Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše Samková, Ph.D. České Budějovice
Jihočeská univerzita Pedagogická fakulta Zadání diplomové práce Autor: Eva Kutová Studijní program: M57 Učitelství pro střední školy Studijní obor: Učitelství matematiky a výpočetní techniky Název závěrečné práce: Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Garantující pracoviště katedra matematiky Vedoucí práce: RNDr. Libuše Samková, Ph.D. Datum zadání závěrečné práce: 6.. 8 Datum odevzdání závěrečné práce: 6.. i
Prohlášení Prohlašuji, že svoji diplomovou práci jsem vypracovala samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených v seznamu citované literatury. Prohlašuji, že v souladu s 7b zákona č. /998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své diplomové práce, a to v nezkrácené podobě elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným ustanovením zákona č. /998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na odhalování plagiátů. V Českých Budějovicých dne podpis ii
Anotace KUTOVÁ, EVA. Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů České Budějovice: Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity,. Práce obsahuje řešení příkladů aplikované matematiky. Zahrnuje příklady na geometrické aplikace teorie dvojných a trojných integrálů, tj. výpočet obsahů, objemů, hmotnosti a souřadnic těžiště. Každý příklad je podrobně vyřešen a doplněn o obrázek. Příklady jsou řazeny dle obtížnosti. Klíčová slova: dvojný integrál, trojný integrál, obsah, objem, hmotnost, souřadnice těžiště, polární souřadnice, cylindrické souřadnice, sférické souřadnice. iii
Annotation KUTOVÁ, Eva. Applied mathematics - a digest of solved problems. České Budějovice: Pedagogical faculty, This thesis contains solutions to chosen problems of applied mathematics. It comprises examples related to geometrical applications of the double and triple integrals theory, ie calculation methods of areas, volumes, mass and coordinates of gravity centres. Each problems solution is described in detail and supplemented with a picture. The problems are arranged according to complexity. Keywords: double integral, triple integral, area, volume, mass, centre of gravity coordinates, polar coordinates, cylindrical coordinates, spherical coordinates. iv
Poděkování Děkuji především vedoucí práce paní RNDr. Libuši Samkové, Ph.D. za cenné rady a připomínky při psaní této diplomové práce. v
Obsah Úvod Dvojný integrál - výpočet obsahu. Výpočet obsahu bez užití transformace.................. Výpočet obsahu pomocí transformace do polárních souřadnic..... 6. Výpočet obsahu pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic.................................... Výpočet obsahu pomocí substituce................... 6 Dvojný integrál - výpočet objemu. Výpočet objemu bez užití transformace.................. Výpočet objemu pomocí transformace do polárních souřadnic..... Výpočet objemu pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic................................... 9. Výpočet objemu pomocí substituce................... 5 Dvojný integrál - výpočet hmotnosti 55. Výpočet hmotnosti bez užití transformace............... 55. Výpočet hmotnosti pomocí transformace do polárních souřadnic... 6. Výpočet hmotnosti pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic................................. 65 Dvojný integrál - výpočet souřadnic těžiště 68. Výpočet souřadnic těžiště bez užití transformace............ 68. Výpočet souřadnic těžiště pomocí transformace do polárních souřadnic 8 vi
. Výpočet souřadnic těžiště pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic............................. 87 5 Trojný integrál - výpočet objemu 9 5. Výpočet objemu bez užití transformace................. 9 5. Výpočet objemu pomocí transformace do cylindrických souřadnic.. 5. Výpočet objemu pomocí transformace do sférických souřadnic.... 5 5. Výpočet objemu pomocí substituce................... 8 6 Trojný integrál - výpočet hmotnosti 6. Výpočet hmotnosti bez užití transformace............... 6. Výpočet hmotnosti pomocí transformace do cylindrických souřadnic. 6. Výpočet hmotnosti pomocí transformace do sférických souřadnic... 9 7 Trojný integrál - výpočet souřadnic těžiště 7. Výpočet souřadnic těžiště bez užití transformace............ 7. Výpočet souřadnic těžiště pomocí transformace do cylindrických souřadnic................................... 5 7. Výpočet souřadnic těžiště pomocí transformace do sférických souřadnic56 Literatura 6 vii
Seznam obrázků. y = x, x =, y = 5x............................ xy =, y = x............................... 5. xy =, y =, x = y, x =...................... 6. y =, y = x, y = 8, y =....................... 7 x.5 y arcsin x, y x, y........................ 8.6 y = x +, y = x +........................ 9.7 y x, y x, y x.......................8 elipsa s poloosami a, b...........................9 (x ) + y =, x + (y ) =.................... x 9 + y a x + y......................... 5. (x ) + y =, x + (y ) =................... 7. Bernoulliho lemniskáta.......................... 9. (x + y ) = (x y ), x + y.................... Elipsa s poloosami a, b...........................5 xy =, xy =, y = x, y = x, x, y.............. 7.6 u =, u =, v =, v =........................ 8.7 y = x, y = x, x = y, x = y, x, y............ 9.8 u =, u =, v =, v =......................... y = x, x + z = 6, y =, z =, x................. y = x, x = y, z = + y x...................... y = x, x = y................................ y = x, x + y + z =, y =, z =................... 5.5 y = x, y =............................... 5 viii
.6 x = 6 5y, y = x, z 9...................... 7.7 x = 6 5y, y = x............................ 7.8 x =, y =, z =, x =, y =, z = x + y +........... 9.9 x =, y =, z =, x + y =, z = y............... z = xy, x + y = x, z =........................ x + z =, y + z =.......................... x =, y =, osa prvního kvadrantu y = x............... x + y = x, x + y = x, x + y = z................. 5. x + y = x, x + y = x........................ 5.5 e x y = z, x + y =, z =...................... 7.6 z = e y x y+x, x + y =............................ 5.7 r, ϕ............................. 5.8 v =,v = u, v = u........................... 5. y = sin x, pro x......................... 56. y e x, y e x, y e.......................... 58. Obdélník se stranami a, b........................ 59. Trojúhelník omezený přímkou x + y = a osami souřadnicovými... 6.5 Mezikruží o poloměrech a b.................... 6.6 Elipsa se středem v počátku....................... 66. x + y =, y =, x =........................ 7. Zobrazení těžiště............................. 7. y = x +, y = x +........................ 7. Zobrazení těžiště............................. 7.5 y = x x,y = x............................ 7.6 Zobrazení těžiště............................. 7.7 x y, y.......................... 7 x.8 Zobrazení těžiště............................. 76.9 x =, y =, y = x........................... 76. Zobrazení těžiště............................. 78. x + y =, y = x +, y =....................... 78 ix
