CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde a ϵ 1; 10), n ϵ N. 1 bod 2 Rozložte na součin lineárních výrazů: x 2 (y 3) 2. 3 Je dán pravidelný devítiúhelník KLMNOPQRS. Vypočítejte velikost úhlu SPN. 4 V oboru přirozených čísel řešte rovnici 2x 2 = 7x 3. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Podstavou kolmého čtyřbokého jehlanu je obdélník s rozměry a = 40 cm, b = 30 cm. Výška jehlanu je 60 cm. Nápověda: Boční stěny kolmého jehlanu jsou rovnoramenné trojúhelníky. 5 5.1 Vypočítejte součet délek všech hran jehlanu. 5.2 Vypočítejte povrch jehlanu. Výsledek v cm 2 zaokrouhlete na jednotky. max. 4 body 6 Řešte rovnici log x 2 + 1 = 3 log x s neznámou x R. 2 Maturita z matematiky ZD
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Studenti připravili hru obdobnou Sportce. Sázející vybíral (zaškrtával) tři čísla z přirozených čísel od 1 do 10. Pro výhru 1. pořadí bylo nutno uhodnout správně všechna tři čísla, pro výhru 2. pořadí dvě čísla ze tří. max. 4 body 7 7.1 Jaká je pravděpodobnost výhry 1. pořadí? Zapište zlomkem v základním tvaru. 7.2 Jaká je pravděpodobnost výhry 2. pořadí? Zapište zlomkem v základním tvaru. 8 Trojúhelník ABC má obsah S =12 cm 2, a = 8 cm, b = 6 cm, γ > 90. Určete velikost největšího úhlu. 2 body 9 Plakátovací plochu tvoří plášť válce o průměru 80 cm a výšce 1 m. Za 1 m 2 plochy zaplatí nájemce denně 20 Kč. Kolik stojí pronájem celé plochy na měsíc červenec? A) 1 244 Kč B) 1 345 Kč C) 1 498 Kč D) 1 558 Kč E) 1 684 Kč 2 body 10 Kvadratická funkce je dána rovnicí y = 2x 2 8x. Grafem funkce je parabola s vrcholem V. Souřadnice vrcholu paraboly vyberte z možností A E. A) V [ 2; 24] B) V [0; 0] C) V [2; 8] D) V [2; 8] E) V [4; 0] 11 V rovině jsou dány přímky p: x + 3y 4 = 0, q: 3x + y + 5 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Normálovým vektorem přímky p je v = (1; 3). 11.2 Směrovým vektorem přímky q je v = (1; 3). 11.3 Přímky p, q jsou na sebe kolmé. 11.4 Průsečíkem přímek p, q je bod R [ 1,6; 0,8]. Maturita z matematiky ZD 3
12 Je dána nerovnice 2x + 4 x 2 > 1. 2 body Množinu řešení rovnice vyberte z možností A E. A) ( ; 6) (2; + ) B) ( 2; 2) C) ( 6; 2) D) ( 6; + ) E) ( ; 2) (2; + ) 2 body 13 Kořeny kvadratické rovnice (x 3) 2 = 16 jsou prvním a třetím členem aritmetické posloupnosti. Vyberte druhý člen této posloupnosti z možností A E. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 14 Zjednodušte výraz ( 1 Výsledný výraz vyberte z možností A E. A) 0 B) 4b C) 4a 4b D) (a + b) 2 E) 2a + 2b (a + b) 2 a b a + b ) : 1, jestliže platí a + b 0. 2a + 2b 2 body max. 4 body 15 Rozhodněte, kolik os souměrnosti a kolik středů souměrnosti mají útvary 15.1 15.4. Počty os a středů vyberte z možností A F. 15.1 úsečka 15.2 polopřímka 15.3 rovnostranný trojúhelník 15.4 kosodélník A) počet os souměrnosti: 1, počet středů souměrnosti: 0 B) počet os souměrnosti: 1, počet středů souměrnosti: 1 C) počet os souměrnosti: 2, počet středů souměrnosti: 1 D) počet os souměrnosti: 0, počet středů souměrnosti: 1 E) počet os souměrnosti: 3, počet středů souměrnosti: 0 F) počet os souměrnosti: 3, počet středů souměrnosti: 2 KONEC TESTU 4 Maturita z matematiky ZD
