodobostí podle klascké defce se zakládá a kombatorckých úvahách. Zopakujte s základí kombatorcké prcpy a vztahy pro určeí počtu kombací, varací a permutací, ať už s opakováím ebo bez opakováí. Doporučujeme Vám kížku Vleka [], v íž alezete řešeí celé řady zajímavých ( velm obtížých) kombatorckých úloh. Uvedeme ěkolk typových příkladů. Příklady.. Kdos má v kapse N klíčů a chce potmě otevřít dveře svého bytu. Vyjímá aslepo z kapsy jede po druhém a zkouší jm otevřít dveře. Jaká je pravděpodobost toho, že př k-tém pokusu zvolí správý klíč? 9
Řešeí. Počet všech možých pořadí, jak vyjímat klíče, je zřejmě rove počtu permutací možy N prvků, tj. N!. Předpokládejme, že všechy permutace jsou stejě možé. Musíme tedy určt, kolk je takových permutací, př chž stojí daý prvek (klíč) a k-tém místě. Odpověď je jedoduchá. Exstuje právě ( N )! permutací, které jsou přízvé uvažovaému jevu, takže hledaá pravděpodobost je rova výrazu ( N )! =. N! N Pravděpodobost toho, že správý klíč pade do ruky př prvém, př druhém,, resp. př posledím N-tém pokusu, jsou stejé a rovají se /N... Výtah s r pasažéry zastavuje postupě v patrech. Určete pravděpodobost jevu A, který spočívá v tom, že žádí dva pasažéř evystoupí v jedom a tomtéž patře. Řešeí. Předpokládejme, že všechy způsoby rozmístěí pasažérů do jedotlvých pater jsou stejě možé. Celkový počet způsobů rozmístěí je zřejmě rove počtu varací r-té třídy z prvků s opakováím, tj. výrazu r. Kolk je však způsobů rozmístěí přízvých jevu A? Hledaý počet je dá opět počtem varací r-té třídy z prvků, ale tetokrát bez opakováí, tj. výrazem ( )( )... ( r+ ). Pro pravděpodobost jevu A tedy platí ( )( )... ( r+ )! PA ( ) = =. r r ( r)!.3. Z hromádky 3 karet (4 barvy po 8 kartách) se áhodě vybere k karet (k > ). Určete pravděpodobost toho, že mez těmto kartam je a) právě jedo eso; b) alespoň jedo eso. Řešeí. Ozačme symbolem A jev, který spočívá v alezeí právě es mez k vybraým kartam ( m( k,4) ) a symbolem A jev, který spočívá v tom, že mez k kartam bude alezeo alespoň jedo eso. a) Moža všech možých výsledků pokusu je tvořea všem kombacem k-té třídy z 3 prvků; počet těchto kombací je rove 3 kombačímu číslu. Počet výsledků přízvých jevu A určíme k 4 ásledujícím postupem. Jedo eso lze vybrat růzým způsoby a zbývající karty v počtu k - celkem 8 způsoby, takže počet k přízvých případů je rove souču obou uvedeých kombačích čísel. Pro hledaou pravděpodobost tedy platí 0
4 8 k PA ( ) =. 3 k b) Podobou úvahou jako v předcházející úloze staovíme pravděpodobost všech jevů A pro =,,..., m, kde m začí meší z čísel k a 4, tj. m = m(k,4). Zřejmě platí 4 8 4 8 k m k m PA ( ) =,..., PA ( m) =. 3 3 k k Jev A lze vyjádřt jako sjedoceí eslučtelých jevů A, A,..., A, proto PA= PA + PA + PA m ( ) ( ) ( )... + ( )..4. Dítě s hraje s písmey M, M, A, A, A, T, T, E, I, K. Jaká je pravděpodobost toho, že se mu podaří př áhodém řazeí písme za sebou vytvořt slovo MATEMATIKA? Řešeí. Ozačme uvažovaý jev symbolem A. Kdyby byla písmea vesměs růzá, byl by počet všech možých výsledků pokusu rove počtu permutací možy těchto písme, tj. 0!. Mez uvažovaým deset písmey jsou však dvě avzájem erozlštelá písmea M, tř erozlštelá písmea A a dvě erozlštelá písmea T. Proto permutace, které se lší traspozcí (záměou) písme M (takových permutací je celkem!) a/ebo traspozcí písme A (celkem 3!) a/ebo traspozcí písme T celkem!) představují jede a tetýž výsledek pokusu. Z uvedeého je zřejmé, že počet všech vzájemě růzých výsledků pokusu 0! je. Pouze jeda z těchto permutací je přízvá jevu A, takže pro!3!! hledaou pravděpodobost platí!3!! PA= ( ) 0, 0000066. 0!.5. Mějme částc, z chž každá má stejou možost acházet se v kterémkolv z N možých stavů ( N ). Předpokládejme, že všecha možá rozděleí částc do stavů jsou stejě pravděpodobá (Maxwellova- Boltzmaova statstka). Jaká je pravděpodobost toho, že a) v určtých stavech bude po jedé částc (jev A); b) v lbovolých stavech bude po jedé částc (jev B)? m
