CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu x 1, x 2, x 3 zjednodušte: 5x + 6 + x 2 x 1 x + 3 2 x x 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Stavební firma dostala za úkol přemostit bažinu mezi obcemi A a B, která se v současnosti objíždí přes obec C. Vzdálenost AP = 10 km, BC = 15 km, velikost úhlu PCB je 38. 3 Určete vzdálenost mezi obcemi A a B zaokrouhlenou na desetiny km. 4 Víte-li, že cos x = 3 a tg y = 4, kde x 5 3 ( 0; π 2 ) a y ( 0; π 2 ), určete hodnotu čísla A, pro které platí: A = sin x cotg y. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V aritmetické posloupnosti (a n ) platí: 2a 2 a 3 = 40; a 4 5a 1 = 190. max. 5 bodů 5 5.1 Určete diferenci této posloupnosti. 5.2 Jaký je součet s 5 prvních pěti členů této posloupnosti? 5.3 Určete, kolik po sobě jdoucích členů této posloupnosti (počínaje prvním) je třeba sečíst, aby byl součet roven nule. 2 Maturita z matematiky 03
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Z krychle o hraně 3,8 dm má soustružník vysoustružit válec podle obrázku. 6 Vypočítejte, kolik procent bude činit odpad. Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jistý spisovatel, který neumí psát na počítači, potřebuje přepsat knihu o 320 stranách. Písařka Alena ji sama přepíše za 6 dní. Písařka Hanka je pomalejší, sama ji přepíše za 8 dní. Ale spisovateli hoří termín a potřebuje knihu odevzdat za 3 dny. 7 Vypočítejte, jestli obě písařky společně stihnou knihu přepsat. 8 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3. V 1 : 3x 2 + 3x 18 V 2 : x 2 9 V 3 : x 3 + 27 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V krabici je 15 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. 9 Kolika způsoby lze vybrat 10 výrobků tak, aby právě 3 byly vadné? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Kvádr má rozměry v poměru 2 : 3 : 6. Objem tohoto kvádru se rovná 972 dm 3. 10 Určete délky jeho stran v cm. Maturita z matematiky ZD 3
11 Jsou dány dva body A [ 3; 4] a B [5; 0]. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Přímka AB má rovnici x + 2y 5 = 0. 11.2 Polopřímka AB je dána rovnicí: x = 3 + 8t; y = 4 4t, t ( ; 1. 11.3 Bod C [0; 2] leží na přímce AB. 11.4 Opačná polopřímka k polopřímce AB je dána rovnicí: x = 3 + 8t, y = 4 4t, t ( ; 0. 12 Je dána rovnice: 14 3x = 12 x 1 s neznámou x R. 2 body Čemu je roven součet všech kořenů této rovnice? A) Součet všech kořenů je roven 0. B) Součet všech kořenů je 5. C) Součet všech kořenů je 5. D) Součet kořenů je roven 10. E) Součet kořenů není žádné z čísel A) D). 2 body 13 Na ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům 10, 7, 3. Určete velikost vnitřních úhlů takto vzniklého trojúhelníku. A) 60 ; 70 ; 50 B) 65 ; 75 ; 40 C) 60 ; 75 ; 45 D) 65 ; 80 ; 50 E) 60 ; 85 ; 35 14 Přiřaďte ke každé funkci f 1 f 4 (14.1 14.4) její definiční obor (A F): 14.1 f 1 : y = 5x + 2 x 4 14.2 f 2 : y = log (2 + x) max. 4 body 14.3 f 3 : y = 25 x 2 x + 3 14.4 f 4 : y = log x 3 A) R {4} B) R {0} C) ( 2; ) D) (0, + ) E) 5; 5 F) ( ; 3) (3; ) 4 Maturita z matematiky ZD
