VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
0 Typeset by L A TEX 2ε c O. Dlouhý, V. Tryhuk, Brno 2004
2
Obsah Úvod 5. Cíle.................................. 5.2 Požadované znalosti.......................... 6.3 Doba potřebná ke studiu....................... 6.4 Klíčová slova............................. 6.5 Metodický návod k práci s tetem.................. 6 2 Derivace funkce 7 2. Derivace funkce............................ 7 2.. Pojem derivace, základní vlastnosti............. 7 2..2 Pravidla pro derivování.................... 0 2..3 Tabulka derivací elementárních funkcí............ 2 2.2 Diferenciál funkce........................... 4 2.3 Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu............... 6 2.4 Derivace vyšších řádů......................... 8 2.5 Diferenciály vyšších řádů....................... 9 2.6 Taylorův polynom........................... 20 2.7 L Hospitalovo pravidlo........................ 24 2.8 Asymptoty grafu funkce....................... 27 2.9 Etrémy funkce............................ 33 2.0 Funkce konvení a konkávní..................... 37 2. Průběh funkce............................. 39 2.2 Kontrolní otázky........................... 46 2.3 Klíč, Testy ke zpracování....................... 47 Rejstřík................................... 53 Literatura.................................. 53
4 OBSAH
Kapitola Úvod. Cíle Cíle jednotlivých odstavců tohoto modulu jsou následující: 2. Derivace funkce patří k nejzákladnějším pojmům matematické analýzy. Je zapotřebí dobře zvládnout definici derivace a na základě jejího geometrického významu umět určit rovnici tečny a normály ke grafu funkce v zadaném bodě. Určitě si spočítejte alespoň jeden příklad na výpočet derivace funkce z definice. Seznámíte se také se vztahem mezi derivací a spojitostí funkce v bodě. Dobře si zapamatujte pravidla pro derivování funkcí a tabulku derivací elementárních funkcí. Obojí budete potřebovat při řešení konkrétních příkladů a úloh. Pro dobré zvládnutí derivování je zapotřebí si vyřešit dostatečné množství příkladů. Bez potřebné znalosti derivování není možné úspěšně studovat další části matematické analýzy. 2.2 Umět znázornit geometrický význam diferenciálu funkce v bodě. Znát definici diferenciálu a použití diferenciálu v odhadu chyb při měřeních zatížených chybou. 2.3 Seznámíte se s vlastnostmi funkcí spojitých na intervalu. Měli byste umět formulovat vybrané základní vlastnosti funkcí spojitých na intervalu a znát jejich geometrickou interpretaci. 2.4 Umět zapsat definici derivace n tého řádu a znát počítání derivací vyšších řádů. 2.5 Znát vztahy pro výpočet diferenciálů vyšších řádů a podmínky jejich eistence. 2.6 Jde o důležitou problematiku, která má značné využití v různých aplikacích (například v numerické matematice). Cílem je umět definovat Taylorův a Maclaurinův polynom stupně n, znát Lagrangeův tvar zbytku a zápis Taylorova polynomu užitím diferenciálů.
6 Úvod 2.7 L Hospitalovo (čti: lopitalovo) pravidlo vám umožní určovat ity některých složitějších funkcí. Je zapotřebí umět l Hospitalovo pravidlo správně zformulovat. K pochopení jeho přesné formulace vám pomohou komentáře uvedené v tomto odstavci. 2.8 Umět charakterizovat svislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkce. Znát vztahy potřebné pro jejich výpočet. 2.9 Znát definici lokálních etrémů, nutné a postačující podmínky pro jejich eistenci s využitím derivací. 2.0 Měli byste mít geometrickou představu o konvenosti a konkávnosti funkce, znát popis těchto vlastností užitím derivace druhého řádu, umět popsat inflení body. 2. Jde o využití poznatků diferenciálního počtu pro hledání průběhů funkcí. Pouze vyřešením dostatečného počtu příkladů můžete získat potřebné početní zkušenosti..2 Požadované znalosti Pro potřeby zvládnutí tohoto modulu předpokládáme znalosti studentů v rozsahu modulu Matematika I, Moduly BA0 M04, BA0 M05..3 Doba potřebná ke studiu Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta jako hodnota nejméně 8 hodin..4 Klíčová slova Derivace funkce, diferenciál funkce, Taylorův polynom, l Hospitalovo pravidlo, asymptoty grafu funkce, etrémy funkce, průběh funkce. Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky..5 Metodický návod k práci s tetem Tet je uspořádán podle stejných zásad, jako ostatní dříve studované moduly předmětu Matematika.
Kapitola 2 Derivace funkce 2. Derivace funkce 2.. Pojem derivace, základní vlastnosti Mějme funkci f : y = 2 a hledejme rovnici tečny k jejímu grafu v bodě P 0 = [3, 9]. Uvažujme posloupnost bodů P n = [3 + n, (3 + n )2 ] grafu funkce f, která zřejmě konverguje k bodu P 0 (neboť 3 + n 3, (3 + n )2 9 pro n ). Vedemeli postupně dvojicemi bodů P 0 a P n přímky (tzv. sečny), dostaneme následující posloupnost (tg α n ) směrnic sečen: tg α n = f(3 + ) f(3) n 3 + 3 = (3 + n )2 3 2 n n = 6 n + n 2 n = 6 + n. Odpovídající posloupnost sečen má n tý člen s n : y 9 = (6+ )( 3). Je vidět, n že posloupnost sečen konverguje k tečně ke grafu funkce v bodě P 0 a posloupnost směrnic sečen konverguje k číslu 6, které nazveme směrnicí tečny ke grafu funkce f v bodě P 0. Tečna má proto rovnici t : y 9 = 6( 3). Zobecníme naše úvahy a budeme uvažovat obecně posloupnost bodů P n = [3 + h n, (3 + h n ) 2, ] kde (h n ) n 0, h n 0, dostaneme obdobně, že (tg α n ) 6, neboť tg α n = f(3 + h n) f(3) 3 + h n 3 = 6h n + h 2 n h n = 6 + h n. Tyto úvahy nás vedou k následující definici. Definice 2..: Je-li funkce f definována v nějakém okolí U( 0 ) bodu 0 R a eistuje-li ita f() f( 0 ), 0 0 nazýváme ji derivací funkce f v bodě 0 a značíme ji f ( 0 ).
8 Derivace funkce Pokud f ( 0 ) R, říkáme, že fukce f má v bodě 0 vlastní derivaci. Je-li f ( 0 ) = ±, říkáme, že fukce f má v bodě 0 nevlastní derivaci. Pokud ita neeistuje, řekneme, že fukce f nemá v bodě 0 derivaci, nebo že derivace v bodě 0 neeistuje. f() f( Eistuje-li 0 ) 0+ 0, nazýváme tuto itu derivací zprava funkce f v bodě 0 a značíme ji f +( 0 ). Analogicky definujeme derivaci zleva a značíme ji f ( 0 ). Je-li f funkce a M = { R; eistuje vlastní f ( 0 )}, pak funkci f : f () s definičním oborem M nazveme derivací funkce f na množině M. Poznámka: Při označení = 0 + h používáme také zápis f f( 0 + h) f( 0 ) ( 0 ) =. h 0 h Slovem derivace budeme v dalším tetu rozumět vlastní derivaci. Geometrický význam derivace y f C sečna tečna A α s α t 0 B 0 f() f( 0 ) Platí f () = tg α t = 0 tg α s = 0 f() f( 0 ) 0. Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [ 0, f( 0 )] mají tvar t : y f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0 ), n : y f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0), pokud f ( 0 ) 0.