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde a ϵ 1; 10), n ϵ N. 1 bod (7,5 10 3 2 10 2 ) 2 = (15 10 5 ) 2 = 225 10 10 = 2,25 10 12 Řešení: 2,25 10 12 2 Rozložte na součin lineárních výrazů: x 2 (y 3) 2. K rozkladu výrazu na součin využijeme vzorec a 2 b 2 = (a + b) (a b). Dosadíme a = x, b = y 3. Postupně upravíme daný výraz na součin takto: x 2 (y 3) 2 = [x + (y 3)] [x (y 3)] = (x + y 3) (x y + 3) Řešení: (x + y 3) (x y + 3) 3 Je dán pravidelný devítiúhelník KLMNOPQRS. Vypočítejte velikost úhlu SPN. K výpočtu úhlu využijeme vztah mezi obvodovým a středovým úhlem příslušným k témuž oblouku kružnice. Platí, že velikost obvodového úhlu je rovna polovině velikosti středového úhlu. Středové úhly příslušné sousedním vrcholům devítiúhelníku (např. úhel SZK) mají velikost 360 : 9 = 40. Středový úhel SZN, který je na obrázku vyznačen obloukem, má velikost 4 40 = 160. Velikost obvodového úhlu vypočítáme podle výše uvedeného vztahu: SPN = SZN 2 = 160 : 2 = 80. Řešení: 80 Maturita z matematiky ZD 5
4 V oboru přirozených čísel řešte rovnici 2x 2 = 7x 3. Rovnici upravíme na základní tvar: 2x 2 7x + 3 = 0. Kořeny určíme pomocí vzorce s diskriminantem: D = b 2 4ac = ( 7) 2 4 2 3 = 25 b + D 7 + 5 x 1 = = = 3 2a 2 2 b D 7 5 x 2 = = = 1 2a 2 2 2 Definičním oborem rovnice je množina všech přirozených čísel. Druhý kořen do ní nepatří. Jediným řešením rovnice je číslo 3. Řešení: x = 3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Podstavou kolmého čtyřbokého jehlanu je obdélník s rozměry a = 40 cm, b = 30 cm. Výška jehlanu je 60 cm. Nápověda: Boční stěny kolmého jehlanu jsou rovnoramenné trojúhelníky. 5 5.1 Vypočítejte součet délek všech hran jehlanu. max. 4 body 6 Maturita z matematiky ZD
Podle Pythagorovy věty vypočítáme úhlopříčku obdélníku KLMN: KM = 40 2 + 30 2 = 2 500 = 50 cm. Výška jehlanu je kolmá na rovinu podstavy, úhel MSV je pravý. Úsečka SM měří 25 cm. V trojúhelníku SMV vypočítáme délku boční hrany opět podle Pythagorovy věty: VM = 25 2 + 60 2 = 4 225 = 65 cm. Jehlan má čtyři podstavné hrany a čtyři shodné boční hrany. Součet délek podstavných hran je roven obvodu obdélníku o = 2 (40 + 30) = = 140 cm. Součet délek bočních hran je 4 65 = 260 cm. Součet délek všech hran je roven 140 + 260 = 400 cm. Řešení: 400 cm 5.2 Vypočítejte povrch jehlanu. Výsledek v cm 2 zaokrouhlete na jednotky. Povrch jehlanu je součet obsahu podstavy a pláště. Obsah podstavy: S p = ab = 40 30 = 1 200 cm 2 Nyní vypočítáme obsahy trojúhelníků, které tvoří plášť jehlanu. Protější boční stěny jsou shodné, proto se budeme zabývat pouze dvěma trojúhelníky. Nejdříve vypočítáme výšky na základny v rovnoramenných trojúhelnících LMV a KLV a pak obsahy trojúhelníků. Trojúhelník LMV: VP = 65 2 15 2 = 4 000 = 20 10 63,25 cm (30 20 10) S 1 = = 300 10 948,68 cm 2 2 Trojúhelník KQV: VQ = 65 2 20 2 = (3 825) =15 17 61,85 cm (40 15 17) S 2 = = 300 17 1 236,93 cm 2 2 Povrch jehlanu S = S p + 2S 1 + 2S 2 = 1 200 + 2 300 10 + 2 300 17 5 571,23 cm 2 Po zaokrouhlení na jednotky: Povrch jehlanu je přibližně 5 571 cm 2. Řešení: 5 571 cm 2 Maturita z matematiky ZD 7
