Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické Goniometrické Cklometrické 5 Transformace grafu funkce 6 Operace s funkcemi Leonard Euler
Pojem funkce Definice (funkce) Necht D je neprázdná množina reálných čísel. Pravidlo f, které každému reálnému číslu D přiřazuje právě jedno reálné číslo, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné (stručně funkce). Zapisujeme = f(). - argument funkce f (nezávisle proměnná). - funkční hodnota funkce f v bodě (závisle proměnná). D - definiční obor funkce f, značí se D(f). Množina všech reálných čísel f(), která dostaneme pro všechna D, se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f). Příklad (funkce) = cos, D(f) = R, H(f) =, =, D(f) = R \ {} protože, H(f) = R \ {} Obsah kruhu je funkcí jeho poloměru, ted =. D(f) = (, + ), nebot poloměr kruhu je vžd kladné číslo, H(f) = (, + ). Není-li definiční obor pro funkci f zadán, pak jím rozumíme množinu všech reálných čísel, pro které má výraz f() smsl. Příklad (definiční obor) Určete definiční obor funkce = a ted D(f) =, + ) Určete definiční obor funkce = log(5 ) 5 > < 5 a ted D(f) = (, 5 ) Určete definiční obor funkce = 4 + 4 + 4 a ted D(f) = R \ { 4}
Graf funkce Definice (graf funkce) Grafem funkce = f() s definičním oborem D(f) rozumíme množinu všech bodů [, f()] rovin, kde D(f) ve zvolené kartézské souřadnicové soustavě. Definiční obor znázorňujeme na ose, obor hodnot na ose. Libovolná rovnoběžka s osou protíná graf funkce nejvýše v jednom bodě. Příklad (č. graf funkce) Křivka = není grafem funkce, protože jednomu nemohou být přiřazena dvě různá reálná čísla. = Příklad (č. graf funkce) =, grafem je přímka = k + q, směrnice k =, q =. Průsečík s osami: s osou [, ] ( = ): = = [, ] s osou [, ] ( = ): = = [, ] = D(f) = R, H(f) = R
Příklad (č. graf funkce) =, grafem je hperbola. D(f) = (, ) (, ), H(f) = (, ) (, ) = Poznámka (zadání funkce) Způsob zadání funkce: eplicitní = f(), ( = vzorec pro ) např. = tg, = 5, =, = + implicitní F (, ) =, ( vzorec pro a = ) např. log() + = tabulka funkčních hodnot graf
Vlastnosti funkcí Definice (parita funkce) Funkce f s definičním oborem, který má tu vlastnost, že s každým bodem obsahuje i bod, se nazývá sudá, jestliže pro každé D(f) platí f( ) = f(), lichá, jestliže pro každé D(f) platí f( ) = f(). Graf sudé funkce je souměrný podle os, např. = cos. Graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadnic, např. = sin. Nutným předpokladem pro tuto vlastnost je, ab definiční obor bl souměrný podle počátku souřadnic. Obecně nemusí být funkce ani sudá ani lichá. Parita funkce Příklad (sudost, lichost funkce) graf sudé funkce = graf liché funkce = f() f() f() souměrnost podle os souměrnost podle počátku
Funkce rostoucí nebo klesající se nazývají rze monotonní, neklesající nebo nerostoucí se nazývají monotonní. Příklad (sudost, lichost funkce) Rozhodněte, zda následující funkce jsou sudé nebo liché. = +, R f( ) = ( ) + = + = + = f() Funkce je ted lichá. = +, R f( ) = ( ) + ( ) = + = f() Funkce je ted sudá. = + D(f) = R \ {} Není splněn předpoklad, že definiční obor s každým obsahuje také, funkce není ani sudá ani lichá. Monotonie funkce Definice (monotonie funkce) Necht f je funkce a M D(f) podmnožina definičního oboru. Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) < f( ). klesající, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) > f( ). neklesající, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) f( ). nerostoucí, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) f( ).
