CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Vzorová úloha Absolutí a relativí hyba ph-etru 8 Skleěá elektroda k ěřeí ph á odpor R = 5 0 ohů při 5 EC a vstupí ipedae ilivoltetru je R = 0 ohů Jaká je absolutí hyba a relativí δ hyba ěřeí apětí, když bylo zěřeo apětí U = 064 V? Pro apětí a skleěé elektrodě platí přito vzore U x = U (R + R /R 8 Řešeí: U x = 064 (5 0 + 0 /( 0 = 0656 V, = 0656-064 = 0006 V, δ = 0006 00 / 0656 = 06 % Závěr: Napětí U x je 0656 V, absolutí hyba je 6 V a relativí δ je 06 % Vzorová úloha Třída přesosti a práh itlivosti apéretru Do jaké třídy přesosti patří a s jaký prahe itlivosti prauje iliapéretr rozsahu R = 60 A, jestliže pro skutečou hodotu proudu µ = 50 A byla aěřea středí hodota x = 496 A? Řešeí: = 500-496 = 04 A, 0 δ = 04 00 / 60 = 067 % a po zaokrouhleí %, 0 x = 067 60 / 00 = 040 A a po zaokrouhleí 04 A Závěr: Třída přesosti je % a práh itlivosti 04 A Vzorová úloha 3 Mezí absolutí a relativí hyba apéretru Na apéretru je uvede údaj hodot δ k/δ 0, ueriky 5/05, a axiálí rozsah R = 50 A Určete ezí absolutí hybu 0a relativí hybu δ 0ěřeí pro hodoty okolo x = 0 A Řešeí: Apéretr vykazuje kobiovaou hybu Celková relativí hyba je * 0 5 % 05 ( 50 0 a ezí absolutí hyba je & 35 3% (po zaokrouhleí
5 0 % 05 (50 & 0 0 035 03 A 00 Závěr: Výsledek ěřeí se proto zapíše ve tvaru 0 ± 03 A (po zaokrouhleí Vzorová úloha 4 Relativí a absolutí systeatiká hyba pipety Pipeta o objeu 5 l byla kotrolováa vážeí a po přepočtu byly získáy hodoty objeu v l: 4969, 4945, 5058, 50, 4945, 5006, 497, 50, 503 a 4986 Určete relativí a absolutí systeatikou hybu pipety a proveďte aalýzu dat Řešeí: Obje pipety x je 49937 l s rozptyle s (x = 0003 Odhad absolutí systeatiké hyby pipety (â = x - µ je -00063 l Odhad relativí systeatiké hyby pipety (δ = 00 (â/x je -03 % Jelikož µ = 5000 je pevá hodota, bude rozptyl s (a = s( x = s(x/ rove hodotě 000034 Za předpokladu orálího rozložeí hyb bude a 95% iterval spolehlivosti systeatiké hyby â & t 095 (0 & s(a # a # â % t 095 (0 & s(a kde kvatil Studetova rozděleí t 095 (9 = 63 a dosazeí do erovosti bude & 0035 # a # 0099 b 95% toleračí iterval systeatiké hyby se spolehlivostí ( - α = 099 je rove â & k T s(a # a # â % k T s(a, kde pro k platí vztah T k T 96 9 088 4069 a po dosazeí do erovosti bude & 00534 # a # 00408 Je-li rozptyl áhodýh hyb vážeí objeu vody rove s (x, bude 95 % toleračí iterval se spolehlivostí 099 a ezí kvatilová hyba pipety & 0489 # # 0489 09 65 s(x 65 00366 00604 Závěr: Protože 95% iterval spolehlivosti systeatiké hyby i toleračí iterval systeatiké hyby pokrývají hodotu ula, lze považovat systeatikou hybu pipety â = 00063 l za statistiky evýzaou a obje pipety se vyjádří jako 4994 ± 0060 l
