8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce derivace všech řádů lze od polynomu přejít mocninné řadě. Platí věta o rozvoji funce v mocninnou řadu. Taylorova věta. Nechť má funce f : R R omezené derivace všech řádů v intervalu x r, x + r), x R, r >. Potom je fx) f ) x ) x x ), x x r, x + r).! Řada se nazývá Taylorovou řadou funce f v bodě x. Přehled něterých Taylorových řad. ) ) x + x ) ln x) ) ln + x) ) e x 4) sin x 5) cos x 6) sinhx 7) coshx x, x < ) x, x <! x, x R 8) + x) α x, x < ) + x, x < ) + )! x+, x R ) )! x, x R + )! x+, x R )! x, x R ) α x, x <, α R Přílad 8.. Pomocí geometricé řady ), ) určete rozvoj dané funce f v mocninnou řadu se středem v bodě x. Určete její obor onvergence a poloměr onvergence. a) fx) 5 x +, x. Použijeme řadu ) a danou funci postupně upravíme ta, aby se její tvar shodoval se vzorcem pro součet geometricé řady. Je 8
5 x + 5 + x 5 x) 5 x ) 5) x. + Řada onverguje pro x < x <, tedy pro x, ). Poloměr onvergence řady je r. b) fx) 4 x, x. Použijeme řadu ) a danou funci postupně upravíme ta, aby se její tvar shodoval se vzorcem pro součet geometricé řady, tedy aby vzorec obsahoval výraz x ). Je fx) 4 x x ) ) x x x ). Řada onverguje pro x < x <, tedy pro x, 4). Poloměr onvergence řady je r. c) fx) 4 + x, x. Použijeme řadu ) a danou funci postupně upravíme ta, aby se její tvar shodoval se vzorcem pro součet geometricé řady. Je fx) 4 + x 4 x ) ) x ) 4 4 4 4 + x. Řada onverguje pro x < 4 x < 4 x <, tedy pro x, ). Poloměr onvergence řady je r. d) fx) 4x x + x 6, x. Použijeme řady ), ) a funci postupně upravíme ta, aby se její tvar shodoval se vzorcem pro součet geometricé řady. Funci nejprve rozložíme na parciální zlomy a aždý z nich rozvineme v mocninnou řadu způsobem, terý jsme ilustrovali v úlohách a), b). Je fx) 4x x + x 6 x + + x x) x x ) ) x ) ) x. + Řada onverguje pro x < a x < ) x < a x < x < ), tedy pro x, ). Poloměr onvergence řady je r. Přílad 8.. Pomocí řady pro logaritmus rozviňte danou funci f v mocninnou řadu se středem v bodě x a určete její obor onvergence a poloměr onvergence. a) lnx, x. Použijeme řady ) či ). Vzorec pro danou funci upravíme, aby odpovídal tvaru funce, jejíž rozvoj používáme. [ Je )]) [ )] x x lnx ln[ + x )] ln + ln + ln + ) ) x ) ln +. x ). Řada onverguje pro x < x <, tedy pro x, 4). Poloměr onvergence řady je r. 9
) + x b) ln, x. x Použijeme řady ) a ). Vzorec pro danou funci upravíme, aby odpovídal tvaru funce, jejíž rozvoj používáme. Je ) + x ) + ln ln + x) ln x) x x + x ) + + x n + xn+. n Řady ) a ) onvergujípro x <, tedy zísaná řada onverguje taé pro x, ). Poloměr onvergence řady je r. Přílad 8.. Pomocí řady pro exponenciální funci řešte: a) Určete rozvoj funce fx) e x v mocninnou řadu se středem v bodě x. Určete její obor onvergence a poloměr onvergence. Použijeme řadu ) a vyjádření dané funce upravíme ta, aby obsahovalo v exponentu výraz x ). Je fx) e x e x)+ e e x) e! [x )] e! x ). Řada ) onverguje pro všechna reálná čísla, tedy řada, terou jsme z ní zísali substitucí x x ) onverguje rovněž pro všechna x, ). Poloměr onvergence této řady je r. a) Určete rozvoj funce ϕx) e x v mocninnou řadu se středem v bodě π x. Určete její obor onvergence a poloměr onvergence. Funce je hustotou normálního rozdělení náhodné veličiny. Je sudá a e x dx.) π K určení rozvoje použijeme řadu ), ve teré provedeme substituci x x. Dostaneme ϕx) π e x π ) x! π ).! x. Řada ) onverguje pro všechna reálná čísla, použitou substitucí se její obor onvergence nemění. Řada onverguje pro x, ) a její poloměr onvergence je r. c) Určete rozvoj funce fx) et dt v mocninnou řadu se středem v bodě x. Určete její obor onvergence a poloměr onvergence. Odhadněte chybu, teré se dopustíme, jestliže pro výpočet hodnoty f) budeme uvažovat první tři členy řady. Použijeme řadu ), ve teré provedeme substituci x t a poté budeme řadu integrovat člen po členu. Záměna integrovaní se sčítáním je pro mocninné řady dovolenou operací. Tím zísáme vyjádření dané funce ve tvaru mocninné řady. Je e t! t ) ) t,! a řada onverguje pro všechna x, ). Integrací řady dostaneme x ) ) ) fx) e t dt t ) x dt t dt!! [ ] ) t + x ) )! + + )! x+, x, ).
