CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné přirozené číslo, které je dělitelné číslem 8 i 12. 1 bod max. 3 body 3 Kružnice opsaná pravoúhlému rovnoramennému trojúhelníku má poloměr 4 cm. 3.1 Vypočítejte obsah trojúhelníku. 3.2 Vypočítejte obvod trojúhelníku. Výsledek zapište v cm a zaokrouhlete na desetiny. 4 Pro povrch kvádru bez horní podstavy platí vzorec: S = ab + 2bc + 2ac. Vyjádřete neznámý rozměr b. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Z kovového pásku tvaru obdélníka o délce 3,1 dm a šířce 3 cm se zhotovují podložky. Podložky mají tvar mezikruží s vnějším průměrem 3 cm a vnitřním průměrem 1 cm. max. 5 bodů 5 5.1 Určete maximální počet podložek, které lze z pásku vyrobit. 5.2 Určete obsah plochy jedné podložky v cm 2 (zaokrouhlete na dvě desetinná místa). 5.3 Kolik procent z celkové plochy pásku půjde do odpadu (zaokrouhlete na jednotky)? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Glóbus má tvar koule o průměru 40 cm. Jsou na něm vyznačeny rovník a vybrané kružnice, které leží v rovinách rovnoběžných s rovinou rovníku (tzv. rovnoběžky). Přibližné zeměpisné souřadnice Prahy jsou: 50 severní zeměpisné šířky, 14 východní zeměpisné délky. 6 Vypočítejte délku rovnoběžky (na glóbu), která prochází Prahou. 2 Maturita z matematiky ZD
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 7 Klasifikaci žáků z matematiky vyjadřuje následující tabulka: Klasifikace 1 2 3 4 5 Počet dívek 4 5 6 2 0 Počet chlapců 6 2 2 2 1 7.1 Určete průměrnou známku z matematiky ve třídě. 7.2 Kolik chlapců má horší známku z matematiky, než je průměrná známka ve třídě? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Mirka a Jirka potřebují na společnou akci mít 5 400 Kč. Chybí jim ještě 1 000 Kč. Současné úspory Mirky jsou o 20 % větší než úspory Jirky. 8 Kolik Kč zatím naspořila Mirka? 9 Objemy dvou krychlí jsou v poměru 27 : 8. V jakém poměru jsou povrchy těchto krychlí? A) 3 : 2 B) 9 : 4 C) 27 : 8 D) 81 : 64 E) v žádném z výše uvedených 2 body 10 Přímka p v rovině je určena parametrickými rovnicemi: x = 3 2t, y = 5 + 7t. Určete vektor n, který je k přímce p kolmý (normálový vektor přímky). Normálový vektor vyberte z možností A E. A) n = (3; 5) B) n = ( 2; 7) C) n = (5; 3) D) n = (7; 2) E) n = (1; 2) 2 body Maturita z matematiky ZD 3
11 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Pro každé kladné reálné číslo a platí: a 2 + 25 = a + 5. 11.2 Pro každé kladné reálné číslo a platí: 25a 2 = 5a. 11.3 Pro každé kladné reálné číslo a platí: log (a 2 + 25) = 2 log a + log 25. 11.4 Pro každé kladné reálné číslo a platí: log (25a 2 ) = 2 log a + 25. 12 Funkce je určena rovnicí y = (2a) x, kde a je kladné reálné číslo. Jakou podmínku musí číslo a splňovat, aby tato funkce byla klesající? 2 body A) a (0; 1 2 ) B) a ( 1 2 ;1) C) a (1; 2) D) a (2; 10) E) a (10; + ) 2 body 13 Je dána rovnice x (x 2) = 24. Z možností A E vyberte číslo, které je rovno součinu všech kořenů dané rovnice. A) 0 B) 2 C) 2 D) 24 E) 24 2 body 14 Záření prochází několika vrstvami. Při každém průchodu vrstvou se jeho intenzita sníží o 20 % hodnoty před průchodem. Z možností A E vyberte, o kolik procent počáteční hodnoty se intenzita sníží po průchodu třemi vrstvami. A) o 40,0 % B) o 48,8 % C) o 51,2 % D) o 60,0 % E) o 64,2 % 4 Maturita z matematiky ZD
