Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných integrálů prvního druhu x T = x d, y T = y d, z T = z d, kde = d je obsah plochy. Abychom našli příslušné plošné integrály, nejprve napíšeme parametrické rovnice dané plochy. Jestliže za parametry zvolíme souřadnice x a y, lze psát kde množina je dána nerovnostmi x = x, y = y, z = x y, x, y R, x >, y >, x y >. Ještě musíme v této parametrizaci najít element plochy d. Postupně dostaneme t x =,,, t y =,,, n = t x t y =,,, n = 3. Tedy pro souřadnice těžiště platí x T = x 3 dx dy, y T = y 3 dx dy, z T = x y 3 dx dy, kde = 3 dx dy. Ještě musíme najít dvojné integrály přes množinu. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu ve tvaru plyne z Fubiniovy věty = < y < x, x > = < x, x > = < x <, 3 dx dy = 3 3x dx dy = 3 dx 3y dx dy = 3 dx 3 x y dx dy = 3 dx A tedy souřadnice těžiště dané plochy jsou x dx x x x dy = 3 3 x dx =, x dy = 3 3 x x dx = 6, 3 3 y dy = x dx = 6, 3 x y dy = x dx = x T = y T = z T = 3. 3 6. počtěte d, kde je hranice čtyřstěnu ohraničeného rovinou x y z = a x y souřadnicovými rovinami. Typeset by AM-TEX
Řešení: Plocha je sjednocení čtyř rovin,, 3, 4, kde : x =, y >, z >, y z <, : y =, x >, z >, x z <, 3 : z =, x >, y >, x y <, 4 : z = x y, x >, z >, x y <, a hran čtyřstěnu. Protože hrany čtyřstěnu mají míru nula, lze daný integrál můžeme tedy počítat jako d x y = d x y Parametrizace jednotlivých ploch jsou d x y 3 d x y 4 : x =, y, z = { y >, z >, y z < } ; d = dy dz, : y =, x, z = { x >, z >, x z < } ; d = dx dz, 3 : z =, x, y 3 = { x >, y >, x y < } ; d = dx dy, 4 : z = x y, x, y 4 = { x >, y >, x y < } ; d = 3 dx dy, kde jsme element plochy d s parametrickými rovnicemi z = zx, y počítali podle vztahu d = z z dx dy, y d x y. resp. z analogických vztahů pro plochy dané rovnicí x = xy, z nebo y = yx, z. Z toho dostaneme d x y = dy dz y dx dz x 3 dx dy x y 4 3 dx dy x y. Dvojné integrály snadno nalezneme podle Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru x >, y >, x y < = < y < x, < x <. Když ještě sloučíme první a druhý a třetí a čtvrtý integrál, dostaneme d x y = = z dz z dy y 3 x dy dx x y = dz 3 x dx = 3 3 ln 4. = ln 3 ln = Určete obsah plochy = { x, y, z R 3 ; x y = z ; < z < }. Řešení: Protože je plocha dána rovnicí z = x y, < z = lze počítat element plochy ze vztahu d = z x y < = < x y < 4, z dx dy = x y y dx dy
a výpočet plochy převést na dvojný integrál = d = x y dx dy, kde R je dána nerovností x y < 4. Protože je kruh se středem v počátku a poloměrem, je při výpočtu dvojného integrálu použít polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Z rovnice, která definuje množinu plyne x y < 4 = < r <, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme = dr r r dϕ = π r [ r dr = π r ] 3/ = 3 π 5 5. 3 Určete obsah plochy = { x, y, z R 3 ; x y z = R, x y < Rx, z > }. Řešení: Jestliže se rozhodneme počítat obsah plochy plošným integrálem prvního druhu, musíme najít nějaké její parametrické rovnice. Protože je z >, lze z rovnice, která definuje plochu vypočítat z = zx, y a za parametry zvolit x a y. Pak je z = R x y, x, y = { x y < Rx, x y R }. Při této volbě parametrických rovnic je Obsah plochy tedy je d = z = kde množina R je dána nerovnostmi z dx dy = y d = R dx dy R x y, R dx dy R x y. x y < Rx, x y R. Abychom našli dvojný integrál přes množinu, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V těchto souřadnicích dostaneme z rovnic x y < Rx, x y R = < r < R cos ϕ, cos ϕ > = π ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto platí = π/ R cos ϕ dϕ Rr dr π/ [ R R r = ] R cos ϕ R r = π/ = R sin ϕ dϕ = π R. 3 π/ R sin ϕ dϕ =
Vypočtěte plošný integrál x y d, kde je hranice tělesa x y z. Řešení: Plocha je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení =, kde : x y = z, z < ; : z =, x y. Proto platí x y d = x y d x y d. Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = zx, y s parametry a a y: : z = x y, x, y = { x y < } ; d = dx dy, : z =, x, y = { x y < } ; d = dx dy, kde jsme element plochy d počítali ze vztahu d = z z dx dy. y Protože = a výraz x y je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál x y d = x y dx dy x y dx dy = x y dx dy. Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v polárních souřadnicích je množina dána nerovností < r <, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty počtěte x y d = dr r 3 dϕ = π. xy d, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }. Řešení: Protože máme plochu vyjádřenou jako graf funkce z = zx, y, vezmeme za parametry proměnné x a y a za parametrickou rovnici plochy budeme považovat funkci z = x y, < x y < ; d = z Takto můžeme daný plošný integrál vyjádřit jako dvojný integrál xy d = xy 4x 4y dx dy, 4 z dx dy = 4x y 4y dx dy