2. Derivace funkce 9 (Promyslete si tvar rovnic tečny a normály ke grafu funkce f v případě, kdy je f ( 0 ) = 0.) Nyní si uvedeme ukázky výpočtů derivací funkcí z definice. Příklad 2..: Odvoďte z definice derivaci f ( 0 ) funkce Řešení: a) f() =, 0 (0, ), b) f() = sin, 0 R. a) f ( 0 ) = 0 f() f( 0 ) 0 b) f ( 0 ) = 0 f() f( 0 ) 0 = = 0 0 0 = = 0 + 0 2, 0 sin 0 2 0 0 2 = 0 sin sin 0 0 0 cos + 0 2 0 = 0 ( 0 )( + 0 ) = 2 sin 0 cos + 0 2 2 = = 0 0 = cos 0. Cvičení 2..: Odvoďte z definice derivaci f ( 0 ) funkce a) f() = 3, b) f() = 3, 0 R. Z definice derivace vyplývají tyto vlastnosti:. Funkce f má v bodě 0 derivaci právě tehdy, když má v tomto bodě derivaci zprava i zleva a platí f +( 0 ) = f ( 0 ). 2. Má-li funkce f v bodě 0 vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. První vlastnost vyplývá z analogické vlastnosti it. Druhá vlastnost se často využívá a proto si ukážeme, jak se dá odvodit. Z eistence vlastní derivace f() f( plyne, že 0 ) 0 0 = f ( 0 ) R. Odtud ( ) f() f(0 ) f() = ( 0 ) + f( 0 ) = 0 0 0 f() f( 0 ) = 0 0 a tedy funkce f je spojitá v bodě 0. 0 ( 0 ) + 0 f( 0 ) = f ( 0 ) 0 + f( 0 ) = f( 0 ),
0 Derivace funkce Poznámka. Tvrzení 2. nelze obrátit. Funkce spojitá v bodě 0 R nemusí mít derivaci, jak ukazuje následující příklad: Funkce f : y = je spojitá v bodě 0 = 0, ale derivaci v tomto bodě nemá, neboť f +(0) = = 0+ 0 + =, f (0) = = 0 0 ( ) = f +(0), takže f (0) neeistuje (viz vlastnost.). 2..2 Pravidla pro derivování A) Mají-li funkce f, g derivaci v bodě 0 R a jestliže c R, pak platí:. (cf) ( 0 ) = cf ( 0 ). 2. (f ± g) ( 0 ) = f ( 0 ) ± g ( 0 ). 3. (f g) ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0 ) g ( 0 ). 4. Je-li g( 0 ) 0, pak ( ) f ( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) f( 0 ) g ( 0 ). g (g( 0 )) 2 B) Má-li funkce g derivaci v bodě 0 a funkce f má derivaci v bodě y 0 = g( 0 ), pak platí (f g) ( 0 ) = (f(g)) ( 0 ) = f (y 0 ) g ( 0 ) = f (g( 0 )) g ( 0 ). C) Je-li funkce f spojitá a ryze monotónní na otevřeném intervalu J a má-li v bodě y 0 J derivaci f (y 0 ) 0, pak funkce f má derivaci v bodě 0 = f(y 0 ) a platí ( f ) (0 ) = f (y 0 ). Pravidla A A4, B (o derivaci složené funkce) se musíte dobře naučit, protože je budete neustále používat při řešení příkladů. Pravidlo C (o derivaci inverzní funkce) slouží především k odvození vzorců pro derivaci inverzních funkcí, např. cyklometrických. Ukážeme si, jak je možno odvodit platnost například pravidla A3. (fg) ( 0 ) = 0 (fg)() (fg)( 0 ) 0 = = 0 f()g() f( 0 )g() + f( 0 )g() f( 0 )g( 0 ) 0 =
2. Derivace funkce ( f() f(0 ) = g() + f( 0 ) g() g( ) 0) = f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ). 0 0 0 Cvičení 2..2: Odvoďte si pravidla A a A2. Využijeme ještě pravidla C k odvození derivace funkce arkussinus. = (arcsin ) = = (sin y) cos y = sin 2 y = sin 2 (arcsin ) =, (, ). 2 Prověřte si, že jsou splněny všechny předpoklady pravidla C. Poznámka: Uvedená pravidla pro derivování se dají zobecnit. Mají-li funkce f, f 2,..., f n derivaci v bodě 0 R a jsou-li c, c 2,..., c n R, pak platí A2 (c f + c n f n ) ( 0 ) = c f ( 0 ) + c n f n( 0 ), A3 (f f 2... f n ) ( 0 ) = f ( 0 ) f 2 ( 0 )... f n ( 0 )+ +f ( 0 ) f 2( 0 )... f n ( 0 ) + + f ( 0 ) f 2 ( 0 )... f n( 0 ). B (f 3 f 2 f ) ( 0 ) = f 3(v 0 ) f 2(u 0 ) f ( 0 ), kde u 0 = f ( 0 ), v 0 = f 2 (u 0 ).
2 Derivace funkce 2..3 Tabulka derivací elementárních funkcí f() f () podmínky platnosti c 0 R, c R n n n R, n N n n n (, 0) (0, ), n N k k k (0, ), k R e e R a a ln a R, a > 0 ln / (0, ) log a ln a (0, ), a > 0, a sin cos R cos sin R tg cos 2 R {(2k + ) π 2 ; k Z} cotg sin 2 R {kπ; k Z} arcsin 2 (, ) arccos 2 (, ) arctg + 2 R arccotg + 2 R sinh cosh R cosh sinh R tgh cosh 2 R cotgh sinh 2 (, 0) (0, )
2. Derivace funkce 3 Pro ilustraci derivování uvedeme několik řešených příkladů. Při řešení budeme používat označení y = f (). Cvičení 2..3:. 2. 3. 4. Zadané funkce derivujte a výsledek upravte: y = 3 3 2 5 + π, R {0}. Využitím vlastností A2, A a prvních vzorců z tabulky derivací dostáváme pro 0 y = (3 2 3 5 + π ) = 3 2 3 2 3 5 ( ) 2 + 0 = 2 3 + 5 2. Při derivování součinu c f() konstanty s funkcí používejte pravidlo A a konstantu vytkněte. Nederivujte c f() jako součin funkcí. y = 3 + 2 2 +, R. Na základě vzorce A4 platí y = (3 + 2) ( 2 + ) (3 + 2) ( 2 + ) ( 2 + ) 2 = = 3 (2 + ) (3 + 2) 2 ( 2 + ) 2 = 32 4 + 3 ( 2 + ) 2. y = 3 2 + 4, R. Zadanou funkci si vyjádříme jako složenou funkci, přičemž vnější složka je funkce f(u) = u, vnitřní složka u = g() = 3 2 + 4. Pak obdržíme y = f (u) g () = }{{} 2 u 2 6 = 2 (f g)() g () 32 + 4 6 = y = sin 2 (3 ), R. 3 32 + 4. Abychom mohli použít vzorce z tabulky derivování elementárních funkcí, vyjádříme si funkci jako trojnásobně složenou funkci, kde u = f () = 3, v = f 2 (u) = sin u, f 3 (v) = v 2. Pak dle B platí y = f 3(v) f 2(u) f () = 2v cos u 3 = 2 sin (3 ) cos (3 ) 3 = = 3 sin (6 2). Nejprve jsme tedy derivovali druhou mocninu, pak funkci sinus a nakonec funkci 3.
4 Derivace funkce 5. y = arctg (2 + ) R { 2 }. Funkční předpis převedeme na tvar y = (arctg (2 + )) a derivujeme podle vzorce B (zde není vhodné derivovat jako podíl funkcí). Pak y = ( (arctg (2 + )) ) = ( ) (arctg (2 + )) 2 = (2 2 + 2 + ) arctg 2 (2 + ). + (2 + ) 2 2 = Cvičení 2..4: Zadané funkce derivujte a výsledek upravte. Určete D(f) a obor, na kterém eistuje derivace. ) 2 32 π 3) sin cos + tg π 2) 23 + ln 4) 2 3 5) 2 arcsin 2 2 2 6) +6 2 5 + 4 2 + 7 2 arcsin 2 3 7) 4 ln ++2 + 2 + 3 6 arctg 3 2 9) ln 2 ( 2 +) 8) cos + ln +cos 2 sin 2 sin 2.2 Diferenciál funkce Předpokládejme, že funkce f má v bodě 0 vlastní derivaci f ( 0 ). Pak platí f() f( 0 ) 0 0 = f ( 0 ) a tedy pro libovolné ε > 0 eistuje okolí P( 0, δ) takové, že f() f( 0) 0 f ( 0 ) < ε, tj. můžeme psát f ( 0 ) =. f() f( 0) 0 v P( 0, δ) a tedy f() =. f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). Všimněme si geometrického významu této přibližné rovnosti. Víme, že rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě P 0 = [ 0, f( 0 )] má tvar t : y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ). Odtud vyplývá, že jsme přírůstek funkčních hodnot f() f( 0 ) nahradili přírůstkem f ( 0 )( 0 ) na tečně t.