Řešeí. a) Každá částce se může objevt v lbovolém z N stavů; to zameá, že exstuje N možostí pro jedu částc. Celkový počet možých způsobů rozmístěí částc je zřejmě rove N. K výpočtu hledaé pravděpodobost zbývá ještě určt, kolka způsoby mohou být částce rozmístěy po jedé do určtých stavů. Pro prvou částc máme zřejmě možostí, pro druhou, pro třetí, atd., až pro posledí zbude pouze jedá možost. Z uvedeé úvahy vyplývá, že exstuje celkem ( )( ).... =! způsobů rozmístěí, které jsou přízvé jevu A. Proto lze psát! PA ( ) =. N b) Počet možých způsobů rozmístěí částc v N stavech je dá, stejě jako v případě předcházejícím, výrazem N. Př určováí toho, kolka způsoby lze částce rozmístt po jedé do lbovolých stavů, využjeme rověž dílčího výsledku předchozího příkladu. Počet způsobů rozmístěí přízvých jevu B je tolkrát větší ež počet způsobů přízvých jevu A, kolkrát je možo vybrat stavů z jejch celkového počtu N. Odtud plye, že exstuje! N způsobů rozmístěí částc po jedé do lbovolých stavů. Hledaá pravděpodobost jevu B je tedy N! N! PB ( ) = =. N ( N )! N.6. Řešte příklad.5 za předpokladu, že všechy částce jsou vzájemě erozlštelé a přtom v každém z N stavů se může acházet ejvýše jedá částce (Fermho-Dracova statstka). Řešeí. V tomto případě můžeme považovat za růzá je taková rozmístěí částc, která se lší kvaltou obsazeých stavů. Počet všech růzých rozmístěí se zřejmě rová počtu možostí, jak vybrat stavů N z jejch celkového počtu N, tedy kombačímu číslu. a) Je evdetí, že v případě Fermho-Dracovy statstky lze částce rozmístt v určtých stavech pouze jedým způsobem, a proto ( N )!! PA ( ) = =. N N! b) Jev B, jež spočívá v rozmístěí částc do lbovolých stavů, je v případě Fermho-Dracovy statstky jevem jstým, takže P(B) =.
Podobé podstatě obtížější úlohy a kombatorcký výpočet pravděpodobostí aleze čteář v učebc Fellerově [3]. Metodám řešeí kombatorckých úloh jsou věováy specálí moografe, apř. []..7 (úloha o shodách). Je dáa moža N růzých dopsů a moža N obálek s růzým adresam. Předpokládejme, že roztržtý úředík přřadl dopsy zcela áhodě k jedotlvým obálkám. Jaká je pravděpodobost toho, že alespoň jede z dopsů dojde a správou adresu? Řešeí. Obálky lbovolým způsobem uspořádáme a ozačíme je v souladu se zvoleým uspořádáím čísly,,..., N. Dále postupujeme tak, že lbovolě uspořádáme dopsy a dops, který je a -tém místě, přřadíme obálce s ozačeím ( =,,..., N). Předpokládáme, že pravděpodobost každého možého uspořádáí (permutace) dopsů je stejá a rova /N!. Nechť A začí jev, jež spočívá v tom, že dops odpovídající obálce s ozačeím bude právě a -tém místě, tj. bude přřaze ke správé obálce. Protože ostatí dopsy mohou být uspořádáy lbovolě, platí ( N )! PA ( ) = ( =,,..., N); N! ( N )! PA ( Aj) = ( j; j, =,,..., N). N! Úlohu řešíme pomocí vzorce (.), a jehož pravé straě bude celkem N sčítaců. Sčítaec s pořadovým číslem k, k N, obsahuje N N! = příspěvků, z chž každý je rove ( N k )!, takže má k ( N k)! k! N! hodotu k!. Pro hledaou pravděpodobost lze psát N N P( A ) = +... + ( ). =! 3! N! V případě dostatečě velkého N tedy platí P N ( A ) e 0,63, = což zameá, že hledaá pravděpodobost praktcky ezávsí a N a je blízká /3. Kotrolí úkoly.. Z hromádky 3 karet obsahující 4 esa jsou áhodě vybráy 3 karty. Určete pravděpodobost toho, že mez m budou ejméě esa... V sér výrobků je právě k zmetků (k ). Určete pravděpodobost toho, že mez m áhodě vybraým výrobky bude právě r zmetků ( r k). 3
