Mtemtická nlýz pro fyziky II Robert Černý & Miln Pokorný 29. ledn 2017
2
Obsh 8 Číselné řdy 7 8.1 Zákldní pojmy............................. 7 8.2 Řdy s nezápornými členy....................... 12 8.3 Dodtek:Kondenzční kritérium.................... 20 8.4 Řdy s obecnými členy......................... 21 8.5 Přerovnávání řd součin řd..................... 25 8.6 Aritmetické průměry, cesrovské součty............... 28 8.7 Dodtek k číselným řdám: nekonečné součiny........... 30 9 Mocninné řdy 33 9.1 Zákldní vlstnosti mocninných řd................. 33 9.2 Dodtek: derivce funkce komplexní proměnné........... 38 9.3 Mocninné řdy Tylorův rozvoj................... 39 9.4 Řešení diferenciálních rovnic pomocí řd............... 42 9.5 Zvedení funkcí sin, cos exp..................... 43 10 Obyčejné diferenciální rovnice 49 10.1 Limit spojitost funkcí více proměnných.............. 49 10.2 Zákldní pojmy............................. 51 10.3 Zákldní existenční věty........................ 55 10.4 Sklární rovnice 1. řádu........................ 58 10.4.1 Rovnice y = f(x)....................... 58 10.4.2 Rovnice y = g(y)........................ 59 10.4.3 Rovnice y = f(x)g(y)..................... 64 10.4.4 Homogenní diferenciální rovnice............... 66 10.4.5 Rovnice, které lze převést n homogenní diferenciální rovnici 70 10.4.6 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu......... 73 10.4.7 Bernoulliov rovnice...................... 77 10.5 Lineární rovnice n-tého řádu..................... 81 10.5.1 Homogenní rovnice: obecné výsledky............. 85 10.5.2 Vrice konstnt........................ 90 10.5.3 Splnění počátečních podmínek................ 92 10.5.4 Homogenní rovnice s konstntními koeficienty........ 93 3
4 OBSAH 10.5.5 Metod speciální prvé strny pro rovnice s konstntními koeficienty............................ 98 10.5.6 Eulerov rovnice........................ 100 10.6 Dlší typy rovnic vyšších řádů..................... 102 10.6.1 Rovnice tvru y (n) = f(x)................... 103 10.6.2 Rovnice tvru y (n) = f(x, y (n 1) )............... 104 10.6.3 Rovnice tvru y (n) = f(y (n 2) )................ 105 10.6.4 Rovnice tvru y (n) = f(x, y (k), y (k+1),..., y (n 1) )...... 106 10.6.5 Rovnice tvru y (n) = f(y, y,..., y n 1 )............ 107 11 Metrické prostory 111 11.1 Zákldní pojmy............................. 111 11.2 Konvergence posloupnosti v metrickém prostoru........... 117 11.3 Podmnožiny metrického prostoru................... 120 11.4 Hustot seprbilit......................... 126 11.5 Hustot polynomů v C([, b]) seprbilit C([, b])........ 128 11.6 Úplné metrické prostory........................ 131 11.7 Omezenost kompktnost....................... 135 11.8 Pokrývcí věty............................. 138 11.9 Bnchov vět o kontrkci...................... 140 11.10Existenční věty pro ODR 1.řádu................... 142 11.11Limit spojitost n metrických prostorech............. 148 12 Dif. počet funkcí více proměnných 155 12.1 Prciální derivce, totální diferenciál................. 155 12.2 Derivce vyšších řádů, Tylorův vzorec................ 167 12.3 Potenciál vektorového pole....................... 169 12.4 Vět o implicitní funkci........................ 174 12.5 Rovnice ve tvru totálního diferenciálu................ 186 12.6 Lokální extrémy funkcí více proměnných............... 193 12.7 Globální extrémy funkcí více proměnných.............. 198 12.8 Vět o regulárním zobrzení...................... 207 13 Vriční počet 213 13.1 Úvod................................... 213 13.2 Abstrktní teorie............................ 214 13.3 Funkcionály reprezentovné integrálem................ 219 13.3.1 Euler Lgrngeov rovnice.................. 221 13.3.2 Euler Lgrngeov rovnice pro funkcionály speciálních typů 228 13.3.3 Klsifikce extremál zložená n chování druhého diferenciálu232 13.3.4 Konjugovné body Jcobiho rovnice............ 234 13.3.5 Vázné extrémy......................... 245 13.3.6 Postčující podmínk pro globální extrém.......... 246 13.4 Klsické úlohy vričního počtu.................... 250 13.4.1 Nejkrtší spojnice v rovině.................. 250 13.4.2 Problém princezny Dido.................... 251
OBSAH 5 13.4.3 Úloh o minimální rdiálně symetrické ploše......... 254 13.4.4 Úloh o zvěšeném řetězu................... 257 13.4.5 Úloh o brchystochroně.................... 260 13.5 Aplikce vričního počtu v klsické mechnice........... 261 13.6 Spojitá závislost n dtech pro lineární ODR............ 266
6 OBSAH
Kpitol 8 Číselné řdy V dlším se budeme zbývt otázkou konvergence číselných řd. Podobně jko u konvergence Newtonov integrálu je konvergence řd jen mezivýsledek, který nám později umožní určovt součty řd z pomoci metod, které konvergenci vyždují. N druhou strnu, někdy nám výsledek, zd řd konverguje či ne, dává přesně tu informci, kterou potřebujeme, přesná hodnot součtu řdy není ž tk důležitá. Někdy vystčíme s více či méně přesným odhdem součtu řdy. Od této kpitoly výkld teorie poněkud zrychlíme. Při citování použitých vět již nebudeme uvádět podrobné ověření jejich předpokldů mimo situce, kdy je ověření obtížné, jink práci přenecháme (čsto bez vrování) čtenáři. Dále budeme v odhdech používt C jko (nejčstěji multipliktivní) neškodnou konstntu, která může z řádku n řádek měnit svoji hodnotu (vzpomeňte si n důkz ritmetiky limit, kde jsme chtěli vždy zkoumnou veličinu odhdnout násobkem ε n velikosti multipliktivní konstnty nezáleželo). Dále symbol + budeme zkrcovt n, kdykoliv bude jsné, že prcujeme n R. 8.1 Zákldní pojmy Definice 8.1.1 (Řd). Nechť { k } R je posloupnost. Symbol k=1 k budeme nzývt řdou. Pro k N se číslo k nzývá k-tý člen, číslo s n := n k=1 k se nzývá n-tý částečný součet {s n } nzveme posloupností částečných součtů řdy k=1 k. Existuje-li vlstní s := lim n s n, říkáme, že řd konverguje. Pokud je uvedená limit nevlstní, řd diverguje pokud limit částečných součtů neexistuje, řd osciluje. V prvních dvou přípdech číslo s nzýváme součtem řdy píšeme k=1 k = s. Poznámk 8.1.2. V přípdě, kdy s existuje, má symbol k=1 k vlstně dv význmy. Jednk zstupuje posloupnost, kterou se snžíme sečíst, jednk její součet (tedy číslo). Bývá zvykem v tkovéto situci přednostně chápt k=1 k jko číslo s. 7