kde R je dána nerovností x y <. Ve dvojném integrálu se nabízí zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar r <, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty xy d = dr [ = 4 sin ϕ ] π/ r 3 cos ϕ sin ϕ 4r dϕ = 4 3 9 kde jsme při integraci použili substituci 4r = t. t t dt = 49 3, možná cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 4r dr = počtěte moment setrvačnosti J z = x y d plochy vzhledem k ose z, je-li plocha hranicí tělesa V = { x, y, z R 3 ; x y < z, < z < }. Řešení: Plocha je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení =, kde Proto platí : x y = z, < z < ; : z =, x y. J z = x y d = x y d x y d. Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = zx, y s parametry a a y: : z = x y, x, y = { x y < } ; d = dx dy, : z =, x, y = { x y < } ; d = dx dy, kde jsme element plochy d počítali ze vztahu d = z z dx dy. y Protože = a výraz x y je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál J z = x y dx dy x y dx dy = x y dx dy. Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v polárních souřadnicích je množina dána nerovností < r <, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty J z = dr r 3 dϕ = π. Určete d x y, kde = { x, y, z R 3 ; x y z =, x >, y >, z > }. 5
Řešení: Protože je plocha parametrizována jako graf graf funkce z = x y, kde x >, y > a z = x y >, zvolíme za parametry proměnné x a y a d = z Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál kde R je definována nerovnostmi Když zapíšeme tyto nerovnosti ve tvaru z dx dy = 3 dx dy. d 3 dx dy x y = x y, x >, y > a x y <. < y < x, x > = < x, x > = < x < a použijeme k výpočtu dvojného integrálu Fubiniovu větu, dostaneme Určete d x 3 dy x y = dx x y = 3 x 3 dx = ln 4. x y d, kde je část šroubové plochy dané parametricky rovnicemi: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ϕ; < ρ <, < ϕ < π. Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ϕ, ρ, ϕ = { < ρ <, < ϕ < π }, musíme najít element plochy d. Ten dostaneme takto: t ρ = cos ϕ, sin ϕ,, t ϕ = ρ sin ϕ, ρ cos ϕ, = n = t ρ t ϕ = sin ϕ, cos ϕ, ρ = = d = n dρdϕ = ρ dρdϕ. A protože ne ploše je x y = ρ, je plošný integrál roven dvojnému integrálu x y d = = π ρ ρ dρdϕ = dρ ρ ρ dϕ = ρ [ ρ dρ = π 3 ρ ] 3/ = π. 3 Určete xy yz xz d, kde je část kuželové plochy z = x y, která leží uvnitř válce x y < x. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, kde x, y, = { x, y R ; x y < x }, 6
najdeme element plochy d jako d = z Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál z dx dy = dx dy. xy xz yz d = xy x y x y dx dy. Dvojný integrál přes množinu lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože nerovnosti, které definují množinu jsou v souřadnicích r a ϕ x y < x = < r < cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty xy xz yz d = = 4 π/ π/ dϕ cos ϕ r cos ϕ sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r dr = cos 5 ϕ sin ϕ cos 4 ϕ sin ϕ cos 5 ϕ = 4 [ 6 cos6 ϕ 5 cos5 ϕ ] π/ π/ dϕ = 4 4 5 3 = 64. 5 Určete x y z d, kde = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > }. Řešení: Protože je podle zadání z >, lze plochu vyjádřit jako graf funkce Pak je element plochy z = R x y, x, y = { x, y R ; x y < R }. d = z z dx dy = a daný plošný integrál lze počítat jako dvojný integrál R dx dy R x y x y z d = x y R x y R dx dy R x y. Abychom našli dvojný integrál přes kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, 7
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x y z d = R Vypočtěte plošný integrál dr u sin v, z = v; < u < a, < v < π. r cos ϕ r sin ϕ R r Rr dϕ R R r = πr r dr = πr 3. x d, kde je dána parametrickými rovnicemi x = u cos v, y = Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi { x = u cos v, y = u sin v, z = v, u, v = u, v R ; < u < a, < v < π}, najdeme nejprve element plochy d takto: t u = cos v, sin v,, t v = u sin v, u cos v, = n = t u t v = sin v, cos v, u = = d = n dudv = u dudv. Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako x d = u cos v u dudv a podle Fubiniovy věty platí x d = a du u cos v u dv = [ 3 u ] 3/ a a 3/ =. 3 Vypočtěte plošný integrál z d, kde je část kuželové plochy x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α; < r < a, < ϕ < π, kde α, π je konstantní. Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi najdeme nejprve element plochy d takto: x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, r, ϕ = { r, ϕ R ; < r < a, < ϕ < π }, t r =cos ϕ sin α, sin ϕ sin α, cos α, t ϕ = r sin ϕ sin α, r cos ϕ sin α, = = n = r cos ϕ cos α sin α, r sin ϕ cos α sin α, r cos α sin α = = d = n drdϕ = r cos α sin α drdϕ. Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako z d = r cos α r cos α sin α drdϕ a podle Fubiniovy věty platí z d = cos 3 α sin α a dr 8 r 3 dϕ = πa4 cos 3 α sin α.