.3. Ve studjí skupě je celkem 30 studetů. Jaká je pravděpodobost toho, že žádí dva studet eslaví arozey téhož de? Předpokládejme, že rok má 365 dů..4. Mez 5 zkušebím lístky je 5 šťastých a 0 ešťastých. Studet s vybírají lístky postupě jede za druhým. U kterého je větší pravděpodobost, že s vytáhe šťastý lístek: u toho, který táhe prví, ebo u toho, který táhe druhý?.5. Číslce,,..., ( 9) jsou áhodě uspořádáy do posloupost. Jaká je pravděpodobost toho, že číslce a stojí vedle sebe právě v tomto pořadí?.6. Určete pravděpodobost toho, že posledí dvě číslce třetí mocy áhodě vybraého celého čísla jsou rovy jedotce..7. Krychle, jejíž všechy stěy jsou abarvey, se rozřeže a 000 krychlček stejého rozměru. Jaká je pravděpodobost toho, že áhodě vybraá krychlčka bude mít dvě abarveé stěy?.8. Určete pravděpodobost výhry prví, druhé, třetí a čtvrté cey a) v Sazce, b) ve Sportce..6 Geometrcká pravděpodobost Jedím z edostatků klascké defce pravděpodobost je skutečost, že tato defce uvažuje pouze koečé základí možy elemetárích (stejě možých) jevů. Pokusy o rozšířeí klascké teore pravděpodobost a případ ekoečé základí možy elemetárích jevů vedly jž kocem 8. století k zavedeí pojmu geometrcké pravděpodobost. V podstatě šlo je o modfkac klascké defce pravděpodobost, protože se vycházelo opět z pojmu stejé možost astoupeí určtých jevů. Úloha a geometrckou pravděpodobost může být formulováa takto: Nechť je v eukldovském prostoru dáa ějaká oblast Ω, která má koečý objem (obsah) V( Ω ) a v í (uvtř) já oblast A s tegrovatelou hrací. Vybíráme áhodě bod z oblast Ω a ptáme se, s jakou pravděpodobostí patří teto bod také do oblast A. Předpokládáme, že pravděpodobost "padutí" áhodě vybraého bodu oblast Ω do oblast A je úměrá objemu (obsahu) této oblast a ezávsí a jejím umístěí a tvaru. Hledaou pravděpodobost klademe v geometrckém pojetí rovu hodotě výrazu V( A) V( Ω ), kde V(A) je objem (obsah) oblast A. Takto zavedeá geometrcká pravděpodobost se stala vhodým ástrojem a řešeí řady úloh, a ěž estačlo klascké pojetí pravděpodobost. Adekvátí defce geometrcké pravděpodobost je založea a pojmu Lebesgueovy míry. Podrobé poučeí o Lebesgueově míře aleze čteář apř. v moograf [0]. Defce geometrcké pravděpodobost. Nechť Ω je měřtelá podmoža -rozměrého eukldovského prostoru, která má kladou 4
a koečou Lebesgueovu míru µ ( Ω ). Dále echť À je systém všech měřtelých podmož možy Ω a µ ( A) je -rozměrá Lebesgueova míra měřtelé možy A À. Položme µ ( A) PA ( ) =. (.) µ ( Ω) Takto uvedeá trojce { Ω, À, P} je Kolmogorovův pravděpodobostí prostor. Pravděpodobostí míra defovaá vztahem (.) je geometrckou pravděpodobostí jevu A À. Pozámka. Přpomíáme, že Lebesgueova míra v eukldovském prostoru je varatí vzhledem k trasformac kartézské soustavy souřadc a rověž je varatí vzhledem ke shodým zobrazeím prostoru. Výpočet geometrcké pravděpodobost pomocí vztahu (.) se v prax převádí a výpočet délky, obsahu ebo objemu určtých geometrckých útvarů. Uvedeme dva jedoduché příklady a výpočet geometrcké pravděpodobost. Příklady.8. Hody, které