7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme A = (b 1 a 1 )... (b n a n ) objem A. d(a) = (b 1 a 1 ) + + (b n a n ) průměr A. Pro i = 1,..., n buď D i : a i = x () i < x (1) i < < x (mi) i = b i tzv. dělení a i, b i. Pak D = [D 1,..., D n ] se nazývá dělení A. Dále postupujme následovně: 1. Dělení D rozloží A na m = m 1 m n n-rozměrných intervalů A k1,...,k n = x (k1 1) 1, x (k1) 1 x (kn 1) n, x (kn) kde 1 k i m i a i = 1,..., n. Označme tyto intervaly pro zjednodušení A (1),..., A (m).. V každém intervalu A (j) pro j = 1,..., m zvolme bod (tj. reprezentanta intervalu A j ) y j A (j). 3. Položme D = max{d(a (j) ); j = 1,..., m}. D je tzv. norma dělení D. 4. Nyní každému k N přiřaďme dělení D(k) intervalu A. Posloupnost {D(k)} k=1 se nazývá nulová posloupnost, když D(k). 5. Definujme S f (D) = m j=1 f(y j) A (j). Číslo S f (D) se nazývá integrální součet funkce f pro dělení D intervalu A a pro danou volbu reprezentantů y j. n, Definice 7.. Řekneme, že ohraničená funkce f je Riemannovsky integrovatelná na A a číslo a R nazveme n-rozměrný Riemannův integrál funkce f na množině A, když pro každou nulovou posloupnost D(k) dělení intervalu A a pro každou volbu reprezentantů v těchto děleních platí lim S f (D(k)) = a. k Poznámka 7.3. Riemannův n-rozměrný integrál f na A budeme označovat f(x 1,..., x n )dx 1... dx n, nebo také n krát { }} { f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. A A Poznámka 7.4. Speciálně dvojrozměrný a trojrozměrný integrál funkce f na A budeme označovat f(x, y)dxdy a f(x, y, z)dxdydz. A A ÚM FSI VUT v Brně 5

7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text Poznámka 7.5. 1. Místo dvojrozměrný a trojrozměrný říkáme rovněž dvojný a trojný.. Historickou motivací k zavedení vícerozměrných integrálů byl výpočet objemů těles. Objasněme podrobněji hlavní myšlenku konstrukce a pro názornost uveďme Obrázek 7.1 pro případ n =. Obr. 7.1: Myšlenka Definice 7.1 pro n = Integrální součet S f (D) přibližně vyjadřuje hodnotu integrálu z f na A. Čím je dělení D jemnější, tím přesněji S f (D) vyjadřuje integrál. Předpoklad konvergence posloupnosti norem dělení k nule znamená, že zjemňování je rozloženo po A rovnoměrně. Číslo S f (D) pak vyjadřuje součet objemů n+1 rozměrných kvádrů nad dělením D s výškami závislými na volbě reprezentantů. Po limitním přechodu pak získáme objem n + 1 rozměrného tělesa nad podstavou A, které je shora ohraničeno grafem funkce f. Definice 7.6. Buď f : R n R, Df ohraničená množina. Funkce definovaná vztahem {, pro x R χ (x) = n, 1, pro x, se nazývá charakteristická funkce množiny. Zřejmě pro ohraničenou množinu vždy existuje n-rozměrný uzavřený interval A tak, že A. Řekneme, že f je Riemannovsky integrovatelná (RI) na, když funkce χ f : R n R je Riemannovsky integrovatelná na A. Pak klademe f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = χ (x 1,..., x n )f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. A Poznámka 7.7. Definice je korektní, protože integrál z funkce f nezávisí na volbě A. 1. Existuje-li dx 1... dx n, pak se nazývá měřitelná v Jordanově smyslu a = dx 1... dx n se nazývá míra.. Pro n = je míra obsah, pro n = 3 objem. ÚM FSI VUT v Brně 6

