Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá, imagiárí část komplexího čísla. Obra komplexího čísla je bod v Gaussově roviě = [, ] Modul komplexího čísla, číslo komplexě sdružeé a opačé komplexí číslo Modul komplexího čísla = [ ] Číslo komplexě sdružeé =, [] = [, ] = [, ] Opačé komplexí číslo = [ ], = [, ]
Sčítáí (odčítáí) a ásobeí komplexích čísel Pro komplexí čísla x = (x, x ), y = (y, y ) defiujeme operace sčítáí (odčítáí) a ásobeí x ± y = (x, x ) ± (y, y ) = (x ± y, x ± y ) x y = (x y x y ) (x y x y ) Příklad: Jsou dáa komplexí čísla x = (3, ), y = (, 5). Určete x y, x y, x y a příslušé moduly x y = (3, ) (, 5) = (3( ), 5) = (, 7) x y = (3, ) (, 5) = (3 ( ), 5) = (4, 3) x y = (3 ( ) 5, 3 5 ( )) = ( 3, 5 ) = ( 3, 3) x y = ( 7 ) = 53 x y = ((4 ( 3) )= 5 = 5 x y = (( 3) ( 3) ) = 3 Symbol i, algebraický tvar komplexího čísla = (, ) = (, ) (, ) = (, ) = i, kde avedeme oačeí i = (, ). Pak le psát = (, ) = i= j což je algebraický tvar komplexího čísla. Sado se ukáže užitím pravidla o ásobeí komplexích čísel, že tedy i = i i = (, ) (, ) =, = i =, i = Zápis komplexích čísel v algebraickém tvaru je jedodušší, ež ápis jako uspořádaých dvojic reálých čísel. S komplexími čísly v algebraickém tvaru počítáme jako s dvojčley. Příklad: Sečtěte a odečtěte dvě komplexí čísla v algebraickém tvaru x = 3 i, y = 7 i x y = (3 i) (7 i) = (3 7) ( )i = 3i x y = (3 i) (7 i) = (3 7) ( )i = 4 i Příklad: Vypočítejte souči komplexích čísel x = (3 i), y = (7 i) x y = (3 i) (7 i) = 3 7 3i i 7 i i = 3i 4i = 9 7i Podíl komplexích čísel 3 i Zápis komplexího čísla ve tvaru euáváme, epovažujeme ho a slušý. Je to podíl komplexích čísel, i který upravujeme tv. usměrěím. Zapíšeme dělece a dělitele ve tvaru lomku a celý lomek rošíříme, tj. ásobíme čitatele i jmeovatele číslem komplexě sdružeým ke jmeovateli.
3 i Příklad:Vyjádřete v algebraickém tvaru i 3 i 3 i i 3 3i i i = = i i i i 3 i 5 = = i 5 = j Goiometrický tvar komplexího čísla V obráku, který již áme, oačíme úhel α. Vyjádříme modul a goiometrické fukce úhlu α. Úhel α se aývá argumet komplexího čísla α [] = [, ] =, siα =,cosα =, tgα = Pro goiometrický tvar epotřebujeme át tages úhlu α, ale úhel α, tedy Příklad: Převeďte do goiometrického tvaru ( ) i Upravíme 3 i = 3 a vypočteme α = arctg = 3 ( 3) ( ) ( cosα i siα ) = α = arctg je chybý výsledek. Jedá se o třetí kvadrat, proto úhel α = π/6 π = 5/6π 5 5 = 4cos π isi π 6 6 ( 3 i) = = = 4 = 4, α = arctg = arctg 3 3 6 π IV. I. 5π/6 π/6 III. II.