. Zobrazení těžiště............................. 8. x + y =, y = x............................ 8. Zobrazení těžiště............................. 8.5 x + y =,x + y =, y = x...................... 8.6 Zobrazení těžiště............................. 86.7 x =, y =, x + y =........................ 88.8 Zobrazení těžiště............................. 89.9 x + y =, y =, x =........................ 9. Zobrazení těžiště............................. 9 5. z 9, y x a x y..................... 9 5. y x a x y........................... 9 5. x + y, x + y + z 6, z.................... 9 5. x + y =................................ 95 5.5 x + y =................................ 95 5.6 z, z x, y........................ 96 5.7 z =, z = x, y........................ 97 5.8 z x + y, z x + y, y x, y x, y............ 97 5.9 y = x, y = x, y =........................... 98 5. z = y, z = y, y =, y =....................... 98 5. z = x + y, z = x + y, y = x a y = x............... 99 5. y = x a y = x............................... 5. z = y, z = y.............................. 5. z = x + y, z = x + y......................... 5.5 z = y, z = y.............................. 5.6 z y +, z x, x + y, y x, x............ 5 5.7 x + y =, y = x, x =........................ 6 5.8 z =, z = x, x =, x =....................... 6 5.9 z = y +, z =, y =......................... 7 5. x + y + z, x + y + (z )................. 8 5. y + z, y + (z )...................... 9 5. x + y + z, x + y + (z )................. x
5. y + (w + ), y + (w ).................. 5. z = (x ) + y a z = ( x)..................... 5.5 z = (x ) a z = ( x)....................... 5.6 x + y + z =, x + y + z =, x + y = z............ 6 5.7 y + z =, y + z =, y = z..................... 7 5.8 (x + y + z ) = (x + y )....................... 8 5.9 (x + z ) = x.............................. 9 5. (x + y + z ) = x + y z...................... 5. (x + z ) = x z............................ 5. (x + y + z ) = z (x + y )....................... 5. (x + z ) = x z............................ 5 5. x + y + z, x + y + (z )................. 6 5.5 z = x + y, z = (x + y ), xy =, xy =, x = y, y = x..... 9 5.6 w = u+uv, z = u+uv, u =, u =, v =, v =........... v v 6. x + y + z = a, x =, y =, z =.................... 6. Válec s poloměrem podstavy R a výškou h............... 6. Válec s poloměrem podstavy R a výškou h............... 5 6. x + y = x, x + y = z, z =.................... 7 6.5 Koule s poloměrem R........................... 6.6 x + y + z = a x + y + z =................... 7. z, y x, z y.......................... 5 7. Těžiště tělesa............................... 6 7. y a z y x....................... 7 7. Těžiště tělesa............................... 8 7.5 y = x, y = x, z =, x + z = 6................... 8 7.6 y = x, y = x, z =, x = 6..................... 9 7.7 Těžiště tělesa............................... 5 7.8 z, z (x + y )........................... 5 7.9 Těžiště tělesa............................... 5 7. z = x + y, z =......................... 5 xi
7. Těžiště tělesa............................... 55 7. x + y + z 9, z x + y..................... 57 7. Těžiště tělesa............................... 59 7. Koule s poloměrem j a středem S=[,,]............... 6 7.5 Těžiště tělesa............................... 6 xii
Úvod Cílem mé diplomové práce bylo vytvořit sbírku řešených příkladů na aplikaci dvojných a trojných integrálů. Práce je určena studentům učitelství matematiky, kteří jsou již seznámeni s problematikou dvojného a trojného integrálu a rozšiřují si tyto znalosti o jejich aplikace. Těžištěm diplomové práce je vybrání vhodných zadání příkladů z různých zdrojů, vyřešení a srozumitelné vysvětlení řešení. Zejména byly použity zdroje [], [] a []. Práce je obsahově rozdělena na sedm kapitol, z obecnějšího pohledu se ale zabývá dvěma základními oblastmi, a sice problematikami aplikace dvojných integrálů na jedné straně, a aplikacemi trojných integrálů na straně druhé. První oblast je z hlediska návodů i vysvětlení řešení příkladů zpracována podrobněji. Obsahuje kapitoly zabývající se výpočtem objemů těles, obsahů, hmotností a souřadnic těžišť rovinných ploch. Druhá oblast je rozdělena na kapitoly zaměřené na výpočet objemů, hmotností a souřadnic těžišť těles. Ostatní aplikace, jako jsou např. moment setrvačnosti, potenciál tíhového pole atd., jsem do sbírky nezahrnula, neboť se domnívám, že pro studenty nefyzikální oborů jsou tyto pojmy méně známé. Každá kapitola je dále rozčleněna na podkapitoly podle způsobu užití transformací souřadnic. Ve sbírce jsou užité teoretické návody, které obsahují pouze teorii potřebnou k výpočtu příkladů. Při sestavování návodů jsem vycházela z literatury [], []. Příklady jsou řazeny podle obtížnosti. U některých příkladů je uvedeno více různých způsobů řešení, čímž chci docílit většího pochopení a širšího náhledu na tuto problematiku. Každý příklad je podrobně vysvětlen a doplněn obrázky. Na obrázky se často odkazuji, aby došlo u studenta k reálnějšímu pohledu na řešení a jeho pochopení, nikoli pouze ke slepému dodržování postupu při výpočtu. U cílových výpočtů integrálů jsou popsány podrobné postupy. Objevují se tam ale i příklady, u kterých jsem podrobnou integraci přeskočila; jedná se o integraci
funkcíf(x) = a x a g(x) = x a x. Proto jsem u prvního výskytu tohoto integrálu uvedla na konci příkladu poznámku, obsahující přesný výpočet neurčitého integrálu daného typu; dále je pak vždy uváděn odkaz na tuto poznámku. V příkladech zaměřených na výpočet hmotnosti jsem zařadila i příklady, u nichž musíme nejdříve určit funkční předpis hustoty. Většinu příkladu jsem čerpala z literatury [] a []. Práce je vysázená systémem Latex, konkrétně v online programu TexOnWeb. Obrázky jsou vytvořeny v programech OpenOffice. Draw (v příkladech.,.,.5,.6), GeoGebraD Beta (příklad 6.) a Maple 9.5 (ostatní). Obrázky zobrazující těžiště jsou upravovány v programu Gimp.
Kapitola Dvojný integrál - výpočet obsahu. Výpočet obsahu bez užití transformace Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Obsah plochy Ω je dán vzorcem S = dxdy. Dá-li se množina Ω napsat pomocí intervalů s proměnlivou spojitou mezí, Ω např. Ω = {[x, y]; x a, b, y g(x), h(x) }, potom S = Ω b h(x) dxdy = dy dx. a g(x) Analogicky, dá-li se množina Ω napsat jako Ω = {[x, y]; x g(y), h(y), y c, d }, potom S = Ω d h(y) dxdy = dx dy. c g(y)
Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x, x = a y = 5x. Řešení Oblast pro výpočet obsahu je omezena přímkami y = x, x = a y = 5x, viz obrázek. (vyšrafovaná část). Obrázek.: y = x, x =, y = 5x Meze x-ové souřadnice určuje průsečík osy prvního kvadrantu (přímka y = x) a přímky y = 5x, x-ová souřadnice tohoto průsečíku je x =, a přímka x =. Dolní mez y-ové souřadnice určuje osa kvadrantu a horní mez přímka y = 5x. Výpočet obsahu obrazce: S = 5x x dy dx = [y] 5x x dx = (5x x)dx = [ x ] = = Obsah obrazce je S = j.
Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy = a y = x. Řešení Oblast pro výpočet obsahu je část hyperboly y = protnutá přímkou x+y 5 =, x viz obr.. (vyšrafovaná část). Obrázek.: xy =, y = x Pro určení mezí x-ové souřadnice musíme nalézt průsečíky ramene hyperboly a přímky. Řešíme rovnici x = 5 x a odtud dostáváme x = a x =. Dolní mezí y-ové souřadnice je hyperbola y =, horní mezí je přímka y = 5 x. x Výpočet obsahu dané oblasti: S = 5 x x dy dx = = 8 ln 6 5 + [y] 5 x x dx = ( 5 x ) [ ] dx = 5x x ln x dx = x + ln = 5 8 ln Obsah obrazce je S = ( 5 8 ln ) j. 5
Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy =, y =, x = y a x =. Řešení Rovinný obrazec je omezen částí hyperboly y = x, částí paraboly y =, osou y x a přímkou y =, viz obrázek. (vyšrafovaná část). Obrázek.: xy =, y =, x = y, x = Výpočet obsahu plochy musíme rozdělit na dvě části. K tomu, abychom si tyto části určili, potřebujeme určit průsečíky daných funkcí. Průsečíkem funkcí y = a xy = je x = a průsečíkem funkcí xy = a x = y je x =. Jedna část obrazce je tedy určena intervaly x, a y, x, druhá část obrazce je určena intervaly x ; a y, x. Výpočet obsahu první části obrazce: x S = dy dx = [y] x ( ) [ dx = x dx = x x 6 Výpočet obsahu druhé části obrazce: x S = dy dx = [y] x dx = x x = ln 8 6 ln + 6 = ( ln 7 6 ] = 6 = 6 ( ) [ ] x x dx = ln x x = 6 ) Obsah rovinného obrazce je součet obou obsahů S a S, S = S + S = 6 + ln 7 6 = ( + ln ) j 6
Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami y =, y = x, y = 8 a y =. x Řešení Oblast pro výpočet obsahu obrazce je omezena přímkami y = 8 a y = x, dále pak částí hyperboly y =, viz obrázek.. x Obrázek.: y =, y = x, y = 8, y = x Pokud bychom ponechali obvyklé pořadí integrace, tedy konstantní meze by určovala proměnná x, oblast bychom rozdělili na dvě části a každou část museli spočítat zvlášĺľ. Proto je u tohoto typu příkladu výhodnější přehodit pořadí integrace. Krajní meze y-ové souřadnice oblasti získáme jako y-ové souřadnice průsečíku hyperboly y = x a přímky y = 8. Řešíme rovnici x = 8, odtud y =. Pro proměnnou y jsme získali interval ; 8. Pak proměnná x je v mezích x = y a x = y. Výpočet obsahu obrazce: 8 S = dx dy = [y] y dy = y 8 y y = 8 ln 8 + ln = 5 ln ( y ) [ ] y 8 dy = y 8 ln y = Obsah rovinného obrazce je S = 5 ln j. 7
Příklad.5 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami y arcsin x, y x a y. Řešení Obrazec je omezený částí paraboly y = x, funkcí y = arcsin x a přímkou y, viz obrázek.5. Obrázek.5: y arcsin x, y x, y V tomto případě je vhodné přehodit integraci proměnných. Pokud bychom nechali za konstantní meze meze proměnné x, počítali bychom obsah dvou částí obrazce. Z obrázku (.5) je patrné, že y. Meze pro proměnnou x určíme z nerovnic: y arcsin x, sin y x, y x y x (za předpokladu x a y ) odtud získáváme sin y x y Výpočet obsahu obrazce: S = y sin y = dx dy = Obsah obrazce je S = j. [x] y sin ydy = ( ) [ ] y sin y dy = y + cos y 8 =
Příklad.6 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x + a y = x +. Řešení Oblast pro výpočet obsahu je průnikem dvou parabol, viz obrázek.6. Obrázek.6: y = x +, y = x + Pokud zanecháme konstantní meze proměnné x, musíme výpočet obsahu rozdělit na dvě části. Proto je výhodnější zvolit za konstantní meze meze proměnné y. Navíc je obrazec symetrický dle osy x, takže můžeme počítat obsah pouze pšlky obrazce a ten pak zdvojnásobit. Dolní mez proměnné y určuje osa x, tedy y =. Horní mezí je y-ová souřadnice průsečíku obou parabol v prvním kvadrantu. Řešíme rovnici y =. Výpočet obsahu: S = = y y dx dy = ( 6 ) = [x] y dy = y Obsah obrazce omezeného parabolami je S = j. ( 6 y )dy = y = y, odtud [ 6y y ] = 9
Příklad.7 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami y x, y x a y x. Řešení Rovinný obrazec je omezen zdola křivkou y = x a shora křivkami y = x a y = x, viz obrázek.7 (vyšrafovaná část). Obrázek.7: y x, y x, y x Výpočet obsahu tohoto obrazce musíme rozdělit na dvě části. První část oblasti obrazce je od průsečíku křivky y = x s křivkou y = x, druhá oblast probíhá od osy y po průsečík křivek y = x a y = x. Řešíme rovnice x = x x = x Z rovnic dostaneme x-ové souřadnice průsečíky,tj. x = a x =. Výpočet obsahu první části obrazce: S = x x = + = dy dx = [y] x x dx = (x x + )dx = [ x + x ] =
Výpočet obsahu druhé části obrazce: S = x x dy dx = = + = [y] x x dx = ( x x + )dx = [ x + x ] = Obsah rovinného obrazce je součet obou obsahů S a S, S = S + S = + = ( + ) j. Příklad.8 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného elipsou s poloosami a, b. Řešení Oblast pro výpočet obsahu je ohraničena elipsou s rovnicí x + y a b.8 (vyšrafovaná část). =, viz obrázek Obrázek.8: elipsa s poloosami a, b Pro výpočet obsahu obrazce stačí, budeme-li integrovat pouze přes část, která leží v prvním kvadrantu. Obsah této části poté vynásobíme čtyřikrát. Za konstantní meze vezmeme meze proměnné x, kterým je interval ;. Meze proměnné y jsou dány osou x a rovnicí elipsy, tedy interval ; b. x a
Čtvrtinový obsah obrazce vypočítáme S = = b a a b x a a dy dx = a x dx = b a a [y] b x a a dx = b [ x a x + a arcsin x a Obsah obrazce ohraničeného elipsou je S = ab = abj. a (a x )dx = ] a = b a (a ) = ab Poznámka: Řešení integrálu v tomto příkladu je pracné a výhodnější je použít substituci pomocí zobecněných polárních souřadnic, viz příklad (.). Poznámka: V příkladě řešíme integraci funkce f(x) = a x. Postup řešení neurčitého integrálu tohoto typu: a x dx = Použijeme metodu per partes: u = a x v = x u = a x v = x = x a x + = x a x + x a x dx = ( x a x a a x + a a x ) dx = = x x a a x + a x dx + a a x = = x a x a x dx + a arcsin x a nyní integrál z pravé strany přičteme k integrálu z levé strany: a x dx = x a x + a arcsin x a a x dx = x a x + a arcsin x a
Příklad.9 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami (x ) + y = a x + (y ) =. Řešení Hledaným obsahem je průnik dvou kružnic, přičemž jedna má střed v bodě [;] a druhá v bodě [;], obě kružnice mají stejný poloměr, viz obrázek.9. Obrázek.9: (x ) + y =, x + (y ) = Nejdříve si určíme konstantní meze proměnné x, což jsou x-ové souřadnice průsečíky daných kružnic. Řešíme rovnici ( x ) = + x. Po výpočtu dostaneme x = a x =. Vzhledem k tomu, že obě kružnice mají stejný poloměr, je průnik symetrický vzhledem k přímce y = x. Získáváme tedy integrační oblast ; x x; ( x ). Výpočet poloviny obsahu obrazce: (x ) S = dy dx = (x ) [y] x dx = = x (x ) dx xdx ( ) (x ) x dx = Použijeme substituci: x = t dx = dt
Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy: x = t = = x = t = [ x t dt ] [ t = t + ] arcsin t = Obsah rovinného obrazce je S = ( ) = ( ) j. Poznámka: Tento příklad můžeme řešit pomocí transformace do polárních souřadnic. Viz příklad (.). Poznámka: V příkladě řešíme integraci funkce f(x) = a x. Postup řešení neurčitého integrálu tohoto typu je vyřešen v poznámce na straně. Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného nerovnicemi x 9 + y a x + y. Řešení Oblast pro výpočet obsahu je část paraboly x 9 + y = vyťatá přímkou x + y =, viz. obr.. (vyšrafovaná část). Za konstantní meze zvolíme meze proměnné x, což jsou x-ové souřadnice průsečíky přímky x + y = s osami x, y, tj. x. Proměnné meze vyjádříme z rovnice přímky a elipsy, tedy 6 x y 9 x. Výpočet obsahu rovinné plochy: S = 9 x 6 x dy dx = = [ x 9 x + 9 arcsin x [y] 9 x 6 x dx = ( 9 x + x ) dx = ] x x + = ( 9 9 + 9 ) = Obsah obrazce je j.