6 Řešte rovnici log x 2 + 1 = 3 log x s neznámou x R. Definiční obor D rovnice vychází z podmínky x > 0. Platí D = (0; + ). Rovnici nejdříve upravíme podle vzorce log a x n = n log a x a dále upravujeme: log x 2 + 1 = 3 log x 2 log x + 1 = 3 log x log x = 1 x = 10 Číslo 10 patří do definičního oboru rovnice. Jediným kořenem rovnice je x = 10. Řešení: x = 10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Studenti připravili hru obdobnou Sportce. Sázející vybíral (zaškrtával) tři čísla z přirozených čísel od 1 do 10. Pro výhru 1. pořadí bylo nutno uhodnout správně všechna tři čísla, pro výhru 2. pořadí dvě čísla ze tří. max. 4 body 7 7.1 Jaká je pravděpodobnost výhry 1. pořadí? Zapište zlomkem v základním tvaru. Čísla se ve výběru nemohou opakovat, nezáleží na pořadí výběru. Počet všech možných trojic vsazených čísel vypočítáme podle vzorce pro kombinace bez opakování. Vytváříme tříčlenné kombinace z 10 prvků. Počet kombinací vypočítáme K (3, 10) = 10 9 8 3 2 1 = 120. Pravděpodobnost je určena podílem počtu příznivých výsledků a počtu všech možných výsledků slosování. Příznivý výsledek je v tomto případě pouze jeden trojice čísel vybraná sázejícím musí být stejná jako vylosovaná. 1 Pravděpodobnost výhry prvního pořadí je. 120 Řešení: 1 120 8 Maturita z matematiky ZD
7.2 Jaká je pravděpodobnost výhry 2. pořadí? Zapište zlomkem v základním tvaru. Výherní trojice v 2. pořadí obsahuje 2 tažená čísla (ze tří) a jedno číslo z ostatních 7 čísel. Ke každé správně vybrané dvojici musíme tedy připojit jedno nesprávné číslo. Využijeme kombinatorické pravidlo součinu. 3 2 Počet všech takových trojic vypočítáme: K (2, 3) 7 = 7 = 21. 2 1 Pravděpodobnost výhry 2. pořadí je 21 7 =. 120 40 Řešení: 7 40 8 Trojúhelník ABC má obsah S =12 cm 2, a = 8 cm, b = 6 cm, γ > 90. Určete velikost největšího úhlu. Pro obsah trojúhelníku, který je dán dvěma stranami a úhlem jimi sevřeným, využijeme vzorec S = a b sin γ. 2 2 S Ze vzorce vyjádříme: sin γ =. Po dosazení daných hodnot vychází: a b sin γ = 2 12 8 6 = 1 2. Pro 0 < γ < 180 má rovnice dvě řešení: γ 1 = 30, γ 2 = 150. Protože podle zadání je úhel γ > 90, platí jediné řešení γ = 150. Řešení: 150 2 body 9 Plakátovací plochu tvoří plášť válce o průměru 80 cm a výšce 1 m. Za 1 m 2 plochy zaplatí nájemce denně 20 Kč. Kolik stojí pronájem celé plochy na měsíc červenec? A) 1 244 Kč B) 1 345 Kč C) 1 498 Kč D) 1 558 Kč E) 1 684 Kč Maturita z matematiky ZD 9
Plášť válce vypočítáme podle vzorce S pl = π d v. Po dosazení daných hodnot vychází: S pl = π 0,8 1 = 0,8π 2,51 m 2. Červenec má 31 dní. Celkovou cenu za pronájem vypočítáme: c = 0,8π 20 31 = 496π 1 558 Kč Řešení: D 2 body 10 Kvadratická funkce je dána rovnicí y = 2x 2 8x. Grafem funkce je parabola s vrcholem V. Souřadnice vrcholu paraboly vyberte z možností A E. A) V [ 2; 24] B) V [0; 0] C) V [2; 8] D) V [2; 8] E) V [4; 0] Souřadnice vrcholu můžeme zjistit například úpravou kvadratického výrazu na vrcholový tvar: y = 2x 2 8x = 2 (x 2 4x) = 2 (x 2 4x + 4) 8 = 2 (x 2) 2 8. Pro souřadnice vrcholu platí: V [2; 8]. Rychlejší řešení: Vypočítáme průsečíky paraboly s osou