Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ používá se v rovnicích, kde se levá i pravá strana rovnice dá upravit na mocninu se stejným základem. Pak lze vužít vět: u v Věta: Platí-li a = a u = v. (Rovnají-li se základ, rovnají se i eponent.) B. Metoda vtýkání používáme v rovnicích, kde se objevují součt nebo rozdíl mocnin se stejnými základ, u nichž eponent při pohledu na neznámou stejně začínají, po vtknutí se dá rovnice vdělit číslem v závorce a vznikne tp A. C. Metoda substituční používáme v rovnicích, kde se objevují mocnin se stejným základem, ale eponent jsou tpu p a p, ted jeden je dvojnásobkem druhého. Po substituci obvkle vede na kvadratickou rovnici. D. Metoda logaritmická - používáme v rovnicích tpu zvládnutí logaritmů. Metoda převedení na stejný základ Cvičení. + Řešte rovnici 3 = 8. Obě stran rovnice lze vjádřit mocninou o základu : + 3 3 = Použijeme větu a získáme porovnáním eponentů: + 3 = 3 = 0 r a = b. Tuto metodu můžeme použít až po Příklad. a) 4 5 + 5 = 0,8 b) + 7 3 4 = 04 c) 5 4 = 5 d) 0,5 = + 4 4 e) 9 7 8 = 3 + f) = 0 3 5 g) 7 5 6 8 = 9 + 6 Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007
Metoda vtýkání Cvičení. Řešte rovnici 4 + 8 4 = 3. V rovnici se vsktují součt mocnin a eponent začíná u stejným koeficientem. Použijeme vtýkání mocnin s nejnižším eponentem tj. 4 ( 4 8) = 3 4. V závorce se objevilo číslo, kterým je rovnice dělitelná, vdělíme rovnici osmi a tím ji převedeme na tp A. 4 = 4 = = Příklad. + a) 4 3 3 = 35 + + b) 5 4 4 = 4 + 40 4 c) 3 + 3 3 = 35 Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007
Metoda substituční Cvičení 3. Řešte rovnici 5 3 5 = 0. Eponent začíná různým koeficientem u. Použijeme substituci za ve tvaru Volíme novou proměnnou. Ted 5 ( 5 ) 3 ( 5 ) 0 = 0 =. Po substituci jsme získali kvadratickou rovnici a nezapomeneme se vrátit k substituci: 5 = 5 = 5 5 = 0,5 P = { 0,5} 5, protože rovnici lze zapsat 3 0 = 0. Určíme její kořen = 5, = 5 = NŘ Příklad 3. a) 4 0 4 = b) 4 + 4 = 5 c) 7 8 + = 8 3 Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007
Příklad 4. Určete průsečík grafu funkce dosadíme za proměnné postupně = 0 a = 0.] 3+ = 3 4 s osami souřadnic. [Nápověda: Do rovnice Soustav eponenciálních rovnic Cvičení 4. + Určete souřadnice průsečíků daných dvou funkcí, které jsou zadán rovnicemi f : = 7 9, g : = 7 + 3. Určit průsečík dvou funkcí znamená najít bod, jehož souřadnice [ ; ] vhovují oběma rovnicím současně. Nalezneme je ted řešením soustav dvou rovnic o dvou neznámých. Použijeme dosazovací metodu a získáme: + 7 9 = 7 + 3 ( ) 7 7 = 4 7 = 7 = Dosazením do kterékoliv rovnice v soustavě dopočteme = 30. Průsečík má ted souřadnice P [ ;30 ]. Příklad 5. Určete souřadnice průsečíků daných dvou funkcí, které jsou zadán rovnicemi f : = 5 + a g : = 3 5 +. 4 Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007
Příklad 6. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic: 5 + 4 = 8 3 3 = Eponenciální nerovnice Při řešení eponenciálních nerovnic musíme dbát na základ mocnin, který ovlivňuje monotonii funkce a ted řešení nerovnic. Je-li ( 0; ) r s a jde o funkci klesající a platí a < a r > s (ted při přechodu k eponentům musíme u klesající funkce obrátit znak nerovnosti). r s Je-li a > jde o funkci rostoucí a platí a < a r < s (ted při přechodu k eponentům u rostoucí funkce se znak nerovnosti nemění). Cvičení 5. Řešte v R početně i grafick nerovnici + > +. Protože základ je větší než jedna, platí: + > + > grafick: Sestrojíme do jednoho obrázku graf funkcí na levé a pravé straně nerovnice, vpočítáme jejich průsečík a zvážíme, pro která nabývá funkce na levé straně větších hodnot. Provedeme kontrolu zakreslených grafů a použijeme je k řešení. Funkce + = je modrá. Funkce + = je zelená. Průsečík funkcí P [,8]. Modrá funkce má větší funkční hodnot pro >. 5 Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007
Příklad 3. a) 4 5 + + 4 > 69 b) 4 + 3 8 + c) 4 3 < 4 6 Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007