2.2 Diferenciál funkce 5 y y P 0 P f() f( 0 ) P 0 P T t f ( 0 )( 0 ). f() f( 0 ) = f ( }{{} 0 )( 0 ) }{{} = f ( 0 )h přírůstek funkčních hodnot }{{} rozdíl f(p ) f(p 0 ) přírůstek funkčních hodnot na tečně }{{} rozdíl f(t ) f(p 0 ) Tyto úvahy nás vedou k definici Definice 2.2.: Má-li funkce f v bodě 0 derivaci, pak výraz df( 0, h) = f ( 0 )h nazýváme diferenciálem funkce f v bodě 0 pro přírůstek h nezávisle proměnné. Poznámka: Lze ukázat, že pro diferenciál funkce platí následující vztahy kde = 0 + h. f() f( 0 ) df( 0, h) = 0, h 0 h f() f( 0 ) =, h 0 df( 0, h) Příklad 2.2.: Užitím diferenciálu určete absolutní a relativní chybu, která vznikne výpočtem objemu krychle z naměřené délky hrany krychle a 0 = 2m, jestliže měření je zatíženo chybou, nepřesahující 0.2 mm. Řešení: Absolutní chybu odhadneme absolutní hodnotou diferenciálu, tj.. V = dv (a 0, h), kde a 0 = 2 m, h = 2 0 4 m. Víme, že V = a 3 a odtud dv (a 0, h) = V (a 0 ) h = 3a 2 0 h = 0.0024 m 3. Relativní chybu odhadneme takto: V V =. dv V = 0.0024. = 0.0003, 8 tj. 0.3 /.
6 Derivace funkce Cvičení 2.2.: Vypočítejte: ) df(; 0, 2) pro funkci f() = arctg (2 ). 2) df( 0 ; h) pro funkci f() = ln ( + + 2 ). 3) df(0; h) pro funkci f() = e cos 3. 2.3 Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu Uvedeme si stručný přehled některých vlastností funkcí spojitých v intervalu, které mají značnou využitelnost zejména při zdůvodňování a odvozování různých vztahů v diferenciálním a integrálním počtu, v numerické matematice a podobně. Tvrzení jsou geometricky velmi názorná. V dalším budeme předpokládat, že a, b R, a < b.. Cauchyova věta o nulové hodnotě : Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b > a platí-li f(a) f(b) < 0, pak eistuje c (a, b) takové, že f(c) = 0. y a c b 2. Weierstrassova věta: Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b >, pak je f na intervalu < a, b > ohraničená a nabývá na něm své největší a nejmenší hodnoty. y M M = ma {f(); < a, b >} m a b m = min {f(); < a, b >} 3. Rolleova věta: Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b > a má-li derivaci v intervalu (a, b), přičemž f(a) = f(b), pak eistuje c (a, b) tak, že f (c) = 0.
2.3 Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu 7 y f(a) = f(b) a c b Tečna grafu v bodě c je rovnoběžná s osou. 4. Lagrangeova věta o přírůstku funkce: Je-li funkce f spojitá na intervalu < a, b > a má-li derivaci v intervalu (a, b), pak eistuje c (a, b) tak, že f(b) f(a) = f (c) (b a). y a c c 2 b Tečna grafu v bodě c {c, c 2 } je rovnoběžná se spojnicí bodů [a, f(a)], [b, f(b)]. Komentář 2.3.: Místo teoretického zdůvodňování platnosti jednotlivých tvrzení si pouze ukážeme jejich interpretaci na konkrétní funkci. Mějme funkci f() = 4 2 4 3, < 0, 2 >.. Protože f je spojitá na intervalu < 0, 2 > a přitom f(0) = 3, f(2) = 5, tj f(0) f(2) < 0, eistuje číslo c (0, 2) takové, že f(c) = 0. Je to kořen c = 3/2 (viz Obr. 2. vlevo). 2. Funkce f nabývá v intervalu < 0, 2 > své největší hodnoty M = f(2) = 5 a nejmenší hodnoty m = f(/2) = 4 (viz Obr. 2. vlevo). 3. Uvažujme nyní funkci f() = 4 2 4 3 v intervalu <, 2 >. Pak jsou splněny předpoklady Rolleovy věty včetně rovnosti f( ) = f(2). Eistuje tedy alespoň jeden bod c takový, že f (c) = 0. Jde o bod c = /2 (viz Obr. 2. vpravo). 4. Zvolíme si opět interval < 0, 2 >, pak pro funkci f() = 4 2 4 3 eistuje f () = 8 4 a dle Lagrangeovy věty eistuje bod c (0, 2) tak, že f(2) f(0) = f (c) (2 0), tj. f (c) = f(2) f(0) = 4. Odtud 8c 4 = 4, 2 tedy c = (viz Obr. 2. vlevo).
8 Derivace funkce Obrázek 2.: 2.4 Derivace vyšších řádů Má-li funkce f s definičním oborem D(f) konečnou derivaci f () pro každé z množiny M D(f), pak pro vnitřní bod 0 M má smysl se ptát, zda funkce f má v bodě 0 derivaci, tj. zda eistuje f () f ( 0 ). 0 0 Pokud eistuje, pak ji nazveme derivací 2. řádu (druhou derivací) funkce f v bodě 0 a označíme ji f ( 0 ). Analogicky můžeme zavést f jako derivaci z funkce f. Obecně pak pro n N dostáváme f (n) ( 0 ) = ( f (n )) f (n ) () f (n ) ( 0 ) (0 ) =. 0 0 Je jasné, že k eistenci derivace n tého řádu je nutná eistence nejenom (n ) ní derivace funkce f, ale i všech předchozích derivací. Aby tato definice byla smysluplná i pro n =, budeme funkci f označovat za nultou derivaci funkce f. Píšeme f (0) = f. Příklad 2.4.: Vypočítejte čtvrtou derivaci funkce f : y = sin 3. Řešení: Funkce f() = sin 3 má přirozený definiční obor D(f) = R. Pro každé D(f) eistuje f () = (sin 3) = cos 3 (3) = 3 cos 3, D(f ) = D(f).
2.5 Diferenciály vyšších řádů 9 Analogicky f () = (3 cos 3) = 9 sin 3, D(f ) = D(f ), f () = ( 9 sin 3) = 27 cos 3, D(f ) = D(f ), f (4) () = ( 27 cos 3) = 8 sin 3, D(f (4) ) = D(f ) = R. Cvičení 2.4.: Vypočítejte druhou derivaci funkce f a výsledek upravte. Najděte obory D(f), D(f ). ) f() = ln + 2) f() = arctg ( 2 + ) 2 3) f() = ( + ln ) 4) f() = 2 + 3 2.5 Diferenciály vyšších řádů Má-li funkce f v bodě 0 (vlastní) derivaci f (n) ( 0 ), pak funkci g, pro kterou platí g(h) = f (n) ( 0 ) h n, h R, nazýváme diferenciálem n tého řádu funkce f v bodě 0 nebo stručněji n tým diferenciálem funkce f v bodě 0. Hodnotu g(h) značíme d n f( 0, h) a platí tedy d n f( 0, h) = f (n) ( 0 ) h n, h R. Definice 2.5.: Eistuje-li (vlastní) n tá derivace f (n) na množině M D(f), pak je na množině M R definovaná funkce dvou proměnných a h, kde M, h R, kterou nazýváme diferenciálem n tého řádu funkce f (nebo též n tým diferenciálem funkce f). Označujeme jej d n f(, h) = f (n) () h n, M, h R. Při pevně zvoleném h pak píšeme jen d n f( 0 ). Poznámka: Pokud budeme při výpočtech diferenciálů vyšších řádů (n 2) uvažovat tentýž konstantní přírůstek h nezávisle proměnné, pak můžeme diferenciál n tého řádu (za předpokladu eistence vlastních derivací funkce f v bodě až do řádu n) vyjádřit rekurentně vztahem d n f(, h) = d ( d n f(, h) ).
20 Derivace funkce Příklad 2.5.: Vypočtěte d 3 f(2, 0.3), jestliže f() = log (2 ). Řešení: Určíme derivace f () = 2 (2 ) ln 0, f () = 4 (2 ) 2 ln 0, f () = 6 (2 ) 3 ln 0. Pak d 3 f(2, 0.3) = f (2) (0.3) 3 = 6 27 ln 0 27 0 3 = 6 000 ln 0. Cvičení 2.5.: Pro danou funkci f vypočítejte předepsané diferenciály. ) d 3 f( 0, h) pro f() = ln ( + 2) 2) d 2 f(2, h) pro f() = 2 3) d 2 f(0, h) pro f() = cos 2.6 Taylorův polynom Při výkladu diferenciálu jsme využili eistence vlastní derivace f ( 0 ) a aproimovali jsme lokálně zadanou funkci f polynomem. stupně (pokud f ( 0 ) 0). Platí přitom rovnice f() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + R (), kde R () je zbytek (chyba), která vznikne nahrazením přírůstku funkčních hodnot přírůstkem na tečně (diferenciálem df( 0, h) = f ( 0 )h). y P 0 P T R () df( 0, h) Dále je splněno ( ) R () f() f(0 ) R () = = f ( 0 ) = f ( 0 ) f ( 0 ) = 0, 0 0 0 0 0 což znamená, že chyba jde k nule rychleji než přírůstek nezávisle proměnné.