8 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Poznámk 8.1.3. V některých situcích bude přirozené prcovt s k=0 k. Nzývejme posloupností rovněž zobrzení z N 0 do R (opět budeme psát { k } k=0 či jen { k }). Poznámk 8.1.4. Řdy komplexních čísel se definují nlogicky. Nebude-li řečeno jink, v dlším se budeme zbývt řdmi reálných čísel. Odvození podobných výsledků pro komplexní řdy přenecháváme čtenáři jko cvičení, popřípdě budou okomentovány zvlášť. Příkld 8.1.5. (i) Nechť q C 0 C \ {0}. Pro kždé k N 0 definujme k = 0 q k. Vzniklá řd se nzývá geometrická řd díky identitě (1 + q + + q n )(1 q) = 1 q n+1 pltné pro kždé n N její částečné součty splňují pro q 1 1 q n+1 s n = 0. 1 q Pltí-li q < 1, řd konverguje dostáváme k=0 0q k = 0 1 q. Pokud q = 1, prcujeme s řdou k=0 0 dostáváme k=0 0 = C. Pokud q = 1 q 1, řd osciluje. Konečně, pro q > 1 dostáváme k=0 0q k = C (reálný přípd vyžduje ohlídání jk sign 0 tk sign q, pro q < 1 řd osciluje). (ii) Uvžme hrmonickou řdu k=1 1 k. Její částečné součty tvoří monotonní posloupnost, mjí tedy limitu v R. Pltí pro ně s 1 = 1 s 2 = 1 + 1 2 = 3 2 s 4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 = 4 2 s 8 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 5 2 indukcí lze získt s 2 n > n+2 2. Odtud k=1 1 k =. Připomeňme ještě, že v kpitole o určitém integrálu jsme diverenci této řdy už ukázli tkto s n = n k=1 1 n+1 k > (R) 1 n+1 1 dx = (N ) dx = [log]n+1 1 = log(n + 1) n. 1 x 1 x (iii) Dlším typem řd, které umíme sečíst, jsou teleskopické řdy. Příkldem je řd k=1, pro kterou máme s n = n k=1 1 k(k+1) 1 k(k + 1) = n k=1 ( 1 k 1 ) = 1 k + 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 n 1 n + 1 = 1 1 n 1. n + 1 Obecně pro teleskopickou řdu typu k = b k b k+m kde m N lim k b k = 0,
8.1. ZÁKLADNÍ POJMY 9 máme n s n = k = k=1 k=1 n (b k b k+m ) = b 1 + +b n (b m+1 + +b m+n ) n b 1 + +b m. k=1 (iv) Uvžme řdu k=1 1 k. Opět se jedná o řdu s nezápornými členy, proto jsou 2 částečné součty monotonní existuje jejich limit. Nvíc máme n 1 n s n = k 2 = 1 + 1 n k 2 1 + 1 n k(k 1) = 1 + ( 1 k 1 1 ) = 2 1 k n, k=2 k=2 odkud dostáváme konvergenci. Dlo by se tké postupovt přes (N ) (v) Uvžme řdu k=1 s 2n = ( 1) k k ( 1 + 1 2 k=2. Částečné součty si přepišme do tvru ) ( + 1 3 + 1 ) ( +... 1 4 2n 1 + 1 ) 2n ( 1 s 2n+1 = 1 + 2 1 ( 1 + 3) 4 5) 1 ( 1 +... 2n 1 ). 1 1 x 2 dx. 2n + 1 Odtud vidíme, že {s 2n } {s 2n+1 } jsou monotonní posloupnosti s členy v intervlu [ 1, 0] (neboť vždy 1 < s 2n+1 < s 2n < 0). Obě tedy musí být konvergentní. Nvíc s 2n+1 s 2n = 1 n 0, 2n + 1 proto mjí obě limity stejnou hodnotu. Zkoumná řd tedy konverguje. Rozmyslete si, že v této situci není možné použít přístup přes určitý integrál. Poznámk 8.1.6. Konvergence řdy byl definován jko konvergence jejích částečných součtů. Nbízí se tedy myšlenk, že budeme-li studovt limitní chování posloupnosti s k, získáme tím nejen informci o konvergenci studovné řdy, le i její součet. Žádnou teorii pro řdy by pk nebylo nutné budovt, neboť vystčíme s teorií pro limity posloupností. Velice čsto všk bývá obtížné či nemožné z předpisu pro k-tý člen k získt vzorec pro s k (ve vzácných přípdech se podle chování prvních několik členů posloupnosti {s k } dá odhdnout správný vzorec, ten se pk dokáže indukcí). V dlším se nebudeme snžit vzorce pro s k hledt budeme budovt teorii prcující jen s předpisem pro člen k. Poznámk 8.1.7. Povšimněte si, že n konvergenci řdy nemá vliv přidání, vynechání či změn hodnoty u konečného počtu členů. Nejprve si uvedeme kritérium, pomocí něhož konvergenci vylučujeme. Vět 8.1.8 (Nutná podmínk konvergence řdy). Nechť řd k=1 k konverguje. Pk lim k k = 0. Důkz. Oznčme L := k=1 k. Pro částečné součty pk pltí lim k s k = L, proto lim k k = lim k (s k s k 1 ) = lim k s k lim k s k 1 = L L = 0.
10 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Silnějším nástrojem je B-C podmínk (jedná se jen o přepis B-C podmínky pro posloupnosti), která dává ekvivlentní chrkterizci konvergence číselných řd. Vět 8.1.9 (B-C podmínk pro řdy). Číselná řd k=1 k konverguje právě tehdy, když splňuje B-C podmínku ε > 0 n 0 N n N [n 0, ) p N n+p k=n+1 k < ε. Cvičení 8.1.10. Dokžte tuto větu přepisem n stndrdní Bolzno Cuchyovu podmínku pro konvergenci číselných posloupností. Příkld 8.1.11. (i) Nechť 1, d R. Definujme ritmetickou posloupnost předpisem k = 1 + (n 1)d. S výjimkou přípdu 1 = d = 0 odpovídjící řd nemůže konvergovt kvůli nutné podmínce konvergence. (ii) Hrmonická řd k=1 1 k nesplňuje B-C podmínku díky vlstnosti 1 2 n + 1 + 1 2 n + 2 + + 1 2 n + 2 n > 1 2. Poznámk 8.1.12. (i) Později si předstvíme ještě několik dlších kritérií pro vyloučení konvergence řdy. Tto kritéri budou všk prcovt jen s řdmi, jejichž členy nemění znménko (myslíme nekonečněkrát, nezpomínejme n poznámku o konečném počtu změn). (ii) Nutná podmínk je jen speciálním přípdem B-C podmínky, v němž vlstně uvžujeme p = 1, tedy zkoumáme n+1 k=n+1 k = n+1. (iii) Ve světle předchozích dvou částí této poznámky bude B-C podmínk jediným nším kritériem pro vyloučení konvergence řdy u řd s tkzvnými obecnými členy (kde nekontrolujeme znménkové změny). Z ritmetiky (nevlstních) limit plikovné n částečné součty dostáváme okmžitě následující výsledek. Vět 8.1.13 (Aritmetik řd). Nechť k=1 k = A R, k=1 b k = B R, α, β R. Pk (α k + βb k ) = αa + βb, k=1 kdykoliv má prvá strn smysl. Příkld 8.1.14. (i) Řd k=1 členů divergentní konvergentní řdy. (ii) Řd k=1 by konvergovt i k=1 ( 1 k + 1 k 2 ) diverguje, neboť její členy jsou součty ( ( 1) k + 1 k 2 ) osciluje. Skutečně, pokud by konvergovl, musel ( 1) k = (( 1) k + 1 k 2 1 ) k 2 = (( 1) k + 1 ) k 2 k=1 Divergenci vyvrátíme podobně. k=1 k=1 1 k 2.