Najděte obsah části plochy az = xy, která leží uvnitř válce x y = a. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy ve tvaru z = xy a, x y < a. lze plochu chápat jako graf funkce z = zx, y. Proto je element plochy d roven d = z Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál = d = z dx dy = x y a x a dx dx = y dx dy. a a x y dx dy = a a a x y dx dy, kde je kruh x y < a. Abychom našli integrál pře kruh je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty < r < a a < ϕ < π, = a a dr a r r ddϕ = π a a r a r dr = π a [ 3 a r ] 3/ a = 3 πa. Najděte obsah části plochy z = x y, která leží uvnitř válce x y = x. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, kde x, y, najdeme element plochy d jako d = = { x, y R ; x y < x }, z Pak lze obsah plochy najít jako dvojný integrál = d = z dx dy = dx dy. dx dy. Dvojný integrál přes množinu lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože nerovnosti, které definují množinu jsou v souřadnicích r a ϕ x y < x = < r < cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, 9
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty = dϕ π/ cos ϕ r dr = cos ϕ dϕ = π. π/ Najděte obsah části plochy x y = az, která leží uvnitř válce x y = a x y, x. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy ve tvaru z = x y a, x, y = { x, y R ; x y < a x y, x }, lze plochu chápat jako graf funkce z = zx, y. Proto je element plochy d roven d = z Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál = d = z dx dy = x y a x a dx dx = y dx dy. a a x y dx dy = a a a x y dx dy. Abychom našli integrál pře množinu je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi r < a cos ϕ sin ϕ, cos ϕ = < r < a cos ϕ, cos ϕ, π ϕ π = = < r < a cos ϕ, 4 π ϕ 4 π. Proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty = a π/4 π/4 dϕ a cos ϕ a r r dr = a Když v posledním integrálu použijeme rovnost dostaneme = a 3 π/4 π/4 = a 3 π/4 [ π/4 π/4 π/4 3 a r ] 3/ a cos ϕ dϕ = cos ϕ 3/ dϕ. cos ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ = cos ϕ, [ cos 3 ϕ dϕ = a sin ϕ 3 3 sin3 ϕ ] π/4 ϕ = a 3π. π/4 8 Najděte obsah části kulové plochy s poloměrem R omezené dvěma poledníky ϕ, ϕ rovnoběžkami θ, θ. a dvěma
Řešení: Počátek souřadnic umístíme do středu kulové plochy. Pak jsou její parametrické rovnice x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Najdeme element obsahu plochy d: t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθdϕ = R cos θ dθdϕ. Protože je dána množina, kterou probíhají parametry ϕ a θ vztahy je obsah dané části kulové plochy = d = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, θ θ θ, θ dϕ R cos θ dθ = R ϕ ϕ sin θ sin θ. θ Najděte obsah anuloidu x = b a cos ψ cos ϕ, y = b a cos ψ sin ϕ, z = a sin ψ, ϕ π, ψ π, kde < a b. Řešení: Protože je anuloid dán parametrickými rovnicemi, určíme element plošného obsahu d: t ϕ = b a cos ψ sin ϕ, b a cos ψ cos ϕ,, t ψ = a sin ψ cos ϕ, a sin ψ sin ϕ, a cos ψ = = n = t ϕ t ψ = ab a cos ψ cos ψ cos ϕ, ab a cos ψ cos ψ sin ϕ, ab a cos ψ sin ψ = = d = n dϕ dψ = ab a cos ψ dϕ dψ. Protože parametry ϕ a ψ probíhají oba interval, π, je obsah anuloidu roven = d = dϕ ab a cos ψ dψ = 4π ab. Najděte hmotnost poloviny kulové plochy x y z M = [x; y; z] rovna ρx, y, z = z a. = a, z >, je-li její hustota v bodě Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu z M = ρx, y, z d = a d, protože v našem případě je ρ = z. Plocha je polovina kulové plochy a z = a x y, x, y = { x, y R ; x y < a }. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, lze najít element plošného obsahu jako d = z z dx dy = x y a y a x dx dy = y dx dy a x y.