7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text Věta 7.8. 1. Buďte 1, R n měřitelné množiny, které nemají společné vnitřní body. Pak 1 = 1 +.. Buď f spojitá na měřitelné množině. Pak f je Riemannovsky integrovatelná na. 3. Buď f ohraničená na a nechť pro množinu A všech bodů nespojitosti f platí A =. Pak f je Riemannovsky integrovatelná na. 4. Nechť f, g jsou Riemannovsky integrovatelné na a pro každý bod [x 1,..., x n ] platí f(x 1,......, x n ) g(x 1,..., x n ). Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n g(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Speciálně, když pro každé [x 1,..., x n ] platí f(x 1,..., x n ), pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Věta 7.9. 1. Nechť [x 1,..., x n ] platí c 1 f(x 1,..., x n ) c, kde c 1, c R a f je Riemannovsky integrovatelná na měřitelné množině. Pak c 1 f(x 1,..., x n )dx 1... dx n c.. Buď f spojitá funkce na uzavřené měřitelné množině. Pak uvnitř existuje bod [a 1,..., a n ] tak, že platí f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f(a 1,..., a n ). Číslo f(a 1,..., a n ) se nazývá střední hodnota f na a platí f(a 1,..., a n ) = 1 f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Věta 7.1. Buďte f i : R n R funkce Riemannovsky integrovatelné na měřitelné množině a c i R libovolné konstanty, kde i = 1,..., m. Pak funkce m c i f i (x 1,..., x n ) je Riemannovsky integrovatelná na a platí i=1 m m c i f i (x 1,..., x n )dx 1... dx n = c i f i (x 1,..., x n )dx 1... dx n. i=1 i=1 ÚM FSI VUT v Brně 7

8. Integrál přes elementární oblast Studijní text 8. Integrál přes elementární oblast Definice 8.1. Množina R n se nazývá elementární oblast typu (x 1,..., x n ), když každý bod [x 1,..., x n ] splňuje nerovnosti a 1 x 1 a g 1 (x 1 ) x h 1 (x 1 ) g (x 1, x ) x 3 h (x 1, x ). g n 1 (x 1,..., x n 1 ) x n h n 1 (x 1,..., x n 1 ), kde a 1, a R, a 1 < a a pro každé i = 1,..., n 1 jsou g i, h i : R i R spojité funkce splňující podmínku g i < h i pro vnitřní body. Buď σ permutace množiny {x 1,..., x n }. Pokud v předchozích nerovnostech píšeme σ(x i ) místo x i, pak se nazývá elementární oblast typu ( σ(x 1 ),..., σ(x n ) ). Poznámka 8.. 1. Místo elementární se též někdy říká normální.. Tatáž množina může být různých typů. 3. Speciálně n-rozměrný uzavřený interval je elementární oblast všech možných typů. Příklad 8.3. 1. Kruh = {[x, y] R ; x + y 1} je elementární oblast typu (x, y) ale i typu (y, x). Platí = {[x, y] R ; 1 x 1, 1 x y 1 x } a = {[x, y] R ; 1 y 1, 1 y x 1 y }.. Mezikruží, kde = {[x, y] R ; 1 x + y 4} není elementární oblastí žádného typu, ale lze ji na elementární rozdělit. Definice 8.4. Množina R n se nazývá regulární, je-li sjednocením konečného počtu elementárních oblastí libovolného typu, které mají společné nejvýše svoje hranice. Věta 8.5. Buď R n elementární oblast. Pak je měřitelná. Důsledek. Každá regulární množina je měřitelná. Věta 8.6. Buď = m i=1 i regulární oblast, složená z elementárních oblastí i, které mají společné nejvýše svoje hranice. Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = m i=1 i f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. ÚM FSI VUT v Brně 8