8.1. ZÁKLADNÍ POJMY 11 Při nšem budoucím studiu nás bude jen zřídk zjímt konvergence řdy k=1 k. Podsttně důležitější pro nás bude konvergence k=1 k. Proto zvádíme následující pojmy. Definice 8.1.15 (Absolutní nebsolutní konvergence). Říkáme, že číselná řd k=1 k konverguje bsolutně, jestliže konverguje k=1 k. Říkáme, že řd k=1 k konverguje nebsolutně, jestliže konverguje k=1 k le nekonverguje k=1 k. Poznámk 8.1.16. Řd k=1 k má monotonní částečné součty. Může tedy jen konvergovt divergovt, nikoliv oscilovt. Příkld 8.1.17. Již jsme si ukázli, že konverguje k=1 1 k diverguje. Proto ( 1) k k=1 k k=1 konverguje nebsolutně. ( 1) k k Vět 8.1.18 (Absolutní konvergence implikuje konvergenci). Jestliže číselná řd k=1 k konverguje bsolutně, pk konverguje klsicky. Důkz. Splnění B-C podmínky pro k=1 k implikuje splnění B-C podmínky pro k=1 k, neboť pro všechn n, p N máme n+p k=n+1 k n+p k=n+1 k. Stejná myšlenk důkzu nám dává následující kritérium. Vět 8.1.19 (Srovnávcí kritérium I). Nechť pro všechn k N pltí k R, b k 0 k b k. Jestliže k=1 b k konverguje, pk k=1 k konverguje (dokonce bsolutně). Důkz. Splnění B-C podmínky pro k=1 b k implikuje splnění B-C podmínky pro k=1 k, neboť pro všechn n, p N máme n+p k=n+1 k n+p k=n+1 b k. Podle předchozí věty proto tké k=1 k konverguje. Příkld 8.1.20. (i) Řd k=1 1 k konverguje. 2 (ii) Řd k=1 N [4, ), k=1 1 k 3 konverguje, neboť 1 k 1 3 k 2 pro všechn k N 1 1 konverguje, neboť 1 log(k 1 2 )k2 log(k 1 2 )k2 k pro všechn k 2 konverguje konvergence řdy nezávisí n chování konečného k=1 1 k 2 počtu členů (můžeme kupříkldu první tři členy studovné řdy nhrdit nulou). (iii) Řd k=1 1 k diverguje, neboť díky nezáporným členům nemůže oscilovt kdyby konvergovl, konvergovl by i k=1 1 k (používáme 1 k 1 k není prvd. k N), což
12 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY k=1 Dlší kritérium je zložené n nšich myšlenkách z důkzu konvergence řdy ( 1) k k. Vět 8.1.21 (Leibnizovo kritérium). Nechť { n } je nezáporná nerostoucí posloupnost. Pk k=1 ( 1)k k konverguje právě tehdy, když lim k k = 0. Důkz. Tto implikce plyne z nutné podmínky konvergence. Částečné součty si přepišme do tvru s 2n = ( 1 + 2 ) + ( 3 + 4 ) +... ( 2n 1 + 2n ) s 2n+1 = 1 + ( 2 3 ) + ( 4 5 ) +... ( 2n 2n+1 ). Odtud vidíme, že {s 2n } {s 2n+1 } jsou monotonní posloupnosti s členy v intervlu [ 1, 0] (neboť vždy 1 s 2n+1 < s 2n 0). Obě tedy musí být konvergentní. Nvíc n s 2n+1 s 2n = 2n+1 0, proto mjí obě posloupnosti stejnou limitu. Zkoumná řd tedy konverguje. Poznámk 8.1.22. Předchozí kritérium by se dlo plikovt tké n řdu 1 + 1 2 1 3 1 4 + 1 5 + 1 6 1 7 1 8 +..., pokud bychom prcovli s b k := 2k 1 + 2k (dostáváme nové členy střídjící znménko s nerostoucími bsolutními hodnotmi). Čsem si předstvíme Dirichletovo kritérium, které bude zobecňovt Leibnizovo kritérium tímto směrem. 8.2 Řdy s nezápornými členy Připomeňme, že v této situci má posloupnost částečných součtů vždy limitu, proto může řd jen konvergovt nebo divergovt. Předstvíme si zde dlší kritéri konvergence. Ještě připomeňme, že se zbýváme přípdem, kdy není znám obecný předpis pro s n, proto musíme prcovt s předpisem pro k. V některých přípdech vznikjí jednoduché formule z výrzů k+1 k či k k. Nše kritéri budou připrven prcovt i s těmito výrzy. Čsto budeme využívt skutečnost, že změn konečného počtu členů neovlivní konvergenci řdy. Poznmenejme ještě, že všechny nše výsledky v této části textu lze tké chápt jko výsledky pro bsolutní konvergenci řd. Vět 8.2.1 (Srovnávcí kritérium II). Nechť { k }, {b k } [0, ), k 0 N je splněn lespoň jedn z podmínek (i) k b k k k 0 (ii) k+1 k b k+1 b k k k 0 (tedy { k }, {b k } (0, )) k=1 k konverguje. Pk k=1 b k konverguje.
8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 13 Důkz. U obou podmínek můžeme předpokládt, že k 0 = 1, jink vhodným způsobem změníme prvních k 0 1 členů zkoumných řd. Pltí-li podmínk (i), výsledek plyne ze Srovnávcího kritéri I (Vět 8.1.19). Nechť pltí podmínk (ii), pk pro všechn k N máme k = k k 1... 2 1 b k b k 1... b 2 1 = 1 b k. k 1 k 2 1 b k 1 b k 2 b 1 b 1 Odtud b k b1 1 k pro všechn k N. Nprvo máme členy konvergentní řdy, proto lze užít první část věty jsme hotovi. Poznámk 8.2.2. (i) První podmínku ve větě je možno tké nhrdit podmínkou C k b k (díky ritmetice řd). (ii) Předchozí vět tké říká, že pokud dvě řdy s nezápornými členy splňují (i) nebo (ii) k=1 b k diverguje, pk k=1 k diverguje. k k+1 b k (iii) Podmínk (ii) se dá přepst do tvru b k+1. S tímto tvrem se příjemně prcuje v přípdě řd typu k=1 1 k (velice brzy budeme umět chrkterizovt α konvergenci těchto řd v závislosti n α R pk je budeme velice čsto používt ve srovnávcích kritériích), neboť = (1 + 1 k )α prvá strn se dá k k+1 = 1 k α 1 (k+1) α ještě uprvovt pomocí Tylorov rozvoje. Z první části Srovnávcího kritéri II se sndno získá dlší užitečný nástroj. Vět 8.2.3 (Limitní srovnávcí kritérium). Nechť { k }, {b k } (0, ) dále nechť lim k k b k (0, ). Pk k=1 k konverguje právě tehdy, když k=1 b k konverguje. Jestliže { k }, {b k } (0, ) lim k k b k [0, ) k=1 b k konverguje, pk k=1 k konverguje. Důkz. Nejprve dokžme první část kritéri. Oznčme L := lim k k b k. Z definice limity existuje k 0 N tkové, že L 2 b k k 2Lb k pro k k 0. Nyní již stčí použít první část Srovnávcího kritéri II (Vět 8.2.1). Důkz druhé části je podobný, používáme nerovnost k (L + 1)b k. Poznámk 8.2.4. Limitní srovnávcí kritérium je díky použití limity v předpokldech poměrně rychlý nástroj. N druhou strnu není tk silný jko jeho původní nelimitní verze, která existenci limity nepožduje umožňuje díky tomu 1+( 1) k k 2 třeb ukázt konvergenci řdy k=1 pomocí konvergence řdy k=1 1 k. 2 Nyní si znčně rozšíříme množství známých řd, s nimiž budeme vyšetřovné řdy srovnávt (zejmén o řdy typu k=1 1 k ). α Vět 8.2.5 (Integrální kritérium). Nechť N f : R R je spojitá, kldná nerostoucí n [, ]. Pk k= f(k) konverguje (N ) f dx R.