max. 3 body 15 Ke každému zadání příkladu (15.1 15.3) přiřaďte odpovídající výsledky: 15.1 28 2 18 + 63 + 72 = 15.2 4 8 + 3 7 6 = 15.3 2 1 5 3 1 2 = 3 5 A) 0 B) 2 C) 5 7 D) 1 E) 2 F) 1 KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155 5 x (5 1 + 1 + 5 3 ) = 3 155 5 x ( 1 5 + 1 + 125 ) = 3 155 5 x ( 1 + 5 + 625 5 ) = 3 155 5 x 631 5 = 3 155 5 5 x 631 = 15 775 : 631 5 x = 25 5 x = 5 2 x = 2 Řešení: x = 2 2 Za předpokladu x 1, x 2, x 3 zjednodušte: 5x + 6 + x 2 x 1 x + 3 2 x x 2 5x + 6 + x 2 x 1 x + 3 2 x x 2 = (x + 2) (x + 3) x 1 (x 1) ( x 2) (x + 2)( 1)(x + 2) = = x + 3 1 = ( 1)(x + 2) 2 = x 2 4x 4 Trojčlen 5x + 6 + x 2 rozložíme na součin (x + 2) (x + 3). Trojčlen ve jmenovateli jmenovatele rozložíme na součin (x 1) ( x 2), kde ve druhé závorce vytkneme číslo 1. Výrazy x + 3 v čitateli prvního zlomku a ve jmenovateli druhého zlomku zkrátíme, stejně tak výrazy x 1 ve jmenovateli prvního zlomku a v čitateli druhého zlomku. Řešení: x 2 4x 4 6 Maturita z matematiky ZD
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Stavební firma dostala za úkol přemostit bažinu mezi obcemi A a B, která se v současnosti objíždí přes obec C. Vzdálenost AP = 10 km, BC = 15 km, velikost úhlu PCB je 38. 3 Určete vzdálenost mezi obcemi A a B zaokrouhlenou na desetiny km. Vzdálenost PB = x můžeme vypočítat z trojúhelníku CPB pomocí kosinové věty: PB 2 = CP 2 + CB 2 2 CP CB cos α x 2 = 182 + 152 2 18 15 cos 38 x 2 = 324 + 225 36 15 0,78 x 2 = 549 425,52 x 2 = 123,474 x = 11,1 km AB = AP + PB = 10 + 11,1 = 21,1 km Vzdálenost mezi obcemi A, B je 21,1 km. Řešení: 21,1 km 4 Víte-li, že cos x = 3 a tg y = 4, kde x 5 3 ( 0; π 2 ) a y ( 0; π 2 ), určete hodnotu čísla A, pro které platí: A = sin x cotg y. Hodnotu funkce cotg y určíme jako převrácenou hodnotu funkce tg y: cotg y = 1 1 = = 3 tg y 4 3 4 Maturita z matematiky 03 7
Hodnotu funkce sin x určíme pro daná x, pro která je tato hodnota kladná, pomocí funkce cos x: sin x = + 1 cos 2 x sin x = + 1 ( 3 5 ) 2 sin x = 4 5 Nakonec spočítáme hodnotu čísla A = 4 5 3 4 = 3 5. Řešení: A = 3 5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V aritmetické posloupnosti (a n ) platí: 2a 2 a 3 = 40; a 4 5a 1 = 190. 5 5.1 Určete diferenci této posloupnosti. max. 5 bodů Pomocí vzorce pro n-tý člen posloupnosti můžeme rovnice přepsat do následujícího tvaru: 2a 1 + 2d a 1 2d = 40 a 1 + 3d 5a 1 = 190 a 1 = 40 3d 4a 1 = 190 Z první rovnice dosadíme za a 1 do druhé rovnice a určíme d. 3d 160 = 190 3d = 30 d = 10 Řešení: d = 10 8 Maturita z matematiky 03