8. Integrál přes elementární oblast Studijní text Věta 8.7. Fubiniho věta Buď R n elementární oblast typu (x 1,..., x n ) a nechť funkce f je Riemannovsky integrovatelná na. Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = a ( h1(x1) a 1 g 1(x 1) (... ( hn 1(x1,...,xn 1) g n 1(x 1,...,x n 1) f(x 1,..., x n )dx n )... ) dx )dx 1. Pro typ ( σ(x 1 ),..., σ(x n ) ) platí analogické tvrzení. Důsledek. (Dirichletova věta) Buď = a 1, b 1 a n, b n n-rozměrný uzavřený interval a nechť funkce f je Riemannovsky integrovatelná na. Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = b 1 a 1 (... ( bn a n ) ) f(x 1,..., x n )dx n... dx 1. Je-li navíc funkce f(x 1,..., x n ) ve tvaru součinu f(x 1,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f n (x n ), pak integrál lze počítat podle vztahu b 1 b n f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f 1 (x 1 )dx 1 f n (x n )dx n. a 1 a n Příklad 8.8. Spočtěte dvojrozměrný integrál x = + sin y. x 3 dxdy, kde je určena vztahy x =, y =, y = π, Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztahy x =, y =, y = π určují přímky, které v rovině spolu s křivkou x = + sin y vymezují obor. Viz Obrázek 8.1. Obr. 8.1: : x =, y =, y = π, x = + sin y Oblast je typu (y, x), ale není typu (x, y). Nerovnosti charakterizující obor jako oblast typu (y, x) jsou tvaru y ( π, x ) + sin y. Aplikujeme Fubiniho větu. π x 3 dxdy = +sin y π x 3 dx [ ] +sin y x dy = 6 dy = 1 π 6 ( + sin y) dy = 1 π 6 (4 + sin y + sin y) dy = ] π [4y 4 cos y + 1 y 14 sin y = 3π. = 1 6 Příklad 8.9. Spočtěte trojrozměrný integrál y dxdydz, kde je určena vztahy x, y, z, x + y + + z 6. Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztahy x =, y =, z =, x + y + z = 6 určují roviny, které v trojrozměrném prostoru vymezují čtyřstěn. Viz Obrázek 8.. ÚM FSI VUT v Brně 9

8. Integrál přes elementární oblast Studijní text Obr. 8.: : x, y, z, x + y + z 6 Čtyřstěn je oblast libovolného typu. Provedeme zápis pomocí nerovností. Typ oblasti zvolíme (x, y, z). Platí x 3, y 3 x, z 6 x y. Nyní můžeme aplikovat Fubiniho větu. y dxdydz = 3 ( 3 x 6 x y ( y dz)dy ) 3 3 x [ ] 6 x y 3 ( 3 x dx = ( yz dy)dx = y(6 x y) dy ) dx = 3 = ( 3 x ] 3 = 1 3 [ (3 x)4 4 y(3 x) y dy ) 3 dx = [ y (3 x) y3 3 ] 3 x 3 dx = (3 x) 6 (3 x) 3 6 dx = (3 x) 6 dx = = 7 4. Pro ilustraci rozepíšeme ještě daný čtyřstěn jako oblast typu (y, z, x). Nerovnosti jsou tvaru y 3, z 6 y, x 1 (6 y z). Aplikace Fubiniho věty má pak tvar 3 ( 6 y ( (6 y z)/ y dx)dz ) dy. ÚM FSI VUT v Brně 3