14 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Důkz. Díky monotonii funkce f máme f(k + 1) (N ) Proto pro libovolné n N, n >, pltí n+1 k=+1 f(k) = k+1 k n f(k + 1) (N ) k= f dx f(k). n+1 f dx n f(k). Pokud Newtonův integrál konverguje, je (neklesjící) primitivní funkce omezená nutně pk jsou podle levé části nšeho odhdu omezené (neklesjící) částečné součty řdy k= f(k). Tto řd proto konverguje. Nopk, omezenost částečných součtů řdy k= f(k) implikuje omezenost (neklesjící) primitivní funkce, t proto musí mít vlstní limitu v nekonečnu. k= k k + 1 Obrázek 8.1: Integrální kritérium: odhdy integrálu. Příkld 8.2.6. (i) Funkce x 1 x splňuje pro α > 0 předpokldy Integrálního α kritéri (Vět 8.2.5), protože 1 1 [ 1 α x1 α ] 1 = pro α < 1 (N ) 1 x α dx = [log x] 1 = pro α = 1 1 [ 1 α x1 α ] 1 = 1 1 α pro α > 1, dostáváme (pro α 0 je dokonce porušen nutná podmínk konvergence řd) k=1 1 k α konverguje α > 1. (ii) Uvžme řdu typu 1 k=2, kde α, β R (řdu sčítáme ž od druhého k α log β k členu, neboť první není definován). Pokud α > 1 β R, Limitní srovnávcí kritérium (Vět 8.2.3) plikovné n nši řdu řdu k=1 spolu s předchozí částí příkldu dávjí konvergenci nší řdy. 1 k α+1 2 ( k α+1 2 k α log β k 0)
8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 15 Pokud α < 1 β R, srovnání s 1 k=1 dává divergenci. Pokud α = 1, k α+1 2 Limitní srovnávcí kritérium (Vět 8.2.3) kombinovné s první částí příkldu je nepoužitelné. N druhou strnu, pro α = 1 umíme funkce tvru x 1 x α log β x sndno integrovt máme 1 1 [ 1 β log1 β x] 2 = pro β < 1 (N ) 2 x log β x dx = [log(log x)] 2 = pro β = 1 1 [ 1 β log1 β x] 2 = 1 β 1 log1 β 2 pro β > 1. Integrální kritérium (Vět 8.2.5) plikujeme n [, ), kde > 2 je dost velké, by zde pltilo ( 1 ) log β x x log β x = x 2 + β log β 1 x x 2 = log β 1 x x 2 ( log x β) < 0. Celkově dostáváme 1 k=2 k α log β k konverguje α > 1 (α = 1 β > 1). (iii) Mohli bychom náš postup použít i n přípd k=3 1 k α log β k log γ (log k). S výjimkou přípdu α = β = 1 se djí opět kombinovt předchozí výsledky spolu s Limitním srovnávcím kritériem (Vět 8.2.3). Ve vyloučeném přípdě se nopk dobře integruje. Celkově se dostne k=3 1 k α log β k log γ (log k) konverguje α > 1 (α = 1 β > 1) (α = 1 β = 1 γ > 1). Poznámk 8.2.7. (i) Povšimněme si, že npříkld ke zkoumání konvergence řd typu 1 k=2 k α log β k pro α 1 nám stčí znlost chování řd 1 k=2 k log β k, neboť pro α 1 < 1 < α 2, β 1, β 2 R k N dosttečně velké máme 1 k α2 log β2 k < 1 k log β k < 1 k α1 log β1 k ( 1 k=2 k log 2 k konverguje, 1 k=2 k log k diverguje). (ii) Nejčstěji budeme studovné řdy srovnávt s řdmi q k, k=1 k=1 1 k α, k=2 1 k log α k, k=3 1 k log k log α (log k),.... Je výhodné si pmtovt, že ve všech výše uvedených typech řd je číslo jedn hrniční hodnotou prmetru (q či α) z hledisk konvergence řdy.
16 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Poznámk 8.2.8. Nikdy nebudeme mít ntolik univerzální kritérium, by nám o kždé řdě řeklo, zd konverguje či diverguje. Jednk je to tím, že se nám nepodřilo njít hrniční řdu tkovou, že by řdy s většími členy divergovly s menšími konvergovly (tková řd ni existovt nemůže, ť už by konvergovl či divergovl, neboť ritmetik řd, konkrétně násobení kldným číslem, by nám dl spor). Nvíc členy řd nemusí mít srovntelný pokles s nějkou důležitou řdou uvedenou výše. Lze třeb vymyslet konvergentní i divergentní řdy splňující k 1 k 2 pro nekonečně mnoho k k 1 k pro nekonečně mnoho k. Nyní si uvedeme dvě kritéri zložená n srovnání s geometrickou řdou. Vět 8.2.9 (Cuchyovo odmocninové kritérium). Nechť { k } [0, ) k 0 N. (i) Jestliže existuje q [0, 1) tkové, že k k q pro všechn k k 0, pk k=1 k konverguje. Speciálně, pokud lim k k k < 1, řd konverguje. (ii) Jestliže k k 1 pro všechn k k 0, pk k=1 k diverguje. Speciálně, pokud lim k k k > 1, řd diverguje. Důkz. Dokžme (i). V prvním přípdě máme k q k pro q [0, 1) k k 0, přičemž řd k=1 qk je konvergentní. Výsledek tedy plyne ze Srovnávcího kritéri II (Vět 8.2.1). Pokud lim k k k < 1, stčí zfixovt q (lim k k k, 1). Njdeme k 0 tk, že pltí k k q pro všechn k k 0 jsme v situci jko výše. Dokžme (ii). Zde máme odhd k 1 pro všechn k k 0 máme porušenu nutnou podmínku konvergence číselných řd. Předpokld lim k k k > 1 vede n tutéž situci. Příkld 8.2.10. Studujme konvergenci řdy k=1 ( k k+2 )k2. Máme ( lim k k = lim 1 2 ) k = e 2 < 1 k k k + 2 (lze využít lim k (1 + 1 k )k = e, nebo si přepst obecnou mocninu pomocí funkce exp, což vede n limitu stndrdní obtížnosti). Poznámk 8.2.11. (i) Cuchyovo odmocninové kritérium (Vět 8.2.9) si nepordí s žádnou z řd k=1 1 k 1 k, α > 0, neboť lim α k k = 1. Zároveň vidíme, že α přípd lim k k k = 1 připouští jk konvergentní, tk divergentní řdy. (ii) Přestože je odmocninové kritérium poměrně slbé, nchází upltnění v situcích, kdy se zápis členu k znčně zjednoduší po plikci k-té odmocniny. Aplikce mocného integrálního kritéri n předchozí příkld by jistě příjemná nebyl. Dlší kritérium je opět slbé, leč leckdy uživtelsky velice příjemné. Vět 8.2.12 (d Alembertovo podílové kritérium). Nechť { k } (0, ) k 0 N. (i) Jestliže existuje q [0, 1) tkové, že k+1 k q pro všechn k k 0, pk k=1 k konverguje. Speciálně, pokud lim k+1 k k < 1, řd konverguje.