Obrázek.: x 9 + y a x + y Poznámka: Postup řešení tohoto příkladu nás vede na integraci funkce typu f(x) = a x. Příklad lze řešit i jinými způsoby. Jedním z nich je tranformace na zobecněné polární souřadnice, viz příklad.5. Nebo substitucí proměnných na nové proměnné u = x a v = y, tím se zbavíme nepříjemných úprav zlomky, ale dostaneme se opět k integraci výše zmíněné funkce. Poznámka: V příkladě řešíme integraci funkce f(x) = a x. Postup řešení neurčitého integrálu tohoto typu je ukázán v poznámce na straně. 5
. Výpočet obsahu pomocí transformace do polárních souřadnic Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Polární souřadnice jsou dány předpisem: x = r cos ϕ y = r sin ϕ, kde r, ϕ,. Najdeme Ψ, ), tak, že každému bodu (r, ϕ) Ψ je tímto předpisem jednoznačně přiřazen bod (x, y) Ω. Jakobišv determinant této transformace má tvar cos ϕ r sin ϕ J = = r. sin ϕ r cos ϕ Pak obsah plochy Ω je dán vzorcem S = Ψ rdrdϕ. Poznámka: Transformaci do polárních souřadnic je vhodné zavést většinou tehdy, když Ω je kruh, mezikruží nebo kruhová výseč se středem v počátku. Pak Ψ bude obdélník a nový integrál bude mít konstantní meze. 6
Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami (x ) + y = a x + (y ) =. Řešení Hledaným obsahem je obsah průniku dvou kružnic, přičemž jedna má střed v bodě [;] a druhá v bodě [;], obě kružnice mají stejný poloměr, viz obrázek.. Obrázek.: (x ) + y =, x + (y ) = Oblast hledaného obsahu je symetrická dle osy prvního a třetího kvadrantu (přímky y = x), proto stačí vypočítat pouze polovinu obsahu. Použijeme transformace do polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Jakobián této transformace je J = r. Dosazením transformovaných souřadnic do nerovnice určující integrační oblast získáváme: r x + (y ) = r r r sin ϕ r sin ϕ 7
Pohybujeme se pouze v prvním kvadrantu a z podmínky r sin ϕ plyne ϕ. Výpočet poloviny obsahu obrazce: S = sin ϕ rdr dϕ = [ ] r sin ϕ = sin ϕdϕ = cos ϕ dϕ = Použijeme substituci: ϕ = t dϕ = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy: ϕ = t = ϕ = t = = cos t dt = [t sin t] = ( ) Obsah rovinného obrazce je S = ( ) = ( )j. Poznámka: Tuto úlohu jsme již řešili v příkladě.9. Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkou (x + y ) = (x y ). Řešení Máme vypočítat obsah Bernoulliho lemniskáty, která je zadaná rovnicí (x + y ) = (x y ), viz obr... Lemniskáta je symetrická dle soustavy souřadné, takže pro zjištění obsahu nám stačí spočítat obsah plochy v prvním kvadrantu a ten pak zčtyřnásobit. Pro tento příklad je vhodné zavést transformaci do polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ a jakobián transformace je J = r. 8
Obrázek.: Bernoulliho lemniskáta Pohybujeme-li se v prvním kvadrantu, pak dolní mez pro proměnnou r je r =. Horní mez zjistíme z nerovnice ( x + y ) ( x y ) po dosazení nových proměnných získáme r r ( cos ϕ + sin ϕ ) r cos ϕ r cos ϕ odtud můžeme určit meze pro proměnnou ϕ cos ϕ a pro první kvadrant tedy platí cos ϕ ϕ, ϕ,. Výpočet čtvrtiny obsahu lemniskáty: 9
S = cos ϕ dr dϕ = [ ] ϕ cos ϕ dr = cos ϕdϕ = Použijeme substituci: ϕ = t dϕ = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy: ϕ = t = ϕ = t = = cos tdt = [sin t] = Obsah Bernoulliho lemniskáty zadané rovnicí (x + y ) = (x y ) je S = = j. Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami (x + y ) = (x y ) a x + y. Řešení V předchozím příkladě počítáme obsah Bernoulliho lemniskáty, která je zadaná rovnicí (x + y ) = (x y ). Nyní oblast pro výpočet obsahu máme omezenou kružnicí s poloměrem j a středem v počátku souřadnicového systému, viz obr... Tento příklad opět budeme řešit pomocí transformace do polárních souřadnic, takže si zavedeme transformaci x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, kde jakobián transformace je J = r. Pak pro proměnnou r platí: r r ( cos ϕ + sin ϕ )
Obrázek.: (x + y ) = (x y ), x + y r cos ϕ r cos ϕ x + y r r a zároveĺ z nerovnice z toho vyplývá r cos ϕ Tak jako v předchozím příkladě, budeme i zde pro zjednodušení budeme počítat pouze tu část obrazce, která leží v prvním kvadrantu. Pro meze proměnné ϕ platí cos ϕ Výpočet čtvrtiny obsahu obrazce: S = 6 cos ϕ rdr dϕ = cos ϕ ϕ, ϕ, 6 6 [ ] r cos ϕ dϕ = 6 ( cos ϕ ) dϕ =
= 6 cos ϕdϕ [ϕ] 6 = Použijeme substituci: ϕ = t dϕ = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy: ϕ = t = = ϕ = 6 t = cos tdt = [sin t] = Obsah obrazce je S = ( ) = j.
. Výpočet obsahu pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Zobecněné polární souřadnice jsou dány předpisem: kde x = ar cos ϕ y = br sin ϕ (a, b jsou konstanty), r, ϕ,. Najdeme Ψ, ), tak, že každému bodu (r, ϕ) Ψ je tímto předpisem jednoznačně přiřazen bod (x, y) Ω. Jakobišv determinant této transformace má tvar a cos ϕ ar sin ϕ J = = abr. b sin ϕ br cos ϕ Pak obsah plochy Ω je dán vzorcem S = Ψ abrdrdϕ.