9. Transformace integrálů Studijní text 9. Transformace integrálů Definice 9.1. Buď R n uzavřená a ohraničená množina. Pak se nazývá n-rozměrná oblast. Definice 9.. Buď F : R n R n zobrazení, kde F = [f 1,..., f n ], přičemž f i : R n R, i = 1,..., n. Nechť DF je oblast a nechť ke každému bodu [y 1,..., y n ] je rovnicemi x 1 = f 1 (y 1,..., y n ),. x n = f n (y 1,..., y n ) (9.1) přiřazen bod [x 1,..., x n ] = [ f 1 (y 1,..., y n ),..., f n (y 1,..., y n ) ] R n tak, že platí: a) Je-li F ( ) =, pak je oblast v R. b) Zobrazení F je na h( ) injektivní (prosté). c) Je-li 1 oblast, pak F ( 1) je oblast a platí F ( 1). Pak řekneme, že transformační rovnice (9.1) transformují oblast na oblast. Zobrazení F se pak nazývá transformace a determinant f 1 y 1,..., fn y 1 J(y 1,..., y n ) =... f 1 y n,..., fn y n (9.) se nazývá Jakobián transformace F. Věta 9.3. (Věta o transformaci integrálu) Nechť rovnice (9.1) transformují oblast na oblast, f 1,..., f n mají spojité parciální derivace na a pro každý bod [y 1,..., y n ] h( ) platí J(y 1,..., y n ). Dále nechť f je spojitá na oblasti. Pak platí f(x 1,..., x n )dx 1...dx n = ( = f f1 (y 1,..., y n ),..., f n (y 1,..., y n ) ) J(y 1,..., y n )dy 1...dy n. Důsledek. Nechť platí předpoklady Věty 9.3. Potom 1. pro n = platí: Je-li x = f 1 (u, v), y = f (u, v), pak ( f(x, y)dxdy = f f1 (u, v), f (u, v) ) J(u, v)dudv;. pro n = 3 platí: Je-li x = f 1 (u, v, w), y = f (u, v, w), z = f 3 (u, v, w), pak f(x, y, z)dxdydz = f ( f 1 (u, v, w), f (u, v, w), f 3 (u, v, w) ) J(u, v, w)dudvdw. ÚM FSI VUT v Brně 31

9. Transformace integrálů Studijní text Definice 9.4. Buď F : R R transformace, která je definovaná rovnicemi x =f 1 (ϱ, ϕ) = ϱ cos ϕ, y =f (ϱ, ϕ) = ϱ sin ϕ, (9.3) přičemž DF =, ), π). Pak F se nazývá transformace do polárních souřadnic. Rovnice transformují R na množinu, ), π). Význam ϱ, ϕ zachycuje následující Obrázek 9.1. Obr. 9.1: Polární souřadnice Věta 9.5. Transformace do polárních souřadnic má Jakobián J = J(ϱ, ϕ) = ϱ. Důkaz: J(ϱ, ϕ) = cos ϕ ϱ sin ϕ sin ϕ ϱ cos ϕ = ϱ(cos ϕ + sin ϕ) = ϱ. Poznámka 9.6. Buďte x, y, a, b R, a, b >. Rovnice x = x + aϱ cos ϕ, y = y + bϱ sin ϕ (9.4) se nazývají transformační rovnice do zobecněných polárních souřadnic. Jakobián této transformace je J = J(ϱ, ϕ) = abϱ. Příklad 9.7. Spočtěte dvojrozměrný integrál x dxdy, kde : x + y x. Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztah x + y x upravíme na tvar (x 1) + y = 1. Odtud je již zřejmé, že oblast je kruh o poloměru 1 se středem v bodě [1, ]. Viz Obrázek 9.. Obr. 9.: Transformace do polárních souřadnic Existuje více postupů, jak daný integrál vypočítat. Ukažme si dva postupy. 1. způsob řešení: V případě, že oblast je kruh nebo jeho část, je výhodné provést transformaci do polárních souřadnic. Rovnice x + y = x hranice oblasti přejde transformací v rovnici ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = ϱ cos ϕ, ÚM FSI VUT v Brně 3