x tak, že řešíme rovnici: 2x 2 8x = 0 2x(x 4) = 0 x 1 = 0, x 2 = 4 Parabola je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y, proto x-ová souřadnice vrcholu je ve středu mezi těmito průsečíky: x = 2. Dosazením do rovnice kvadratické funkce dostaneme y-ovou souřadnici vrcholu paraboly: y = 2x 2 8x = 2 2 2 8 2 = 8. Správná odpověď je C. Řešení: C 11 V rovině jsou dány přímky p: x + 3y 4 = 0, q: 3x + y + 5 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Normálovým vektorem přímky p je v = (1; 3). 11.2 Směrovým vektorem přímky q je v = (1; 3). 11.3 Přímky p, q jsou na sebe kolmé. 11.4 Průsečíkem přímek p, q je bod R [ 1,6; 0,8]. 10 Maturita z matematiky ZD
11.1 Normálovým vektorem přímky, která je dána obecnou rovnicí ax + by + c = 0, je n = (a; b). Normálovým vektorem přímky p: x + 3y 4 = 0 je vektor (1; 3). Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO 11.2 Normálovým vektorem přímky q: 3x + y + 4 = 0 je vektor ( 3; 1). Směrový vektor je kolmý na vektor normálový. Snadno dostaneme jeho souřadnice přehozením pořadí souřadnic normálového vektoru a změnou znaménka jedné souřadnice. Jednou z možností je právě vektor o souřadnicích (1; 3). Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO 11.3 Kolmost přímek vyplývá již z předchozích úvah. Přesvědčit se o tom můžeme také výpočtem skalárního součinu normálových vektorů obou přímek n p n q = (1; 3) ( 3; 1) = 3 + 3 = 0. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO 11.4 Průsečík přímek určíme řešení soustavy rovnic obou přímek: x + 3y 4 = 0 3x + y + 4 = 0 První rovnici vynásobíme číslem 3 a upravenou rovnici sečteme s druhou rovnicí. Dostaneme: 10y 8 = 0 y = 4 = 0,8 5 Neznámou x vypočítáme dosazením y = 4 do první rovnice: 5 x = 3y + 4 = 3 4 12 + 20 + 4 = = 8 = 1,6. 5 5 5 Přímky se protínají v bodě R 1,6; 0,8. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE Maturita z matematiky ZD 11
12 Je dána nerovnice 2x + 4 x 2 > 1. 2 body Množinu řešení rovnice vyberte z možností A E. A) ( ; 6) (2; + ) B) ( 2; 2) C) ( 6; 2) D) ( 6; + ) E) ( ; 2) (2; + ) Nerovnici upravíme na podílový tvar s pravou stranou rovnou nule. 2x + 4 > 1 x 2 2x + 4 1 > 0 x 2 2x + 4 (x 2) > 0 x 2 2x + 4 x + 2 > 0 x 2 x + 6 > 0 x 2 Nerovnici vyřešíme znaménkovou metodou. Vypočítáme hodnoty neznámé, pro které je čitatel nebo jmenovatel zlomku roven nule: x + 6 = 0, x 2 = 0, tedy x = 6, x = 2. Množinu reálných čísel rozdělíme na intervaly ( ; 6), ( 6; 2), (6; + ). Znaménka v jednotlivých intervalech můžeme určit např. dosazením nějaké hodnoty intervalu do levé strany rovnice. x + 6 Pro x ( ; 6) je čitatel i jmenovatel zlomku záporný, zlomek > 0. x 2 x + 6 Pro x ( 6; 2) je čitatel kladný a jmenovatel záporný, zlomek < 0. x 2 Pro x (6; + ) je čitatel i jmenovatel zlomku kladný, zlomek x + 6 x 2 > 0. Nerovnici vyhovují všechna x ( ; 6) (2; + ). Správně je možnost A. Častou chybou je vynásobení nerovnice jmenovatelem zlomku, aniž bychom uvažovali, zda výraz je kladný či záporný. Pak dostaneme: 2x + 4 > x 2 x > 6 Tím se dostaneme k chybnému řešení D. Řešení: A 12 Maturita z matematiky ZD