Tedy hmotnost plochy je a x M = y a dx dy a a x y = protože množina je kruh s poloměrem a. dx dy = πa, Najděte statický moment xy = z d homogenní trojúhelníkové desky x y z = a, x, y, z. Řešení: Jestliže zvolíme za parametry x a y, pak lze plochu snadno parametrizovat jako graf funkce x = a y z, y, z, a y z. Pak je element plošného obsahu d roven d = y a plošný integrál lze zapsat jako dvojný integrál xy = z d = kde je množina R dána nerovnostmi dy dz = 3 dy dz z z 3 dy dz, z a y, y a. Jestliže při výpočtu dvojného integrálu použijeme Fubiniovu větu, dostaneme xy = a a y 3 a 3 3 dy z dz = a y dy = [ 3 a y3] a = 3 6 a3. Určete souřadnice těžiště homogenní plochy { = x, y, z R 3 ; Rz = h } x y, < z < h. Řešení: ouřadnice x T, y T a z T těžiště homogenní plochy lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů x T = x d, y T = y d, z T = z d, kde = d je velikost plochy. Protože je těleso symetrické vzhledem k rovinám yz a xz, tj. nezmění je při zaměně [x; y; z] [ x; y; z] a [x; y; z] [x; y; z] jsou jeho souřadnice x T = y T =. Obsah plochy a souřadnici těžiště z T najdeme pomocí integrálů. Protože je plocha dána jako graf funkce z = h R x y, < z < h = < x y < R, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu z z d = dx dy = h R h dx dy = dx dy. y R R
Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály = d = R h dx dy, R z d = h R h R x y dx dy, kde je kruh x y < R. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je v těchto souřadnicích dán kruh nerovnostmi dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty = d = < r < R a < ϕ < π, R h R z d = h R h R Tedy souřadnice těžiště daného tělesa jsou R dr R dr r dϕ = πr R h, r dϕ = 3 πrh R h. x T = y T =, z T = 3 h. Najděte souřadnici z T těžiště části homogenní plochy z = x y, která leží uvnitř plochy x y = ax. Řešení: ouřadnici z T těžiště homogenní plochy lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů z T = z d, kde = d je velikost plochy. Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, x y < ax, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu d = z z dx dy = dx dy. y Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály = d = dx dy, z d = x y dx dy, kde je množina x y < ax. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože je v těchto souřadnicích množina dána nerovnostmi < r < a cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, 3
dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty = dϕ π/ dϕ π/ a cos ϕ a cos ϕ r dr = r dr = 3 π/ π/ Tedy hledaná souřadnice těžiště je z T = 6 9π a. a cos ϕ dϕ = 4 πa, a 3 cos 3 ϕ dϕ = 3 a3[ sin ϕ 3 sin3 ϕ Určete moment setrvačnosti J z = x y d kulové plochy x y z = R. Řešení: Parametrické rovnice dané kulové plochy jsou = 4 π/ 9 a3. x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Najdeme element obsahu plochy d: t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθ dϕ = R cos θ dθ dϕ. Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme J z = x y d = ] π/ dϕ R cos θ R cos θ dθ = πr 4[ ] π/ sin θ 3 sin3 θ = 8 π/ π/ 3 πr4. Určete moment setrvačnosti J z = x y d plochy = { x, y, z R 3 ; Rz = h } x y, < z < h. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = h R x y, < z < h = < x y < R, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu d = z z dx dy = y h dx dy = R Pak můžeme převést plošný integrál prvního druhu na dvojný integrál J z = x y d = R h x y dx dy, R R h dx dy. R kde je kruh x y < R. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. 4
Protože je v těchto souřadnicích dán kruh nerovnostmi dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete J z = R h R < r < R a < ϕ < π, R dr r 3 dϕ = π R3 R h. d x y z, kde = { x, y, z R 3 ; x y = R, < z < h }. Řešení: Abychom našli daný plošný integrál prvního druhu, budeme nejprve parametrizovat plochu. Rovnice x y = R má parametrické řešení x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, kde ϕ π. Proto jsou parametrické rovnice plochy například x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = z, kde ϕ π, < z < h. Pro tuto parametrizaci musíme ještě najít element plošného obsahu d. Pro ten dostaneme t ϕ = R sin ϕ, R cos ϕ,, t z =,, = = n = t ϕ t z = R cos ϕ, R sin ϕ, = d = n dϕ dz = R dϕ dz. Protože ϕ π a < z < h je daný plošný integrál roven d x y z = h [ R dz dϕ R z = π arctg z ] h = π arctg h R R. tanovte hmotnost kulové plochy o poloměru R a středu v počátku, je-li hustota rozložení hmoty rovna ρx, y, z = x y. Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu M = ρx, y, z d = x y d, protože v našem případě je ρ = x y. Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy. Protože se jedné o kulovou plochu se středem v počátku a poloměrem R, můžeme zvolit parametrické rovnice jako x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Element obsahu plochy d je při této parametrizaci t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθ dϕ = R cos θ dθ dϕ. Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme M = x y d = dϕ R cos θ R cos θ dθ = πr 3 cos θ dθ = π R 3. π/ π/ 5
Určete x y z d, kde je hranice krychle,,,. Řešení: Povrch krychle je až na množinu dvojrozměrné míry nula roven disjunktnímu sjednocení jejich šesti stěn, tj. = 3 4 5 6, kde : x =, y, z,, =, : y =, x, z,, =, 3 : z =, x, y,, =, 4 : x =, y, z,, =, 5 : y =, x, z,, =, 6 : z =, x, y,, =, Tedy hledaný integrál je Určete x y z d = 6 x y z d = 3 k k= z d, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, kde x y z d = y z dy dz x y z d = x z dx dz x y z d = x y dx dy 3 x y z d = y z dy dz 4 x y z d = x z dx dz 5 x y z d = x y dx dy 6 z = x y, < z < = < x y <, x y dx dy 3 x y dx dy = 9. je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. V takovém případě je element obsahu plochy d dán vztahem z z d = dx dy = 4x y 4y dx dy Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál z d = x y 4x 4y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli dvojný integrál přes kruh zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar < r <, < ϕ < π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty z d = dϕ r 3 4r dr = π 6 5 t t dt = π 6 6 [ 5 t5/ 3 t3/] 5 = π 5 5, 6
kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = 4r. Najděte hmotnost části paraboloidu z = x y, z, jestliže je jeho hustota ρx, y, z = z. Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu M = ρx, y, z d = z d. Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, kde z = x y, z = x y, je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. plochy d dán vztahem d = z V takovém případě je element obsahu z dx dy = x y y dx dy Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál M = x y x y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli dvojný integrál přes kruh zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar < r <, < ϕ < π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty M = dϕ r r dr = π 3 t t dt = π kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = r. Určete F d, kde F = x, y, z a [ 5 t5/ 3 t3/] 3 = π 6 3, 5 = { x, y, z R 3 ; h x y = R z h, < z < h }. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Proto nejprve parametrizujeme plochu. Protože je z < h, plyne z rovnice, která definuje plochu z = h h R x y, < z < = < x y < R. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y je rozumné zvolit za parametry plochy proměnné x a y a psát parametrické rovnice plochy ve tvaru x = x, y = y, z = h h R x y, < x y < R. 7
V této parametrizaci spočítáme vektor normály k ploše. hx t x =,, R hy, t y =,, x y R = x y hx = n = t x t y = R x y, hy R x y, a skalární součin F n = Tedy hledaný plošný integrál je hx R x y hy R x y h h x y R = h. F d = h dx dy, kde je kruh x y < R. A protože jeho obsah je πr, je F d = πr h. Určete xz dx dy, kde je část roviny x y z =, která leží v prvním oktantu, x >, y > z >, orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, xz a plocha m8 rovnice z = x y, x >, y >, z = x y >. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y je rozumné ji parametrizovat pomocí proměnných x a y, tj. položit x = x, y = y, z = x y, x >, y > x y <. Při této parametrizaci najdeme vektor normály. Postupně dostaneme t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Normála první složku kladnou, tj.,,,, = >, a tedy orientuje plochu souhlasně se zadanou orientací. A protože n F = xz = x x y, je xz dx dy = kde množina R je dána nerovnostmi Tedy podle Fubiniovy věty je xz dx dy = dx x x y dx dy, < y < x, < x <. x x x y dy = x x dx = 4. 8
Určete y dy dz z dz dx, kde = { x, y, z R 3 ; x z =, x y < } Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = y, z,. Protože plocha má rovnici xz =, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = x, x y <. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože je daný plošný integrál roven F n = y, y dy dz z dz dx = y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli tento dvojný integrál, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete y dy dz z dz dx = x dy dz y dz dx z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; je orientovaná tak, že n,, >. dr r sin ϕ dϕ =. x } a y b z c =, x >, y > Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = x, y, z. Protože je plocha částí elipsoidu, budeme ji parametrizovat pomocí souřadnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Z nerovností x > a y > plyne x >, y > = π < θ < π, < ϕ < π. Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. 9
Protože její první složka n = n,, = bc cos θ cos ϕ >, je zvolená parametrizace plochy souhlasná se zadanou orientací. A protože je hledaný plošný integrál roven Určete x dy dz y dz dx z dx dy = F n = abc cos θ, dϕ abc cos θ dθ = πabc. π/ xy dy dz yz dz dx xz dx dy, kde je část roviny x 3y z = 6, která leží v prvním oktantu, x >, y >, z >, a je orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = xy, yz, xz. Protože plocha má rovnici x 3y z = 6, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = 6 x 3y, x >, y >, z = 6 x 3y > = = x >, y >, x 3y < 6. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, 3 = n = t x t y =, 3,. Protože je první složka této normály n = n,, = >, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = xy 3y6 x 3y x6 x 3y = 6x 8y x 7xy 9y, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál xy dy dz yz dz dx xz dx dy = 6x 8y x 7xy 9y dx dy, kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete x >, y >, x 3y < 6 = < y < 6 x, < x < 3. 3 xy dy dzyz dz dxxz dx dy = F d, kde F =,, xz a Orientaci volte tak, že n,, >. 3 dx 3 x/3 = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > }. 6x8y x 7xy 9y dy = 63 4. snad Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o polokouli, lze použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu
definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = zx, y = R x y. Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako x = x, y = y, z = R x y, x y < R. Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu t x =,, x, t y =,, R x y y = R x y x = n = t x t y = R x y, y R x y,. Protože její třetí složka n 3 = n,, = >, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = x R x y, je F d = x R x y dx dy, kde R je kruh x y < R. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete F d = R dr r cos ϕ R r r dϕ =. yz dy dz xz dz dx xy dx dy, kde je část roviny x y z = a, která leží v prvním oktantu, x >, y >, z >, orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = yz, xz, xy. Protože plocha má rovnici x y z = a, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = a x y, x >, y >, z = a x y > = = x >, y >, x y < a. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože je první složka této normály n = n,, = >, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = ya x y xa x y xy = ax ay x xy y, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál yz dy dz xz dz dx xy dx dy = ax ay x xy y dx dy,
kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete x >, y >, x y < a = < y < a x, < x < a. yz dy dz xz dz dx xy dx dy = y dy dz z dz dx x dx dy, kde Orientaci volte tak, že n,, >. a dx a x = { x, y, z R 3 ; x y = z, < z < h }. ax ay x xy y dy = a4 8. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = y, z, x. Ještě musíme najít parametrické rovnice plochy. Ty lze získat pomocí cylindrických souřadnic nebo tak, že vyřešíme rovnici, která definuje plochu, tj. napíšeme z = x y a plochu budeme parametrizovat jako graf funkce. Zvolím druhý postup. Za parametry vyberu proměnné x a y a parametrické rovnice budou x = x, y = y, z = x y, < z = x y < h = < x y < h. Pro tuto parametrizaci najdeme normálu t x =,, x, t y =,, x y y = n = t x t y = x y x x y, y x y,. Protože je třetí složka normály n 3 = n,, = >, orientuje tato normála plochu souhlasně se zadanou orientací. A protože xy F n = x y y x, je hledaný plošný integrál roven dvojnému integrálu y dy dz z dz dx x xy dx dy = x y y x dx dy, kde R je kruh x y < h. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < h a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty y dy dz z dz dx x dx dy = = h h dr r cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ r dϕ = πr 3 dr = π 4 h4.