2.6 Taylorův polynom 2 Tento fakt potvrzuje rozumnost smysluplnost naší aproimace. Všimněme si, že při označení T () = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) platí T ( 0 ) = f( 0 ), T ( 0 ) = f ( 0 ). Tyto rovnosti nám zaručily, že zmiňovaná tečna se přimyká v dostatečně malém okolí bodu P 0 ke grafu funkce f lépe, než jakákoliv jiná přímka p t (jde o tzv. nejlepší lokální lineární aproimaci). Dá se očekávat, že pokud chceme dosáhnout vyšší přesnosti aproimace, můžeme použít polynomy vyšších stupňů, přičemž budeme požadovat, aby se rovnaly funkční hodnoty a hodnoty derivací v bodě 0 hledaného polynomu a zadané funkce. Příklad 2.6.: Jaké koeficienty musí mít polynom T n nejvýše n tého stupně, má-li platit T n ( 0 ) = f( 0 ), T n( 0 ) = f ( 0 ),..., T n (n) ( 0 ) = f (n) ( 0 )? Pak Řešení: Uvažujme polynom T n ve tvaru T n () = a 0 + a ( 0 ) + a 2 ( 0 ) 2 + a 3 ( 0 ) 3 + + a n ( 0 ) n. T n() = a + 2a 2 ( 0 ) + 3a 3 ( 0 ) 2 + + na n ( 0 ) n, T n () = 2a 2 + 6a 3 ( 0 ) + + n(n )a n ( 0 ) n 2, T n () = 6a 3 + 24a 4 ( 0 ) + + n(n )(n 2)a n ( 0 ) n 3. Z požadovaných rovností pak dostáváme T n ( 0 ) = f( 0 ) = a 0 = f( 0 ), T n( 0 ) = f ( 0 ) = a = f ( 0 ), T n ( 0 ) = f ( 0 ) = a 2 = f ( 0 ) 2 T n ( 0 ) = f ( 0 ) = a 3 = f ( 0 ) 6 Pomocí dalších vyšších derivací bychom ukázali, že platí a k = f (k) ( 0 ), k = 0,,..., n. k! = f ( 0 ), 2! = f ( 0 ) 3!. Cvičení 2.6.: Potvrďte správnost vztahu a k = f (k) ( 0 ) k! pro k = 4, 5. Provedené úvahy nás opravňují k následující definici.
22 Derivace funkce Definice 2.6.: Má-li funkce f v bodě 0 derivace až do řádu n, pak polynom T n () = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) 2! = T n (f, 0, 0 ), ( 0 ) 2 + + f (n) ( 0 ) ( 0 ) n = n! kde 0, R, se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě 0. Funkci R n, definovanou vztahem f() = T n () + R n () nazýváme zbytkem řádu n. Je-li 0 = 0, pak polynom T n se někdy nazývá Maclaurinův polynom. Nyní si ještě uvedemetaylorovu větu, která uvádí odhad pro zbytek. Věta: Má-li funkce f v okolí U( 0 ) bodu 0 derivace až do řádu n +, pak pro bod U( 0 ) platí přičemž R n () lze psát ve tvaru f() = T n () + R n (), R n () = f (n+) (ξ) (n + )! ( 0) n+, kde bod ξ je bod intervalu J s krajními body 0 a, tedy ξ = 0 + t( 0 ), 0 < t <. Poznámky:. Uvedený tvar zbytku R n se nazývá Lagrangeův tvar zbytku. Pro bod ξ platí: 0 ξ 0 ξ 2. Je vhodné si uvědomit, že Taylorův polynom je možné zapsat stručněji užitím diferenciálů ve tvaru kde h = 0. T n () = f( 0 ) + df( 0, h) + d2 f( 0, h) 2! 3. Pro zbytek R n v Taylorově větě platí vztah + + dn f( 0, h), n! f() T n (f, 0, h) R n (f, 0, h) h 0 h n = h 0 h n = 0, kde h = 0. Lze tedy říci, že zbytek R n konverguje pro h 0 k nule rychleji, než-li n tá mocnina absolutní hodnoty přírůstku h nezávisle proměnné.
2.6 Taylorův polynom 23 Příklad 2.6.2: Vyjádřete funkci f() = 4 + 3 + 2 + + jako polynom v proměnné. Řešení: Stačí určit Taylorův polynom čtvrtého stupně v bodě 0 =. Platí f() = 4 + 3 + 2 + + = f() = 5, f () = 4 3 +3 2 +2+ = f () = 0 = df(, ) = f () ( ) = 0( ),! f () = 2 2 +6+2 = f () = 20 = d 2 f(, ) = f () ( ) 2 = 0( ) 2, 2! f () = 24 + 6 = f () = 30 = d 3 f(, ) = f () ( ) 3 = 5( ) 3, 3! Odtud f (4) () = 24 = d 4 f(, ) = f (4) () ( ) 3 = ( ) 4. 4! T 4 (f,, ) = 5 + 0( ) + 0( ) 2 + 5( ) 3 + ( ) 4. Je jasné, že polynomy se sobě rovnají, neboť f (5) () = 0 a tedy zbytek je nulový. O rovnosti polynomů se můžete snadno přesvědčit úpravou nalezeného Taylorova polynomu na tvar zadané funkce f. Příklad 2.6.3: Určete Taylorův polynom n tého stupně funkce f() = ln (2 3) v bodě 0 =. Řešení: f() = ln (2 3), f () = 3 2 3, f 3 2 () = (2 3), f () = 33 2 2 (2 3), 3 f (4) () = 34 3 2 (2 3), f (5) () = 35 4 3 2 4 (2 3),..., f (n) () = 3n (n )! 5 (2 3), n proto f( ) = ln 5, f ( ) = 3 ( ) 2 ( ) 3 3 5, f ( ) =,..., f (n) ( ) = n (n )!. 5 5 Odtud T n (f,, +) = ln 5 n k= ( ) k 3 5 (k )! k! (+) k = ln 5 n k= ( ) k 3 5 k (+)k. Důkladně si tento příklad propočítejte a promyslete. Můžete se na něm hodně naučit. Všimněte si toho, že není vhodné při výpočtu derivací konstanty roznásobovat, nýbrž naopak, je zapotřebí je vyjádřit v takovém tvaru, který nám umožní popsat obecně derivaci n tého řádu.