max. 4 body 15 Ke grafům funkcí na obrázcích 15.1 15.4 přiřaďte zadání těchto funkcí rovni cí A F. 15.1 15.2 15.3 15.4 A) y = log 2 x B) y = 10 x C) y = 2 x D) y = 1 2 x E) y = x 2 4 F) y = 2 x KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. Výraz postupně upravujeme. Nejdříve využijeme vzorce (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a + b)(a b) = a 2 b 2 (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x = 4x 2 20x + 25 (4x 2 25) + 20x. Odstraníme závorku a dostaneme výraz: 4x 2 20x + 25 4x 2 + 25 + 20x = 50. Řešení: 50 2 Určete nejmenší trojciferné přirozené číslo, které je dělitelné číslem 8 i 12. Nejdříve určíme nejmenší společný násobek čísel 8 a 12, což je číslo 24. Vyhledáme nyní nejmenší násobek čísla 24, který je trojciferným číslem. Násobky čísla 24 jsou: 24, 48, 72, 96, 120, Hledaným číslem je číslo 120. 1 bod Řešení: 120 max. 3 body 3 Kružnice opsaná pravoúhlému rovnoramennému trojúhelníku má poloměr 4 cm. 3.1 Vypočítejte obsah trojúhelníku. 6 Maturita z matematiky ZD
V pravoúhlém trojúhelníku je střed kružnice opsané totožný se středem přepony. Přepona má tedy délku 8 cm. Protože je trojúhelník také rovnoramenný, je výška na přeponu rovna poloměru kružnice opsané, což je 4 cm. Obsah trojúhelníku c v vypočítáme podle vzorce: S = c. Po dosazení vychází obsah trojúhelníku 2 8 4 S = = 16 cm 2. 2 Obsah trojúhelníku je roven 16 cm 2. Řešení: 16 cm 2 3.2 Vypočítejte obvod trojúhelníku. Výsledek zapište v cm a zaokrouhlete na desetiny. V pravoúhlém trojúhelníku ASC vypočítáme délku strany AC podle Pythagorovy věty: AC 2 = 4 2 + 4 2 = 32, AC = 32. Obvod vypočítáme jako součet délek stran: o = 32 + 32 + 8 = 8 + 2 32 = 8 + 2 4 2 = 8 + 8 2 = 8 (1 + 2) 19,3 cm. Obvod trojúhelníku je přibližně 19,3 cm. Řešení: 19,3 cm 4 Pro povrch kvádru bez horní podstavy platí vzorec: S = ab + 2bc + 2ac. Vyjádřete neznámý rozměr b. Řešíme postupnými úpravami rovnice: S = ab + 2bc + 2ac / 2ac S 2ac = ab + 2bc / z výrazu na pravé straně vytkneme neznámou b S 2ac = b (a + 2c) /: (a + 2c) b = S 2ac a + 2c Řešení: b = S 2ac a + 2c Maturita z matematiky ZD 7
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Z kovového pásku tvaru obdélníka o délce 3,1 dm a šířce 3 cm se zhotovují podložky. Podložky mají tvar mezikruží s vnějším průměrem 3 cm a vnitřním průměrem 1 cm. 5 5.1 Určete maximální počet podložek, které lze z pásku vyrobit. max. 5 bodů Šířka obdélníka je rovna vnějšímu průměru podložky, proto počet podložek vypočítáme neúplným dělením délky pásku a průměru podložky: 31 cm : 3 cm = 10 (zb. 1 cm). Z pásku lze získat maximálně 10 podložek, 1 cm délky pásku zbyde. Z pásku lze vyrobit maximálně 10 podložek. Řešení: 10 podložek 