9. Transformace integrálů Studijní text tj. ϱ = cos ϕ. Transformací se oblast změní v oblast. Přitom : π ϕ π a ϱ cos ϕ. Viz Obrázek 9.. Použijeme Větu 9.3 o transformaci. Platí x dxdy = ϱ cos ϕ ϱ dϱdϕ = ϱ cos ϕ dϱdϕ. Poslední integrál dopočítáme podle Fubiniho věty. π cos ϕ ϱ ϱ cos ϕ dϱdϕ = cos ϕ dϱ dϕ = = π π π π π [ ] cos ϕ 1 3 ϱ3 cos ϕ 8 3 cos4 ϕ dϕ = 8 [ 1 3 4 cos3 x sin x + 3 8 cos x sin x + 3 ] π 8 x π dϕ = = 8 3 3 8 π = π.. způsob řešení: V následujícím řešení nejprve provedeme transformaci, která posune střed kruhu do počátku systému souřadnic. Teprve pak provedeme transformaci do polárních souřadnic. Viz Obrázek 9.3. V tomto případě se vyhneme integrálu z funkce cos 4 x, který vyžaduje delší samostatný výpočet. Obr. 9.3: Posunutí a transformace do polárních souřadnic Chceme, aby se rovnice (x 1) +y = 1 změnila v rovnici u +v = 1. Je zřejmé, že stačí položit u = x 1 a v = y. Odtud plyne, že Jakobián této transformace je x = u + 1, y = v. J(u, v) = 1 1 = 1. Platí x dxdy = (u + 1) dudv = (ϱ cos ϕ + 1) ϱ dϱdϕ = ϱ cos ϕ dϱdϕ + ϱ dϱdϕ = = 1 π ϱ dϱ cos ϕ dϕ + 1 π [ ϱ 3 ϱ dϱ dϕ = 3 ] 1 [sin ϕ] π + [ ϱ ] 1 [ϕ] π = π. Definice 9.8. Buď F : R 3 R 3 transformace, která je definovaná rovnicemi x = f 1 (ϱ, ϕ, z)= ϱ cos ϕ, y = f (ϱ, ϕ, z)= ϱ sin ϕ, z = f 3 (ϱ, ϕ, z)= z, (9.5) přičemž DF =, ), π) R. Pak F se nazývá transformace do válcových (cylindrických) souřadnic. Rovnice transformují R 3 na množinu, ), π) R. Význam ϱ, ϕ, z zachycuje následující Obrázek 9.4. ÚM FSI VUT v Brně 33

9. Transformace integrálů Studijní text Obr. 9.4: Válcové souřadnice Věta 9.9. Transformace do válcových souřadnic má Jakobián J = J(ϱ, ϕ, z) = ϱ. Důkaz: J(ϱ, ϕ, z) = cos ϕ sin ϕ ϱ sin ϕ ϱ cos ϕ 1 = ϱ(cos ϕ + sin ϕ) = ϱ. Příklad 9.1. Spočtěte trojrozměrný integrál z x + y dxdydz, kde je určena vztahy x, y, x + y 1, z. Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztah x + y 1 určuje válec o poloměru 1. Viz Obrázek 9.5. Výška válce je dána vztahy z. Omezení x, y vyčlení z válce čtvrtinu. Obr. 9.5: Zjištění, že oblast je čtvrtina válce nás vede k nápadu transformovat danou oblast do válcových souřadnic. Zřejmě ϱ, 1, ϕ, π, z,. Tedy transformací se oblast změní v kvádr =, 1, π,. Použijeme Větu 9.3 o transformaci. Platí z x + y dxdydz = z ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ ϱ dϱdϕdz = zϱ dϱdϕdz. Integrační obor je trojrozměrný interval a proto můžeme použít Dirichletovu větu 8. Navíc integrand je ve tvaru součinu a proto použijeme její speciální verzi. zϱ dϱdϕdz = 1 π ϱ dϱ dϕ [ ϱ 3 z dz = 3 ] 1 [ [ϕ] π z ] = 1 3 π = π 3. ÚM FSI VUT v Brně 34