24 Derivace funkce Příklad 2.6.4: f() = sin. Řešení: Určete Maclaurinův polynom n tého stupně funkce f() = sin, f () = cos, f () = sin, f () = cos, f (4) () = sin, a derivace se opakují, f (5) () = cos f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f () =, f (4) (0) = 0, f (5) (0) =,.... Tedy sin = n k=0 ( ) k 2k+ (2k + )! + R 2n+ (), R 2n+ () = ( )n+ sin ξ 2n+2, odtud R 2n+ () 2n+2 (2n + 2)! (2n + 2)!. Cvičení 2.6.2: a) Ověřte, že platí cos = n ( ) k 2k k=0 (2k)! + R 2n (), kde R 2n () = ( )n+ sin ξ 2n+ (2n + )! b) e = n k=0 k k! + R n(), kde R n () = eξ n+ (n + )!. Cvičení 2.6.3: Určete Taylorův (Maclaurinův) polynom funkce f v bodě 0 stupně n, je-li: a) f() = +, 0 = 0, n = 3, b) f() = arctg, 0 =, n = 2, c) f() = e, 0 = 0, n N. 2.7 L Hospitalovo pravidlo Při dosavadních výpočtech it podílu funkcí f() 0 g(), kde f() = 0, 0 g() = 0 0
2.7 L Hospitalovo pravidlo 25 jsme využívali různých úprav (krácení, rozšiřování zlomků apod.) pro zjednodušení podílu funkcí f() g(). Při výpočtu it sin 0, 0 e, ln nám však tyto úpravy nepomohou. Přitom jde o ity výše uvedeného typu, kde ve všech třech podílech je f( 0 ) = 0, g( 0 ) = 0 a přitom eistují derivace f ( 0 ), g ( 0 ) a g ( 0 ) 0. Pak ale platí f() 0 g() = 0 f() 0 g() 0 = 0 f() f( 0 ) 0 = g() g( 0 ) 0 f() f( 0 ) 0 0 = f ( 0 ) g() g( 0 ) 0 g ( 0 ). 0 Vidíme tedy, že se nám podařilo využít derivace funkcí f, g pro zjednodušení výpočtu zadané ity, například [ ] ln 0 = = f () 0 g () =. Cvičení 2.7.: Vypočtěte uvedeným způsobem zbývající dvě ity sin 0, 0 e. Naše úvahy o využití derivací funkcí f a g pro výpočet it podílu funkcí f/g se dají zobecnit následovně: Věta (L Hospitalovo pravidlo ): Mají-li funkce f a g v prstencovém okolí bodu 0 R konečné derivace a platí-li navíc nebo 0 f() = 0 g() = 0 0 g() = f pak z eistence ity () 0 g () rovnost f() 0 g() plyne eistence 0 f() g() LP = 0 f () g (). a platí Pro 0 R platí tvrzení vety také pro jednostranné ity. Cvičení 2.7.2:. cos π 3 ln 2 = 2 3 Řešené příklady: [ ] 0 LP π sin π = 0 3 2 = π sin π = 3 3 2 π. 2
26 Derivace funkce 2. 2 [ ] = LP = 3 [ = 2 ln 2 [ = 3 2 ] LP 2 ln 3 2 = 6 ] LP = 2 ln 2 2 6 = = Všimněte si, že při použití l Hospitalova pravidla zvlášť derivujeme čitatele a zvlášť jmenovatele zlomku. Nederivujeme tedy f/g jako podíl. Další časté případy it typů 0, se většinou snažíme algebraickými úpravami převést na typ 0/0 nebo /. 3. 0 + 3 ln 2 ln = [0 ( )] = 0 + 3 2 = [ ] LP = 0 + 2 3 5 3 = 4. 5. ( 2 + ln ( ) ) 2 LP = 2 2 = + + ln ( ) = 3 2 0 + 3 2 = 0. = [ ] = 2 + 2 ln ( ) ( 2) ln ( ) = [ ] 0 LP = 0 2 + ( ) 2 + ( ) 2 [ ] 0 = 0 = 2 + = 2. ) ( ) (( 4)e 2 = [ ] = 4e 2 + ( + e 2 ) = Komentář 2.7.: + e 2 = 4 + = = 4 ( 2 (2 ) 2 e 2 [ ] 0 LP = 4 + 0 ) e (2 ) 2 2 = 2 = 4 = 5. Je třeba vždy nejprve ověřit, zda jsou splněny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla. Stává se, že l Hospitalovo pravidlo je nesprávně použito k výpočtu it typu k, kde k 0, k R. Výsledky jsou pak zcela 0 chybné, jak se o tom můžete přesvědčit na jednostranné itě, 0+ kdy nesprávným použitím pravidla dostaneme itu rovnou nule. Správný výsledek je ovšem.
2.8 Asymptoty grafu funkce 27 Někdy jsou splněny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla, ale pokus o jeho použití nevede k cíli. Například 2 [ [ = = ] 2 2 = = ] =. Dokonce se může stát, že 0 f () g () 2 neeistuje a přitom 0 f() g() 2+5 sin eistuje, například pro typu je 3+4 cos f () a ity čitatele a jmenovatele neeistují. Platí však 2+5 cos 3 4 sin f() g() = 2 + 5 sin 3 + 4 cos = 2 + 5 sin 3 + 4 cos = 2 3. g () = V některých případech vede použití l Hospitalova pravidla k itám složitějších funkcí, jak ukazuje příklad [ ] e /2 0 2e /2 = =. 0 + 0 0 + 3 Cvičení 2.7.3: ) 0 arctg 3 2) ln 3) 0 e 2 cos 4) ln (2+) 4 2 3 Užitím l Hospitalova pravidla najděte ity: 2.8 Asymptoty grafu funkce Pro zakreslení grafů funkcí je užitečné získat bližší informace o chování zadaných funkcí v prstencových okolích problémových bodů, k nimž zejména patří. body 0, pro které je funkce definována alespoň v jejich jednostranném prstencovém okolí a je přitom v tomto okolí neohraničená. y y y h k f l 0 0 0 2. body nevlastní a.
28 Derivace funkce Svislé asymptoty grafu funkce Z kapitoly o itách víme, že informace tohoto typu nám poskytují znalosti it (i jednostranných) funkcí v uvedených bodech. Při vyšetřování některých jednoduchých it jsme vycházeli ze známých grafů elementárních funkcí. Víme již, že například 0 + =, tg =, π 2 cotg =. π Uvedené funkce mají v příslušných prstencových okolích následující přibližné grafy: y y y 0 0 π 2 0 π 2 π Všimněme si, že například eistence nevlastní levostranné ity funkce tg v bodě π/2, tj. π tg =, vlastně mj. znamená, že funkce tg je v P (π/2) 2 neohraničená a že graf funkce tg se neomezeně blíží ke grafu přímky o rovnici = π/2. Tuto přímku nazveme svislou (vertikální) asymptotou grafu funkce f : y = tg. Odtud se dostáváme k definici: Definice 2.8.: Přímku o rovnici = 0, 0 R, nazveme svislou asymptotou grafu funkce f v bodě 0, jestliže f má v bodě 0 alespoň jednu jednostrannou itu f(), f() 0+ 0 nevlastní. Příklad 2.8.: Určete svislé asymptoty grafů funkcí a) f : y =, b) g : y = e/2. Řešení: a) Funkce f není definována v bodě 0 =. Na základě znaménka funkce f a věty o itě typu a/0, a 0, dostáváme znam f() + + 0
2.8 Asymptoty grafu funkce 29 a eistují dokonce obě ity + f() = +, f() = nevlastní. Přímka = je tedy svislou asymptotou grafu funkce f v bodě. b) Funkce g není definována v bodě 0 = 0. Je jasné, že 0 = 2 a 0 e /2 =. Dostáváme tedy itu typu 0, což je neurčitý výraz. Upravíme proto zadanou funkci na tvar a odtud e 0 + 2 e 0 e 2 [ ] LP 2 e = = 3 2 0 + 2 [ ] 2 = LP = 0 2e 2e 2 0 + = 2 =. =, Přímka o rovnici = 0 je svislou asymptotou grafu funkce g v bodě 0. Cvičení 2.8.: Určete svislé asymptoty grafů funkcí a) f : y = 2 2 +, b) g : y = ln 2 + 2 3. Vodorovné asymptoty grafu funkce Analogicky např. z přibližných grafů y y π/2 e arctg 0 0 π/2 funkcí e, arctg víme, že e = 0, arctg = π. Vidíme, 2 že tentokrát dostáváme konečné ity v nevlastních číslech. Graficky můžeme tuto situaci znázornit tak, že například pro funkci arctg se graf funkce opět neomezeně blíží ke grafu přímky o rovnici y = π/2, kterou nazýváme vodorovnou (horizontální) asymptotou grafu funkce f : y = arctg.
30 Derivace funkce Definice 2.8.2: Přímku o rovnici y = d, d R, nazveme vodorovnou (horizontální) asymptotou grafu funkce f v bodě (event. v ), jestliže f() = d, (event. f() = d). Příklad 2.8.2: Určete vodorovné asymptoty (eistují-li) grafů funkcí Řešení: a) Z teorie it víme, že a) f : y = 3 2 + 5, b) g : y = 2 3e2. 3 ± 2 + 5 = 3 2. Přímka o rovnici y = 3/2 je tedy vodorovnou asymptotou grafu funkce f v bodě i v bodě. b) g() = a proto graf funkce g nemá v bodě vodorovnou asymptotu. Pro bod dostáváme (2 3e 2 ) = 2 a proto přímka y = 2 je horizontální asymptotou grafu funkce g v bodě. Cvičení 2.8.2: Určete vodorovné asymptoty (eistují-li) grafů funkcí a) f : y = 3 2 2(3 ), b) g : y = arctg 3 2. Šikmé asymptoty grafu funkce Může se však stát, že například ita funkce f v nevlastním bodě (nebo ) je nevlastní, ale přitom eistuje přímka o rovnici y = a + b, a 0, a, b R, k níž se opět graf funkce neomezeně blíží v nějakém prstencovém okolí některého z nevlastních bodů. Pak říkáme, že lineární funkce g : y = a + b je šikmou asymptotou grafu funkce f v příslušném nevlastním bodě.
2.8 Asymptoty grafu funkce 3 y y y = a + b 0 y = f() Definice 2.8.3: Lineární funkci g : y = a + b, a 0, a, b R, nazveme šikmou asymptotou grafu funkce f v bodě, jestliže (f() (a + b)) = 0. Cvičení 2.8.3: Definujte šikmou asymptotu grafu funkce f v bodě. Komentář 2.8.: V rovnici šikmé asymptoty se vyskytují dvě neznámé konstanty. Ukažme si, jak je můžeme vypočítat. Je-li g asymptotou grafu funkce f, pak podle definice platí (f() (a + b)) = 0. Protože = 0, pak (f() (a + b)) = 0. Odtud dostáváme ( f() a b )) = 0 a tedy f() = a. Ze vztahu (f() (a + b)) = 0 dále plyne, že b = (f() a). Obráceně, jestliže f() = a, b = (f() a), pak (f() a b) = 0 a tedy funkce g : y = a + b je šikmou asymptotou grafu funkce f v bodě. Platí tedy následující tvrzení. Věta: Funkce g : y = a + b, a 0, a, b R, je šikmou asymptotou grafu funkce f v bodě, právě tehdy, když platí f() a =, b = (f() a).