5.2 Určete obsah plochy jedné podložky v cm 2 (zaokrouhlete na dvě desetinná místa). Obsah plochy podložky vypočítáme tak, že od obsahu kruhu s průměrem 3 cm odečteme obsah kruhu s průměrem 1 cm. S = π 1,5 2 π 0,5 2 = 2,25π 0,25π = 2π 6,28 cm 2. Obsah plochy jedné podložky je 2π cm 2, přibližně 6,28 cm 2. Řešení: 6,28 cm 2 5.3 Kolik procent z celkové plochy pásku půjde do odpadu (zaokrouhlete na jednotky)? Obsah plochy pásku je S 1 = 31 3 = 93 cm 2. Obsah 10 podložek je roven S 2 = 62,8 cm 2. Odpad činí S 1 S 2 = 93 cm 2 62,8 cm 2 = 30,2 cm 2. Počet procent p = 30,2 : 93 0,32 = 32 %. Řešení: 32 % 8 Maturita z matematiky ZD
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Glóbus má tvar koule o průměru 40 cm. Jsou na něm vyznačeny rovník a vybrané kružnice, které leží v rovinách rovnoběžných s rovinou rovníku (tzv. rovnoběžky). Přibližné zeměpisné souřadnice Prahy jsou: 50 severní zeměpisné šířky, 14 východní zeměpisné délky. 6 Vypočítejte délku rovnoběžky (na glóbu), která prochází Prahou. Prahou prochází 50. rovnoběžka. Její poloměr PM na glóbu vypočítáme z pravo úhlého trojúhelníku SMP. Platí: cos 50 =. Odtud PM = 20 cos 50. 20 PM PM 12,8 cm. Délku rovnoběžky vypočítáme podle vzorce pro délku kružnice o = 2πr. o = 2π PM 80,8 cm. Na glóbu má 50. rovnoběžka délku přibližně 80,8 cm. Řešení: 80,8 cm VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 7 Klasifikaci žáků z matematiky vyjadřuje následující tabulka: Klasifikace 1 2 3 4 5 Počet dívek 4 5 6 2 0 Počet chlapců 6 2 2 2 1 7.1 Určete průměrnou známku z matematiky ve třídě. Průměrnou známku vypočítáme jako součet všech známek dělený počtem známek: p = (10 1 + 7 2 + 8 3 + 4 4 + 1 5) : (10 + 7 + 8 + 4 + 1) = 69 : 30 = 2,3. Průměrná známka z matematiky je 2,3. Řešení: 2,3 Maturita z matematiky ZD 9
7.2 Kolik chlapců má horší známku z matematiky, než je průměrná známka ve třídě? Z tabulky klasifikace snadno zjistíme, že počet chlapců, kteří mají známky 3, 4 nebo 5 je 2 + 2 + 1 = 5. Počet chlapců, kteří mají horší známku z matematiky, než je průměrná známka ve třídě, je 5. Řešení: 5 chlapců VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Mirka a Jirka potřebují na společnou akci mít 5 400 Kč. Chybí jim ještě 1 000 Kč. Současné úspory Mirky jsou o 20 % větší než úspory Jirky. 8 Kolik Kč zatím naspořila Mirka? Za neznámou x zvolíme dosavadní úspory Jirky. Úspory Mirky jsou o 20 % větší. 20 % x vyjádříme desetinným číslem: 0,2 x. Úspory Mirky pomocí neznámé x vyjádříme takto: x + 0,20 x = 1,2x. Dosavadní úspory obou dohromady: x + 1,2x = 2,2x Platí rovnice: 2,2x = 5 400 1 000. Rovnici vyřešíme: 2,2x = 4 400 x = 4 400 : 2,2 x = 2 000. Úspory Jirky jsou 2 000 Kč. Mirka zatím naspořila: 1,2 2 000 = 2 400 Kč. Řešení: 2 400 Kč 2 body 9 Objemy dvou krychlí jsou v poměru 27 : 8. V jakém poměru jsou povrchy těchto krychlí? A) 3 : 2 B) 9 : 4 C) 27 : 8 D) 81 : 64 E) v žádném z výše uvedených 10 Maturita z matematiky ZD
