Matematika I (KMI/PMATE)

Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti

Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce (základní) elementární funkce vlastnosti funkce sudá a lichá funkce periodická funkce monotónost funkce extrémy a ohraničenost funkce prostá funkce inverzní funkce složená funkce operace s funkcemi

Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n)

Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n) Proměnná Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu.

Popisujeme vztah dvou veličin. Vyjadřujeme, jak hodnoty jedné veličiny (teploty T) závisejí na hodnotách další veličiny (času).

Obecně, tento popis vzájemného vztahu probíhá tak, že hodnotám jedné veličiny (tzv. nezávisle proměnné) přiřazujeme hodnoty druhé veličiny (tzv. závisle proměnné).

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod.

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x)

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = 2 5 + 3 = 13

Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = 2 5 + 3 = 13 Některé často používané funkce mají speciální označení (např. log, sin, cos, apod.)

Definiční obor funkce Množina čísel, kterou jsme v definici funkce označili D(f ), se nazývá definiční obor funkce. Symbol x, označující libovolné číslo z množiny D(f ), se nazývá nezávisle proměnná nebo argument funkce. Obor hodnot funkce Číslo y přiřazené funkcí f k číslu x nazýváme hodnotou funkce f v bodě x; píšeme y = f (x). Množinu H(f ) všech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f.

Graf funkce Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x, f (x)], kde x je libovolné číslo z definičního oboru funkce f a f (x) je příslušná funkční hodnota.

K jednoznačnému určení funkce je třeba zadat: 1 definiční obor funkce, 2 funkční předpis, tj. způsob přiřazení funkčních hodnot k argumentům. Je zvykem, že není-li u funkčního předpisu zároveň uveden definiční obor funkce f, rozumí se jím množina všech čísel x, pro něž existují funkční hodnoty f (x). Funkční předpis nejčastěji mívá formu vzorce, tj. matematického zápisu, z něhož je patrné, které matematické operace je třeba provést s argumentem x, abychom dostali příslušnou funkční hodnotu. V tom případě se říká, že funkce je zadána analyticky.

Někdy je funkční předpis dán několika vzorci, např: 1 + x pro x (0, + ) f (x) = 0 pro x = 0 1 x pro x (, 0). V některých případech může být funkce zadána přímo výčtem funkčních hodnot pro všechny hodnoty argumentu x, např. tzv. Dirichletova funkce je definována následovně: { 1 pro x racionální, f (x) = 0 pro x iracionální. Přibližně lze funkci zadat též graficky, tj. nakreslením jejího grafu.

Elementární funkce Základní elementární funkce již známé ze střední školy: Konstantní funkce: y = c, c R, D(f ) = R. Lineární funkce: y = kx + q, k, q R, k 0, D(f ) = R. Mocninná funkce: y = x n, n N, D(f ) = R. n R, n 0, D(f ) = R +. Funkce sinus: y = sin x. D(f ) = R. Funkce kosinus: y = cos x. D(f ) = R. Funkce tangens: y = tg x, D(f ) = R\{ kπ Funkce kotangens: y = cotg x, D(f ) = R\{kπ Exponenciální funkce: y = a x, a > 0, D(f ) = R. Logaritmická funkce: y = log a x, a > 0, a 1, D(f ) = R +.

Elementární funkce Elementárními funkcemi budeme rozumět takové funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí konečným počtem aritmetických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a operací skládání funkcí. Příklady elementárních funkcí: f (x) = x 3 5x 2 + 6x 5 ( ) g(x) = ln sin x 1+x 2 Příklady neelementárních funkcí: h(x) = x 3 5x 2 + 6x 5 1 pro x > 0, sgn x = 0 pro x = 0, 1 pro x < 0.

Vlastnosti funkce Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro všechna x D(f ) je f ( x) = f (x). Funkce f (x) = x 2 je sudá, nebot x D(f ) f ( x) = ( x) 2 = x 2 = f (x). Příklady sudých funkcí: f (x) = x n, kde n je sudé číslo, f (x) = cos x. Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.