8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 17 (ii) Jestliže k+1 k 1 pro všechn k k 0, pk k=1 k diverguje. Speciálně, pokud lim k+1 k k > 1, řd diverguje. Důkz. Dokžme (i). V prvním přípdě máme pro libovolné k > k 0 k = k k 1 k 1 k 2... k 0+1 k0 k0 q k k0 k0 = Cq k konvergence studovné řdy je důsledkem konvergence geometrické řdy. V přípdě, že lim k+1 k k < 1, pro zfixovné q (lim k+1 k k, 1) vždy njdeme k 0 N tk, že máme k+1 k q pro všechn k k 0 jsme v situci jko výše. Dokžme (ii). V tomto přípdě máme pro libovolné k > k 0 k = k k 1 k 1 k 2... k 0+1 k0 k0 k0, je tedy porušen nutná podmínk konvergence. Předpokld lim k+1 k k n tutéž situci. Příkld 8.2.13. Studujme konvergenci řdy (k!) 2 k=1 (2k)!. Máme > 1 vede k+1 k = ((k + 1)!)2 (2k)! (k!) 2 (2k + 2)! = (k + 1) 2 k 1 (2k + 2)(2k + 1) 4. Nše řd proto konverguje podle d Alembertov podílového kritéri (Vět 8.2.12). Poznámk 8.2.14. (i) Ani toto kritérium nefunguje n řdy typu k=1 1 k, α > α 0, či obecně v přípdě lim k+1 k k = 1. Oceníme jej zejmén v situcích, kdy se dobře počítá lim k+1 k k nerovná se jedné. (ii) Poznmenejme ještě, že ve výrzu k+1 k dochází ke znčnému zjednodušení fktoriálu, který se čsto vyskytuje v Tylorových řdách. Poznámk 8.2.15. Limitní verze kritéri je opět rychlejší, le slbší než nelimitní. Stčí uvážit řdu 1 + 1 2 + 1 8 + 1 16 + 1 64 + 1 128 +... (střídá se k+1 k = 1 2 k+1 k = 1 4 ). Poznámk 8.2.16. Přestože obě výše dokázná kritéri jsou shodně zložen n vlstnostech geometrické řdy, fungují odlišně. Npříkld s řdou 1 + 1 4 + 1 2 + 1 8 + 1 4 + 1 16 + 1 8 +... (střídá se k+1 k = 1 4 k+1 k = 2), si odmocninové kritérium pordí, podílové nikoliv. Podílové kritérium se dá zobecnit tk, že si spočítáme k+1 k pro řdy typu k=1 1 k získný výsledek budeme kombinovt s druhou částí Srovnávcího kritéri II (Vět α 8.2.1).
18 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Vět 8.2.17 (Rbeho kritérium). Nechť { k } (0, ) k 0 N. (i) Existuje-li q > 1 tk, že k( k k+1 1) q pro všechn k k 0, pk řd k=1 k konverguje. Speciálně, jestliže lim k k( k k+1 1) > 1, řd konverguje. (ii) Jestliže k( k k+1 Speciálně, jestliže lim k k( k k+1 1) 1 pro všechn k k 0, pk řd k=1 k diverguje. 1) < 1, řd diverguje. Důkz. V prvním přípdě provedeme srovnání s konvergentní řdou k=1 1 k, kde α zfixujeme α (1, q). Položme tedy b k = 1 k pro k N zfixujme ještě β (α, q). α Pro k dosttečně velké dostáváme odhd ) α b ( k = = 1 + 1 ) α β 1 + b k+1 k k. ( 1 k 1 k+1 Skutečně, Tylorův rozvoj funkce (1 + x) α v počátku Lgrngeův tvr zbytku dávjí (1 + x) α = 1 + αx + 1 2 α(α 1)(1 + ξ)α 2 x 2, kde ξ (0, x). Pro x dosttečně blízko k počátku proto můžeme poslední člen prvé strny odhdnout libovolně mlým násobkem předposledního. Z předchozích odhdů předpokldu k( k k+1 1) q máme k 1 + q k+1 k > 1 + β k b k. b k+1 Druhá část Srovnávcího kritéri II (Vět 8.2.1) nám dává konvergenci k=1 k. Nechť nyní k( k k+1 1) 1 pro všechn k k 0. Odtud k 1 + 1 1 k+1 k = k 1 k+1 druhá část Srovnávcího kritéri II nám dává divergenci, neboť k=1 1 k diverguje. Poznámk 8.2.18. (i) Rbeho kritérium se používá v situcích, kdy je zápis k+1 k jednodušší než zápis k, le podílové kritérium je v dné situci příliš slbé. Typicky se k Rbeho kritériu přechází po neúspěšné plikci podílového kritéri (mějte ovšem n pměti, že jedno z kritérií prcuje s výrzem k+1 k, ztímco druhé s k k+1 ). (ii) Rbeho kritérium není v žádném přípdě všemocné. Ověřte si smi, že si nepordí s řdmi typu 1 k=1 k log α k, α > 0. Dlší krůček ve zjemnění práce s výrzem k k+1 nám dává následující kritérium. Vět 8.2.19 (Gussovo kritérium). Nechť { k } (0, ). Nechť existují p, q R ε, C > 0 tk, že k = p + q k+1 k + t k k 1+ε, kde t k C.
