U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Aroximativní analytické řešení jednorozměrného roudění newtonské kaaliny Některé říady jednorozměrného roudění newtonské kaaliny lze řešit řibližně omocí řešení odvozených ro jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v jednodušších geometriích. A. Využití geometrie evná ohyblivá deska Využití řešení roudění v geometrii evná ohyblivá deska ro řibližné řešení ro: Tangenciální beztlakové roudění (radiální kluzné ložisko, rotační viskosimetr). Axiální atní kluzné ložisko. Kuželové kluzné ložisko. Viskosimetr kužel deska. B. Využití geometrie evná evná deska Využití řešení roudění vlivem tlakového gradientu v geometrii evná ohyblivá deska (štěrbina) ro řibližné řešení ro: Axiální tlakové roudění v mezikruží. Aroximativní řešení A. Využití geometrie evná ohyblivá deska. Proudění v geometrii evná ohyblivá deska Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v mezeře mezi evnou a ohyblivou deskou ohybující se rychlostí v v daném směru - viz obr. A- se zakresleným zvoleným systémem kartézských souřadnic. Obr. A- Pevná a ohyblivá deska řešení
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Desky vodorovné nekonečných rozměrů (vzdálenost desek, rychlost ohybující se desky v). Jednorozměrné roudění u x 0, u y = u z = 0. Proudění bez tlakového gradientu v ose x (x, y) = (x, y). Řešení Řešením Cauchyho rovnice a Newtonova zákona vazkého tření res. řešením Navier tokesovy rovnice: Rychlostní rofil u x ( y) = v y Profil dynamického naětí τ yx µ ( y) = v (A ) (A ) Tlakový rofil = + ρ g ( ) (A ) 0 y Vztah (A-) oisuje růběh hydrostatického tlaku v mezeře. Vzhledem k obvyklým rozměrům mezery je změna hydrostatického tlaku zanedbatelná a ři výočtech se neuvažuje. Vztahy (A-) a (A-) jsou odvozeny mimo jiné za ředokladu nekonečné desky a řesně vzato latí ouze a jen ro nekonečnou desku. Avšak v říadě konečné desky konečných rozměrů, kdy rozměry desky >>> mezera mezi deskami, si můžeme dovolit tuto konečnou desku ovažovat za nekonečnou a oužít ro ois rychlostního rofilu a rofilu dynamického naětí vztahy (A-) a (A-). amozřejmě na okrajích desky toto nelatí, zde jsou rofily ovlivněny okrajem a je zde D roudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům desky a mezery mezi deskami je zůsobená chyba zanedbatelná. V říadě konečné desky o šířce B a délce, kdy B >>> lze dále vyočítat: íla ůsobící na desku o loše d = B. a zajišťující ohyb desky rychlostí v F = τ yx d v µ (A 4) = d Objemový růtok kaaliny mezerou o růřezu = B. vyvolaný ohybem desky ; V" = u x d = d = B dy = u 0 x B dy = B v třední rychlost toku kaaliny u růřezem = B. V" u x = = = B = v (A 5) (A 6)
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze. Tangenciální roudění bez tlakového gradientu řibližné řešení Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v mezeře mezi vnitřním rotujícím válcem o oloměru R a vnějším evným válcem o oloměru R. Proudění je vyvoláno rotací jednoho z válců, nikoli tlakovým gradientem - viz obr. A-. Válce nekonečné délky res. >>> (R R ). Jednorozměrné roudění u ϕ 0, u r = u z = 0. Proudění bez tlakového gradientu v mezeře. Přibližné řešení Obr. A- Tangenciální roudění bez tlakového gradientu řibližné řešení Rozvinutí odle středního oloměru R R + R R = Relace mezi arametry obou geometrií (A 7) y = R r ro r R ; R (A 8) = R R (A 9) B = π (A 0) R
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze v = ω R (A ) ω = π n (A ) kde ω úhlová rychlost, n otáčky. Rychlostní rofil (římkový rofil) r R ; R u ϕ R + R R + R ( r) = ω ( R r) = π n ( R R R R R r Profil dynamického naětí (konstantní rofil) r R ; R R + R R + R ( r) = µ ω = π µ n R R R R τ r ϕ ) (A ) (A 4) íla ůsobící na rotujícím válci o loše =.