Vzorová úloha 5 Kvatilové odhady hyb přístroje Na základě předběžýh experietů byl zjiště rozptyl ěřiího přístroje σ = 05 Staovte 95% ezí kvatilovou hybu σ 095 pro případ, kdy je záo, že ěřií přístroj á (a orálě rozděleé hyby, (b rovoěrě rozděleé hyby Řešeí: K výpočtu ezíh hyb se vypočte Z = 487 pro P = 095: a Pro orálí rozděleí je g = 3 Dosazeí bude odhad h = 936 Vyčísleí je pak kvatilový odhad hyby σ = 0968 Uveďe, že skutečá hodota h je pro teto 095 případ 96 (odečteo ze statistikýh tabulek b Pro rovoěré rozděleí je g = 8 a dosazeí vyjde odhad h = 669 Vyčísleí bude pak kvatilový odhad hyby σ = 0835 095 Závěr: Typ rozděleí hyb výrazě ovlivňuje kvatilový odhad hyby Pro orálí rozděleí je σ = 0968 a pro rovoěré rozděleí je teto odhad eší σ = 0835 095 095 Vzorová úloha 6 Šířeí hyb v etodě izotopového zřeďováí Arse ve vzorku byl staove etodou izotopového zřeďováí Byla zěřea ěrá aktivita - -7 a = 37000 s a po stadardí přídavku As o hotosti = 5 0 g byla ěrá aktivita - a = 5300000 s Staovte relativí hybu obsahu arseu ve vzorku, pokud je relativí hyba vážeí δ( = 003 % a relativí hyba staoveí aktivity δ(a = δ(a = % Řešeí: Pro ožství arseu ve vzorku platí 3 x a & a a Předpokládeje, že, a, a jsou vzájeě ekorelovaé, takže dosazeí dostaee Pro rozptyl lze psát x a & a a % a s (a a 3 7 0 &5 % 76 0 &9 7 0 &5 g s ( x a a & s ( % a s (a & a a s (a a a & * ( % a a [* (a % * (a ] 3 0 &8 % 059 0 & 059 0 & Závěr: Relativí hyba je δ( = 00 s( / = 44 % x x x
4 Vzorová úloha 7 Korelae hyb objeů v laboratoríh operaíh Možství = 0 g Z bylo rozpuštěo v HCl a převedeo do objeu V = 000 l Obje tohoto roztoku V = 00 l byl dále zředě doplěí v oděre V = 000 l Pro istruetálí aalýzu bylo odpipetováo V = 5 l a dále aředěo do objeu V = 5 l 3 4 Určete koetrai roztoku a její relativí hybu, je-li sěrodatá odhylka vážeí s( = 03 g, oděrého ádobí s(v = s(v = 0 l, s(v = 005 l, s(v = 0005 l a s(v 3 4 = 005 l Řešeí: Koetrae se vyčíslí podle vztahu V /(VV Chyby objeů V a budou silě korelovaé s hybai objeů V a Uvažuje ejprve ideálí případ, kdy jsou korelačí koefiiety r V V r V3 V, zatío ostatí veličiy jsou 4 ekorelovaé Pak vyjde * ( s( % s(v V % s(v V % s(v V % % s( % s( & s(v V s(v V & s( s( Po dosazeí získáe δ( = 030 % V případě, že bude zaedbáa jak korelae ezi V a V, tak i ezi V a V, čili korelačí koefiiet r V V r V3 V 0, bude δ( = 0336 % 4 3 4 Dosazeí příslušýh derivaí se vyčíslí středí hodota koetrae, podle rovie V V V % V s (V V % s (V V V % s ( VV & & s(v s(v & V s( s(, VV VV V 4-6 - - ve které prví čle je rove 0, druhý 6 0 a třetí 0 Při zaedbáí dvou -3 - -6 - eješíh čleů bude průěrá koetrae = 0 g l, s( = 673 0 g l Závěr: Korelae ezi odebíraýi objey V a a doplňovaýi objey V, sižuje elkovou relativí hybu koetrae, způsobeou avažováí a zřeďováí roztoků Vzorová úloha 8 Výpočet jeosti vláka z hotostí a délek vláke Cíle je výpočet jeosti T g/l při zalosti středí hodoty hotosti ḡ, jejího rozptylu s g a dále středí hodoty délky vláka L a jejího rozptylu s L za předpokladu, že ěřeí jsou ekorelovaá, ov(g, L = 0 Výpočet se provede dle vztahu s L T ḡ L % ḡ L 3 s L Závěr: Středí hodota jeosti vláka rozptylu délky vláka T ḡ L ( % s L L závisí pouze a přesosti ěřeí délky, tj
