MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu (a, b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1
Význam první derivace pro průběh unkce: Nechť unkce je spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě intervalu eistuje derivace Pak platí: 1) ( ) I : je rostoucí v I ) ( ) I : je klesající v I Lokální etrémy unkcí:
Deinice lokálních etrémů: Nechť je unkce deinovaná v intervalu (a, b): Říkáme, že unkce má v bodě ( a, b) lokální maimum, δ tak, že platí: ( δ, +δ ): ( ) eistuje-li Říkáme, že unkce má v bodě ( a, b) lokální minimum, δ tak, že platí: ( δ, +δ ): ( ) eistuje-li Nutná podmínka pro eistenci lokálního etrému: Nechť je unkce deinovaná v intervalu (a, b) a nechť eistuje derivace ( ) v bodě ( a, b) : Potom platí: má v bodě = lokální etrém ( ) Důležité poznámky: Má-li unkce v bodě různou od nuly, nemá v tomto bodě lokální etrém (obměna implikace) derivaci ( ) Funkce může mít lokální etrémy pouze v bodech, kde je první derivace nulová nebo neeistuje Tyto body nazýváme body podezřelé z lokálního etrému stacionární body Obrácená věta neplatí Nulovost první derivace nebo neeistence první derivace ve vnitřním bodě deiničního oboru unkce nezaručuje eistenci lokálního etrému
Postačující podmínka pro lokální etrém: Nechť eistuje v jistém okolí bodu Potom platí: ( ) = ( ) unkce má v bodě lokální maimum ( ) = ( ) unkce má v bodě lokální minimum Funkce konvení a konkávní: Význam druhé derivace pro průběh unkce: Nechť je unkce spojitá v intervalu I a nechť eistuje v každém vnitřním bodě intervalu I Potom platí: > v každém vnitřním bodě I je konvení v I < v každém vnitřním bodě I je konkávní v I
Průběh unkce: Postup při vyšetřování průběhu unkce: 1 určíme deiniční obor unkce, vyšetříme, zda unkce je sudá, resp lichá, 3 vyšetříme ity v krajních bodech intervalů deiničního oboru, 4 stanovíme nulové body unkce (průsečíky jejího grau s osou, 5 určíme intervaly, v nichž je unkce rostoucí, případně klesající, 6 určíme body, v nichž nastávají lokální etrémy a určíme jejich povahu, 7 určíme intervaly, v nichž je unkce konvení, případně konkávní, 8 nakreslíme gra unkce Příklady: 1 Určete intervaly, kde je unkce rostoucí a klesající a lokální etrémy: a) : y = 3 + 1, b) : y = + 3 Určete intervaly, kdy je unkce rostoucí a klesající, vyšetřete lokální etrémy a určete, kdy je unkce konvení a konkávní: 3 3 a) : y = + 3 36 + 6, b) : y = + 1, c) : y 4 3 = 4, d) ( )( ) : y = + 1, 3, ) : y = + 6 + 9 e) : y = ( + 1)( ) 3 Vyšetřete průběh unkce: a) 1 : y = +, b) : y = + 1
4Číslo 1 rozdělte na dva sčítance tak, že a) jejich součin je největší, b) součin jejich druhých mocnin je nejmenší 3 5 Nádrž na vodu má mít čtvercové dno, objem 56 m a tvar kvádru Vypočítejte rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu na vyzdění stěn a dna byla co nejmenší 6 Na válcovou konzervu se smí spotřebovat 5 dm plechu Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla přitom největší rozměr? 7 Šedesát metrů dlouhým pletivem se má ohradit obdélníkový záhon, jednou stranou přiléhající ke stěně domu Jaké má mít rozměry, aby měl co největší obsah L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo slouží pro výpočet it typu ( ) g Nechť platí: = a g = (neurčitý itní typ ) nebo = + a g = + (neurčitý itní typ ) Nechť eistuje g Potom eistuje a platí: g = g g
Poznámky: 1) Hlavní význam l Hospitalova pravidla spočívá v tom, že výpočet ity může být jednodušší než výpočet ity g g ) V zápisech it může znamenat reálné číslo i symbol ± Příklady: 8 Pomocí l Hospitalova pravidla vypočtěte ity: a) arcsin, b) sin e 1, c) sin cos π π ln, d) + 3 9 Pomocí l Hospitalova pravidla vypočtěte ity: a) 3 + 1 3, b) 7 + 6 3 + 1 1, 1 c) + 6 4, b) 7 3 49, c) 6 + +