Pro x dosazením do prvních tří členů řady dostaneme přibližnou hodnotu f). +, 76666. Řada je alternující a odhad chyby je možné provést pomocí prvního členu, terý pro vyčíslení nepoužijeme. Je jím člen pro hodnotu indexu a tedy chyba aproximace ε je menší než ε <., 4.. Pro 7.! 4 porovnání uveďme přesnější hodnotu, f), 7468. d) Ve tvaru mocninné řady se středem v bodě x vyjádřete funci Φx) ϕt)dt e x dt. π Pomocí této řady určete přibližnou hodnotu s přesností ε 4. Víte, že viz př. 7..b.) Φ ), Φ ), Φ). Funce je distribuční funcí normovaného normálního rozdělení.) Jestliže přihlédneme uvedeným fatům a výsledu příladu 7..b, je Φx) + ϕt)dt + e t dt π + x ) ) π.! t dt ) [ ] ) t + x + π dt + π ).!.! t + + ) π. + ).! x+, x, ). Řada onverguje pro všechna reálná čísla, tedy pro x, ). Pro přibližnou hodnotu Φ) dostaneme pomocí řady Φ)., 5 +, 4 6 + 4 6 + ) 456, 845. Jedná se o alternující řadu, chybu odhadneme pomocí dalšího členu řady, terý jsme při vyčíslení již nepoužili. Jedná se o člen pro hodnotu indexu 5. Je tedy pro chybu platný odhad ε <... 5. 44 Přesnější hodnota z tabule je Φ), 8445, což oresponduje s odhadem chyby aproximace. e) Určete rozvoj funce fx) ex, f) v mocninnou řadu se středem v 4x bodě x. Určete obor onvergence a poloměr onvergence zísané řady.. Použijeme řadu ), ve teré provedeme substituci x x. Úpravami postupně dostaneme fx) ex e x ) ) ) x 4x 4x 4x! ) + ) + x ) + x ) + x. 4x! 4x! 4.! Řada onverguje pro všechna reálná čísla, tedy pro x, ). Poloměr onvergence hledané řady je r. Přílad 8.4. Pomocí Taylorových řad goniometricých funcí určete rozvoje daných funcí v mocninné řady s předepsaným středem x. Určete taé obor onvergence a poloměr onvergence zísaných řad. a) sin x, x. Použijeme řady 4) a 5). Podle součtového vzorce nejprve dostaneme
sin x sin [x ) + ] sin cos x ) + cos sin x ). Odtud pomocí řad 4) a 5), ve terých provedeme substituci x x ) zísáme požadovaný rozvoj. Je ) sin x sin )! x ) ) + cos + )! x )+ ) sin x ) + ) cos x ) ). + )! + )! Řada onverguje pro x, ), poloměr onvergence této řady je tedy r. b) cos x, x. Použijeme řady 4) a 5). Podle součtového vzorce nejprve dostaneme cos x cos [x + ) ] cos cos x + ) + sin sin x + ). Odtud pomocí řad 4) a 5), ve terých provedeme substituci x x + ) zísáme požadovaný rozvoj. Je ) cos x cos )! x + ) ) + sin + )! x + )+ ) cos x + ) + ) sin x + ) ). + )! + )! Řada onverguje pro x, ), poloměr onvergence této řady je tedy r. c) sin x, cos x, x. Použijeme nejprve známých vzorců sin x cos x)) a cos x + cos x)). Odtud dostaneme pomocí rozvojů 4) a 5), ve terých provedeme substituci x x) požadované rozvoje. Je sin x ) ) )! x) ) ) )! x) ) + x. )! cos x ) ) + )! x) ) ) + + )! x) ). + x. )! Obě řady onvergují pro x, ), poloměr onvergence je u obou r. d) sin x cos x, x. Nejprve použijeme součtové vzorce a zísáme vyjádření sin x cos x) [sin 4x) sin x)]. Nyní použijeme rozvoje 4), de provedeme substituce x 4x) a x x). Zísáme požadovaný rozvoj ve tvaru sin x cos x) ) ) ) + )! 4x)+ + )! x)+ ) 4 + +) x + ) 4 + ) x +. + )! + )! Řada onverguje pro všechna x, ), poloměr onvergence řady je r.