Vzorová úloha 9 Určeí středí hodoty jeosti vláke Vyhází se z -tie úseků příze délky L o hotosteh g Úsek L á hotost g = j a existuje etriké číslo C L/g Pro i-tý úsek pak platí, že jeho etriké číslo bude L/ Cíle je určit z dílčíh jeostí středí hodotu jeosti vláke pooí průěrého etrikého čísla C Řešeí: (a Běžý (esprávý postup je takový, že použijee aritetiký průěr etrikého čísla C j Po dosazeí vyjde, že C L j L j % ( & ḡ/ḡ C[ % v g ] (b Syetrizačí trasforae - Y P & Volí se haroiký průěr C H j & C H j L L j C ( Logikou úvahou L áe g L Protože je C L vyjde i C L j L j L j i C H j Závěr: Pro případ, kdy výsledek ěřeí je úěrý reiproké hodotě ěřeé veličiy je třeba použít haroiký průěr Vzorová úloha 0 Určeí hyby viskozity dvoubodovou aproxiaí Vypočtěte hybu viskozity glyerolu Stokesovou etodou pro experietálí data: poloěr 3-3 kuličky r = (00 ± 0000, hustota kuličky ρ 0 = 335 0 kg, hustota glyerolu 3-3 ρ = 8 0 kg, dráha kuličky l = (33 ± 005, kterou kulička vykoá za dobu t - = (6 ± 0 s, a tíhové zryhleí g = 980 s Řešeí: Viskozita η, určovaá Stokesovou etodou, se vyčíslí podle vztahu 0 gr (D 0 & D t 9 l Protože ejde o součtový ebo součiový výraz, elze jedoduše určit relativí hybu -4 Metodou dvoubodové aproxiae se vyčíslí hodoty: η = 0099 Pa s, s(η = 54 0 Pa s a relativí hyba δ(η = 8 % Závěr: Rozděleí viskozity η je přibližě syetriké 5
6 Vzorová úloha Hroaděí hyb při určeí rozpustosti stříbré soli -8 Souči rozpustosti stříbré soli AgX á hodotu K S = (40 ± 04 0 Jaká je hyba + vypočteé rovovážé koetrae stříbrýh iotů [Ag ] ve vodě? + Řešeí: Rozpustost [Ag ] se vypočte podle vztahu [Ag % ] K S Metoda Taylorova rozvoje Příý dosazeí, kdy se vyčíslí hodota rozpust-osti [Ag % ] K S & 05 K &3/ S s (K S 0 &4 & 5 0 &7 9975 0 &4 oll & a rozptyl rozpustosti s ([Ag % ] 05 K & S s (K S 0 &0 a relativí hyba + rozpustosti δ([ag ] = 5 % + -4 - Metoda dvoubodové aproxiae vede k hodotá [Ag ] = 997 0 ol l, + -0 + -5 - + s ([Ag ] = 003 0, s([ag ] = 00 0 ol l, δ([ag ] = 5 % + -4-3 Metoda siulaí Mote Carlo vede k hodotá [Ag ] = 997 0 ol l, + -0 + -5 - + s ([Ag ] = 038 0, s([ag ] = 09 0 ol l, δ([ag ] = 5 % Závěr: Všehy tři etody poskytují shodé výsledky Vzorová úloha Korelae v hroaděí hyb Gravietriké staoveí obsahu oxidu železitého v železé rudě obsahujíí asi 50% Fe O 3 se provede a aalytikýh váháh s hybou vážeí s( = 03 g a avážkou vzorku = 005 g Určete hybu gravietrikého staoveí, pokud avážka vzorku a vyvážka popela jsou v relai, a to 05 0 0 Řešeí: Pro hotostí zloek w staovovaého Fe O v rudě v proeteh platí w = 00 3 / Jelikož jsou avážka a vyvážka silě korelováy, r 0, dosazeí získáe vztah 0 0 *(w 00 s (w 0 4 [ s ( 0 *(w * ( 0 % * ( & *( 0 *( r 0 V případě úplé lieárí závislosti avážky a vyvážky, bude r = a 0 03 55 % 03 05 w 00 0 % s ( 3 % 0 s ( 4 & 03 55 03 05 & r 0 s( 0 s( & 0 r 0 3 086 % Naopak, pokud by vyvážka ezávisela a aváže, tj r 0 = 0, vyšlo by δ(w = 0639 % V případě částečé korelae r = 05 vyjde δ(w = 049 % 0 Středí hodota w a její rozptyl s (w budou rověž ovlivěy korelaí ezi 0 a Bude-li s( 0 s( 03 a ěřeí byla -krát opakováa, pak dostaee Je-li 0 < r <, bude příspěvek třetího čleu vždy zaedbatelý a w 50 % Dosazeí 0 bude s( 0 s( % s ( 0 s ( 4 ] a při volbě r = bude s (w 003, zatío pro r = 0 bude s (w 00 Pro případ 0 0 r = 0 je relativí hyba δ(w = 064 % a tatáž je i pro r = 0 0
