DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře derivací věty o derivaci složeé fukce věty o derivaci složeé fukce Obvykle postupujeme tak že ejdříve určíme derivace jakési základí třídy fukcí přímo pomocí defiice a ásledě tuto miimálí třídu rozšíříme pomocí výše uvedeých vět i a fukce komplikovaější VÝPOČET DERIVACE POMOCÍ DEFINICE Připomeňme si ejdříve defiici derivace fukce f v bodě a d f f ( ) f ( a) f ( a + ) f ( a) f ( a) ( a) lim lim d a a 0 Budeme-li chtít azačit že bod v ěmž derivaci počítáme je zcela libovolý použijeme pro ěj obvyklejší ozačeí proměé a defiici přepíšeme do tvaru d f f ( z) f ( ) f ( + ) f ( ) f ( ) ( ) lim lim d z z 0 Pro PŘÍKLAD f ( ) + 6 3 určete f () Příklad vyřešíme pomocí obou variat defiice derivace Budeme-li počítat správě musíme pochopitelě dojít v obou případech ke stejému výsledku Postup výpočtu je jasý a) dosadíme zadáí do obecé defiice derivace b) upravíme limitovaý výraz c) pomocí vhodých vět (zpravidla algebraických) určíme limitu upraveého výrazu A) B) ( + 6 3) ( + 6 3) + 6 0 ( )( + 5) f () lim lim lim ( )( + 5) lim lim[ ( + 5) ] lim lim( + 5) lim ( lim + lim 5) ( + 5) 4 ( + ) + 6 ( + ) 3 + 6 3 f () lim 0 (4 + 4 + ) + 6 ( + ) 3 7 + 4 lim lim lim ( + 4) 0 0 0 Pro aše potřeby bude stačit pokud pomocí defiice určíme derivace je čtyř elemetárích fukcí si cos a e Limitu kterou získáme po dosazeí zadáí do defiice derivace emůžeme počítat přímo (apř pomocí algebraických vět) Došli bychom totiž k eurčitému výrazu 0/0

- - Derivace lim ( ) + lim 4 lim lim + lim 4 0 + 4 4 0 0 0 0 0 Platí tedy f () 4 Pro PŘÍKLAD f ( ) + 6 3 určete f ( a) Teto příklad je obecější verzí příkladu derivujeme stejou fukci pouze bod v ěmž derivaci počítáme je obecý Podobě jako v předcházejícím příkladu bychom mohli výpočet provést dvojím způsobem V zájmu šetřeí místem se omezíme tetokrát je a způsob prví - A výpočet podle schématu B přeecháváme čteáři [ ] ( + 6 3) (a + 6a 3) ( a ) + 6( a) ( + a) + 6 ( a) f ( a) lim lim lim a a a a a a [ ] ( ) lim ( + a) + 6 lim lim( + a) + lim 6 lim lim + lim a + lim 6 ( a + a) + 6 4a + 6 a a a a a a a a Můžeme tedy psát f ( a) 4a + 6 ebo použijeme-li pro bod v ěmž derivaci počítáme ozačeí také f ( ) ( + 6 3) 4 + 6 3 PŘÍKLAD 3 Dokažte že pro libovolé přirozeé platí ( ) Tímto příkladem se dostáváme k prvímu ze čtyř obecých vzorců které potřebujeme zát chceme-li v dalším používat věty o derivacích 4 Při jeho řešeí (tetokrát budeme postupovat podle scéáře B) využijeme tzv biomickou větu kde ( ) ( ) ( ) ( a ) + b a + a b + a b + + ab + b! ( k ) ( k)! k! a symbolem k! ozačujeme faktoriál čísla k k! 3 k Ale zpět k výpočtu aší derivace: 3 Všiměte si že pokud do tohoto vzorce dosadíme podle zadáí příkladu a získáme též i výsledek příkladu (4) 4 Pozor ovšem vzorec dokážeme zatím je pro přirozeé mociy 3 atd Rozšířeí jeho platosti a obecé reálé mociy provedeme postupě v dalších příkladech této kapitoly

Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 3 - ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + + + + lim lim 0 0 ( ) ( ) ( ) + + + lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim + + + 0 lim lim lim 0 + + + 0 0 V posledím výraze jsou ale všechy limity až a prví ulové můžeme tedy psát 5 a po úpravě i výsledý vzorec ( ) ( ) lim 0 ( ) ( )! ( ) ( ) ( )!! ( ) ( ) ( ) CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -3 Pomocí defiice vypočítejte f ( a) pro ásledující fukce a volby bodu a a) b) c) f ( ) f ( ) a d) 3 4 a e) 3 f ( ) + a f) f ( ) f ( ) a g) f ( ) 3 R 4 R f ( ) a h) 3 R a i) c a R (6) + + a (7) f ( ) A B C + + a R f ( ) A B C PŘÍKLAD 4 Dokažte že (cos ) si a (si ) cos Na řadě jsou další dvě důležité derivace které je uto vypočíst pomocí defiice Pro derivaci fukce kosius platí cos( ) cos cos cos si si cos (cos ) + lim lim 0 0 cos si cos si lim cos si lim cos lim lim si lim 0 0 0 0 0 5 Využíváme toho že se chová při limitováí podle jako kostata Tuto pozámku si dobře promyslete a zapamatujte Ještě ěkolikrát její tvrzeí použijeme apř již v obou ásledujících příkladech 6 c je libovolá reálá kostata 7 A B a C jsou libovolé reálé kostaty

- 4 - Derivace cos 0 si si kde jsme využili součtový vzorec pro goiometrickou fukci kosius cos( α + β ) cos α cosβ si α si β a limit zámých z cvičeí 3 k příkladu 6 kapitoly (Spojitost a limity) cos lim 0 0 Podobě můžeme psát pro derivaci fukce sius a si lim 0 si( ) si( ) cos si si cos si (si ) + + lim lim 0 0 cos si cos si lim si + cos lim si lim + lim cos lim 0 0 0 0 0 si 0 + cos cos přičemž tetokrát využíváme součtového vzorce si( α + β ) si α cosβ + cos α si β PŘÍKLAD 5 Dokažte že ( e ) e Posledí z derivací kterou musíme určit pomocí defiice je derivace epoeciálí fukce s přirozeým základem I v tomto výpočtu využijeme zalostí o limitách z cvičeí 3 k příkladu 6 kapitoly (Spojitost a limity) Výpočet je až a jedu etriviálí limitu 8 jedoduchý + e e e e e e e ( e ) lim lim lim e lim e lim e e 0 0 0 0 0 VÝPOČET DERIVACE POMOCÍ ALGEBRAICKÝCH VĚT Nejdříve si věty které budeme v dalším používat stručě připomeňme Pro přehledost je zapisujeme v co ejstručějším tvaru Podrobé zěí alezete v kapitole Breviáře ( ) ( cf ) ( ) f ± g f ± g cf f g f g + f g 8 e lim 0

Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 5 - f f g f g g g PŘÍKLAD 6 Pomocí vět o algebře derivací a vzorců 9 a c 0 určete f () 3 + kde f ( ) + Nejdříve určíme derivaci fukce f v obecém bodě : ( 3 ) ( ) ( 3 )( ) ( ) ([3 ] + )( + ) ( 3 + )([ ] + ) derivace derivace podílu součtu 3 + + + + + + + + ( )( ) ( )( ) derivace kost ásobku vzorce pro fukce a c ( ) ( 3 + 0)( + ) ( 3 + )( + 0) ( + ) ( + ) ( ) 3 + + 3 + + 3 + 0 + 3 + + 0 + + ( )( ) ( )( ) ( ) Můžeme proto psát a po dosazeí i f ( ) ( + ) f () 9 ( + ) PŘÍKLAD 7 Dokažte že pro přirozeá platí ( ) 0 Uvědomíme-li si že / můžeme pomocí věty o derivaci podílu psát ( ) 0 ( ) ( ) 9 Viz příklad 3 a cvičeí g k příkladům -3 0 Tímto příkladem rozšiřujeme platost vzorce ( ) a všecha celá (kladá i záporá)