Lichá funkce Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, jestliže pro všechna x D(f ) je f ( x) = f (x). Funkce f (x) = x 3 je lichá, nebot x D(f ) f ( x) = ( x) 3 = x 3 = f (x). Příklady lichých funkcí: f (x) = x n, kde n je liché číslo, f (x) = sin x. Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadných os.

Periodická funkce Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje takové p 0, že pro všechna x z jejího definičního oboru je f (x + p) = f (x). Číslo p nazýváme periodou funkce f, nejmenší kladnou periodu (pokud existuje) nazýváme základní periodou funkce f. Funkce f (x) = sin x je periodická, nebot jestliže zvoĺıme p rovno např. hodnotě 2π, tak: x R : f (x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f (x).

Monotonost funkce Rostoucí funkce Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J D(f ), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f (x i ) < f (x j ). Funkce y = x 2 je rostoucí v intervalu (0, ), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j je x 2 i < x 2 j (např. [3 < 5] [3 2 < 5 2 ]).

Monotonost funkce Klesající funkce Funkce f se nazývá klesající v intervalu J D(f ), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f (x i ) > f (x j ). Funkce y = x 2 je klesající v intervalu (, 0), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j platí x 2 i > x 2 j (např. [( 5) < ( 3)] [( 5) 2 > ( 3) 2 ]).

Vlastnosti funkce Omezená funkce Funkce f se nazývá ohraničená (omezená) v intervalu J D(f ), jestliže existuje takové číslo C, že pro všechna x J platí f (x) C. Funkce y = f (x) je omezená v zobrazeném intervalu, nebot pro všechny zobrazené funkční hodnoty je C < f (x) < C, tedy f (x) < C.

Vlastnosti funkce Globální minimum Globálním minimem funkce f v intervalu J D(f ) nazýváme takovou funkční hodnotu f (x n ), že pro všechna x J platí f (x) f (x n ). Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodě x n globální minimum f (x n ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f (x n ) f (x).

Vlastnosti funkce Globální maximum Globálním maximem funkce f v intervalu J D(f ) nazýváme takovou funkční hodnotu f (x m ), že pro všechna x J platí f (x) f (x m ). Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodě x m globální maximum f (x m ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f (x) f (x m ).

Vlastnosti funkce Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá, jestliže pro každé dva různé body z definičního oboru jsou různé i jejich funkční hodnoty.

Vlastnosti funkce Inverzní funkce Necht funkce y = f (x) je prostá. Potom inverzní funkcí k funkci f (značíme f 1 ) rozumíme funkci, která každému y z oboru hodnot funkce f přiřazuje takové číslo f 1 (y) = x z definičního oboru funkce f, pro které platí f (x) = y. Složená funkce Mějme funkce f a g. Je-li definiční obor funkce f roven oboru hodnot funkce g (tj. D(f ) = H(g) ), pak funkci F (x) = f (g(x)) nazýváme složená funkce. Funkce g se nazývá vnitřní funkce, funkce f se nazývá vnější funkce. Necht f (x) = sin x, g(x) = x 3. Je vidět, že D(f ) = H(g) = (, ). Potom F (x) = f (g(x)) = sin x 3.

Operace s funkcemi Rovnost funkcí Dvě funkce jsou si rovny (f = g), jestliže mají týž definiční obor [D(f ) = D(g)] a pro všechna x z této množiny platí f (x) = g(x). Součet funkcí Součtem funkcí f, g s týmž definičním oborem nazýváme takovou funkci h (píšeme h(x) = (f + g)(x)), která přiřadí ke každému číslu x D(f ) = D(g) funkční hodnotu h(x) = f (x) + g(x). Zbývající početní operace s funkcemi Obdobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí f, g s týmž definičním oborem, přičemž podíl je definován pouze tehdy, je-li g(x) 0 pro každé x z definičního oboru.