9. Transformace integrálů Studijní text Definice 9.11. Buď F : R 3 R 3 transformace, která je definovaná rovnicemi x = f 1 (ϱ, ϕ, ϑ)= ϱ cos ϕ sin ϑ, y = f (ϱ, ϕ, ϑ)= ϱ sin ϕ sin ϑ, z = f 3 (ϱ, ϕ, ϑ)= ϱ cos ϑ, (9.6) přičemž DF =, ), π), π. Pak F se nazývá transformace do kulových (sférických) souřadnic. Rovnice transformují R 3 na množinu, ), π), π. Význam ϱ, ϕ, ϑ zachycuje následující Obrázek 9.6. Obr. 9.6: Kulové (sférické) souřadnice Věta 9.1. Transformace do kulových souřadnic má Jakobián J = J(ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ sin ϑ. Důkaz: J(ϱ, ϕ, ϑ) = cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ ϱ sin ϕ sin ϑ ϱ cos ϕ sin ϑ ϱ cos ϕ cos ϑ ϱ sin ϕ cos ϑ ϱ sin ϑ = ϱ cos ϕ sin 3 ϑ ϱ sin ϕ cos ϑ sin ϑ ϱ cos ϕ cos ϑ sin ϑ ϱ sin ϕ sin 3 ϑ = = = ϱ sin 3 ϑ(cos ϕ + sin ϕ) ϱ cos ϑ sin ϑ(sin ϕ + cos ϕ) = = ϱ sin 3 ϑ ϱ cos ϑ sin ϑ = ϱ sin ϑ(sin ϑ + cos ϑ) = ϱ sin ϑ. Příklad 9.13. Spočtěte trojrozměrný integrál x + y + z dxdydz, kde je určena vztahy x + y + + z 1, z. Řešení. Vztah x + y + z 1 určuje kouli o poloměru jedna se středem v počátku. Protože z je polokoule. Je-li oblast částí koule, je výhodné provést transformaci do kulových souřadnic. Zřejmě ϱ, 1, ϕ, π, ϑ, π. Transformací se oblast změní v kvádr =, 1, π, π. Podle Věty 9.3 o transformaci platí x + y + z dxdydz = (ϱ cos ϕ sin ϑ + ϱ sin ϕ sin ϑ + ϱ cos ϑ) ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ. Upravíme integrand a provedeme výpočet. Integrační obor je trojrozměrný interval a proto můžeme použít Dirichletovu větu 8. Navíc po úpravě je integrand ve tvaru součinu a proto použijeme její speciální verzi. Platí ϱ 4 sin ϑ dϱdϕdϑ = 1 π ϱ 4 dϱ dϕ π [ ϱ 5 sin ϑ dϑ = 5 ] 1 [ϕ] π [ cos ϑ] π = π 5. ÚM FSI VUT v Brně 35

1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text 1. Aplikace vícerozměrných integrálů Věta 1.1. Buď obsah rovinné oblasti R (obrazce). Pak S() = = dxdy. Věta 1.. Buď objem prostorové oblasti R 3 (tělesa). Pak V () = = dxdy. Věta 1.3. Buď f(x, y) spojitá funkce na oblasti R. Pak objem kolmého válce ohraničeného podstavou v rovině xy a plochou Gf je roven V (, f(x, y) ) = f(x, y)dxdy. Věta 1.4. Buďte f : R R, f x, f y spojité funkce na oblasti R. Pak obsah plochy S = Gf nad oblastí je roven S (, f(x, y) ) = S = 1 + (f x) + (f y) dxdy. Věta 1.5. Buď R oblast, ϱ(x, y) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Nechť m() označuje hmotnost dvojrozměrné oblasti. Pak platí m() = ϱ(x, y)dxdy. Věta 1.6. Buď R 3 oblast, ϱ(x, y, z) hustota v bodě [x, y, z], ϱ spojitá na. Nechť m() označuje hmotnost trojrozměrné oblasti. Pak m() = ϱ(x, y, z)dxdydz. ÚM FSI VUT v Brně 36