8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 19 (i) Jestliže p > 1, řd k=1 k konverguje. Jestliže p < 1, řd diverguje. (ii) Jestliže p = 1 q > 1, řd konverguje. (iii) Jestliže p = 1 q 1, řd diverguje. Důkz. Všechny přípdy, kdy p 1 nebo q 1 nám dává Rbeho kritérium. Uvžme zbývjící přípd p = q = 1. Definujme b k = 1 k log k, k N \ {1}. Pk b k (k + 1) log(k + 1) = = (k + 1)( log k + log(1 + 1 k )) b k+1 k log k k log k = 1 + 1 k + log(1 + 1 k ) log k + log(1 + 1 k ) k log k. Protože pro dosttečně velké k máme odhd log(1 + 1 k ) 1 2k log(1+x) limitu lim x 0 x = 1), dostáváme Celkově i s předpokldem b k 1 + 1 b k+1 k + 1 2k log k k k+1 1 + 1 k + C k 1+ε pro k dosttečně velké. k 1 + 1 k+1 k + C k 1+ε 1 + 1 k + 1 2k log k (využíváme známou proto máme pro k dosttečně velké b k b k+1 Srovnávcí kritérium II (Vět 8.2.1) nám dává divergenci studovné řdy, neboť 1 k=2 k log k diverguje. Poznámk 8.2.20. Přestože jsme v důkzu používli řdu 1 k=2 k log k, s touto řdou si Gussovo kritérium nepordí, neboť pro žádnou volbu p, q R ε > 0 zbytkový člen t k k nemá omezený čittel (podívejte se n nejndějnější přípd 1+ε p = q = 1 v předchozím důkzu). Dokonce nepomůže ni zesílená verze Gussov kritéri z Cvičení 8.2.21 níže. Cvičení 8.2.21. Dokžte, že řd k=1 k diverguje i z předpokldu, že pro α > 1 k k 0 kde t k C, nezávisle n k. k k+1 = 1 + 1 k + t k k log α k, (k+)(k 1+)... k!k b. Příkld 8.2.22. Nechť, b R. Zkoumejme konvergenci k=1 Pltí (ověřte si smi pomocí Tylorov rozvoje, že r k, s k, t k jsou v dlším omezené) k = k + 1 k+1 k + 1 + = ( k + 1 ) b = ( 1 )( 1 + 1 ) b k + 1 + k k ( 1 k + r )( k k 2 1 + b k + s ) k k 2 = 1 + b + t k k k 2. Zkoumná řd tedy konverguje právě tehdy, když b > 1.
20 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Poznámk 8.2.23. Celá výše probírná teorie se dá plikovt n řdy se zápornými členy (vytkneme znménko mínus, nebo ve všech kritériích nhrdíme k z k ). Vzhledem k tomu, že změn konečného počtu členů neovlivní konvergenci řdy, nše teorie se dá rozšířit i n všechny řdy, které nemjí zároveň nekonečně mnoho kldných členů nekonečně mnoho záporných členů. 8.3 Dodtek k řdám s nezápornými členy: kondenzční kritérium Někdy se používá ještě následující kritérium, zejmén v přípdě, kdy se teorie číselných řd vykládá dříve než teorie integrálu. Vět 8.3.1 (Lobčevského kondenzční kritérium). Nechť { k } [0, ) je nerostoucí posloupnost. Pk k konverguje k=1 2 k 2 k konverguje. k=1 Důkz. Implikce plyne z odhdu (používáme monotonii) ( 2 + 3 ) + ( 4 + 5 + 6 + 7 ) + 2 2 + 4 4 + 8 8 +.... Implikce plyne z odhdu (opět používáme monotonii) ( 2 ) + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ) +... 2 + 2 4 + 4 8 +... = 1 ( ) 2 2 + 4 4 + 8 8 +.... 2 Příkld 8.3.2. (i) Konvergence řdy ekvivlentní konvergenci řdy k=1 1 k α je podle Lobčevského kritéri k=1 2 k 1 (2 k ) α = k=1 1 (2 k ) α 1 = k=1 1 (2 α 1 ) k, což nstává právě tehdy, když α > 1. (ii) Konvergence řdy 1 k=2 k log α k je podle Lobčevského kritéri ekvivlentní (připomeňme, že konečný počet členů není schopen ovlivnit konvergenci, proto nám stčí monotonie od jistého k 0 N) konvergenci řdy k=2 2 k 1 2 k log α (2 k ) = log α (2) opět dostáváme nám již známý výsledek. k=2 1 k α
8.4. ŘADY S OBECNÝMI ČLENY 21 Poznámk 8.3.3. (i) Pokud bychom předchozí příkld zkoumli z pohledu Integrálního kritéri (Vět 8.2.5), zjistili bychom, že Lobčevského kritérium (Vět 8.3.1) vlstně jen pod integrálem provádí logritmickou substituci. (ii) Lobčevského kritérium nám podobně jko Integrální kritérium umožní určit konvergenci několik důležitých ( obtížných) řd. N druhou strnu si nepordí s řdmi, kde není předpis pro k velice jednoduchý. (iii) Zhrub se dá říci, že je jedno, které ze dvojice Integrální Lobčevského kritérium ovládáme, obě zberou n důležité řdy typů k=1 1 k, 1 α k=2 k log α k, td. Vyšetřením konvergence těchto řd obě kritéri splnil svou úlohu už je s největší prvděpodobností čtenář nikdy nevyužije. (iv) Lobčevského kritérium by se dlo přeformulovt dokázt rovněž pro pomocnou řdu k=1 3k 3 k. Nic nového bychom tím ovšem nezískli, stále by se jednlo o ekvivlent jedné logritmické substituce pod integrálem. Skutečný přínos přináší teprve iterování Lobčevského kritéri, tedy npříkld k konverguje k=1 2 k 2 k konverguje k=1 2 k 2 2k konverguje. 2 2 k k=1 Zde jsme provedli operci odpovídjící dvěm logritmickým substitucím. 8.4 Řdy s obecnými členy Nyní se budeme zbývt řdmi, jejichž členy nekonečněkrát změní znménko, neboli nekonečně mnoho členů má znménko kldné nekonečně mnoho záporné. Tto situce je provázen hned několik jevy, které se u řd s kldným znménkem nevyskytovly. Jednk kromě konvergence divergence nyní může nstt i oscilce. Dlším jevem je nebsolutní konvergence. Absolutní konvergence znmenl, že je vhodným způsobem kontrolován velikost členů studovné řdy. V přípdě nebsolutní konvergence již nemusí velikost (bsolutní hodnot) členů řdy splňovt tk přísné podmínky, je-li to kompenzováno dosttečným vzájemným vyrušením kldných záporných členů (uvžte k=2 ( 1) k log k ). V této situci už informce typů (0, ) neimplikují žádný lim k k b k třeb k b k, k b k, k+1 k b k+1 b k vzth mezi konvergencí řd k=1 k k=1 b k (smi si zkonstruujte příkldy jko třeb ( 1) k k=1 k ( ( 1) k ) k=1 k + 1 k ). Vět 8.4.1 (Abelovo Dirichletovo kritérium). Nechť { k }, {b k } R { k } je monotonní. (Dirichlet) Jestliže k 0 {b k } má omezené částečné součty, pk k=1 kb k konverguje. (Abel) Jestliže { k } je omezená k=1 b k konverguje, pk k=1 kb k konverguje. Důkz. Nejprve předpokládejme Dirichletovy podmínky ukžme, že zkoumná řd splňuje B-C podmínku. Zvolme ε > 0. Bez újmy n obecnosti můžeme předpokládt, že { n } je nerostoucí. Ve znění nerovnosti z B-C podmínky si členy