5.2 Jaký je součet s 5 prvních pěti členů této posloupnosti? Nejdříve vyjádříme pátý člen pomocí vzorce pro n-tý člen: a 5 = a 1 + 4d a 5 = 40 + 4 ( 10) a 5 = 0 Potom použijeme vzorec pro součet prvních n členů: s 5 = 5 2 (a 1 + a 5 ) s 5 = 5 2 (40 + 0) s 5 = 100 Řešení: s 5 = 100 5.3 Určete, kolik po sobě jdoucích členů této posloupnosti (počínaje prvním) je třeba sečíst, aby byl součet roven nule. Hledáme tedy přirozené číslo n, pro které platí, že s n = 0. Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah s n = (a 1 + a n ) n 2. N-tý člen posloupnosti lze vypočítat ze vzorce a n = a 1 + (n 1) d, do něhož dosadíme již vypočtené hodnoty. a n = 40 10 (n 1) a n = 40 10n + 10 a n = 50 10n Nyní zkompletujeme rovnici: s n = 0. 0 = (40 + 50 10n) n 2 0 = n (90 10n) 2 0 = 45n 5n 2 0 = 5n (9 n) n = 0 nebo n = 9 Roven nule je součet prvních devíti členů. Řešení: 9 členů Maturita z matematiky ZD 9
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Z krychle o hraně 3,8 dm má soustružník vysoustružit válec podle obrázku. 6 Vypočítejte, kolik procent bude činit odpad. Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. Nejdříve vypočteme objem celé krychle: V = a 3 V = 3,83 V = 54, 872 dm 3 Potom vypočteme objem válce, jehož poloměr podstavy je roven polovině hrany krychle. V = π r 2 v V = π 1,9 2 3,8 V = 43,1 dm 3 Na závěr vypočítáme, kolik procent bude činit odpad: 54,872 43,1 = 11,8 dm 3 100 %... 54,872 dm 3. x %... 11,8 dm 3 x = 21,5 % Řešení: Odpad činí 21,5 %. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jistý spisovatel, který neumí psát na počítači, potřebuje přepsat knihu o 320 stranách. Písařka Alena ji sama přepíše za 6 dní. Písařka Hanka je pomalejší, sama ji přepíše za 8 dní. Ale spisovateli hoří termín a potřebuje knihu odevzdat za 3 dny. 7 Vypočítejte, jestli obě písařky společně stihnou knihu přepsat. Vyjádříme, kolik stran přepíše Alena za 1 den: 320 6 ; potom vyjádříme, kolik přepíše za x dní: x 320 6. Vyjádříme, kolik stran přepíše Hanka za 1 den: 320 8 ; potom vyjádříme, kolik přepíše za x dní: x 320 8. 10 Maturita z matematiky ZD
Poté sestavíme rovnici: x 320 + x 320 = 320 24 6 8 1 280x + 960x = 7 680 2 240x = 7 680 x = 3,4 dne Řešení: Písařky knihu přepsat nestihnou. 8 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3. V 1 : 3x 2 + 3x 18 V 2 : x 2 9 V 3 : x 3 + 27 Nejdříve všechny výrazy rozložíme na součiny a potom porovnáme: V 1 : 3x 2 + 3x 18 = 3 (x 2 + x 6) = 3 (x + 3) (x 2) V 2 : x 2 9 = (x 3) (x + 3) V 3 : x 3 + 27 = (x + 3) (x 2 3x + 9) Největším společným dělitelem výrazů je dvojčlen: V = x + 3. Řešení: x + 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V krabici je 15 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. 9 Kolika způsoby lze vybrat 10 výrobků tak, aby právě 3 byly vadné? 1 bod Ve skupině deseti výrobků nezáleží na pořadí, takže jde o kombinace. Tři vadné výrobky lze vybrat ze šesti tolika způsoby, kolik je tříčlenných kombinací ze šesti prvků; výběr sedmi nezávadných výrobků z devíti je roven počtu sedmičlenných kombinací z devíti prvků. Celkový počet způsobů výběru tří vadných a sedmi nezávadných výrobků je roven součinu. C 7 (9) C 3 (6) = ( 9 7 ) ( 6 3 ) = 36 20 = 720 Řešení: 720 způsoby Maturita z matematiky ZD 11