Objem krychle je roven třetí mocnině délky hrany V = a 3. Poměr objemů krychlí vyjádříme x 3 : y 3 = 27 : 8, odtud po odmocnění dostaneme poměr délek hran x : y = 3 27 : 3 8 = 3 : 2. Stěny krychle mají tvar čtverce. Povrch krychle je roven šestinásobku obsahu jedné stěny. Poměr povrchů daných krychlí je tedy (6x 2 ) : (6y 2 ) = x 2 : y 2 = 3 2 : 2 2 = 9 : 4. Správně je možnost B. Řešení: B 10 Přímka p v rovině je určena parametrickými rovnicemi: x = 3 2t, y = 5 + 7t. Určete vektor n, který je k přímce p kolmý (normálový vektor přímky). Normálový vektor vyberte z možností A E. A) n = (3; 5) B) n = ( 2; 7) C) n = (5; 3) D) n = (7; 2) E) n = (1; 2) 2 body Z parametrických rovnic zjistíme směrový vektor přímky u = ( 2; 7). Ke směrovému vektoru je kolmý vektor, který určíme tak, že zaměníme souřadnice vektoru u a u jedné změníme znaménko. Vychází vektor n = (7; 2). Kontrolu provedeme tak, že skalární součin kolmých vektorů je roven nule. Opravdu platí n v = 2 7 + 7 2 = 0. Správně je možnost D. Řešení: D 11 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Pro každé kladné reálné číslo a platí: a 2 + 25 = a + 5. 11.2 Pro každé kladné reálné číslo a platí: 25a 2 = 5a. 11.3 Pro každé kladné reálné číslo a platí: log (a 2 + 25) = 2 log a + log 25. 11.4 Pro každé kladné reálné číslo a platí: log (25a 2 ) = 2 log a + 25. Maturita z matematiky ZD 11
11.1 Tvrzení platí jen pro a = 0. Obecně je věta nepravdivá. Odpověď: NE 11.2 Tvrzení platí dokonce pro všechna nezáporná čísla. Odpověď: ANO 11.3 Tvrzení neplatí. Nelze obecně upravit logaritmus součtu na součet logaritmů. Odpověď: NE 11.4 Podle pravidel vychází log (25a 2 ) = log 25 + log a 2 = 2 log a + log 25. Odpověď: NE Řešení: NE, ANO, NE, NE 12 Funkce je určena rovnicí y = (2a) x, kde a je kladné reálné číslo. Jakou podmínku musí číslo a splňovat, aby tato funkce byla klesající? 2 body A) a (0; 1 2 ) B) a ( 1 2 ;1) C) a (1; 2) D) a (2; 10) E) a (10; + ) Základ exponenciální funkce, která je klesající, je kladné číslo menší než 1. Platí tedy zároveň nerovnice: 2a > 0, 2a < 1. Po úpravě dostaneme a > 0, a < 1 2. Číslo a musí splňovat podmínku a (0; 1 2 ). Správně je možnost A. Řešení: A 2 body 13 Je dána rovnice x (x 2) = 24. Z možností A E vyberte číslo, které je rovno součinu všech kořenů dané rovnice. A) 0 B) 2 C) 2 D) 24 E) 24 12 Maturita z matematiky ZD
Rovnici upravíme do základního tvaru x 2 2x 24 = 0. Podle vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice usoudíme, že součin kořenů je roven absolutnímu členu kvadratického výrazu, tedy číslu 24. Druhou možností, jak úlohu vyřešit, je vypočítat kořeny pomocí vzorce s diskriminantem. D = b 2 4ac = ( 2) 2 4 1 ( 24) = 100, b + D x 1 = = 2 + 10 b D 2 10 = 6, x 2a 2 2 = = = 4. 