1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text Věta 1.7. Buď R oblast, ϱ(x, y) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Pak statické momenty rovinné oblasti vzhledem k souřadnicovým osám x, y jsou S x () = yϱ(x, y)dxdy, a pro těžiště T rovinné oblasti platí S y () = xϱ(x, y)dxdy T () = [ Sy () m(), S ] x(). m() Poznámka 1.8. Místo slova těžiště je lépe použít termínu hmotný střed. Uvedené vztahy platí totiž za předpokladu, že tíhové pole je homogenní. Věta 1.9. Buď R 3 oblast, ϱ(x, y, z) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Pak statické momenty oblasti vzhledem k souřadnicovým rovinám xy, xz, yz jsou S xy () = z ϱ(x, y, z)dxdydz, S xz () = y ϱ(x, y, z)dxdydz, S yz () = xϱ(x, y, z)dxdydz a pro těžiště T oblasti platí T () = [ Syz () m(), S xz() m(), S ] xy(). m() Věta 1.1. Buď R oblast, ϱ(x, y) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Pak kvadratické momenty (momenty setrvačnosti) oblasti vzhledem k osám x, y, z jsou I x () = y ϱ(x, y)dxdy, I y () = x ϱ(x, y)dxdy, I z () = I x () + I y (). ÚM FSI VUT v Brně 37

1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text Věta 1.11. Buď R 3 oblast, ϱ(x, y, z) hustota v bodě [x, y, z], ϱ spojitá na. Pak kvadratické momenty (momenty setrvačnosti) vzhledem k osám x, y, z jsou I x () = (y + z )ϱ(x, y, z)dxdydz, I y () = (x + z )ϱ(x, y, z)dxdydz, I z () = (x + y )ϱ(x, y, z)dxdydz. Příklad 1.1. Určete velikost povrchu plochy, která je grafem funkce f(x, y) = 1 x y. Řešení. Grafem funkce f(x, y) je horní polovina kulové plochy. Velikost povrchu Gf vypočteme ze vztahu Gf = 1 + (f x) + (f y) dxdy, kde oblast = Df je kruh x + y 1. Určíme parciální derivace. Platí f x = f y = x 1 x y, y 1 x y. Při výpočtu integrálu provedeme transformaci do polárních souřadnic. Oblast se změní v obdélník =, 1, π. Dostáváme Df = 1 + π = dϕ x 1 x y + y 1 x y dxdy = 1 ϱ dϱ 1 ϱ = t = 1 ϱ ϱdϱ = tdt 1 1 = π 1 1 x y dxdy = 1 1 t dt = π dt = π. t ϱ dϱdϕ 1 ϱ = Příklad 1.13. Spočtěte souřadnice těžiště tělesa : z 1 (x + y ). Hustota tělesa je konstantní a je rovna 1. Řešení. Těleso je ohraničeno dvěma plochami. Zdola rovinou z = a zhora paraboloidem z = 1 (x +y ). Vzhledem k tvaru tělesa je zřejmé, že x T = a y T =. Dopočítáme z T = Sxy() m(). Oblast transformujeme do válcových souřadnic. Platí ϱ, 1, ϕ, π, z, 1 ϱ. S xy () = z dxdydz = zϱ dϱdϕdz = 1 = ( π 1 ϱ(1 ϱ ) dϕ ) dϱ = π 1 1 ( π ( 1 ϱ ϱ ( 1 ϱ ) dϱ = π 6. zϱ dz ) ) dϕ dϱ = ÚM FSI VUT v Brně 38

1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text m() = dxdydz = ϱ dϱdϕdz = = 1 ( π ϱ ( 1 ϱ ) ) dϕ dϱ = π 1 Odtud plyne, že těžiště tělesa je bod T = [,, 1 3]. 1 ( π ( 1 ϱ ϱ dz ) ) dϕ dϱ = [ ϱ ϱ(1 ϱ ) dϱ = π ϱ4 4 ] 1 = π. ÚM FSI VUT v Brně 39