32 Derivace funkce Příklad 2.8.3: Určete šikmé asymptoty (eistují-li) ke grafům funkcí Řešení: a) f : y = 2 2, b) f : y = 2 + 2, c) f : y = e. a) Protože máme najít (pokud eistují) šikmé asymptoty, budeme se zabývat chováním funkce v okolích nevlastních bodů nebo. Funkce je v okolích těchto bodů definovaná a má tedy smysl počítat výše uvedené ity. Dostaneme Dále f() = 2 (2 ) = 2 = a. ( 2 (f() a) = 2 ) = [ ] = 2 = 2 2 2 2 + 4 2 = 4 2 = 4. Přímka o rovnici y = + je tedy šikmou asymptotou grafu funkce f : y = 2 2 4 2 v bodě. Z rozboru počítaných it zjistíme, že pro nevlastní bod obdržíme stejné výsledky jako pro bod. Přímka y = 2 + 4 je proto šikmou asymptotou grafu funkce f v bodech ±. b) Nyní již uvedeme stručnější výpočty: f() = 2 + ( 2 = + 2 = ( + ( (f() a) = 2 +!! 2 = 2 ) = = a, 2 4 ) = = ) 2 = 2 2 2 =. Přímka y = je asymptotou grafu funkce f v bodě. = [ ] =!!
2.9 Etrémy funkce 33 Komentáře:. Jsou časté pokusy řešit itu 2 užitím l Hospitalova pravidla. Zkuste si sami ověřit, že tento postup nevede k úspěšnému výpočtu. 2. Rovnost 2 = 2 při výpočtu ity je 2 dána skutečností, že 2 = = pro < 0. Jako cvičení vypočtěte šikmou asymptotu funkce f() = 2 + 2. v bodě e c) Protože f() = = 0, má funkce f v bodě vodorovnou asymptotu y = 0 jako speciální případ y = 0 + 0 asymptoty šikmé. V nevlastním bodě dostáváme e [ ] f() = = LP e = 2 LP e = 2 =. Odtud plyne, že v bodě nemá funkce šikmou asymptotu (neboť konstanty a, b R musí být konečná reálná čísla). Cvičení 2.8.4: Určete šikmé asymptoty (eistují-li) grafů funkcí a) f : y = 23 + 3 2 3 2, b) f : y = 2, c) f : y = ln 2 +. 2.9 Etrémy funkce V mnoha praktických úlohách je zapotřebí zjišťovat etremální hodnoty příslušných funkčních závislostí. Tato problematika je elementárním základem tzv. optimalizačních úloh, které hrají důležitou roli v aplikacích matematiky při řešení různých praktických problémů. Cíl: Zvládnout problematiku určování etrémů funkcí, kterou budeme používat při vyšetřování průběhů funkcí. Potřebné znalosti: Umět dobře derivovat a určovat znaménka funkcí, znát definici derivace a Lagrangeovu větu. Nejprve si popíšeme vlastnost funkce rostoucí v bodě.
34 Derivace funkce Definice 2.9.: Řekneme, že funkce f je rostoucí v bodě 0, jestliže eistuje okolí U( 0 ) D(f) takové, že pro libovolné < 0, U( 0 ) je f( ) < f( 0 ) a pro libovolné 2 > 0, 2 U( 0 ) je f( 2 ) > f( 0 ). Cvičení 2.9.: Zformulujte si sami vlastnosti: klesající, neklesající, nerostoucí funkce v bodě 0 a přiřaďte odpovídající názvy ke zbývajícím obrázkům. funkce rostoucí v bodě 0 y y 0 0 0 y y 0 Tyto vlastnosti úzce souvisí s hodnotou derivace f ( 0 ) (pokud eistuje). Platí následující důležité tvrzení, které budeme opakovaně využívat při zdůvodňování dalších výsledků (cílem je mimo jiné: umět tvrzení odvodit ). Má-li funkce f v bodě 0 derivaci f ( 0 ) > 0, pak je funkce v bodě 0 rostoucí. Je tomu tak proto, že z podmínky f ( 0 ) > 0 dostaneme z definice derivace, že 0 ) f() f( 0 0 = f ( 0 ) > 0. Eistuje tedy okolí P( 0 ) takové, že f() f( 0 ) > 0. 0 Tato nerovnice bude splněna, pokud buď 0 > 0 a současně f() f( 0 ) > 0 nebo 0 < 0 a současně f() f( 0 ) < 0. Když > 0, pak f() > f( 0 ) a pro < 0, je f() < f( 0 ). To ale znamená, že funkce f je rostoucí v bodě 0. Rozšíříme uvedenou vlastnost na interval.
2.9 Etrémy funkce 35 Je-li funkce f spojitá na intervalu a, b a má-li v intervalu (a, b) derivaci, která je kladná (záporná), pak je f rostoucí (klesající) na intervalu a, b. Je-li totiž například f () > 0 na (a, b) a, 2 a, b, < 2, pak podle Lagrangeovy věty eistuje c (, 2 ) tak, že f( 2 ) f( ) = f (c)( 2 ) > 0 a odtud f( 2 ) > f( ). Je tedy f rostoucí na intervalu a, b. Nyní se dostáváme k definici lokálních etrémů. Definice 2.9.2: Řekneme, že funkce f má v bodě 0 D(f) ostré lokální minimum (ostré lokální maimum), jestliže eistuje okolí P( 0, δ) D(f) tak, že pro všechna P( 0, δ) platí f() < f( 0 ) (f() > f( 0 ).) Komentář 2.9.: Pokud platí neostrá nerovnice f() f( 0 ), hovoříme jen o lokálním maimu funkce. y a 0 2 3 4 5 b Otázka: Co lze vyčíst z grafu funkce o etremálních hodnotách funkce f na základě našich znalostí o derivacích? V bodech 0,, 2, 3 a 4 nastávají ostré lokální etrémy funkce. Všimněte si toho, že tečny v bodech 0,, 4 jsou rovnoběžné s osou, tj. f ( 0 ) = f ( ) = f ( 4 ) = 0. Přitom je vidět, že etrémy nastávají i v bodech 2 a 3, v nichž zřejmě derivace neeistují. Je třeba si uvědomit, že také v bodě 5 je tečna rovnoběžná s osou, tj. f ( 5 ) = 0, i když v tomto bodě etrém nenastává. Graf funkce se v bodech 4 a 5 liší například tím, že eistují okolí těchto bodů taková, že v okolí bodu 4 funkce nejprve klesá a pak roste (derivace funkce mění znaménko), kdežto v okolí bodu 5 funkce stále roste (derivace funkce nemění znaménko) Z příkladu je vidět, že funkce může mít lokální etrémy a) v bodech, v nichž f () = 0, b) v bodech, v nichž f nemá derivaci.