2a 2 Součin kořenů je roven 6 ( 4) = 24. Oba postupy dávají stejný výsledek. Správně je možnost E. Řešení: E 2 body 14 Záření prochází několika vrstvami. Při každém průchodu vrstvou se jeho intenzita sníží o 20 % hodnoty před průchodem. Z možností A E vyberte, o kolik procent počáteční hodnoty se intenzita sníží po průchodu třemi vrstvami. A) o 40,0 % B) o 48,8 % C) o 51,2 % D) o 60,0 % E) o 64,2 % Počáteční hodnotu intenzity záření označíme x. Po průchodu první vrstvou bude intenzita o 20 % menší, bude rovna 0,8x. Po průchodu druhou vrstvou bude intenzita opět o 20 % menší, bude rovna 0,8 0,8x = 0,8 2 x. Po průchodu třetí vrstvou bude intenzita opět o 20 % menší, bude rovna 0,8 0,8 2 x = 0,8 3 x = 0,512x. V procentech lze stav po průchodu třetí vrstvou vyjádřit jako 51,2 % počáteční hodnoty. Došlo tedy ke snížení o 48,8 %. Rychlejší postup spočívá v tom, že si uvědomíme, že intenzity tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = 0,8 a využijeme vzorec pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti. Správně je možnost B. Řešení: B Maturita z matematiky ZD 13
max. 4 body 15 Ke grafům funkcí na obrázcích 15.1 15.4 přiřaďte zadání těchto funkcí rovnicí A F. 15.1 15.2 15.3 15.4 A) y = log 2 x B) y = 10 x C) y = 2 x D) y = 1 2 x E) y = x 2 4 F) y = 2 x 14 Maturita z matematiky ZD
15.1 Grafem funkce je přímka. Jedinou možností ve výběru je lineární funkce (přesněji přímá úměrnost, neboť přímka prochází počátkem). Ke grafu přiřadíme rovnici y = 1 2 x v možnosti D. Řešení: D 15.2 Grafem funkce je parabola, která je grafem kvadratické funkce. Jedinou možností ve výběru je E, kde je uvedena rovnice y = x 2 4. Řešení: E 15.3 Grafem funkce je hyperbola, která je grafem nepřímé úměrnosti. V úvahu připadají možnosti C, F. Správnou možnost můžeme odhalit tak, že větve hyperboly na obrázku leží ve 2. a 4. kvadrantu, což odpovídá možnosti F. Koeficient nepřímé úměrnosti zde musí být záporný. Správnou možnost také lze zjistit výpočtem nějakého bodu grafu. Dosazením do rovnice y = 1 2 dostaneme například pro x = 1 je y = 2. Hyperbola na obrázku prochází bodem o těchto souřadnicích. Ke grafu patří rovnice v možnosti F. Řešení: F 15.4 Na obrázku vidíme graf logaritmické funkce y = log x, což odpovídá možnosti A. Řešení: A KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 15
16 Maturita z matematiky ZD
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 8 jsou otevřené. 3) Úlohy 9 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 50 2 120 1 bod 3 3.1 16 cm 2 1 bod 3.2 19,3 cm S 4 b = 2ac a +2c 5 5.1 10 1 bod 5.2 6,28 cm 2 5.3 32 % 6 80,8 cm 7 7.1 2,3 1 bod 7.2 5 1 bod 8 2 400 Kč 9 B 2 body 10 D 2 body 11 11.1 NE 11.2 ANO 11.3 NE 11.4 NE 12 A 2 body 13 E 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 17
14 B 2 body 15 15.1 D 15.2 E 15.3 F 15.4 A max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky ZD
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 8 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 9 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 2 1 bod 3 3.1 1 bod 3.2 4 5 5.1 1 bod 5.2 5.3 6 7 7.1 1 bod 7.2 1 bod 8 9 2 body 10 2 body 11 11.1 11.2 11.3 11.4 12 2 body 13 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 19
14 2 body 15 15.1 15.2 15.3 15.4 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky ZD