- 6 - Derivace PŘÍKLAD 8 Dokažte že ( tg ) / cos Při řešeí tohoto příkladu užijeme defiici goiometrické fukce tages tg si / cos větu o derivaci podílu a dříve odvozeé vzorce pro derivaci siu a kosiu: si (si ) cos si (cos ) cos cos si ( si ) cos cos cos cos + si cos cos ( tg ) CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 6-8 Určete f ( a) pro zadaé fukce f a hodoty a a) f ( ) (3 + )( + ) a () d) f ( ) a π g) f ( ) a 3 cos b) f ( ) a 0 e) f ( ) e a h) f ( ) + 3 a c) f ( ) tg a π / 4 f) f ( ) e a i) f ( ) cos + si a 3 π / 4 Pro zadaé fukce vypočítejte f ( ) a) b) + + d) f ( ) cotg g) f ( ) cos ( ) f ( ) A B C f ( ) A + A + + A + A e) A + B c) f ( ) C + D 3 Určete ( e ) a 3 ( e ) 0 f) h) f ( ) si ( ) f ( ) si f ( ) si 3 i) 4 Pomocí pricipu matematické idukce dokažte platost vztahu ( e ) 5 Pomocí výsledku cvičeí 4 dokažte pro přirozeá platost vztahu ( e ) f ( ) + 3 + je přirozeé číslo e e VÝPOČET DERIVACE POMOCÍ VĚTY O DERIVACI INVERZNÍ FUNKCE Derivaci iverzí fukce počítáme podle vzorce Postup je tedy ásledující: f ( ) / f ( y) y f ( ) a) alezeme fukci f ( ) k íž je zadaá fukce f ( ) iverzí Při výpočtu derivace zadaé fukce v bodě a 3 se můžeme omezit je a malé okolí tohoto bodu apř a iterval (5;35) Pro (5;35) je ale výraz kladý můžeme proto při výpočtu derivace psát f ( ) A B C D a A k jsou reálé kostaty přirozeé číslo

Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 7 - b) tuto fukci derivujeme podle její ezávislé proměé (z pochopitelých důvodů pro i používáme jié ozačeí zde y ež pro ezávislou proměou fukce f ) c) uděláme reciprokou hodotu výsledku d) a akoec dosadíme za ezávislou proměou fukce f ze vzorce y f ( ) Fukce PŘÍKLAD 9 Pomocí věty o derivaci iverzí fukce určete f ( ) je iverzí fukcí k fukci ezáporá y 3 Derivaci f ( y) f ( ) budeme tedy počítat podle vzorce y jejíž defiičí obor je omeze a který dále vede k ( ) f ( y) ( y ) f y f ( ) y y y Všiměte si že získaý výsledek je možo psát i ve tvaru ( ) který je zcela v souladu s dříve získaým vzorcem platým pro celočíselé mociy ( ) PŘÍKLAD 0 Pomocí věty o derivaci iverzí fukce určete ( l ) Fukce psát y f ( ) l je iverzí fukcí k fukci f ( y) e můžeme proto (yí již stručěji) ( ) e e ( l ) y l y e y l y l Fukce PŘÍKLAD Pomocí věty o derivaci iverzí fukce určete ( arcsi ) f ( ) arcsi je iverzí fukcí ke goiometrické fukci f ( y) si y jejíž defiičí obor byl omeze z důvodů prostoty a iterval π / π / Můžeme tedy psát 3 Jiak by ebyla fukce f ( y) y prostá a eměla by tedy ai fukci iverzí