Určete x y z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; x y z = 4, x >, y >, z > } orientovaná tak, že normála má kladné složky. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, x y z. Protože plocha má rovnici x y z = 4, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = 4 x y, x >, y >, z = 4 x y > = = x >, y >, x y < 4. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože tato normála má všechny složky kladné, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = 4, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál x y z dx dy = kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete 4 dx dy, x >, y >, x y < 4 = < y < 4 x, < x < 4. x dy dz y dz dx, kde orientovaná tak, že n,, >. x y z dx dy = 4 dx 4 x 4 dx dy = 3. = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > } Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y,. Najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o polokouli, lze k její parametrizaci použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = zx, y = R x y. Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako x = x, y = y, z = R x y, x y < R. Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu t x =,, x, t y = R x y,, y = R x y x = n = t x t y = R x y, y R x y,. 3
Protože její třetí složka n 3 = n,, = >, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože x y F n = R x y, je x dy dz y dz dx = x y dx dy, R x y kde R je kruh x y < R. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty x dy dz y dz dx = R dϕ r 3 dr R R r = π kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = R r. Určete x dy dz y dz dx z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; x y =, < z < }, R t t / dt = 4 3 πr3, která je orientovaná tak, že normála má pro x > a y > první složku kladnou. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y, z. Najdeme parametrické rovnice plochy. To je nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic, kdy dostaneme parametrické rovnice Normála v těchto souřadnicích je x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = z, < ϕ < π, < z <. t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,. Protože pro x > a y > je < ϕ < π, dostali jsme orientaci souhlasnou s požadovanou orientací. A protože F n = cos ϕ sin ϕ =, je hledaný plošný integrál roven x dy dz y dz dx z dx dy = dϕ dz = π. Určete dy dz y dx dz, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, x y < } orientovaná tak, že n,, >. 4
Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =, y,, protože dx dz = dz dx. Plocha je dána jako graf funkce z = zx, y = x y. Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x, y = y, z = x y, x y <. V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše : t x =,, x, t y =,, y, n = t x t y = x, y,. Protože je třetí složka této normály n 3 = >, dává tato orientace plochy požadovanou orientaci. A protože F n = x y, lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu dz dy y dz dx = x y dx dy,, kde je kruh x y <. Integrál přes kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi < r <, < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete dz dy y dz dx = z dx dy, kde = dr { x, y, z R 3 ; která je orientovaná tak, že třetí složka normály je kladná. r cos ϕ r sin ϕ r dϕ = πr 3 dr = π. x } a y b z c = R, z >, Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, z. Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, je výhodné parametrizovat plochu pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Z nerovnosti z > pak plyne Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je sin θ > = < ϕ < π, < θ < π. t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. Protože pro θ, π je její třetí složka kladná, definuje tato normála orientaci plochy souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = abc sin θ cos θ, 5
je plošný integrál dán dvojným integrálem z dx dy = Z Fubiniovy věty pak dostaneme Určete z dx dy = dθ z dx dy x y dz dx, kde která je orientovaná tak, že n,, >. abc sin θ cos θ dϕ dθ. abc sin θ cos θ dϕ = πabc [ = πabc 3 sin3 θ = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }, sin θ cos θ dθ = ] π/ = 3 πabc. Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =, x y, z. Plocha je dána jako graf funkce z = zx, y = x y. Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x, y = y, z = x y, z = x y <. V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše : t x =,, x, t y =,, y, n = t x t y = x, y,. Protože je třetí složka této normály n 3 = >, dává tato orientace plochy požadovanou orientaci. A protože F n = yx y x y = x xy 3y, lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu z dx dy x y dz dx = x xy 3y dx dy. kde je kruh x y <. Integrál přes kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi < r <, < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete z dx dy x y dz dx = = 4 dϕ xz dy dz x y dz dx y z dx dy, kde r cos ϕ r cos ϕ sin ϕ 3r sin ϕ r dr = cos ϕ sin ϕ dϕ = π. = { x, y, z R 3 ; x y =, x >, y >, < z < } 6
orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = xz, x y, y z. Najdeme parametrické rovnice plochy. To je v našem případě nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic. Z nich dostaneme x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = z, < ϕ < π, z R. Z podmínek x >, y >, < z < = < ϕ < π, < z <. Odpovídající normála v těchto souřadnicích t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,, má na množině x >, tj. cos ϕ >, první složku kladnou, a tedy orientuje plochu souhlasně se zadanou orientací. Protože F n = z cos ϕ cos ϕ sin ϕ, je hledaný plošný integrál = xz dy dz x y dz dx y z dx dy = cos ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ = dϕ z cos ϕ cos ϕ sin ϕ dz = 3 cos ϕ cos 4 ϕ dϕ = 3 π 3 4 π = 3π 6. Vypočtěte plošný integrál y b z c =. dy dz x dz dx y dx dy, kde je vnější strana elipsoidu x z a Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = x, y, z. Protože integrujeme přes elipsoid, je výhodné parametrizovat plochu pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. Protože například v bodě [a; ; ], kterému odpovídají hodnoty parametrů ϕ = θ =, je normála n = bc,,, a tedy směřuje vně elipsoidu, odpovídá tato orientace zadané orientaci. A protože F n = bc a cos θ ac b ab cos θ c cos θ = a b a c b c abc cos θ, je plošný integrál dán dvojným integrálem dy dz x dz dx y dx dy a b a c b c = z abc 7 cos θ dϕdθ.