π.r. a zajišťující ohyb válce rychlostí v F( R v µ v µ ) = τ yx ( R ) ( R ) = = π R Kroutící moment zajišťující ohyb válce rychlostí v M K (A 5) = F( R ) R (A 6) ojením a úravou (A-7), (A-9), (A-0), (A-), (A-), (A-5) a (A-6): M k π ( R + R ) π ( R + R = µ ω ) = µ n 4 R R R R (A 7) Vztah (A-7) řesně vzato latí ouze a jen ro nekonečné válce. Avšak v říadě konečných válců konečných rozměrů, kdy rozměry válců >>> mezera mezi válci, si můžeme dovolit ovažovat tyto konečné válce za nekonečné a oužít ro ois rychlostního rofilu a rofilu dynamického naětí vztahy (A-) a (A-4) a ro výočet kroutícího momentu vztah (A-7). amozřejmě na okrajích válců toto nelatí, zde jsou rofily ovlivněny okrajem a je zde D roudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům válců a mezery mezi válci je zůsobená chyba zanedbatelná. Chyba aroximace Chyba aroximace je rezentována na orovnání výočtových hodnot dynamických. viskozit: κ = R /R 0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 µ r / µ 0,999 0,994 0,987 0,975 0,960 0,99 0,9 0,879 0,89 0,790 ymboly: R oloměr vnitřního rotujícího válce, R oloměr vnějšího evného válce, R střední oloměr ; R = (R + R )/, délka vnitřního rotujícího válce, κ = R / R = D / D, M k kroutící moment na rotujícím válci, ω - úhlová rychlost, n otáčky vnitřního rotujícího válce, µ r - dynamická viskozita z rovinné aroximace, µ - dynamická viskozita z řesného řešení, r oloměr. 4
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze. Axiální atní kluzné ložisko Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v mezeře mezi sodní lochou rotujícího válce o oloměru R. Proudění je vyvoláno rotací válce - viz obr. A-. Válec nekonečného růměru res. R >>>. Jednorozměrné roudění u ϕ 0, u r = u z = 0. Proudění bez tlakového gradientu v mezeře. Obr. A- Axiální atní kluzné ložisko řibližné řešení Přibližné řešení Relace mezi arametry obou geometrií v = ω r (A 8) kde ω úhlová rychlost dle (A-). Kroutící moment kde dm K = r df (A 9) v df = τ xy d = µ d (A 0) d = π r dr (A ) ojením (A-8), (A-9), (A-0) a (A-): integrací v mezích 0 R: µ ω dm K = π r dr, M k = π R 4 µ ω, (A ) (A ) 5
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze v říadě existence středového vybrání o oloměru R V integrace v mezích R V R. Vztah (A-) je oužitelný za ředokladu R >>>. amozřejmě na okraji válce jsou rofily ovlivněny okrajem a je zde D roudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům válce a mezery za ředokladu R >>> je zůsobená chyba zanedbatelná. 4. Kuželové atní kluzné ložisko Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v mezeře mezi kuželovými lochami. Proudění je vyvoláno rotací válce ukončeného kuželovou lochou - viz obr. A-4. Kuželová locha nekonečného rozměru res. R >>>. Jednorozměrné roudění u ϕ 0, u r = u ϑ = 0. Proudění bez tlakového gradientu v mezeře. Přibližné řešení Obr. A-4 Kuželové atní kluzné ložisko řibližné řešení Relace mezi arametry obou geometrií v = ω r (A 4) kde ω úhlová rychlost dle (A-). Kroutící moment kde dm K = r df (A 5) v df = τ xy d = µ d (A 6) d = π r dx (A 7) dr dx = sin(α / ) (A 8) 6
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze ojením (A-4), (A-5), (A-6), (A-7) a (A-8): integrací v mezích 0 R: µ ω dm K = π r dr, sin( α / ) M K = R µ ω π sin( α / ) 4. (A 9) (A 0) Vztah (A-0) je oužitelný za ředokladu R >>>. amozřejmě na okraji a vrcholu kuželové lochy jsou rofily ovlivněny okrajem a je zde D roudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům lochy a mezery za ředokladu R >>> je zůsobená chyba zanedbatelná. 5. Viskosimetr kužel deska Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v rostoru mezi kuželovou lochou o výšce a oloměru R a deskou. Proudění je vyvoláno rotací kuželové lochy - viz obr. A-5. Tato konfigurace se oužívá ro měření viskosity velmi viskózních látek astovitého charakteru. Konfigurace zobrazená na obr. A-5 není z důvodu řehlednosti zakreslena v měřítku úhel α je cca 0,5. Kužel. locha nekonečného rozměru s velkým vrcholovým úhlem res.r >>> a α 0. Jednorozměrné roudění u ϕ 0, u r = u ϑ = 0. Proudění bez tlakového gradientu v rostoru. Obr. A-5 Viskosimetr kužel deska řibližné řešení 7
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Přibližné řešení Relace mezi arametry obou geometrií δ = r tgα (A ) v = ω r (A ) kde ω úhlová rychlost dle (A-). Kroutící moment kde dm K = r df (A ) v (A 4) df = τ xy d = µ d δ d = π r dr (A 5) ojením (A-), (A-), (A-), (A-4) a (A-5): integrací v mezích 0 R: µ ω dm K = π r dr, tgα R = π µ ω. tgα M K (A 6) (A 7) Vztah (A-7) je oužitelný za ředokladu R >>>. amozřejmě na okraji a u vrcholu kuželové lochy jsou rofily ovlivněny okrajem a je zde D roudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům lochy a mezery za ředokladu R >>> a α 0 je zůsobená chyba zanedbatelná. 8