Příklad (rostoucí, klesající funkce) graf rostoucí funkce = e f( ) graf klesající funkce = e f( ) f( ) f( ) < f( ) < f( ) < f( ) > f( ) obě funkce jsou rze monotonní na D(f) = R Příklad (neklesající, nerostoucí funkce) graf neklesající funkce graf nerostoucí funkce f( ) = f( ) f( ) = f( ) < f( ) f( ) < f( ) f( ) obě funkce jsou monotonní na D(f) = R
Příklad Funkce = není na celém svém definičním oboru D(f) = R \ {} klesající a ted ani monotonní. f( ) < ale f( ) < f( ) f( ) Je klesající pouze v každém z intervalů (, ) a (, ). Ohraničenost funkce Definice (ohraničenost funkce) Necht f je funkce a M D(f) podmnožina definičního oboru. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže eistuje takové d R, že pro každé M platí f() d. shora ohraničená, jestliže eistuje takové h R, že pro každé M platí f() h. ohraničená, jestliže je na množině M ohraničená shora i zdola. Je-li funkce ohraničená zdola, pak eistuje vodorovná přímka = d taková, že graf funkce leží celý nad touto přímkou. Je-li funkce ohraničená shora, pak eistuje vodorovná přímka = h taková, že graf funkce leží celý pod touto přímkou. Je-li funkce ohraničená, leží celý graf mezi dvěma vodorovnými přímkami.
Příklad = je ohraničená zdola = je ohraničená shora h d = sin je ohraničená h d Prostá funkce Definice (prostá funkce) Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každé, M takové, že, platí f( ) f( ). Každá funkční hodnota odpovídá pouze jedinému argumentu. Graf prosté funkce protíná každá vodorovná přímka v nejvýše jednom bodě. Věta Každá rze monotonní funkce na množině M je prostá. Je-li ted funkce na množině M rostoucí nebo klesající, je zde prostá.
Příklad funkce = je prostá na D(f) = R funkce = není prostá na D(f) = R f( ) = f( ) na intervalu (, ) je klesající a ted prostá na intervalu (, ) je rostoucí a ted také prostá Periodičnost funkce Definice (periodičnost funkce) Funkce f s definičním oborem, který má tu vlastnost, že s každým bodem obsahuje také bod + p, kde p >, se nazývá periodická s periodou p, jestliže pro všechna D(f) platí f( + p) = f(). Příklad Goniometrické funkce = sin a = cos jsou periodické funkce se základní periodou (jsou ale periodické také s periodou 4, 6 atd.). - Goniometrické funkce = tg a = cotg jsou periodické s periodou.
Inverzní funkce Definice (inverzní funkce) Necht f je prostá funkce. Funkce f, která každému číslu H(f) přiřazuje právě to číslo D(f), pro které platí = f(), se nazývá inverzní funkce k funkci f. Značíme ji f, ted = f (). D(f) f H(f) f H(f ) D(f ) Platí D(f ) = H(f), H(f ) = D(f). f je inverzní funkce k funkci f. Graf funkcí f a f jsou smetrické podle přímk =. Je-li funkce f rostoucí (klesající), je i f rostoucí (klesající). Chceme-li k funkci f najít inverzní funkci, zaměníme v zadání funkce = f() proměnné a. Z rovnice = f() pak vjádříme proměnnou. Příklad Určete inverzní funkci k funkci =. f : = je prostá (rostoucí) D(f) = R H(f) = R f : = + = = + D(f ) = R H(f ) = R = = = +
Základní elementární funkce Základní elementární funkce mocninné eponenciální logaritmické goniometrické cklometrické Všechn funkce, které ze základních elementárních funkcí získáme konečným počtem operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládáním těchto funkcí navzájem, se nazývají elementární funkce. Mocninné funkce Mocninná funkce je funkce tvaru = a, kde (, ), mocnitel a R je číslo libovolné, ale pevné. Pro různé mocnitele může mít různé definiční obor, nebot je lze někd rozšířit. Mezi mocninné funkce patří = n, = n = n, D(f) = (, ), D(f) = (, ) (, ), = n = n, D(f) =, ), kde n N. Pro n liché můžeme definiční obor funkce = n rozšířit na množinu (, ) tak, že pro kladné číslo a je n a = n a. Ted např. 8 =. Pro n sudé platí, že n a není v R definována, např. 4.