Opačý příklad: Převeďte do algebraického tvaru 5 5 = 4cos π isi π. 6 6 Na jedotkové kružici (r =) jsou poměry stra /,, 3/, takže Příklady ( 3 i) 4 3 = i( ) = Úpravy a převod komplexích výraů do algebraického tvaru. Upravte a v algebraickém tvaru vyjádřete komplexí čísla. a) (3 i) (7 i) b) ( 6i) ( i 7) c) i i(3 4i) d) ( 3i)( i) e) (3i 7)( i) f) (3 i)(5 4i)( i) g) 6i( i)(3i ) h) ( i)(7 5i (3 4i)) [a) 4 i; b) 5 i; c) 5i; d) 7 4i; e) 59 7i; f) ( 5i); g) 6 3i; h) 9i]. Upravte a v algebraickém tvaru vyjádřete komplexí čísla. i 3i i ( i)( i)(3 i) a) b) c) d) 4 i i e) ( i) f) 3 4i i 4 i ( i) i i i [ a) 5 7 5 i ; b) 7 7 i ; c) 5 3 5 i ; d) 5 5 i ; e) 3. Upravte a v algebraickém tvaru vyjádřete komplexí čísla. 3 i ; f) i] a) ( i) ; b) ( i) 3 ; c) ( i) 4 ; d) ( 3 4i) 3(6 i); e) i( i 3)( 3 i) ; 7 3i 7 3i f) 3 7i 3 7i 3i 5 g) i i h) [a) i; b) ( i); c) 4;d) 4 i; e) i 3 ;f) 4 i ; g) 3i; h) 6i] 9 Algebraický versus goiometrický tvar komplexích čísel. Vyjádřete v goiometrickém tvaru 65 9 4-7i 3 9i a) i 3 ; b)5; c) 6 ( i 3) ;d) ( i ) ; e) 3 3 i ; f),9i; g) 5 3 [a) cos π isi π ;b) 5( cos isi) ;c) cos π isi π ;d) 3 3 3 3 3 cos π isi π 3 3 5 4 4 π π -π -π e) cos π isi π ; f),9 cos isi ; g) 3cos isi 3 3 3 6 6 5 i i i 3
. Zapište v algebraickém tvaru daá komplexí čísla a) 5 cos isi 3 π 3 π 3 ;b) 3 isi 3 cos π π 5 5 ;c) cos isi π π 6 6 ; d) 7 cos π isi π 4 4 [a), 5, 5i 6 ; b) -3i ; c) 6 i ; d) 7 Moivreova věta 7 i ] Nechť jsou dáa komplexí čísla a = a (cosα isiα), b = b (cosβ isiβ). Pak platí Je - li b platí: a b = a b (cos(α β) isi(α β)) a/b = a / b (cos(α β) isi(α β)) Zobecěím pro -tou mociu komplexího čísla dostaeme: Nechť a = a (cosα isiα) je komplexí číslo, N. Pak platí: [ a ( cosα isiα) ] = a ( cosα isi α) a = Výam: umožňuje sadé ásobeí a umocňováí komplexích čísel v goiometrickém tvaru. Příklad : Vypočítejte a, a 4, a 7 ab 3, b 5, b 6 π π, jestliže a = cos isi a b = a π π 7π 7π 4cos si ; 6 cos si 4 4 i i ; i 3 3 cos π si π 5 5 ; 3 cos π si π 64 cos π 4 si π i i ; i 4 Odmocia komplexího čísla Z Moivreovy věty se dostae aalogií pro tou odmociu komplexího čísla Nechť a = a (cosα isiα) je komplexí číslo, N. Pak platí: a α π α π [ ( cosα isiα) ] k k a = acos isi ; k =,,, K, = a = Příklad : Vypočítejte 5 3 ; 3 ; 3 ; 4 5 5 3i π kπ π kπ kπ kπ cos isi k =,,,3,4; cos isi k =,,, 5 5 3 3 4 4 ± i 3, ; ± ( 3 i), ± ( i 3)
Kvadratické rovice v C. Řešte v možiě C rovice a) x 3 = ; b) x 5 = 3 π kπ π kπ [a) cos isi, k =,, ; b) cos π k π π k π isi, k =,,, 3, 4 ] 6 3 6 3 5 5. Řešte v možiě C kvadratické rovice a) x - 4 = [{ ; - }] ; b) x 9 = [{3i ; -3i}] ; c) x - 5 = [{, 5 ;, 5 }] ; d) x - = 3x 4 [{ i i 5 5 ; }] ; e) x - x = [{ i; - i}] ; f) x - 4x 5 = [{7 i; 7 - i}] ; g) 4x - 4x 6 = (x 3) - [{5 i; 5 - i}]