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze B. Využití geometrie evná evná deska. Proudění v geometrii evná evná deska Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v mezeře mezi dvěma evnými deskami vlivem tlakového gradientu - viz obr. B- se zakresleným zvoleným systémem kartézských souřadnic. Obr. B- Dvě evné desky řešení Desky vodorovné nekonečných rozměrů (vzdálenost desek ). Jednorozměrné roudění u x 0, u y = u z = 0. Proudění vlivem tlakového gradientu ; (x = ) =, (x = ) =. Řešení Rychlostní rofil u x ( y) = µ ro (x = ) =, (x = ) =, kde < a >. y Profil dynamického naětí τ yx ( y) = y y (B ) (B ) Tlakový rofil ( y) = 0 + ρ g ( y) (B ) Vztah (B-) oisuje růběh hydrostatického tlaku v mezeře. Vzhledem k obvyklým rozměrům mezery a tlakovému gradientu / je změna hydrostatického tlaku zanedbatelná a ři výočtech se neuvažuje. 9
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Vztahy (B-) a (B-) jsou odvozeny mimo jiné za ředokladu dvou nekonečných desek a řesně vzato latí ouze a jen ro nekonečné desky. Avšak v říadě konečných desek konečných rozměrů, kdy rozměry desek >>> mezera mezi deskami, si můžeme dovolit tyto konečné desky ovažovat za nekonečné a oužít ro ois rychlostního rofilu a rofilu dynamického naětí vztahy (B-) a (B-). amozřejmě na okrajích desky toto nelatí, zde jsou rofily ovlivněny okrajem a je zde D roudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům desek a mezery mezi deskami je zůsobená chyba zanedbatelná. V říadě konečných desek o šířce B a délce, kdy B >>> lze dále vyočítat: Objemový růtok kaaliny mezerou o růřezu = B. : V" = ux d = d = B dy = ux B dy = µ třední rychlost toku kaaliny u růřezem = B. V" u x = = = B = 0. Axiální tlakové roudění v mezikruží µ B (B 4) (B 5) Jednorozměrné roudění newtonské kaaliny v mezikruží mezi dvěma evnými válci o oloměru R a R (R < R ) vlivem tlakového gradientu - viz obr. B-. Obr. B- Axiální tlakové roudění v mezikruží řibližné řešení Dva koncentrické válce vodorovné nekonečné délky o oloměru R a R (R < R ). Jednorozměrné roudění u z 0, u r = u ϕ = 0. Proudění vlivem tlakového gradientu ; (x = ) =, (x = ) =. 0
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Přibližné řešení Rozvinutí odle středního oloměru R R + R R = Relace mezi arametry obou geometrií R (B 6) y = r ro r R ; R (B 7) = R R (B 8) B = π (B 9) R Rychlostní rofil (arabolický rofil) r R ; R třední rychlost u z ( r) = µ u = µ ( R R ) ( R R ) r R R R r R R R Maximální rychlost maximální rychlost v ose štěrbiny, tj y umax = /: r u max u (B 0) (B ) = R + ( R R ) / (B a) max ( R R ) (B b) = 8 µ Profil dynamického naětí (římkový rofil) r R ; R τ yx ( r) = Objemový růtok ( R ojením a úravou (B-4), (B-6), (B-8) a (B-9): V" π = µ r R R ) R R ( R + R ) ( R R ) (B ) (B 4) Vztah (B-4) řesně vzato latí ouze a jen ro nekonečné válce. Avšak v říadě konečných válců konečných rozměrů, kdy rozměry válců >>> mezera mezi válci, si můžeme dovolit ovažovat tyto konečné válce za nekonečné a oužít ro ois rychlostního rofilu a rofilu dynamického naětí vztahy (B-0) a (B-) a ro výočet objemového růtoku vztah (B-4). Chyba aroximace Chyba aroximace je rezentována na orovnání růtoků: κ = R /R 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, V" r / V",000 0,999 0,998 0,996 0,99 0,987 0,978 0,96 0,9
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Ověření ředokladu jednorozměrného roudění V" ( + κ ) ( κ ) = (B 5) r" V 4 ( κ ) κ ln κ Předoklad jednorozměrného roudění je slněn, je li roudění laminární. Zda je roudění laminární nebo turbulentní se určí dle hodnoty Reynoldsova čísla. V říadě nekruhového rofilu je Renoldsovo číslo definováno dle: u d ρ = h u d Re = h h, ν µ kde : d h hydraulický růměr, u střední rychlost, ν kinematická viskozita, µ - dynamická viskozita, ρ hustota. (B 6) Režim toku: laminární roudění Re h < 00 ; turbulentní roudění 00 < Re h ydraulický růměr Rovinná štěrbina d h = (B 7a) Mezikruží = d d = ( R ) (B 7b) d h R ymboly tlak v trubce v délce, tlak v trubce v délce, = ( ) tlakový sád na délce =, R vnější oloměr vnitřní trubky, R vnitřní oloměr vnější trubky, R střední oloměr ; R = (R + R )/ D vnější růměr vnitřní trubky, D vnitřní růměr vnější trubky, κ = R / R = D / D V" r - objemový růtok z rovinné aroximace, V " - objemový růtok z řesného řešení, délka trubky, µ - dynamická viskozita, r oloměr. Radek Šulc 004/v