22 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY posloupnosti {b k } vyjádříme pomocí částečných součtů této posloupnosti, které budeme znčit B n, máme n+p k=n+1 k b k = n+1 b n+1 + n+2 b n+2 + + n+p 1 b n+p 1 + n+p b n+p = n+1 (B n+1 B n ) + n+2 (B n+2 B n+1 ) + + n+p 1 (B n+p 1 B n+p 2 ) + n+p (B n+p B n+p 1 ) = B n n+1 + B n+1 ( n+1 n+2 ) + B n+2 ( n+2 n+3 ) + + B n+p 1 ( n+p 1 n+p ) + n+p B n+p. Odtud s využitím monotonie { k }, omezenosti {B n } vlstnosti k 0 dostáváme pro n dosttečně velká následující odhd n+p k=n+1 k b k Bn n+1 + B n+1 ( n+1 n+2 ) + B n+2 ( n+2 n+3 ) + + B n+p 1 ( n+p 1 n+p ) + n+p B n+p Cε + C( n+1 n+2 ) + C( n+2 n+3 ) + + C( n+p 1 n+p ) + Cε = Cε + C( n+1 n+p ) + Cε Cε + C n+1 + Cε 3Cε. Ověřili jsme B-C podmínku pro limitu částečných součtů řdy k=1 kb k jsme v prvním přípdě hotovi. Nyní předpokládejme Abelovy podmínky. Protože posloupnost { k } je monotonní omezená, má vlstní limitu. Oznčme ji A. Pk k b k = Ab k + ( k A)b k, k=1 k=1 kde první řd nprvo konverguje díky ritmetice řd druhá splňuje předpokldy Dirichletov kritéri. Proto díky ritmetice řd konverguje i řd nlevo. Příkld 8.4.2. (i) Z Dirichletov kritéri plyne Leibnizovo kritérium (tedy Vět 8.1.21), neboť posloupnost {( 1) k } má omezené částečné součty (střídjí se hodnoty 1 0). (ii) Čsto se dá kombinovt Dirichletovo kritérium s Abelovým, jk nám ukzuje příkld k=1 ( 1) k k k ověření konvergence ( 1) k k=1 k k=1 rctn k, kde nejprve použijeme Dirichletovo kritérium pk využijeme právě získnou konvergenci spolu s monotonií omezeností posloupnosti {rctn k} při plikci Abelov kritéri. (ii) Abelovo kritérium se dá použít i vícekrát z sebou. Uvžme npříkld řdu k=1 ( 1) k k k k+1 rctn k, kde jedn plikce Dirichletov kritéri jedn plikce Abelov kritéri dávjí konvergenci k=1 ( 1) k k rctn k (bylo výše) pk
8.4. ŘADY S OBECNÝMI ČLENY 23 díky Abelovu kritériu ještě můžeme do řdy přidt omezený monotonní činitel k k+1 = 1 1 k+1. Poznámk 8.4.3. (i) Dirichletovo kritérium oproti Abelovu má přísnější podmínky n { k } (konvergence k nule implikuje omezenost) volnější podmínky n {b k } (konvergence řdy implikuje omezenost jejích částečných součtů). Není možné vzít jen omezenost { k } omezenost částečných součtů {b k }, jk ukzuje volb k := 1, b k := ( 1) k. (ii) Není rdno zpomínt n monotonii posloupnosti { k }. Jink Dirichletovo ni Abelovo kritérium nepltí ( k := ( 1)k k le celkově k=1 kb k = 0, b k := ( 1)k k má konvergentní řdu, k=1 1 k diverguje). (iii) Komplexní vrint Abelov Dirichletov kritéri vypdá tk, že { k } je reálná monotonní posloupnost, {b k } je komplexní posloupnost zbytek znění je stejný jko v reálném přípdě. Důkz se získá rozkldem posloupnosti {b k } n reálnou imginární složku, přípdně se zopkuje důkz Věty 8.4.1 pro komplexní částečné součty. Nemůže pltit vrint s { k }, {b k } C, neboť pk bychom neměli pojem monotonie bez něho Vět 8.4.1 nemůže pltit, jk bylo ukázáno výše. Poznámk 8.4.4. Povšimněte si, že v přípdě řd s nezápornými členy nám ni Abelovo ni Dirichletovo kritérium nenbízí nic, co by nám nedlo Srovnávcí kritérium I (Vět 8.1.19). Předstvíme si ještě dv typy posloupností s omezenými částečnými součty. Tvrzení 8.4.5. Nechť R. Pk posloupnost k sin(k) má omezené částečné součty. Posloupnost k cos(k) má omezené částečné součty právě tehdy, když není násobkem čísl 2π. Důkz. Pokud není násobkem 2π, máme Odtud s n : = n sin(k) = k=1 n e ik e ik = 2i k=1 = 1 1 ei(n+1) ei 2i 1 e i 1 1 e i(n+1) e i 2i 1 e i. n k=1 eik n k=1 e ik 2i s n 1 2i ei 1 + ei(n+1) 1 e i + 1 2i e i 1 + e i(n+1) 1 e i 1 2 1 1 + 1 1 e i + 1 2 1 1 + 1 1 e i, tedy částečné součty posloupnosti k sin(k) jsou omezené. Pokud je násobkem 2π, sčítáme smé nulové členy výsledek pltí triviálně. Při práci s posloupností k cos(k) použijeme vzorec cos(k) = eik +e ik 2. Je-li násobkem 2π, máme cos(k) 1 částečné součty nejsou omezené. Cvičení 8.4.6. Postupem ukázným výše ukžte, že číselné posloupnosti {sin 3 k}, {cos 3 k}, {( 1) k sin 3 k}, {( 1) k cos 3 k} mjí omezené částečné součty (při výpočtu
24 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY budete vždy prcovt se čtveřicí konvergentních geometrických řd). Tímto postupem se dá rovněž ukázt, že sin 2 k nemá omezené částečné součty (postup výše vede n součet dvou konvergentních geometrických řd řdy reálných konstnt). Poznámk 8.4.7. Smozřejmě, pokud čtenář umí zcházet se součtovými vzorci pro goniometrické funkce všimne si, že ( 1) k = cos(kπ), lze předchozí cvičení vyřešit mnohem sndněji použitím Věty o ritmetice řd (Vět 8.1.13). Příkld 8.4.8. Řdy podle Dirichletov kritéri. k=1 sin k k, k=1 sin3 k k ( 1) k sin 3 k k=1 k jsou konvergentní Pro důkz toho, že zkoumná řd nekonverguje, máme jedinou přímou metodu sice porušení B-C podmínky (přípdně porušení nutné podmínky konvergence, což je ovšem speciální přípd B-C podmínky). Příkld 8.4.9. Ukžme, že nekonverguje řd k=1 sin k k. K porušení B-C podmínky využijeme toho, že pro velká k jsou řetězce členů stejného znménk velmi dlouhé. Předně si povšimněme, že k + 1 k = 1 k + 1 + k 1 2 k. Pro kždé m N zvolme k m N tkové, že k m [2mπ + π 6, 2mπ + π 4 ] (spoň jedno tkové číslo existovt musí, neboť pro m 1 prcujeme nprvo od bodu 2π, tedy k 6, odtud k + 1 k 1 2 1 k 12, proto není možné, by dvojice k k + 1 přeskočil intervl délky π 12 > 1 12 ). Z odhdu výše tké vidíme, že km + j [2mπ + π 6, 2mπ + 5π 6 ] pro j = 0, 1, 2,..., 2[ k m ]. Odtud k m+2[ k m] k=k m k m+2[ k sin k m] 1 2 k 2 = 1 k k=k m 4 (2[ k m ] + 1) 1 k m 2 km = 1 k m 2. m Nedá se proto splnit B-C podmínk s volbou ε = 1 2. Výpočet spojený s porušením B-C podmínky bývá čsto zdlouhvý. Občs se proto vypltí jít n příkld oklikou. Příkld 8.4.10. Ukžme, že řd k=1 sin2 k k k=1 sin 2 k k = k=1 nekonverguje. Máme ( 1 2k cos(2k) ). 