- 8 - Derivace ( arcsi ) (si y) cos y arcsi y arcsi a zajisté i pokračovat a apsat výsledek formálě ve tvaru cos(arcsi ) Je ztěží si ale pod takovým výsledkem představíme ěco kokrétího Vyplatí se proto ásledující úprava 4 cos y si y si (arcsi ) y arcsi y arcsi pomocí které získáme koečý výsledek v poěkud přijatelějším tvaru ( arcsi ) CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 9- Pomocí věty o derivaci iverzí fukce určete derivace ásledujících fukcí Určete též defiičí obor každé z uvedeých fukcí a) b) f ( ) 3 f ( ) 6 (5) c) d) f ( ) l ( + ) e) f ( ) arccos (6) f) f ( ) arctg f ( ) arccotg VÝPOČET DERIVACE POMOCÍ VĚTY O DERIVACI SLOŽENÉ FUNKCE Derivaci složeé fukce f ( g( )) počítáme podle vzorce f ( g( )) f ( y) g ( ) y g( ) Postup je tedy ásledující: a) alezeme rozklad derivovaé fukce a fukci vější f ( y ) a fukci vitří g( ) 7 b) provedeme derivaci vější fukce podle její ezávislé proměé (zde y) a po provedeém derivováí dosadíme za tuto ezávislou proměou fukci vitří c) provedeme derivaci fukce vitří d) vše dosadíme do obecého vzorce pro derivováí složeé fukce 4 Protože jsme se s y omezili a iterval π / π / můžeme psát cos y si y jak by plyulo z obecé rovosti 5 Nejdříve musíme zjistit ke které fukci je si y cos y + cos y si y a e pouze f ( ) fukcí iverzí Postup je obvyklý: y právě když y + Hledaá fukce je tedy dáa předpisem f ( y) y + Dále již postupujeme podle věty o derivaci iverzí fukce 6 Výsledky cvičeí d f ke kterým byste měli dojít alezete v Breviáři kap 7 Rozklad emusí být vždy jedozačý ai a prví pohled zřejmý Často se abízí více možostí

Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 9 - PŘÍKLAD Pomocí věty o derivaci složeé fukce určete ( + 3) 8 99 Fukce h( ) ( 3) vitří fukce jsou 99 + je evidetě složeou fukcí h( ) f ( g( )) 98 ( ) 99 f y y f ( y) 99 y a g ( ) 3 + f ( y) 99y 98 99( 3) 98 y g ( ) y + 3 g ( ) Platí tedy 98 98 ( ( )) 99( + 3) 98 ( + 3) f g + Můžeme tedy psát 99 98 ( + 3) 98 ( + 3) Odpovídající vější a PŘÍKLAD 3 Určete prví derivaci fukce h( ) a kde a je kladé číslo Při řešeí tohoto příkladu využijeme jede poměrě užitečý trik Pro l a l a a e e což ám umoží převést derivovaou fukci do tvaru h( ) a budeme psát l a e Z ěj je y již a prví pohled patro že se jedá o fukci složeou s vější fukcí je f ( y) e a s fukcí vitří g( ) l a Můžeme proto psát ( ) ( ) ( ) h e e a e a e a e a a a l a y y l a l a ( ) l l l l l y l a y l a CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -3 Pomocí věty o derivaci složeé fukce určete derivace ásledujících fukcí Určete též defiičí obor každé z uvedeých fukcí a) h( ) d) h( ) l( ) g) h( ) b) h( ) si(5 6) e) / 4 h( ) e h) h( ) l si c) h( ) cos(si ) f) h( ) log a () i) h( ) l cos (9) (0) 8 Uvedeou derivaci bychom mohli jistě počítat pomocí věty o derivaci součiu aplikovaé a 99-ásobý souči ( + 3) ( + 3) ( + 3) Neí však zajisté žádých pochyb o tom jak komplikovaý výpočet by to bylvěta o derivováí složeé fukce vede aopak k výpočtu poměrě jedoduchému 9 Použijte triku z příkladu 3 0 Derivaci počítejte zvlášť a itervalech a ichž je si > 0 a zvlášť a itervalech a ichž je si < 0 Využijte výsledku příkladu 3 a věty o derivaci iverzí fukce

- 0 - Derivace Výsledky: CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -3 a) d) 3a g) 0 b) 4 e) 3 4a h) A + B c) 9 f) 3a a i) Aa + B CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 6-8 a) 6 d) π g) 6 b) - e) e h) 0 c) 4 f) e i) 0 a) A + B d) si A A A A g) si ( ) b) + ( ) + + + e) si h) cos( ) AD BC ( ) 3 ; c) ( C + D) f) 3cos si i) ( ) 3) ( e ) e ( e ) 3e 3 3 + + 3 CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 9- a) b) c) + e) + d) f) 6 + ( ) 3 CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -3 a) d) b) 5cos( 5 6) e) c) si ( si ) cos f) g) ( l ) 4 e + h) cotg i) tg l a