Závěr: Kladá korelae ezi avážkou a vyvážkou sižuje relativí hybu etody Pro dostatečě veliké avážky vzhlede k hybě vážeí se a odhadeh středí hodoty w a rozptylu s (w projeví stupeň korelae je evýrazě To je způsobeo vedle vysoké relativí přesosti ěřeí také přibližostí obou užitýh vztahů Vzorová úloha 3 Nejistota aritetikýh operaí přibližýh čísel Vypočtěte ejistotu výsledku y po provedeí řady operaí s přibližýi čísly Řešeí: y 40(±00 00050(±0000 97(004 (43(±0 & 6(±0 500(0 y 3 ± 03 43(04 Závěr: K výpočtu ejistot bylo užito vzorů etody propagae ejistot 0004 ± 00003, 7 Vzorová úloha 4 Výpočet ejistoty teploty ěřeé rtuťový teploěre Cíle je staovit ejistotu ěřeí teploty rtuťový teploěre dle speifikae ejistot typu B Příklad ilustruje jedak růzé ožosti výpočtu ejistot, jedak i zásadí fakt, že lze dokoe staovit ejistotu bez zalosti kokrétího ěřeí Data: zdroje ejistot typu B jsou x hyba teploěru dle údajů výrobe [± 0 EC], x ejistota kalibrae dle údajů výrobe [± EC], x ejistota odečtu teploty, odhad [± 05 EC] 3 Řešeí: a Za předpokladu rovoěrého rozděleí ejistot v daé itervalu: ejistota pro zdroj x je σ = 05774 @ 0 = 005774, x ejistota pro zdroj x je σ = 05774 @ = 05744, x ejistota pro zdroj x je σ = 04435, a bude poto 3 x3 kobiovaá ejistota (čili elková hyba pro ekorelovaé zdroje ejistot F F x % F x % F x3 059796, rozšířeá ejistota U = σ = 958 a po zaokrouhleí Kobiovaá ejistota (elková hyba pro korelovaé zdroje ejistot bude F F x % F x % F x3 077949 a rozšířeá ejistota U = σ = 5588 a po zaokrouhleí 6 b Za předpokladu trojúhelíkového rozděleí ejistot v daé itervalu: ejistota pro zdroj x je rova σ = 004 * 0 = 0004, x ejistota pro zdroj x je rova σ = 0040 * = 0040, x ejistota pro zdroj x je rova σ = 0050 a bude poto 3 x3 kobiovaá ejistota (elková hyba pro ekorelovaé zdroje ejistot je rova σ = 036, rozšířeá ejistota je U = σ = 047 a po zaokrouhleí bude 04 Kobiovaá ejistota (elková hyba pro korelovaé zdroje je σ = 0755 a rozšířeá ejistota je U = σ = 0550 a po zaokrouhleí bude 06
8 Nepravděpodobostí odhad ejistot (itervalové proěé Celková odhylka d = 0 + 0 + 05 = 35 a iterval eurčitosti je rove y &, y % ȳ ± d = ±35 Závěr: Volba rozděleí ejistot hraje ve výpočtu ejistot rozhodujíí roli Naví je veli pravděpodobé, že zdroje ejistot x a x budou zde ít spíše systeatiký ež áhodý harakter Vzorová úloha 5 Zaokrouhlováí čísel a, 3 a 4 platá ísta Jaké relativí hyby se dopustíe, když číslo 0500 zaokrouhlíe a, 3 a 4 platá ísta? Jaká bude hyba, když prví platá číslie bude 9? 4 Řešeí: U čísla 0500 = 05 0 je A = 05 a při zaokrouhleí a dvě platá ísta je = a hodota 0500 á pak relativí hybu s rel # 0 ( 00% ( 00% 5%, & 0 zatío při zaokrouhleí a tři platá ísta je = 3 a hodota 0500 á relativí hybu s rel # 0 ( 00% ( 00% 05% 3 & 00 Závěr: Platí pravidlo, že u čísel, jejihž prví platá číslie je 9, jsou relativí hyby při zaokrouhleí a dvě platá ísta eší ež s 00%/(90 & rel = = 056 %, dále pak při zaokrouhleí a tři platá ísta eší ež s 00%/(90 3& rel = = 0056 % a koečě při zaokrouhleí a čtyři platá ísta eší ež s 00%/( 9 0 4& rel = = 00056 %