Příklad. ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného elipsou s poloosami a, b. Řešení Protože v tomto případě je obrazce ohraničen elipsou (obrázek.), bude výhodné použít substituci pomocí zobecněných polárních souřadnic x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ. Jakobián této transformace je a cos ϕ J = b sin ϕ ar sin ϕ br cos ϕ = abr. Obrázek.: Elipsa s poloosami a, b V transformovaném zobrazení má elipsa x a + y b = rovnici r =. Pro výpočet obsahu obrazce stačí, budeme-li integrovat pouze přes část, která leží v prvním kvadrantu. Obsah této části poté vynásobíme čtyřikrát. Dosazením substituce do nerovnice x a + y b a za podmínky x a y dostáváme r, ϕ.
Výpočet čtvrtinového obsahu obrazce omezeného elipsou [ ] S = abrdr r dϕ = ab dϕ = ab dϕ = ab [ϕ] = ab Obsah obrazce ohraničeného elipsou je S = ab = abj. Poznámka: Tuto úlohu jsme již řešili v příkladě.8. Příklad.5 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného nerovnicemi x 9 + y a x + y. Řešení Oblast pro výpočet obsahu je část paraboly x 9 + y = vyťatá přímkou x + y =, viz. obr.. (vyšrafovaná část). Tento příklad můžeme řešit pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic. Toto řešení zpočátku vypadá snadno, protože díky transformaci proměnných na x = r cos ϕ a y = r cos ϕ po dosazení do nerovnice x + y 9 vyjde r. Ovšem po dosazení do nerovnice x + y dostáváme r, což nás dožene cos ϕ+sin ϕ opět k nesnadnému řešení integrálu. Jakobián této transformace je cos ϕ r sin ϕ J = = 6r. sin ϕ r cos ϕ Situaci na obrázku. můžeme popsat i tak, že obsah obrazce je rozdíl obsahu čtvrtky elipsy a trojúhelníku, jehož odvěsny leží na souřadnicových osách. Délky odvěsen známe a obsah trojúhelníku je tedy j. Obsah části elipsy vypočítáme pomocí dvojného integrálu: [ ] S = 6 rdr r dϕ = 6 dϕ = [ϕ] = Obsah obrazce je S = ( )j. Poznámka: Tuto úlohu jsme již řešili v příkladě.. 5
. Výpočet obsahu pomocí substituce Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Zobecněná transformace je dána předpisem: x = g(u, v) y = h(u, v), Najdeme Ψ R R tak, že každému bodu (u, v) Ψ je tímto předpisem jednoznačně přiřazen bod (x, y) Ω. Přičemž funkce g a h a jejich parciální derivace jsou v Ψ spojité. Jakobišv determinant této transformace má tvar J = Pak obsah plochy Ω je dán vzorcem g u h u g v h v. S = Ψ J dudv, kde J je absolutní hodnota Jakobiova determinantu. 6
Příklad.6 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy =, xy =, y = x, y = x a zároveĺ x, y. Řešení Obrazec je omezen hyperbolami y = x a y = x obr..5 (vyšrafovaná část). a přímkami y = x a y = x, viz Obrázek.5: xy =, xy =, y = x, y = x, x, y Pro výpočet obsahu daného obrazce je třeba integrační oblast rozdělit na dvě části. Příklad tak vede na výpočet dvou dvojných integrálů. Příklad si můžeme zjednodušit volbou vhodné transformace. Zavedeme nové proměnné pomocí soustavy xy = u y x = v Hyperboly xy = a xy = ze systému souřadného xy se zobrazí na přímky u = a u = v systému souřadném uv. Přímky y = x a y = x se zobrazí na přímky v = a v =. Plocha se zobrazí na obdélník, viz. obrázek.6. Při zavedení nových proměnných je třeba vyjádřit si proměnné x a y pomocí u a v ze soustavy, která přísluůnou transformaci proměnných zavádí u x = v y = uv 7
Obrázek.6: u =, u =, v =, v = Vypočítáme jakobián zobrazení J = u uv v v u u v = v pro v ; Zvolené zobrazení je vzájemně jednoznačné, protože jakobián je nenulový. Funkce x = u v a y = uv a jejich parciální derivace jsou spojité. Výpočet obsahu obrazce: S = v dv du = [ ln v ] du = ln [u] = ln Obsah obrazce je S = ln j. 8
Příklad.7 ([]) Vypočtěte obsah omezeného rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x, y = x, x = y, x = y a zároveĺ x, y. Řešení Obrazec je omezen parabolami y = x, y = x, x = y, x = y a zároveň leží v prvním kvadrantu, viz obr..7 (vyšrafovaná část). Obrázek.7: y = x, y = x, x = y, x = y, x, y Pokud bychom integrovali podle proměnných x a y, museli bychom integrovanou oblast rozdělit na tři části a počítat tři dvojné integrály. Zavedeme si vhodnou transformaci, která nám zjednoduší výpočet. Nové proměnné soustavy x y = u y x = v Paraboly y = x, y = x, x = y, x = y se zobrazí na přímky v =, v =, u =, u =. Plocha se zobrazí na obdélník, viz obrázek.8. Při zavedení nových proměnných je třeba vyjádřit si proměnné x a y pomocí u a v ze soustavy, která přísluůnou transformaci proměnných zavádí x = u v y = uv 9
Obrázek.8: u =, u =, v =, v = Vypočítáme jakobián zobrazení J = uv v u v u v u uv u v u v = Zvolené zobrazení je vzájemně jednoznačné, protože Jakobián je nenulový. Funkce x = u v a y = uv a jejich parciální derivace jsou spojité. Výpočet obsahu obrazce: S = dv du = ( )( ) = Obsah obrazce je S = j.
Kapitola Dvojný integrál - výpočet objemu. Výpočet objemu bez užití transformace Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Objem válcovitého tělesa, které je omezeno shora plochou z = f(x, y), zdola plochou z = a z boků přímou válcovou plochou, která vymezuje v rovině xy množinu Ω, se rovná V = f(x, y)dxdy. Ω Dá-li se množina Ω napsat pomocí intervalů s proměnlivou spojitou mezí, např. Ω = {[x, y]; x a, b, y g(x), h(x) }, potom V = Ω b h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx. a g(x) Analogicky, dá-li se množina Ω napsat jako Ω = {[x, y]; x g(y), h(y), y c, d }, potom V = Ω d h(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy. c g(y)
Příklad. ([]) Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami y = x, x + z = 6, y =, z = a x. Řešení Plocha x +z = 6 je válcová plocha, jejíž osa je totožná s osou y. Roviny y = x, y =, z = v ní protínají klín, jehož objem máme vypočítat, viz obrázek.. Obrázek.: y = x, x + z = 6, y =, z =, x Těleso je ohraničené shora plochou x + z = 6, odtud dostáváme integrační funkci f(x, y) = 6 x. Integrační obor v rovině z = je omezen rovnicemi y = a y = x a podmínkou x. Meze proměnné x jsou x = a x =. Meze proměnné y jsou dány z rovin y = a y = x. Výpočet objemu tělesa: V = x 6 x dy dx = [y] x 6 x dx = x 6 x dx = Použijeme substituci: 6 x = t xdx = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy: x = t = 6
x = t = = 6 tdt = t 6 = ( 6 6 ) = Objem tělesa je V = 6 j. Příklad. ([]) Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami y = x, x = y a z = + y x. Řešení Těleso je tvořeno průnikem dvou parabolických válcových ploch y = x, x = y a shora omezeno rovinou z = + y x, viz obrázek.. Obrázek.: y = x, x = y, z = + y x Integrační funkcí je funkce f(x, y) = + y x, což je zadaná rovina z = + y x. Parabolické válcové plochy y = x, x = y vytvoří v rovině z = dvě paraboly, jejichž průnik je integrovaná oblast. Z obrázku. jsou patrné meze pro proměnnou x, tj. x. Meze proměnné y vyjádříme z rovnic y = x a x = y, tedy x y x.