2 body 13 Kořeny kvadratické rovnice (x 3) 2 = 16 jsou prvním a třetím členem aritmetické posloupnosti. Vyberte druhý člen této posloupnosti z možností A E. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Rovnici řešíme postupnými úpravami na základní tvar kvadratické rovnice: (x 3) 2 = 16 x 2 6x + 9 = 16 x 2 6x 7 = 0 Součin kořenů rovnice je roven 7, součet kořenů je 6. Kořeny rovnice jsou čísla 1 a 7. V aritmetické posloupnosti a 1 = 1, a 3 = 7. Platí: a 3 = a 1 + 2d 7 = 1 + 2d d = 4 a 2 = a 1 + d = 1 + 4 = 3 K stejnému výsledku pro druhý člen dojdeme, když zvolíme prvním členem posloupnosti číslo 7 a třetím 1. Druhý člen posloupnosti můžeme také vypočítat jako aritmetický průměr prvního a třetího členu posloupnosti: a 2 = 1 + 7 = 3. 2 Správná odpověď je D. Řešení: D 14 Zjednodušte výraz ( 1 Výsledný výraz vyberte z možností A E. A) 0 B) 4b C) 4a 4b D) (a + b) 2 E) 2a + 2b (a + b) 2 a b a + b ) : 1, jestliže platí a + b 0. 2a + 2b 2 body Maturita z matematiky ZD 13
Postupně upravíme daný výraz: ( 1 a b a + b ) : 1 2a + 2b = = 2b 2 = 4b 1 a + b (a b) a + b 2a + 2b = a + b a + b 1 a + b 2(a + b) = 1 Úpravy platí pro a + b 0. Správně je možnost B. Řešení: B max. 4 body 15 Rozhodněte, kolik os souměrnosti a kolik středů souměrnosti mají útvary 15.1 15.4. Počty os a středů vyberte z možností A F. 15.1 úsečka 15.2 polopřímka 15.3 rovnostranný trojúhelník 15.4 kosodélník A) počet os souměrnosti: 1, počet středů souměrnosti: 0 B) počet os souměrnosti: 1, počet středů souměrnosti: 1 C) počet os souměrnosti: 2, počet středů souměrnosti: 1 D) počet os souměrnosti: 0, počet středů souměrnosti: 1 E) počet os souměrnosti: 3, počet středů souměrnosti: 0 F) počet os souměrnosti: 3, počet středů souměrnosti: 2 15.1 Úsečka má 2 osy souměrnosti a 1 střed souměrnosti. Řešení: C 14 Maturita z matematiky ZD
15.2 Polopřímka má 1 osu souměrnosti a není středově souměrná. Řešení: A 15.3 Rovnostranný trojúhelník má 3 osy souměrnosti a není středově souměrný. Řešení: E 15.4 Kosodélník není osově souměrný a má 1 střed souměrnosti. Řešení: D KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 15
16 Maturita z matematiky ZD
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 8 jsou otevřené. 3) Úlohy 9 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 2,25 10 12 1 bod 2 (x + y 3) (x y + 3) 3 80 4 x = 3 5 5.1 400 cm 5.2 5 571 cm 2 6 x = 10 7 1 7.1 120 max. 2 bod 7.2 7 40 8 150 9 D 2 body 10 C 2 body 11 11.1 ANO 11.2 ANO 11.3 ANO 11.4 NE 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 12 A 2 body 13 D 2 body 14 B 2 body Maturita z matematiky ZD 17
15 15.1 C 15.2 A 15.3 E 15.4 D max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 18 Maturita z matematiky ZD
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 8 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 9 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 3 4 5 5.1 5.2 6 7 7.1 max. 2 bod 7.2 8 9 2 body 10 2 body 11 11.1 11.2 11.3 11.4 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 12 2 body 13 2 body 14 2 body Maturita z matematiky ZD 19
15 15.1 15.2 15.3 15.4 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky ZD