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Kvádr má rozměry v poměru 2 : 3 : 6. Objem tohoto kvádru se rovná 972 dm 3. 10 Určete délky jeho stran v cm. Délky stran vyjádříme pomocí neznámé x: tedy a = 2x; b = 3x a c = 6x. Dále použijeme vzorec pro výpočet objemu kvádru: V = a b c V = 2x 3x 6x Dosadíme za objem: 972 = 36 x 3 x = 3 Délky stran: a = 60 cm; b = 90 cm a c = 180 cm Řešení: a = 60 cm; b = 90 cm; c = 180 cm 11 Jsou dány dva body A [ 3; 4] a B [5; 0]. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Přímka AB má rovnici x + 2y 5 = 0. 11.2 Polopřímka AB je dána rovnicí: x = 3 + 8t; y = 4 4t, t ( ; 1. 11.3 Bod C [0; 2] leží na přímce AB. 11.4 Opačná polopřímka k polopřímce AB je dána rovnicí: x = 3 + 8t, y = 4 4t, t ( ; 0. V tvrzení 11.1 je řečeno, že přímka AB má rovnici x + 2y 5 = 0. Rovnice přímky AB je 4x + 8y + c = 0. Dosazením souřadnic bodu A zjistíme hodnotu parametru c: 4 ( 3) + 8 4 + c = 0, tedy c = 20. Rovnice přímky AB je 4x + 8y 20 = 0, což jde zkrátit 4. Tvrzení je pravdivé. V tvrzení 11.2 je řečeno, že polopřímka je dána rovnicí: x = 3 + 8t, y = 4 4t, kde t (- ; 1. Bod A leží na přímce pro t = 0, pro bod B je t = 1, tedy touto rovnicí je dána polopřímka BA. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 11.3 je řečeno, že bod C [0; 2] leží na přímce AB. Dosadíme do rovnice přímky souřadnice bodu C: 0 + 2 2 5 = 1 0. Tvrzení je nepravdivé. 12 Maturita z matematiky ZD
V tvrzení 11.4 je řečeno, že přímka opačná k polopřímce AB je dána rovnicí: x = 3 + 8t; y = 4 4t; t ( ;0. Už v tvrzení 11.2 jsme zjistili, že pro bod A je t = 0 a pro bod B je t = 1, tedy pro t z daného intervalu je určena polopřímka opačná k polopřímce AB. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, NE, NE, ANO 12 Je dána rovnice: 14 3x = 12 x 1 s neznámou x R. 2 body Čemu je roven součet všech kořenů této rovnice? A) Součet všech kořenů je roven 0. B) Součet všech kořenů je 5. C) Součet všech kořenů je 5. D) Součet kořenů je roven 10. E) Součet kořenů není žádné z čísel A) D). Rovnice 14 3x = 12 x 1 má smysl pro x 1. Pro tyto přípustné hodnoty proměnné lze rovnici vynásobit jmenovatelem pravé strany. (14 3x) (x 1) = 12 14x 14 3x 2 + 3x = 12 3x 2 + 17x 26 = 0 3x 2 17x + 26 = 0 Vypočítáme diskriminant: D = b 2 4ac D = 23 Rovnice nemá v R řešení, takže je správně E. Řešení: E 2 body 13 Na ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům 10, 7, 3. Určete velikost vnitřních úhlů takto vzniklého trojúhelníku. A) 60 ; 70 ; 50 B) 65 ; 75 ; 40 C) 60 ; 75 ; 45 D) 65 ; 80 ; 50 E) 60 ; 85 ; 35 Maturita z matematiky ZD 13