Obrázek.: y = x, x = y Výpočet objemu tělesa: V = = = x x ( ( ) + y x dy dx = [ x + x x 5 x x + x 8x x + x 7 7 x x5 + x5 5 Objem tělesa je V = 569 j. y + y x y ) dx = ] x x dx = = + 7 + 5 = 569
Příklad. ([]) Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami y = x, x + y + z =, y = a z =. Řešení Rovina x+y +z = omezuje zadané těleso shora, parabola y = x, přímka y = a rovina z = tvoří podstavu tělesa, viz obrázek.. Obrázek.: y = x, x + y + z =, y =, z = Obrázek.5: y = x, y = Na obrázku.5 vidíme, že podstavou tělesa je parabola y = x protnutá přímkou y =. Meze proměnné y jsou dány y-ovou souřadnicí vrcholu paraboly a přímkou 5
y =, tj. x y. Konstantní meze proměnné x jsou x-ové souřadnice průsečíků dané paraboly a přímky, tj. x. Integrační funkcí v tomto případě je funkce f(x, y) = x y. Poznámka: Může se zdát, vzhledem k sudosti paraboly y = x a přímky y =, že postačí vypočítat pouze polovinu objemu a ten pak zdvojnásobit. V tomto případě nelze, neboť rovina x+y +z = není sudá. Proto musíme integrovat v celém rozsahu integrační oblasti. Výpočet objemu tělesa: V = = x ( = 68 5 Objem tělesa je V = 68 5 j. ( x y) dy dx = [ ) x x + x + x y xy y dx = ] x dx = [ ] 7x x x + x + x5 6
Příklad. ([]) Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami x = 6 5y, y = x a z 9. Řešení Průnikem parabolických válcových ploch x = 6 5y, y = x vzniká klín, jehož objem máme vypočítat. Výška tělesa je dána nerovnicí z 9, viz obrázek.6. Obrázek.6: x = 6 5y, y = x, z 9 Obrázek.7: x = 6 5y, y = x 7
Integrační funkci určíme z nerovnice z 9. To znamená, že podstava tělesa leží v rovině z = a těleso je shora omezené rovinou z = 9. Proto integrační funkce je funkce f(x, y) = 9 dxdy. Za konstantní meze je výhodnější použít meze proměnné y. Kdybychom použili meze proměnné x, museli bychom integrovanou oblast rozdělit na dvě části, je to patrné na obrázku.7. Meze proměnné y jsou y-ové souřadnice průsečíků parabol x = 6 5y, y = x. Řešíme rovnici y = 6 5y, odtud y = a y =. Proměnné meze jsou dány rovnicemi obou parabol, tj. y x 6 5y. Výpočet objemu tělesa: V = 6 5y y 9dx dy = Použijeme substituci: 6 5y = t 5dy = dt [9x] 6 5y y dy = 9 ( 6 5y y ) dy = Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy: = 9 6 y = t = 6 y = t = t 5 dt 9 y dy = 9 5 = 6 ( 6) ( + 8) = 5 5 Objem tělesa je V = 5 j. t [ ] y 9 = 6 8
Příklad.5 ([]) Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami x =, y =, z =, x =, y = a z = x + y +. Řešení Hledáme objem kolmého hranolu, shora ohraničeného paraboloidem z = x + y +, se čtvercovou podstavou v rovině z =, ohraničenou přímkami x =, x =, y = a y =, viz obrázek.8. Obrázek.8: x =, y =, z =, x =, y =, z = x + y + Integrovanou funkcí je funkce f(x, y) = x + y +, neboť je horním ohraničením hranolu. Integrační meze pro obě proměnné x, y jsou konstantní, od do. Výpočet objemu tělesa: V = = [ x ( x + y + ) dy dx = [ x y + y + y ] 6x + x + = 56 56 + 6 + = 56 Objem hranolu je V = 56 j. ] dx = (x + + 6 )dx = 9
Příklad.6 ([]) Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami x =, y =, z =, x + y = a z = y. Řešení Těleso je tvořeno trojúhelníkovou podstavou a je shora omezeno válcovou plochou z = y, viz. obrázek.9. Obrázek.9: x =, y =, z =, x + y =, z = y Podstavu tělesa tvoří trojúhelník s odvěsnami osou x a osou y a přeponou, která je zadaná rovnicí x + y =. Za konstantní meze vezmeme meze proměnné x. Dolní mez je určena osou y, tj. x =. Horní mez je x-ovou souřadnicí průniku přímky x+y = a osy x. Řešíme rovnici x = a odtud dostáváme x = 6. Dolní mez proměnné y je určena osou x. Horní mez vyjádříme z rovnice x + y =, tedy y = x Výpočet objemu: V = = 6 6 x 6 (. Integrovanou funkcí je funkce f(x, y) = y. y dy dx = 6 x + 6x 6 [ y = 6 96 + 576 9 7 = 6 Objem tělesa je V = 6j. ] x dx = 6 6 ( x ) dx = ) 8x dx = [ ] 6 6x 6x + 6x x = 7 6 9 7
Příklad.7 ([]) Vypočítejte objem tělesa ležícího v prvním oktanu ohraničeného plochami z = xy, x + y = x a z =. Řešení Těleso leží v prvním oktanu a je shora omezené hyperbolickým paraboloidem z = xy, zdola rovinou z =, viz obrázek.. Obrázek.: z = xy, x + y = x, z = Integrovanou funkcí je funkce f(x, y) = xy. Hranice integračního oboru je určena polokružnicí x +y = x, kde y. Určíme-li si za konstantní meze meze proměnné x, pak integrace bude probíhat na intervalu ;. Meze proměnné y určuje osa x a kružnice x + y = x. Po vyjádření dostáváme y (x ). Výpočet objemu tělesa: V = = (x ) [ x + x xy dy dx = ] Objem tělesa je V = j. = ( 6 [ ] xy (x ) dx = ) = ( x + x ) dx =
Příklad.8 ([]) Užitím dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa ležícího v prvním oktanu (x, y, z ) a omezeného plochami x + z = a y + z =. Řešení První rovnice ze zadání je válcovou plochou, jejíž osa je totožná se souřadnicovou osou y. Druhá rovnice opět představuje válcovou plochu s osou x. Počítáme-li v prvním kvadrantu, musíme oblast, která vznikla protnutím válcových ploch, ohraničit kladnými polorovinami x =, y =, z =. Vznikne těleso se čtvercovou podstavou, shora omezené zadanými plochami, viz obrázek.. Obrázek.: x + z =, y + z = Z obrázku. je patrné, že pokud těleso rozpůlíme dle osy kvadrantu (tedy přímky x = y), je jedna polovina tělesa shora omezená plochou x +z = a druhá y +z =. Obě tyto poloviny jsou symetrické, proto nám stačí vypočítat pouze objem jedné poloviny tělesa a vynásobit jej dvěma. Pro výpočet použijeme plochu x + z =. Z ní vyjádříme proměnnou z a dostaneme z = x. Meze proměnných x a y vyjádříme z hraničních rovnic integrační oblasti y = a y = x. Za konstantní meze můžeme vzít meze proměnné x, tj. x. Pak proměnná y je v mezích y = a y = x, tj. y x.