e) fx) sin x x, f), x. Použijeme rozvoje 4) a dostaneme fx) sin x x ) x + )! x+ ) + )! x. Řada onverguje pro všechna x, ). sin t f) fx) dt, x. t Jestliže použijeme rozvoje z příladu 8.4.e, pa integrací řady člen po členu zísáme požadovaný rozvoj. Je sin t x ) ) ) ) fx) dt t + )! t dt + )! t dt ) [ ] t + x ) dt + )! + + ) + )! x+. Řada onverguje pro všechna x, ). g) fx) cos x, x x. Napište první tři členy rozvoje a odhadněte chybu ε, teré se při aproximaci funce fx) tímto polynomem dopustíme. Použijeme rozvoje 5) a dostaneme fx) cos x ) ) x x )! x x ) ) )! x ) + x ) + x. x )! )!. Řada onverguje pro všechna x, ). Potom fx) T x) x 4 + x 7. Chybu odhadneme pomocí dalšího členu řady, neboť se jedná o alternující řadu. Je tedy ε < x 6 4. h) Pomocí rozvoje v mocninnou řadu vypočtěte integrál I sin x x dx s přesností ε < 5. Pomocí rozvije 4), obdobně jao v příladu 8.4.e,f dostaneme sin x I x dx ) ) ) ) + )! x dx + )! x dx ) [ ] x + ) + )! + + ) + )!. Jedná se o alternující řadu a tedy chyba aproximace je menší než první z členů, teré při výpočtu přibližné hodnoty již nebudeme uvažovat. Jestliže si začneme vypisovat členy řady od začátu, vidíme, že dosažení požadované přesnosti stačí uvážit první čtyři členy řady. Je pa I. 8 + 6 58, 9468. Chyba ε < 9.9! 659. 7. Přílad 8.5. Pomocí rozvoje exponenciální funce odvoďte rozvoje funcí coshx, sinhx v mocninnou řadu se středem v bodě x. Určete i jejich obory onvergence. Nejprve si zapíšeme, že coshx e x + e x), sinhx e x e x). Odtud pomocí řady ) dostaneme
coshx ) )! x + x! sinhx ) )! x x! Obě řady onvergují pro všechna x, ). )! x. + )! x+. Přílad 8.6. Ve tvaru mocninné řady vyjádřete funci fx) sin t sinht dt. Určete obor onvergence této řady. Vypočtěte přibližné hodnoty funce v bodě x, dyž budete postupně uvažovat jeden, dva a tři členy rozvoje. Použijeme řadu 4) a řadu z příladu 8.8. Je pa sin t sinht x ) fx) dt t t + )! t+ x t 4 + )! t4+ dt 4 + )! t4+ dt ) [ x t 4+ ] x 4 + )! t4+ dt 4 + )! 4 + Řada onverguje pro všechna x, ). Jao přibližné hodnoty f) postupně dostaneme I!., 66666, 6 I! + ).7! 6 + )., 6678, 5 I! +.7! + ) 5.! 6 + 5 + )., 6678.. 8 t ) + )! t+ dt + )4 + )! x4+. Přílad 8.7. Pomocí binomicé řady určete rozvoje daných funcí a proveďte předepsané výpočty. a) Určete rozvoj funce fx) + x v mocninnou řadu se středem v bodě x a napište aproximaci této funce polynomem třetího stupně. V binomicé řadě 8) volíme α a pro danou funci zísáme rozvoj fx) ) + x x, x <. Vypočteme postupně první čtyři ombinační čísla. Je ), ) ), 9, Odtud dostaneme pro aproximující polynom vyjádření fx) + x. T x) + x 9 x + 5 8 x, x <. ) 9 5 5 8. b) Vypočtěte integrál I x4 dx, pomocí binomicé řady a vypočtěte jeho přibližnou hodnotu pomocí prvních tří členů řady. V binomicé řadě 8) volíme α a provedeme substituci x x4 ). Dostaneme ) ) ) ) I x4 dx ) x 4 dx ) x 4 dx 4
) [ ) x ) 4+ ) 4 + 4 +. Postupně vypočteme ombinační čísla a dostaneme ), ] ) ), 8, ) 8 6. Odtud dostaneme přibližnou hodnotu integrálu I..5 8.9 6. 7, 88. 8 c) Pomocí binomicé řady z využitím vzorce pro derivaci odvoďte rozvoj funce fx) arcsin x v mocninnou řadu se středem v bodě x a určete obor a poloměr onvergence této řady. Napište aproximaci funce polynomem, pro terý použijete první čtyři členy řady. Vypočtětě přibližně hodnotu arcsin ta, že použijejte aproximující polynom. Víme, že arcsin x) arcsin x, x, ). Odtud plyne, že x dt, x, ). Integrand vyjádříme ve tvaru mocninné řady pomocí t rozvoje 8), de volíme α a de provedeme substituci x t. Integrací řady člen po členu dostaneme požadovaný rozvoj funce arcsin x v mocninnou řadu. Tedy dt x ) ) arcsin x x t ) dt t ) ) ) t dt ) ) ) t dt ) ) [ ] t + x ) ) x +. + + Použili jsme řady s poloměrem onvergence r. Ten se použitou substitucí a následnou integrací nemění. Zísaná řada onverguje pro x, ) a v tomto oboru platí uvedené vyjádření funce arussinus. Postupně vypočteme požadovaná ombinační čísla z rozvoje a dostaneme ta aproximující Taylorův polynom. Je ), ) ), 8, ) 8 5 5 6. Je tedy arcsin x. T 5 x) x + 6 x + 8 x5 + 5 6 x7. Po dosazení x do vztahu dostaneme arcsin ). + 6.8. + 8.5. + 5 6.7.8 + 48 + 8 + 5 656 Pro porovnání uvedeme, že arcsin π, 559. 6, 58 5