36 Derivace funkce Body, v nichž f () = 0, se nazývají stacionární. Pro hledání etrémů platí tato důležitá tvrzení:. Má-li funkce f v bodě 0 R lokální etrém, pak je buď f ( 0 ) = 0 nebo f ( 0 ) neeistuje. 2. Je-li funkce f spojitá v bodě 0 R a eistuje-li okolí P( 0, δ) tak, že f je v P ( 0, δ) rostoucí (klesající) a v P + ( 0, δ) klesající (rostoucí), pak f má v bodě 0 ostré lokální maimum (minimum). 3. Je-li f ( 0 ) = 0 a má-li funkce funkce f v bodě 0 druhou derivaci f ( 0 ) 0, pak má f v bodě 0 ostrý lokální etrém a to minimum v případě f ( 0 ) > 0, maimum v případě f ( 0 ) < 0. Tvrzení () je tzv. nutná podmínka eistence lokálního etrému, tvrzení (2), (3) jsou tzv. postačující podmínky pro eistenci lokálního etrému.. První dvě tvrzení zcela odpovídají našim geometrickým představám (viz rozbor grafu). Pokud jde o třetí tvrzení, to plyne z toho, že z eistence f ( 0 ) plyne spojitost funkce v bodě 0 a je-li například f ( 0 ) > 0, pak je funkce f rostoucí v bodě 0. To ale znamená, že eistuje okolí P( 0, δ) takové, že pro P ( 0, δ) platí f () < f ( 0 ) = 0 a pro P + ( 0, δ) je f () > f ( 0 ) = 0. Odtud plyne, že f má v bodě 0 ostré lokální minimum. Příklad 2.9.: Určete lokální etrémy funkcí a) f() = ln 2, b) g() = arcsin 2. Řešení: a) Funkce f je definovaná v intervalu (0; ) a f () = ln 2 +2 ln = (2+ln ) ln. Pro stacionární body platí rovnice (2 + ln ) ln = 0 a tedy = e 2 a 2 =. Znaménko f () je znam f () 0 + f roste e 2 f klesá + f roste Protože f () mění v i 2 znaménko, má funkce f v bodech a 2 lokální etrémy, a to v = e 2 ostré lokální maimum a v bodě 2 = ostré lokální minimum. b) Pro definiční obor funkce g platí postupně nerovnice 0 2, 0 2 a tedy <, >. Derivace funkce g je rovna g () = ( 2 ) 2 = 2 2 = 2. Odtud g () = / 2 pro (0, ), g () = / 2 pro (, 0). Definiční obor funkce g je (, 0) (0, ) a pro znaménko g () platí
2.0 Funkce konvení a konkávní 37 znam g () + 0 Funkce g je v bodě = 0 definována a má v něm ostré lokální maimum (viz 2. vlastnost pro určení etrémů). Příklad 2.9.2: Určete poloměr r a výšku h rotačního válce, který má při zadaném objemu V minimální povrch S. Řešení: Protože známe objem válce V, můžeme vyjádřit ze vztahu V = πr 2 h výšku h = V πr 2. Povrch S je pak roven S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πr V πr 2 = 2πr2 + 2V r. Nyní budeme hledat takové r, při kterém funkce S nabývá minimální hodnoty. Z derivace S (r) = 4πr 2V r 2 S (r ) platí S (r ) = 4π + 4V r 3 Funkce S má tedy v bodě r = 3 V 2π = 4π ( r r 3 V ) 2 2π dostaneme stacionární bod r = 3 V 2π. Pro > 0 pro r > 0, V > 0. ostré lokální minimum (viz 3. vlastnost pro určování etrémů). Při této hodnotě r je povrch S minimální. Pro výšku h máme h = V πr 2 = V 3 V = 2 π 3 V 2 2π = 2r. 4π 2 2.0 Funkce konvení a konkávní Zavedeme ještě pojem konvenosti a konkávnosti, který nás bude u funkcí majících derivaci informovat o prohnutí grafu funkce. Chceme-li například nakreslit grafy funkcí určených předpisy f() = 3, g() = 3 v intervalu (0, ), pak zjistíme, že obě funkce jsou spojité a rostoucí. Jejich grafy se však liší tím, že graf funkce f leží nad tečnou, kdežto graf funkce g leží pod tečnou grafu funkce sestrojenou v libovolném bodě grafu příslušné funkce. Definice 2.0.: Má-li funkce f derivaci v bodě 0 R, pak řekneme, že f je ryze konvení v bodě 0, jestliže eistuje okolí P( 0, δ) takové, že pro všechna P( 0, δ) platí f() > f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ), tj. graf funkce f leží v P( 0, δ) nad tečnou sestrojenou v bodě [ 0, f( 0 )].
38 Derivace funkce Komentář 2.0.: Obrázek 2.2: Změníme-li nerovnici na opačnou, dostaneme definici ryzí konkávnosti (tj. graf je pod tečnou). Připustíme-li neostré nerovnice, dostaneme definici konkávnosti event. konvenosti v bodě 0. Pro ověření těchto vlastností máme k dispozici následující tvrzení. Má-li funkce f v bodě 0 R druhou derivaci f ( 0 ), pak je-li f ( 0 ) > 0, je f v bodě 0 ryze konvení. Je tomu tak proto, že v nějakém P( 0, δ) platí f() f( 0 ) f }{{} ( 0 )( 0 ) = (f (c) f ( 0 ))( 0 ) > 0 }{{} f (c)( 0 ) f je rostoucí v bodě 0 }{{} dle Lagrangeovy věty Je tedy f() > f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) pro P( 0, δ) a f je ryze konvení v bodě 0. Komentář 2.0.2: Má-li funkce na intervalu J D(f) derivaci druhého řádu f a platí-li f () > 0 na J, pak řekneme, že f je ryze konvení na J. Jestliže v bodech dostatečně blízkých bodu 0 přechází graf z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou (nebo obráceně), nazveme bod 0 inflením bodem.
2. Průběh funkce 39 y y 0 0 Pro inflení body platí:. Je-li 0 inflení bod funkce f a eistuje-li f ( 0 ), pak je f ( 0 ) = 0. 2. Má-li funkce f spojitou derivaci f na U( 0, δ) a platí-li f ( 0 ) < 0 pro P ( 0, δ) a f ( 0 ) > 0 pro P + ( 0, δ) nebo naopak, pak je 0 inflení bod funkce f. 3. Je-li f ( 0 ) = 0 a f ( 0 ) 0, pak je 0 inflení bod funkce f. Tvrzení (3) opět plyne z toho, že například pro f ( 0 ) > 0, je f rostoucí funkcí v bodě 0. Odtud pro P ( 0, δ) je f () < f ( 0 ) = 0 a pro P + ( 0, δ) je f () > f ( 0 ) = 0. Tedy 0 je inflení bod. 2. Průběh funkce Cíl: Užitím diferenciálního počtu umět vyjádřit průběhy a nakreslit grafy funkcí. O složitosti a tvarech těchto funkcí získáte nejlépe představu ze skript Sbírka příkladů z matematiky I - kapitola Průběh funkce.. Získáme o funkci f co nejvíce užitečných informací přímo ze zadání. V závislosti na druhu a složitosti funkčního předpisu určíme definiční obor, znaménko f(), sudost, lichost, periodičnost funkce, průsečíky grafu funkce se souřadnicovými osami. 2. Vypočteme f, D(f ), určíme znaménko f (), intervaly monotonie, funkční hodnoty v etremálních bodech. 3. Určíme f, D(f ), znaménko f (), konvenost, konkávnost, inflení body, funkční hodnoty v infleních bodech.
40 Derivace funkce 4. Pokud je definiční obor tvořen otevřenými intervaly, určíme (jednostranné) ity funkce f v jejich krajních bodech (event. včetně nevlastních čísel ± ). Nalezneme asymptoty grafu funkce. 5. Načrtneme graf zadané funkce. Příklad 2..: Vyšetřete průběhy funkcí a) f() = 3 2 4, b) g() = 2 e 3/, c) h() = arcsin 2. Řešení: První příklad vyřešíme s podrobnějším komentářem. U zbývajících dvou příkladů budeme již stručnější.............................................................................. D(f) = R { 2, 2}, a) f() = 3 2 4, znam f() 2 + 0 2 + f(0) = 0, f je lichá (neboť definiční obor je symetrický vzhledem k počátku a platí f( ) = ( )3 = 3 = f()). ( ) 2 4 2 4 2. f () = 32 ( 2 4) 3 2 ( 2 4) 2 = 4 2 2 ( 2 4) 2 = 2 ( 2 2) ( 2 4) 2, D(f ) = D(f). Na změnu znaménka budou mít vliv pouze reálné kořeny liché násobnosti čitatele a jmenovatele, tj. kořeny = 2 3 a 2 = 2 3. znam f () + 2 3 2 2 2 + 3 (Při nevynesení bodů ±2 bychom mohli dojít k chybnému závěru, že funkce f klesá v intervalu ( 2 3, 2 3).) f má v bodě = 2 3 ostré lokální maimum a v bodě = 2 3 ostré lokální minimum. Přitom f( 2 3) = 3 3, f(2 3) = 3 3. 3. f () = (43 24) ( 2 4) 2 ( 4 2 2 ) 2 ( 2 4) 2 ( 2 4) 2 =
2. Průběh funkce 4 = 83 + 96 ( 2 4) 3 = 8 (2 + 2) ( 2 4) 3, D(f ) = D(f ) = D(f), f () bude měnit znaménko v bodech 2, 0, 2, znam f () pod 2 + nad 0 pod + 2 nad tečnou inflení bod 3 = 0. 4. Protože D(f) = (, 2) ( 2, 2) (2, ), vyšetříme postupně (jednostranné) ity v bodech 2, 2,,. Vzhledem k tomu, že v bodech 2, 2 jde o ity typu [ a 0], a R, a 0, získáme ze znaménka f() tyto výsledky pro jednostranné ity. 3 2 2 4 = f() =, 2 f() =, 2 + f() =, 2 + f() =. 2 + Přímky = 2 a = 2 jsou tedy svislé asymptoty grafu funkce f. V nevlastních číslech a platí: 3 2 4 = Pro šikmé asymptoty dostáváme: 3 2 ( 4/ 2 ) = = a a = f() = 3 ( 2 4) = (viz ity racionálních funkcí v nevlastních číslech), f() =. ( ) 3 b = (f() a) = 2 4 4 = 2 4 = 0. Přímka o rovnici y = je tedy šikmou asymptotou grafu funkce f v bodě. Promyslete si sami, že tato přímka je asymptotou i v bodě. 5. Na ose si vyneseme body, které nepatří do D(f), v nichž f() = 0, ve kterých funkce f, f, f mění znaménka. V etremálních bodech a v inflením bodě vyneseme funkční hodnoty. Načrtneme asymptoty.