mocninné funkce přímka = parabola = D(f) = R, H(f) = R D(f) = R, H(f) =, ) mocninné funkce kubická parabola = hperbola = D(f) = R, H(f) = R D(f) = R {}, H(f) = R {}
mocninné funkce = odmocnina = D(f) = R {}, H(f) = (, ) D(f) =, ), H(f) =, ) Eponenciální funkce eponenciální funkce = a (a >, a ) = a (a > ) = a ( < a < ) a D(f) = R, H(f) = (, ) a > rostoucí pro a > a klesající pro < a < speciální případ = e, kde e =, 788 je tzv. Eulerovo číslo a
Příklad (eponenciální funkce) Nakreslete graf funkcí = a = ( ). = ( ) = ( ) je totožný s grafem =. Platí totiž Graf funkce = ( ) = = Logaritmické funkce logaritmické funkce = log a (a > ) = log a ( < a < ) a a D(f) = (, ), H(f) = R rostoucí pro a > a klesající pro < a < a = e, = ln (= log e ), tzv. přirozený logaritmus a =, = log (= log ), tzv. dekadický logaritmus
Příklad (logaritmické funkce) Nakreslete graf funkcí = log a = log. = ( ) = = = log = log Logaritmická funkce = log a a eponenciální funkce = a o stejném základu a jsou vzájemně inverzní a platí vztah, = log a = a Pro logaritmickou funkci platí log a a = speciálně log =, ln e =, log a = speciálně log =, ln =, log a = ln ln a speciálně log = ln ln Příklad log = 5 = 5 log = = ln = = e
Příklad (logaritmické funkce) Nakreslete graf funkcí = ln a = log. = ln = log e Goniometrické funkce goniometrické funkce = sin - = cos - D(f) = R, H(f) =, funkce jsou periodické se základní periodou p = funkce = cos je sudá, funkce = sin je lichá
goniometrické funkce = tg, tg = sin cos = cotg, cotg = cos sin D(f) = R { (k + ), k Z}, H(f) = R D(f) = R {k, k Z}, H(f) = R funkce jsou periodické se základní periodou p =, jsou obě liché Hodnot goniometrických funkcí Hodnot goniometrických funkcí ve vbraných úhlech Stupně 45 6 9 5 5 8 Radián 6 4 4 5 6 sin α cos α tg α - cotg α - -
Cklometrické funkce Inverzní funkce k = sin = arcsin = - = sin Inverzní funkce k funkci = sin,,, je funkce = arcsin Inverzní funkce k = cos = arccos = - = cos Inverzní funkce k funkci = cos,,, je funkce = arccos
cklometrické funkce = arcsin = arccos 6 D(f) =,, H(f) =, funkce = arcsin je rostoucí a lichá D(f) =,, H(f) =, funkce = arccos je klesající Inverzní funkce k = tg = tg = arctg = Inverzní funkce k funkci = tg, (, ), je funkce = arctg
Inverzní funkce k = cotg = arccotg = = cotg Inverzní funkce k funkci = cotg, (, ), je funkce = arccotg cklometrické funkce = arctg = arccotg 4 4 D(f) = R, H(f) = (, ) funkce = arctg je rostoucí a lichá D(f) = R, H(f) = (, ) funkce = arccotg je klesající
Příklad (určení funkční hodnot) arcsin = 6, protože sin 6 = ( ) ( ) arcsin = arcsin = 4, protože sin 4 = a funkce = arcsin je lichá ( ) arccos = 6, protože cos 6 = ( ) arccos = 5 6, protože cos 6 = a 6 = 5 6 arctg = ( ), protože tg = Příklad (definiční obor) Určete definiční obor funkce = arccos. Funkce = arccos má definiční obor,, proto musí platit a / 4 Definiční obor je ted D(f) =,