ebyly včas atažey, se po určté době zastaví. Jaká je pravděpodobost toho, že se velká ruččka zastaví mez trojkou a šestkou? Řešeí. Ozačme uvažovaý jev písmeem A. Pravděpodobost, že se velká ruččka zastaví uvtř defovaého oblouku číselíku je úměrá délce tohoto oblouku. Proto je hledaá pravděpodobost rova poměru délky oblouku mez číslcem tř a šest ( π r ) a délky obvodu celého číselíku ( π r ), tj. π r PA ( ) =. π r = 4.9 (úloha o setkáí). Dva studet X a Y se dohodl, že se setkají a určtém místě v době od do 3 hod. Te, kdo přjde prví, počká a druhého 0 mut, a edočká-l se, odejde. Jaká je pravděpodobost, že se oba studet za těchto podmíek setkají, jestlže předpokládáme stejou možost příchodu každého z ch v kterémkolv okamžku staoveého časového tervalu a okamžky příchodu jsou ezávslé? Řešeí. Ozačme okamžk příchodu (v mutách po.00 hod.) studeta X písmeem x a okamžk příchodu studeta Y písmeem y. Nutou a postačující podmíkou pro uskutečěí setkáí obou studetů je platost vztahu x y 0. Geometrcká pravděpodobost Velčy x a y budeme terpretovat jako kartézské souřadce v eukldovské rově (vz obr..). Všechy možé výsledky pokusu lze pak zázort body čtverce o straě dlouhé 60 jedotek. 5
Ty možost, které jsou přízvé setkáí obou studetů, leží zřejmě uvtř vyšrafovaé oblast. Pravděpodobost setkáí je tedy rova podílu obsahu vyšrafovaé oblast a obsahu celého čtverce, tj. y 60 60 40 5. P = = 60 9 40 0 0 0 0 40 60 x Obr... Schematcké zázorěí k úloze o setkáí Úlohy o setkáí lze prcpálě využít k řešeí ásledujícího problému z oblast hromadé obsluhy. Dělík obsluhuje ěkolk strojů téhož typu, z chž každý vyžaduje v áhodých časových okamžcích dělíkovu přítomost (pozorost). Může se stát, že v době, kdy je dělík u jedoho stroje, vyžaduje jeho přítomost ěkterý jý, resp. jé stroje. Úkolem je staovt pravděpodobost takového jevu. Kotrolí úkoly.9. Vepšme do koule krychl. Jaká je pravděpodobost toho, že áhodě vybraý bod koule je také bodem vepsaé krychle?.0. Koefcety p a q kvadratckého trojčleu x + px + q jsou vybráy áhodě z tervalu,. Jaká je pravděpodobost toho, že uvedeý trojčle má reálé ulové body?.. Na rovoběžé přímky (v rově) ležící ve stejých vzdáleostech d od sebe házíme jehlu délky h ( h< d). Jaká je pravděpodobost toho, že jehla prote jedu z rovoběžek (Buffoova úloha)? Relatví četost jevu.5. Pravděpodobost a četost. Statstcká defce pravděpodobost Statstcké pojetí pravděpodobost vychází z pojmu relatví četost jevu. Uvažme ějaký pokus, jehož výsledkem může být astoupeí ebo eastoupeí určtého jevu A. Ozačme symbolem A počet astoupeí uvažovaého jevu v ezávslých pokusech. Relatví četostí jevu A pak rozumíme podíl počtu pokusů, které vedly k astoupeí jevu A, 6
k celkovému počtu skutečě provedeých pokusů, tj. poměr A. Číslo A se azývá absolutí četostí jevu A. Dlouhodobá pozorováí ukazují, že relatví četost celé řady jevů př dostatečě velkém zůstávají př přechodu od jedé sére pokusů k druhé praktcky kostatí. Větší odchylky od této "kostaty" se přtom pozorují tím vzácěj, čím početější jsou provedeé sére expermetů. Tato stablta relatvích četostí byla poprvé zjštěa u jevů demografckého charakteru. Už od ejstarších dob je zámo, že poměr počtu arozeých chlapců k celkovému počtu arozeých dětí pro velká města celé státy zůstává v průběhu let téměř kostatí a blízký hodotě /. Pozděj, zejméa během 7. a 8. století, byla pozorováa stablta jých charakterstk a zákotostí demografcké povahy: proceta úmrtost v daém věku