42 Derivace funkce V jednotlivých podintervalech kreslíme graf funkce f se současnou kontrolou, zda v daném podintervalu vyhovuje graf všem podmínkám, které jsme postupně zjistili (zda je graf nad osou nebo pod osou, zda je f rostoucí nebo klesající, zda je f konvení nebo konkávní). Na závěr zkontrolujeme, jestli má graf (2.3) funkce f zjištěné vlastnosti (včetně lichosti) v celém definičním oboru. Obrázek 2.3:............................................................................. D(g) = (, 0) (0, ), b) g() = 2 e 3/, znam g() + 0 + g není sudá ani lichá. 2. znam g () g () = e 3 (2 + 2 3 ) = 3 2 e (2 + 3). 3 2 + 0 + D(g ) = D(g), Funkce g má v bodě = 3/2 ostré lokální minimum. Přitom g( 3/2) = 9 4 e2.
2. Průběh funkce 43 3. g () = e 3 3 (2 + (2 + 3) ) = 3 2 2 + 6 + 9 2 e, 2 D(g ) = D(g ) = D(g), znam g () + 0 + Inflení bod funkce g nemá. 4. 2 e 3/ = 0 0 = 0, 0 + 2 e 3/ = [0 ] = 0 = 3 2 e 3/ 0 = e 3/ 0 = 2 [ ] LP = 3 2 e 3/ 3 2 0 [ ] LP e 3/ 3 = 2 0 2 = 3 2 = 9 2 0 e 3/ =. (Limitu je možno jednodušeji spočítat zavedením substituce t = /.) Přímka = 0 je tedy (svislá) asymptota. neboť jedna jednostranná ita je nevlastní. Dále 2 e 3/ = =, Šikmé ani vodorovné asymptoty nejsou. 5. Graf funkce (2.4). 2 e 3/ = =, f() ± = ± e 3/ = ±............................................................................. c) h() = arcsin 2,. Pro definiční obor platí 2. Odtud D(f) = (, 2 2, ). (Pozor na časté chybné řešení, získané roznásobením bez předpokladů o jeho znaménku.) znam h() 2 2 +
44 Derivace funkce Obrázek 2.4: h je lichá (plyne to z lichosti funkce arcsin). 2. proto h () = 2 4 = 2 2 2 2 4, 2 h () = 2 2 4 pro (, 2), h () = 2 2 4 pro (2, ). (Pozor na časté chybné odmocnění: 2 = a nikoli.) D(h ) = D(h), znam h () 2 2 Lokální etrémy nenastanou. 3. h () = ( ) 2 2 2 ( 2 4) 2 4 + 2 4 pro (2, ), proto h () = 4(2 2 ) 2 ( 2 4) 3 pro (, 2) a h () = D(h ) = D(h ). 4( 2 2) 2 ( pro (2, ), 2 4) 3
2. Průběh funkce 45 znam h () 2 2 + Inflení bod funkce h nemá. 4. Platí arcsin 2 2 + = π 2, asymptoty svislé tedy nejsou. Dále arcsin 2 2 = π 2, ± arcsin 2 = arcsin 0 = 0 a přímka y = 0 je vodorovná asymptota (2.5). 5. Obrázek 2.5: Cvičení 2..: Vyšetřete průběh funkce f. ) f() = 2. 2) f() = e +. 3) f() = ln. 4) f() = arcsin 2 + 2.
46 Derivace funkce 2.2 Kontrolní otázky Definujte derivaci funkce f v bodě 0. Vysvětlete její geometrický význam, napište rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě [ 0, f( 0 )]. Jaký je vztah mezi derivací f ( 0 ) a spojitostí funkce f v bodě 0? Uveďte pravidla pro derivování součtu, součinu a podílu funkcí. Uveďte pravidla pro derivování složené a inverzní funkce. Graficky znázorněte geometrický význam diferenciálu a uveďte vztah pro jeho výpočet. K řešení jaké úlohy lze diferenciál použít? Pomocí obrázků vysvětlete význam základních vět o spojitých funkcích (Cauchyova, Weierstrassova, Rolleova, Lagrangeova). Jak se definují derivace a diferenciály n tého řádu? Co je to Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě 0? Jak se odvozují jeho koeficienty? Zapište Lagrangeův tvar zbytku. Co je to Maclaurinův polynom? K čemu slouží l Hospitalovo pravidlo? Co přesně pravidlo tvrdí? Jaká jsou úskalí tohoto pravidla? Kdy pravidlo nevede k cíli? Jaké druhy asymptot znáte? Nakreslete obrázky, které je charakterizují. Uveďte vztahy potřebné pro jejich výpočet. Jak lze matematicky vyjádřit vlastnost - funkce f je rostoucí v bodě 0? Jak tato vlastnost souvisí s hodnotou f ( 0 )? Souvislost vlastnosti s hodnotou f ( 0 ) zdůvodněte. Definujte lokální etrémy funkce f v bodě 0. Co jsou to stacionární body funkce f? Kdy má funkce v těchto bodech lokální etrémy? Kdy řekneme, že je funkce f v bodě 0 konvení (konkávní)? Co jsou inflení body? Vysvětlete postup při vyšetřování průběhu funkce.
2.3 Klíč, Testy ke zpracování 47 2.3 Klíč, Testy ke zpracování............................................................................... Cvičení 2..4 ) f () = 6 π, R 2) f () = 5 3 + 3 3, R+ 3) f () = +cos, D(f ) = D(f) = R {2kπ, k Z} 4) f () = +ln ( ) 2, D(f ) = D(f) = (0, ) {} 5) f () = 2, D(f) = 0, 2, D(f ) = (0, 2) 6) f () = 2 5+4 2, D(f) =, 5, D(f ) = (, 5) 7) f () = + 2 + 4, D(f ) = D(f) = R {, } 8) f () = cos2 sin 3, 9) f () = 4 ln 3 ( 2 +), D(f ) = D(f) = k Z(2kπ, (2k + )π) R............................................................................ Cvičení 2.2. ) df(; 0, 2) = 0, 2 2) df( 0 ; h) = h + 2 0 3) df(0; h) = 2h............................................................................ Cvičení 2.4. ) f () = ( 2 ) 3, D(f) =, ), D(f ) = (, ) 2) f () = ( 2 +) 2, D(f) = D(f ) = R 3) f () =, D(f) = D(f ) = (0, ) 4) f () = (22 +9) ( 2 +3) 3, D(f) = D(f ) = R............................................................................
48 Derivace funkce Cvičení 2.5. ) d 3 f( 0, h) = 8 (+2 0 ) 3 h 3 2) d 2 f(2, h) = 3 3 h2 3) d 2 f(0, h) = h 2............................................................................ Cvičení 2.6.3 a) T 3 (f, 0, ) = + 2 2 8 + 3 6, b) T 2 (f,, ) = π 4 + π+2 4 ( ) + 4 ( )2, c) T n (f, 0, ) = n k= (k )! k............................................................................. Cvičení 2.7.3 ), 2), 3) -2, 4) 0. 3............................................................................ Cvičení 2.8. ) 2 f() =, 2+ f() =, přímka = 2 je asymptotou (eistuje 0 f() =, proto není přímka = 0 asymptotou). 2) g() = ln 2+ eistuje, pokud R, 3, 3 2 platí 3+ g() = a g() =, proto jsou přímky = 3, 2 = asymptotami. 2............................................................................ Cvičení 2.8.2 a) y = pro ±, 2 b) y = π pro ± 3 jsou asymptoty............................................................................. Cvičení 2.8.4 a) y = 2 + pro ±, 3 b) y = pro a y = pro, c) y = + ln 2 pro ± jsou asymptoty............................................................................. Cvičení 2.. Uvádíme výsledky mezivýpočtů, které jsou již postačující pro nakreslení grafů získaných funkcí. Poznámky k označení: N nulové body, I inflení body, E etremální body funkce.