Obrázek.: x =, y =, osa prvního kvadrantu y = x Pro polovinu hledaného objemu platí V = x x dxdy = [ x y x ] dx = x x dx = Použijeme substituci: x = t xdx = dt xdx = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy x = t = = x = t = [ tdt = x ] = Tudíž celý objem tělesa je V = j.
. Výpočet objemu pomocí transformace do polárních souřadnic Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Polární souřadnice jsou dány předpisem: x = r cos ϕ y = r sin ϕ, kde r, ϕ,. Najdeme Ψ, ), tak, že každému bodu (r, ϕ) Ψ je tímto předpisem jednoznačně přiřazen bod (x, y) Ω. Jakobiův determinant této transformace má tvar cos ϕ r sin ϕ J = = r. sin ϕ r cos ϕ Objem válcovitého tělesa, které je omezeno shora plochou z = f(x, y), zdola plochou z = a z boků přímou válcovou plochou, která vymezuje v rovině xy množinu Ω, se rovná V = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. Ψ
Příklad.9 ([]) Užitím dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa omezeného plochami x + y = x, x + y = x a x + y = z. Řešení Válcové plochy x + y = x, x + y = x, tvořící podstavu tělesa, se promítnou do roviny z = na dvě kružnice, přičemž jedna z kružnic leží uvnitř druhé. Shora těleso omezuje paraboloid x + y = z, viz obrázek.. Obrázek.: x + y = x, x + y = x, x + y = z Obrázek.: x + y = x, x + y = x 5
Těleso je symetrické dle osy x, proto můžeme počítat pouze polovinu objemu, který pak zdvojnásobíme. V tomto příkladě použijeme transformaci proměnných do polárních souřadnic. Tedy x = r cos ϕ, y = r sin ϕ a Jakobián transformace je J = r. Z obrázku. je patrné, že meze proměnné r jsou určeny kružnicemi x + y = x, x + y = x. Odtud získáme nerovnici: x x + y x r cos ϕ r r cos ϕ cos ϕ r cos ϕ Z předchozího vztahu zjistíme proměnné ϕ: cos ϕ cos ϕ cos ϕ + k ϕ + k Budeme počítat pouze polovinu objemu časti tělesa, která leží v prvním kvadrantu, takže ϕ Integrační funkcí po zavedení polárních souřadnic je funkce f(r, ϕ) = r. Určíme ji z rovnice paraboloidu x + y = z. Výpočet poloviny objemu tělesa: V = = 5 cos ϕ cos ϕ r dr dϕ = ( + cos ϕ ) dϕ = 5 6 [ ] r cos ϕ dϕ = cos ϕ ( 5 cos ϕ ) dϕ = ( + cos ϕ + cos ϕ ) dϕ = Použijeme substituci: ϕ = t dϕ = dt 6
= 5 Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy ϕ = t = ϕ = t = ( + cos t + cos t ) dt = 5 [t] + 5 6 [sin t] + 5 [ t = 5 + 5 6 = 5 6 Objem tělesa je V = 5 6 = 5 j. ] sin t + = Příklad. ([]) Užitím dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa omezeného plochami e x y = z, x + y = a z =. Řešení Podstava tělesa leží v rovině z = a je ohraničena osami x, y a kružnicí, která vznikla kolmým promítnutím válcové plochy x + y = do roviny z =. Shora je omezeno rovinou e x y = z. Tato rovina je symetrická podle os x, y, proto můžeme počítat pouze jednu čtvrtinu objemu a ten pak zčtyřnásobit, viz obrázek.5. Obrázek.5: e x y = z, x + y =, z = Pro tento příklad je vhodné použít transformaci do polárních souřadnic, tedy x = r cos ϕ, y = r sin ϕ a jakobián transformace J = r. 7
Integrační funkcí v tomto případě je funkce f(r, ϕ) = e r. Protože integrovanou oblastí vezmeme část kružnice v prvním kvadrantu, meze proměnné r jsou r = a r = a pro meze proměnné ϕ platí ϕ. Výpočet čtvrtiny objemu tělesa: V = = re r dr dϕ = Použijeme substituci: r = t rdr = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy = r = t = r = t = et dtdϕ = ( e Objem tělesa je V = ) [ϕ] = ( e [ e t ] ( e ) ) ( ) = e j. dϕ = ( e ) dϕ = 8
. Výpočet objemu pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině. Zobecněné polární souřadnice jsou dány předpisem: kde x = ar cos ϕ y = br sin ϕ (a, b jsou konstanty), r, ϕ,. Najdeme Ψ, ), tak, že každému bodu (r, ϕ) Ψ je tímto předpisem jednoznačně přiřazen bod (x, y) Ω. Jakobiův determinant této transformace má tvar a cos ϕ ar sin ϕ J = = abr. b sin ϕ br cos ϕ Objem válcovitého tělesa, které je omezeno shora plochou z = f(x, y), zdola plochou z = a z boků přímou válcovou plochou, která vymezuje v rovině xy množinu Ω, se rovná V = Ψ f(ar cos ϕ, br sin ϕ)abrdrdϕ. 9
Příklad. ([9]) Užitím dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa omezeného plochami z = e y x y+x, x + y =, x = a y =. Řešení Těleso s trojúhelníkovou podstavou je shora omezené rovinou z = e y x y+x, viz obrázek.6. Obrázek.6: z = e y x y+x, x + y = Integrační funkcí v tomto případě je funkce f(x, y) = e y x y+x. Řešení takového integrálu je velmi nesnadné. Proto si zavedeme transformaci do zobecněných polárních souřadnic, tedy x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Spočítáme jakobián této transformace: cos ϕ r cos ϕ sin ϕ J = = r sin ϕ cos ϕ + r sin ϕ cos ϕ = r sin ϕ. sin ϕ r sin ϕ cos ϕ Meze nové proměnné r jsou r = a r =, vyčteme je z trojúhelníku v podstavě, kde délka odvěsny ležící na ose y je dlouhá j. Trojúhelník leží v prvním kvadrantu a jeho odvěsny leží na osách x, y, takže meze pro proměnnou ϕ jsou ϕ = a ϕ =. Situaci nové integrované oblasti můžeme sledovat na obrázku.7. 5
Obrázek.7: r, ϕ Po dosazení nových proměnných do původní funkce f(x, y) = e y x y+x integrační funkci f(r, ϕ) = e cos ϕ. Výpočet objemu tělesa: V = r sin ϕe cos ϕ dr dϕ = = sin ϕe cos ϕ dϕ = sin ϕe cos ϕ [ r ] dostáváme novou dϕdr = = Použijeme substituci: cos ϕ = t dϕ = sin ϕ dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy ϕ = t = ϕ = t = e t dt = Objem tělesa je V = [ e t ] ( ) e e j. = ( e ) e Poznámka:.. Tento příklad lze řešit i jiným způsobem, který je ukázán v příkladu 5
. Výpočet objemu pomocí substituce Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině. Zobecněná transformace je dána předpisem: x = g(u, v) y = h(u, v), Najdeme Ψ R R tak, že každému bodu (u, v) Ψ je tímto předpisem jednoznačně přiřazen bod (x, y) Ω, přičemž funkce g a h a jejich parciální derivace jsou v Ψ spojité. Jakobiův determinant této transformace má tvar J = g u h u g v h v. Objem válcovitého tělesa, které je omezeno shora plochou z = f(x, y), zdola plochou z = a z boků přímou válcovou plochou, která vymezuje v rovině xy množinu Ω, se rovná V = f(g(u, v), h(u, v)) J dudv, kde J je absolutní hodnota Jakobiova determinantu. Ψ 5