Z Fubiniovy věty pak dostaneme dy dz x dz dx y dx dy = a b a c b c z abc = 4π a b a c b c abc. dϕ cos θ dθ = π/ Vypočtěte plošný integrál x dy dz y dz dz z dx dy, kde je vnější strana kulové plochy x a y b z c = R. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. V daném případě je δv V div F = x y z a V je koule x a y b z c < R. Proto je x dy dz y dz dx z dx dy = x y z dx dy dz. V Integrál přes kouli V najdeme třeba pomocí sférických souřadnic. Protože jde o kouli se středem = [a; b; c], zvolíme souřadnice x = a r cos θ cos ϕ, y = b r cos θ sin ϕ, z = c r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. A protože je koule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x dy dz y dz dx z dx dy = = R Určete dr dθ π/ < r < R, π < θ < π, < ϕ < π, a b c r cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ r cos θ dϕ = 8 πa b c. 3 xz dy dzxy dz dxyz dx dy, kde je hranice čtyřstěnu x >, y >, z >, xyz <, která je kladně orientovaná, tj. normála směřuje vně. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V 8
V daném případě je div F = z x y a V je čtyřstěn x >, y >, z > a x y z <. Proto je xz dy dz xy dz dx yz dx dy = x y z dx dy dz. Integrál přes čtyřstěn najdeme pomocí Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru Podle ní je počtěte integrál < z < x y, < y < x, < x <. xz dy dz xy dz dx yz dx dy = fd, kde fx, y, z = x, y, z a V x dx dy x y x y z dz = 8. = { x, y, z R 3 ; x y z = a, x >, y >, z > }, kde normála má všechny složky kladné. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o část kulové plochy se středem v počátku a poloměrem a, jsou její parametrické rovnice a z nerovností x = a cos θ cos ϕ, y = a cos θ sin ϕ, z = a sin θ, π < θ < π, < ϕ < π x >, y > z > = < θ < π, < ϕ < π. Zbývá ještě najít odpovídající rovnice normály. Ty jsou t ϕ = a cos θ sin ϕ, a cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, a sin θ sin ϕ, a cos θ = = n = t ϕ t θ = a cos θ cos ϕ, a cos θ sin ϕ, a cos θ sin θ. Protože v oboru hodnot parametrů θ a ϕ jsou složky této normály kladné, zadává tato normála orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože f n = a 3 cos 3 θ cos ϕ a 3 cos 3 θ sin ϕ a 3 cos θ sin θ = a 3 cos θ, je daný plošný integrál fd = dϕ a 3 cos θ dθ = π a3. Vypočtěte integrál x dy dz z dx dy, kde je kladně orientovaná hranice krychle D = { x, y, z R 3 ; x, y, z }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x,, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V 9
V daném případě je div F = x z a V je krychle < x <, < y < a < z <. Tedy platí a podle Fubiniovy věty je Vypočtěte integrál x dy dz z dx dy = x z dx dy dz V x dy dz z dx dy = dx dz x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy, kde která je orientovaná tak, že n,, >. x z dy =. = { x, y, z R 3 ; x y z =, z }, Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x 3, y 3, z 3 je spojitě diferencovatelná funkce. Kdyby byla plocha hranicí nějakého tělesa V, mohli bychom použít Gaussovu větu. Plocha je polovina kulové plochy x y z =, z. Jestliže plochu uzavřeme plochou, která je dána rovnicí z =, x y, dostaneme hranici polokoule V, na kterou již lze použít Gaussovu větu. Ta dává F d = F d F d = div F dx dy dz. V Protože je plocha kruh v rovině z = je její normála n =,,, a tedy ploše platí Proto je a platí Protože je F n = x 3, y 3,,, =. F d = F d = V div F dx dy dz. div F = 3 x y z, x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy = 3 x y z dx dy dz. V Pro výpočet integrálu přes polokouli V použijeme sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. A protože je polokoule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi < r <, < θ < π, < ϕ < π, 3
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy = 3 dϕ cos θ dθ r 4 dr = 6 5 π. Poznámka: Podobné doplnění plochy na uzavřenou plochu lze použít i v některých dalších příkladech, ale nechtěl jsem to komplikovat. Vypočtěte integrál fd, kde f = x, y, z a je kladně orientovaná hranice tělesa D = { x, y, z R 3 ; x y, z }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu fd, kde f = x, y, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je fd = div f dx dy dz. V daném případě je δv V div f = z a V je část válce x y <, < z <. Proto je fd = z dx dy dz. Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. V x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Vypočtěte integrál < r <, < ϕ < π, < z <, fd = dϕ dr z r dz = 3π. xz dy dz xy dz dx yz dx dy, kde je kladně orientovaná hranice tělesa D = { x, y, z R 3 ; x y R, z h, x, y }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V V daném případě je div F = z x y 3
a těleso V je část válce x y < R, x >, y >, < z < h. Proto je xz dy dz xy dz dx yz dx dy = x y z dx dy dz. Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Vypočtěte xz dy dzxy dz dx yz dx dy = = h dz R < r < R, < ϕ < π, < z < h, h dz R r πz r dr = dr h V r cos ϕ r sin ϕ z r dϕ = 3 R3 4 πr z dz = hr 4 6R 3πh. fd, kde f = x, y, z a je část kuželové plochy x y = z, < z < h, která je orientovaná tak, že n,, <. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Aby se mi snadno počítala normála, budu ji parametrizovat jako graf funkce z = zx, y = x y, tj. za parametry zvolím proměnné x a y. Parametrické rovnice pak jsou x = x, y = y, z = x y, < z = x y < h. V těchto souřadnicích je odpovídající normála x t x =,,, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. Ale protože je její třetí složka n 3 = >, definuje opačnou orientaci plochy než je požadovaná orientace. Protože f n = x3 y 3 x y x y, je x 3 y 3 fd = x y x y dx dy, kde je kruh x y < h. Integrál přes tento kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je kruh dán v polárních souřadnicích nerovnostmi < r < h a < ϕ < π, plyne z věty o substituci a Fubiniovy věty, že platí fd = h dr r cos 3 ϕ r sin 3 ϕ r r dϕ = π 3 h r 3 dr = π h4.
Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi yj zk stěnou kuželové plochy x y = z, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = x, y, z a plocha je dána vztahem x y = z, z h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu. To lze snadno udělat pomocí cylindrických souřadnic nebo tím, že plochu parametrizujeme jako graf funkce z = zx, y = x y. Abych dostal jednoduchý výpočet normály, zvolím druhý způsob. Parametry pak budou proměnné x a y a parametrické rovnice x = x, y = y, z = x y, z = x y h. Pro normálu při této volbě parametrizace dostaneme x t x =,,, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. A protože je v n = x y x y x y =, je tok vektoru v plochou roven Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi xzj xyk boční stěnou válce x y a, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = yz, xz, xy a plocha je dána vztahem x y = a, z h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu. Tu lze snadno najít pomocí válcových souřadnic a dostaneme x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = z, < ϕ < π, < z < h. Normála v těchto souřadnicích je t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,. A protože je je v n = a z sin ϕ cos ϕ a z sin ϕ cos ϕ = a z cos ϕ sin ϕ, Φ = h dz a z cos ϕ sin ϕ dϕ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi xzj xyk povrchem válce x y a, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = yz, xz, xy a plocha je povrch válce x y a, z h. Protože je plocha hranice tělesa V, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu vd = div v dx dy dz. V 33
V našem případě je a tedy to vektoru v povrchem válce je div v =, Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi yj zk plochou z = x y, z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x, y, z a plocha je kuželová plocha dána rovnicí z = x y, z. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, použijeme jako parametry proměnné x a y. Parametrické rovnice plochy jsou v takovém případě x = x, y = y, z = x y, z = x y = x y. Odpovídající normála je t x =,, x, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. A protože skalární součin v n = x y x y x y =, je tok vektoru v plochou dán dvojným integrálem Φ = dx dy, kde je kruh x y <. Poslední integrál je obsah tohoto kruhu, a tedy Φ = π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x i y j z k částí kulové plochy x y z =, která leží v prvním oktantu, tj. x, y, z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x, y, z a plocha je část kulové plochy x y z =, x, y, z. Abychom mohli použít k výpočtu integrálu Gaussovu větu, uzavřeme plochu čtvrtkruhy x, y a z se středem v počátku a poloměrem, kde x : x =, n x,,, v n x = x = = vd =, x y : y =, n y,,, v n y = y = = vd =, y z : z =, n z,,, v n z = z = = vd =. z Protože x y z = δv, 34
kde V je osmina koule x y z <, x, y, z >, je podle Gaussovy věty vd = vd = div v dx dy dz. Protože δv V div v = x y z, je tok roven Φ = x y z dx dy dz. V Trojný integrál přes osminu koule V najdeme nejsnáze pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. Naše osmina koule V je v těchto souřadnicích dána nerovnostmi < r <, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Φ = = = dθ dθ dϕ r 3 cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos θ dr = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos θ dϕ = cos θ π sin θ cos θ dθ = π π = 3 4 8 π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yi zj xk povrchem čtyřstěnu, který je omezen rovinami x y z = a, x =, y = a z = a >. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = y, z, x a plocha je hranice čtyřstěnu V, který je definován nerovnostmi x >, y >, z > a x y z < a. Protože plocha = δv je hranicí čtyřstěnu V můžeme pro výpočet plošného integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je Φ = vd = div v dx dy dz. A protože pro dané vektorové pole v je je jeho tok povrchem čtyřstěnu δv V div v =, Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x 3 i y 3 j z 3 k kulovou plochou x y z = z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x 3, y 3, z 3 a plocha je hranice koule V definované nerovností x y y < z, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je Φ = vd = div v dx dy dz. 35 V
Divergence daného vektorového pole je a tedy div v = 3 x y y, Φ = 3 x y z dx dy dz. V Trojný integrál přes kouli V najdeme pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je koule dána nerovnostmi < r < sin θ, < ϕ < π = sin θ > = < θ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Φ = 3 dθ sin θ dr = 6 5 π sin 5 θ cos θ dθ = π 5. r 4 cos θ dϕ = 6π dθ sin θ r 4 cos θ dr = 36