Mezi číslicemi 3 a 7 na ciferníku jsou 4 mezery, což znamená, že středový úhel měří 120 ; protože příslušný obvodový úhel je poloviční, má úhel u čísla 10 velikost 60. Podobně určíme úhel u čísla 7: středový úhel měří 150, takže příslušný obvodový úhel měří 75. Ze součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku určíme úhel u čísla 3. Jeho velikost je 45. Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tedy jsou: 60 ; 75 ; 45 Řešení: C 14 Přiřaďte ke každé funkci f 1 f 4 (14.1 14.4) její definiční obor (A F): 14.1 f 1 : y = 5x + 2 x 4 14.2 f 2 : y = log (2 + x) 14.3 f 3 : y = 25 x 2 x + 3 14.4 f 4 : y = log x 3 A) R {4} B) R {0} C) ( 2; ) D) (0, + ) E) 5; 5 F) ( ; 3) (3; ) max. 4 body 14.1 Pro funkci f 1 : y = 5x + 2 x 4 platí, že jmenovatel musí být různý od 4, tj. D(f) 1 = R {4}. Řešení: A 14.2 Pro funkci f 2 : y = log (2 + x) platí, že logaritmovaný výraz musí být kladný, tj. 2 + x > 0, tj. x > 2. D(f 2 ) = ( 2; ) Řešení: C 14 Maturita z matematiky ZD
14.3 Pro funkci f 3 : y = 25 x 2 platí, že výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. 25 x 2 0. Dvojčlen rozložíme na součin, určíme nulové body a rozhodneme o jeho znaménku v příslušných intervalech číselné osy. 25 x 2 = (5 x) (5 + x) 0 Rovnice 25 x 2 = 0 má kořeny (nulové body) v bodech 5 a 5. D(f 3 )= 5; 5 Řešení: E 14.4 Pro funkci f 4 : y = log tj. x + 3 x 3 > 0. x + 3 x 3 platí, že logaritmovaný výraz musí být kladný, Zlomek je kladný, jsou-li čitatel i jmenovatel buď oba kladné, nebo oba záporné. Musí tedy platit: x + 3 < 0 a zároveň x 3 < 0 nebo x + 3 > 0 a zároveň x 3 > 0. D(f 4 ) = ( ; 3) (3; ) Řešení: F max. 3 body 15 Ke každému zadání příkladu (15.1 15.3) přiřaďte odpovídající výsledky: 15.1 28 2 18 + 63 + 72 = 15.2 4 8 + 3 7 6 = 15.3 2 1 5 3 1 2 = 3 5 A) 0 B) 2 C) 5 7 D) 1 E) 2 F) 1 15.1 Upravíme daný výraz částečným odmocněním: 2 7 6 2 + 3 7 + 6 2 = 5 7 Řešení: C Maturita z matematiky ZD 15
15.2 Postupně odstraníme absolutní hodnoty: 4 8 + 4 6) = 4 8 + 4 6 = 4 6 = 2 Řešení: E 15.3 Postupně zjednodušujeme složený zlomek: 2 1 5 3 1 2 3 5 = 1 15 ( 15 1 ) = 1 Řešení: F KONEC TESTU 16 Maturita z matematiky ZD
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. 3) Úlohy 11 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 x = 2 2 x 2 4x 4 3 x = 21,1 km 4 A = 3 5 5 5.1 d = 10 1 bod 5.2 S 5 = 100 5.3 9 členů 6 21,5 % 7 Nestihnou. 8 V = x + 3 9 720 způsoby 1 bod 10 a = 60 cm; b = 90 cm; c = 180 cm 11 11.1 ANO 11.2 NE 11.3 NE 11.4 ANO 12 E 2 body 13 C 2 body 14 14.1 A 14.2 C 14.3 E 14.4 F 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 17
15 15.1 C 15.2 E 15.3 F max. 3 body 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky ZD
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 11 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 2 3 4 5 5.1 1 bod 5.2 5.3 6 7 8 9 1 bod 10 11 11.1 11.2 11.3 11.4 12 2 body 13 2 body 14 14.1 14.2 14.3 14.4 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 19
15 15.1 15.2 15.3 max. 3 body 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky ZD