Příklad. ([9]) Užitím dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa omezeného plochami z = e y x y+x, x + y =, x = a y =. Řešení Těleso s trojúhelníkovou podstavou je shora omezené rovinou z = e y x y+x, viz obrázek.6. Obrázek.8: v =,v = u, v = u Tento příklad jsme již řešili pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic. Nyní si ukážeme, jak jej lze řešit pomocí substituce u = y x, v = y + x. Vyjádříme si proměnné x, y pomocí nových proměnných u, v x = u + v, y = v u a odtud vypočítáme jakobián transformace: J = =. Z obrázku.8 je patrné, že meze pro proměnnou v jsou v = a v =. Meze proměnné u určíme pomocí přímek v = u a v = u, tedy u = v a u = v. Po 5
zavedení transformace je integrační funkcí funkce f(u, v) = e u v. Výpočet objemu tělesa: V = v = v ( e e e u v du dv = ) [ ] u v ve v dv = ( e ) vdv = ( e ) [ v v e e ] = Objem tělesa je V = ( ) e e j. Poznámka: Tuto úlohu jsme již řešili v příkladě.. 5
Kapitola Dvojný integrál - výpočet hmotnosti. Výpočet hmotnosti bez užití transformace Návod. Ω je omezená a uzavřená oblast v rovině xy. Hmotnost plochy Ω, je-li její plošná hustota v libovolném bodě (x, y) Ω rovna σ(x, y), je dána vzorcem m = σ(x, y)dxdy. Ω Dá-li se množina Ω napsat pomocí intervalů s proměnlivou spojitou mezí, např. Ω = {[x, y]; x a, b, y g(x), h(x) }, potom m = Ω b h(x) σ(x, y)dxdy = σ(x, y)dy dx. a g(x) Analogicky, dá-li se množina Ω napsat jako Ω = {[x, y]; x g(y), h(y), y c, d }, potom m = Ω d h(y) σ(x, y)dxdy = σ(x, y)dx dy. c g(y) 55
Příklad. ([]) Vypočtěte hmotnost rovinného obrazce A = {[x, y] E ; x, y sin x}, je-li σ(x, y) = x plošná hustota. Řešení Obrazec je ohraničen sinusoidou a osou x, viz obrázek.. Obrázek.: y = sin x, pro x Meze pro proměnné jsou patrné z obrázku. a také jasně dány z předpisu obrazce A. Takže za konstantní meze bereme meze proměnné x, tj. x. Pro proměnnou y platí y sin x. Dosadíme do vzorce pro hmotnost a počítáme: m(a) = sin x x dy dx = Použijeme substituci: [x sin x y] dx = x sin xdx = x = t x = t dx = dt Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy x = t = 56
= 8 x = t = t sin tdt = Použijeme metodu per partes: u = t v = sin t u = t v = cos t = [ t cos t ] 8 + t cos tdt = Opět použijeme metodu per partes: u = t v = cos t u = v = sin t = 8 + [t sin t] Hmotnost rovinného obrazce A je m(a) = 8. sin tdt = 8 + [cos t] = 8 Příklad. ([]) Vypočtěte hmotnost rovinného obrazce je-li σ(x, y) = y plošná hustota. A = {[x, y] E ; y e x, y e x, y e }, Řešení Obrazec je ohraničen křivkami y = e x, y = e x a přímkou y = e, viz obrázek.. Pro výpočet hmotnosti obrazce jej musíme rozdělit na dvě části. Dolní mez proměnné x pro výpočet první části obrazce je x-ová souřadnice průsečíku křivek y = e x, y = e x. Řešíme e x = e x a odtud dostaneme x =. Horní mez je x-ovou souřadnicí průsečíku křivky y = e x a přímky y = e, tj. x =. Tato mez je zároveĺ dolní mezí proměnné x pro výpočet hmotnosti druhé části obrazce. Horní mezí v tomto případě je x-ová souřadnice průsečíku křivky y = e x a přímky y = e, tedy x =. Meze proměnné y jsou pro první část obrazce dány křivkami y = e x, y = e x, takže e x y e x. Pro druhou část obrazce jsou dány křivkou y = e x a přímkou y = e, 57
Obrázek.: y e x, y e x, y e tj. e x y e. Výpočet hmotnosti první části obrazce: m (A) = e x e x ydy dx = [ ] y e x e x dx = Pro první integrál použijeme substituci: x = t dx = dt e x dx e x dx = Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy x = t = x = t = Pro druhý integrál použijeme substituci: = 8 x = s x = s dx = ds Při použití substituce musíme změnit meze nové proměnné, tedy x = s = x = s = e t dt e s ds = [ ] e t 8 [es ] = e 8 e + 8 58
Výpočet hmotnosti druhé části obrazce: m (A) = e e x ydy dx = [ ] y e e x dx = ( e e x) dx = Použijeme stejnou substituci jako v předchozím výpočtu pro druhý integrál: = ( e e s) ds = [ se e s] Celková hmotnost obrazce je součet obou hmotností = e e + e m(a) = m (A) + m (A) = e 8 e + 8 + e e + e = e e +. 8 Příklad. ([]) Určete hmotnost obdélníka o stranách a, b, je-li jeho plošná hustota v každém jeho bodě úměrná druhé mocnině vzdálenosti od jednoho pevně zvoleného vrcholu. Řešení Obdélník umístíme v souřadném systému roviny tak, aby jeden z vrcholů ležel v počátku, strana a ležela na ose x a strana b na ose y, viz obrázek.. Obrázek.: Obdélník se stranami a, b Stanovíme funkci hustoty σ(x, y) obdélníka. Je-li A=[x, y] libovolný bod obdélníka, přičemž x a, y b, je druhá mocnina jeho vzdálenosti od vrcholu rovna (a + b ) (x + y ). Takže hustota v bodě A je rovna 59
σ(x, y) = k((a + b ) (x + y )), kde k je koeficient přímé úměrnosti. Když si navíc v našem případě zvolíme vrchol obdélníka ten, který leží v počátku souřadnicového systému (V=[,]), pak hustota je rovna σ(x, y) = k(x +y ). Jak je patrné z obrázku., meze proměnných x, y jsou konstantní a platí x a, y b. Výpočet hmotnosti obdélníka: m = a b = k k ( x + y ) dy dy = k [ bx + b x ] a = k ( a b + ab a [ ) Hmotnost obdélníku je m = kab (a + b ). x y + y = kab ] b dx = k ( a + b ) a ( bx + b ) dx = Příklad. Stanovte hmotnost trojúhelníka omezeného přímkou x+y = a osami souřadnicovými, je-li plošná hustota v libovolném bodě přímo úměrná čtverci jeho vzdálenosti od počátku. Řešení Situace je vyobrazena na obrázku.. Obrázek.: Trojúhelník omezený přímkou x + y = a osami souřadnicovými Vzdálenost libovolného bodu A=[x, y], přičemž x a y x, od počátku souřadnicového systému je rovna x + y. Hustota v bodě A je tedy rovna σ(x, y) = k(x + y ), kde k je koeficient přímé úměrnosti. Podmínky pro 6