Transformace grafu funkce Poznámka (přičtení čísla k argumentu) graf funkce = f( ± c) (posun ve směru os ) = ( + ) = ( ) Poznámka (přičtení čísla k funkční hodnotě) graf funkce = f() ± c (posun ve směru os ) = = +
Příklad Nakreslete graf funkce = + log ( + ). Posun, ; a = > rostoucí funkce; + > D(f) = (, ) 4 = + log ( + ) = log průsečík a osami: = = + log = [, ] = = + log ( + ) = log ( + ) = + 4 = 4 = [ 4, ] Poznámka (vnásobení funkční hodnot číslem ) = graf funkce = f() (překlopení kolem os ) e = e = -e = e souměrnost podle os
Poznámka (vnásobení argumentu číslem ) graf funkce = f( ) (překlopení kolem os ) = = = ln( ) = ln -e e souměrnost podle os Operace s funkcemi Poznámka (operace s funkcemi) Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit: (f + g)() = f() + g() (f g)() = f() g() (f g)() = f() g() ( ) f () = f(), kde g() g g() Definiční obor těchto funkcí je průnikem definičních oborů jednotlivých funkcí s tím, že v případě podílu navíc požadujeme, ab g().
Skládání funkcí Definice (složená funkce) Necht je dána funkce u = g() s definičním oborem D(g), oborem hodnot H(g) a funkce = f(u), která je definována na množině D(f) H(g). Složenou funkcí (f g)() rozumíme přiřazení, které každému D(g) přiřadí číslo = f (g()), tj. hodnotu funkce f v čísle g(). Funkce g se nazývá vnitřní složka, funkce f vnější složka složené funkce. D(g) D(f) H(g) H(f) g f g() f(g()) f g Funkce složená vznikne dosazením libovolné funkce za argument jiné funkce. Opakováním postupu skládání funkcí dostaneme vícenásobně složené funkce. Příklad Funkce = log, má vnější složku = u a vnitřní složku u = log. Funkce = sin( ), má vnější složku = sin u a vnitřní složku u =. Funkce = ln cos(), má vnější složku = ln z a vnitřní složk z = v, v = cos u, u =.
Určování definičních oborů Poznámka Při určování definičních oborů složených funkcí a podílu funkcí je třeba brát v úvahu následující podmínk: funkce tvaru = f() je definovaná pro g(), g() funkce tvaru = f() je definovaná pro f(), funkce tvaru = log a f() je definovaná pro f() >, funkce tvaru = tg(f()) je definovaná pro f() (k + ), k Z, funkce tvaru = cotg(f()) je definovaná pro f() k, k Z, funkce tvaru = arcsin(f()) a = arccos(f()) jsou definován pro f(). Příklad Určete definiční obor funkce = ln( + ) + 5 + 6 + e 4 + > > 5 + 6 ( )( ) (, > <, ) 4 4 + + 4 D(f) = (,, 4) (4, )
Vzájemně inverzní základní elementární funkce = =, = = = e = a, a, a > = sin,, = cos,, = tg, (, = cotg, (, ) ) = ln = log a = arcsin = arccos = arctg = arccotg Pro vzájemně inverzní funkce f a f platí f (f()) =, f(f ()) = pro všechna, pro která má tento zápis smsl. Příklad Pro všechna, pro která mají uvedené operace smsl, například platí: = ln(e ) = e ln = log a (a ) = a log a = ( ) = = sin(arcsin ) = arcsin(sin ) = tg(arctg ) = arctg(tg )