pro daé socálí skupy obyvatelstva, rozděleí obyvatelstva daého pohlaví podle vzrůstu, šířky hrudíku apod. Výzamé je zjštěí, že v těch případech, kdy je použtelá klascká defce pravděpodobost, kolísají relatví četost jevů kolem hodot jejch klasckých pravděpodobostí. V současé době máme k dspozc rozsáhlý expermetálí materál, který esporě potvrzuje tuto skutečost. V tabulce. jsou uvedey ěkteré výsledky expermetů s hodem mcí. Absolutí četost jevu Tab...Výsledky pokusů s hodem mcí Expermetátor Počet Abs. četost padutí Rel. četost padutí hodů rubu rubu Buffo 4 040 048 0,5080 Pearso 000 6 09 0,506 Pearso 4 000 0 0,5005 Z údajů v tabulce je zřejmé, že relatví četost padutí rubu mce kolísá kolem hodoty /, tj. kolem klascké pravděpodobost uvažovaého jevu pro případ homogeí a přesě symetrcké mce. K podobému závěru vedly jé pokusy, apř. hody hrací kostkou, určováí relatví četost výskytu určté číslce v tabulce áhodých čísel apod. Uvedeé skutečost ás přvádějí k předpokladu objektví exstece ějaké číselé charakterstky jevu (pravděpodobost jevu), kolem íž kolísají expermetálě určovaé relatví četost. Statstcké zavedeí pravděpodobost. Říkáme, že určtý jev A má pravděpodobost, jestlže teto jev splňuje ásledující podmíky: a) je možo (alespoň prcpálě) provést eomezeý počet vzájemě ezávslých a přesě stejých pokusů, z chž každý může vést k astoupeí ebo eastoupeí jevu A; b) relatví četost jevu A se praktcky pro každou velkou sér pokusů lší je epatrě od ějaké, v obecém případě ezámé, kostaty. 7
Statstcká pravděpodobost Tato číselá charakterstka áhodého jevu A se azývá statstckou pravděpodobostí. Za její přblžou hodotu lze př dostatečě velkém počtu pokusů vzít buď přímo relatví četost jevu A ebo ějaké číslo blízké této četost. Toto statstcké zavedeí pravděpodobost má převážě popsý charakter. Nejde o formálí matematckou defc pravděpodobost, ale pouze o vymezeí podmíek utých pro exstec pravděpodobost a staoveí metody pro odhad hodoty této pravděpodobost. Msesova defce pravděpodobost. Statstckou pravděpodobostí jevu A se azývá lmta relatvích četostí jevu A, roste-l počet pokusů, z chž relatví četost určujeme, ade všechy meze, tz. A PA ( ) = lm. Pozámka. Uvedeou defc je možo zpřest takto: Pro lbovolé ε > 0 platí A lm P( p < ε) =, p= P( A). Msesova defce je velm rozšířea zejméa v oblast přírodích věd. Mses odmítá klasckou defc pravděpodobost a epovažuje za uté zát vtří strukturu jevů. Podle ěj je uvedeá emprcká defce schopa v plé míře zabezpečt veškeré požadavky přírodích věd flozofe. Statstcký způsob vymezeí pravděpodobost má ovšem vážý edostatek. Pravděpodobost jevů jsou v tomto případě vázáy a výsledky pokusů, takže jde o tzv. aposterorí pravděpodobost. Pojem statstcké pravděpodobost vychází pouze z výsledků pokusů a epřhlíží k vtřím zákotostem a vlastostem sledovaých jevů. Bez realzace kokrétích pokusů elze o pravděpodobost jevů v rámc statstcké defce vůbec mluvt. Třebaže jsou prot statstckému vymezeí pravděpodobost vážé výhrady, používá se jej dodes tam, kde jde o sledováí velkých souborů, apř. v demografckém výzkumu. Přtom se předpokládá, že pravděpodobost studovaých jevů jsou přblžě rovy expermetálě určeým relatvím četostem. Příklad.9. Na základě statstckých údajů uvedeých v prvích třech sloupcích tabulky. odhaděte pravděpodobost arozeí dvojčat mužského pohlaví. Řešeí. Údaje v tabulce. doplíme o relatví četost. Z uvedeých údajů je možo odhadout pravděpodobost arozeí dvojčat mužského pohlaví číslem 0,35. 8