2k Protože řd cos(2k) k=1 2k konverguje podle Dirichletov kritéri (Vět 8.4.1), pokud by konvergovl nše řd, podle ritmetiky řd by konvergovl i řd tím bychom dostli spor. k=1 1 2k
8.5. PŘEROVNÁVÁNÍ ŘAD A SOUČIN ŘAD 25 8.5 Přerovnávání řd součin řd V dlším si ukážeme, že n součet bsolutně konvergentní řdy nemá přerovnání členů žádný vliv. Nproti tomu u nebsolutně konvergentních řd může mít tto operce závžné následky. Definice 8.5.1 (Přerovnání řdy). Nechť { k } R ϕ: N N je bijekce. Pk řdu k=1 ϕ(k) nzveme přerovnáním řdy k=1 k (odpovídjícím bijekci ϕ). Definice 8.5.2 (Kldná záporná část). Nechť x R. Kldnou část čísl x definujeme jko x + := mx{x, 0} zápornou část jko x := mx{ x, 0}. Příkld 8.5.3. Pro x 0 máme x + = x x = 0, pro x 0 máme x + = 0 x = x = x. Vždy pltí x = x + x x = x + + x. Vět 8.5.4 (Chrkterizce bsolutní nebsolutní konvergence). Nechť { k } R. Pk (i) k=1 k konverguje bsolutně k=1 + k k=1 k konvergují. (ii) k=1 k konverguje nebsolutně = k=1 + k = k=1 k =. Důkz. V části (i) plyne implikce z odhdů 0 + k k 0 k k. Implikce plyne z identity k = + k + k ritmetiky konvergentních řd. V části (ii) máme = k=1 k = k=1 (+ k + k ). Alespoň jedn z řd n prvé strně implikce proto musí mít nekonečný součet. Protože zároveň k=1 k = k=1 (+ k k ) konverguje, podle ritmetiky řd nemůže mít nekonečný součet právě jedn řd n prvé strně dokzovné implikce. Poznámk 8.5.5. Implikce v části (ii) se nedá otočit, jk ukzuje řd 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 +.... Vět 8.5.6 (O přerovnání bsolutně konvergentní řdy). Nechť { k } R řd k=1 k konverguje bsolutně. Pk kždé její přerovnání konverguje bsolutně má stejný součet. Důkz. Nechť k=1 b k je přerovnáním k=1 k. Nejprve uvžme jednoduchý přípd { k } [0, ). Je-li n N, pk existuje k 0 N tkové, že {b 1,..., b n } { 1,..., k0 }, proto n k 0 b k k k R. k=1 k=1 Odtud k=1 b k má omezené monotonní částečné součty, tedy (bsolutně) konverguje pltí k=1 b k k=1 k. Prohozením rolí { k } {b k } dostáváme obrácenou nerovnost. Proto jsou součty obou řd stejné. V obecném přípdě si npíšeme k=1 b k = k=1 b+ k k=1 b k. Pro kždou z řd n prvé strně pltí výsledek dokázný výše. Odtud b k = b + k = + k = k. k=1 k=1 k=1 Absolutní konvergence plyne z konvergence řd k=1 b+ k, k=1 b k. b k k=1 k=1 k=1 k k=1
26 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Vět 8.5.7 (Riemnnov vět o přerovnání nebsolutně konvergentní řdy). Nechť { k } R řd k=1 k konverguje nebsolutně. Pk pro kždé S R existuje přerovnání řdy k=1 k se součtem S. Důkz. Máme k=1 + k = k=1 k = k 0 pro k. Nechť nejprve S R. Zvolme n 1 N jko nejmenší přirozené číslo splňující S 1 := + 1 + + 2 + + + n 1 > S. Dále vezmeme m 1 N jko nejmenší přirozené číslo splňující S 2 := + 1 + + 2 + + + n 1 1 2... m 1 < S. Nyní zse zvolíme n 2 > n 1 jko nejmenší číslo splňující S 3 := + 1 + + 2 + + + n 1 1 2... + m 1 + + n 1+1 + + + n 2 > S. Dále pokrčujeme indukcí. Konstrukce se nikdy nezství, neboť =. Nvíc pro libovolné j N, j 2 máme k=1 k S 2j 1 S + n j j 0 S2j S m j j 0, k=1 + k = neboť vždy n i i, m i i k 0. Celkově dostáváme přerovnnou řdu se součtem S. Pokud S =, provedeme vrintu konstrukce s S 1 > 1, S 2 < 1, S 3 > 2, S 4 < 2, S 5 > 3, td. Pro S = prcujeme podobně. Nším dlším cílem je studovt součiny řd. Pro bsolutně konvergentní řdy k=1 k k=1 b k dostneme vzorec ( )( ) k b k = k=1 k=1 i b j. i,j=1 Výrz nprvo obshuje zápis sumy, s nímž jsme se dosud nesetkli neumíme s ním prcovt. Zčneme tedy optrně definicí. Definice 8.5.8 (Zobecněná řd její konvergence). Nechť M je spočetná množin (existuje bijekce mezi M N). Řekneme, že zobecněná řd m M m konverguje, jestliže existuje tková bijekce ϕ: N M, že k=1 ϕ(k) je bsolutně konvergentní. Pk definujeme m M m := k=1 ϕ(k). Poznámk 8.5.9. Protože bsolutně konvergentní řdy mjí součet stbilní vůči přerovnání, pokud existuje jedn bijekce s vlstností z definice, všechny osttní bijekce mezi N M dávjí bsolutně konvergentní řdy se stejným součtem. Příkld 8.5.10. Uvžme M = N 2 řdu (i,j) N 2 2 (i+j). Uvžme bijekci ϕ, která prvky N 2 seřdí do posloupnosti (1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1),....
8.5. PŘEROVNÁVÁNÍ ŘAD A SOUČIN ŘAD 27 V tomto přípdě máme S := ϕ(k) = 2 2 + 2 3 + 2 3 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 5 +.... k=1 Dostáváme bsolutně konvergentní řdu (porovnejte částečné součty nší řdy s částečnými součty řdy k=1 k2 k 1, jejíž konvergenci umíte ověřit pomocí odmocninového kritéri). Odtud (i,j) N 2 2 (i+j) = S (ztím S neumíme vyčíslit, le již brzy to umět budeme) tento výsledek nezávisí n volbě bijekce mezi N 2 N. Poznámk 8.5.11. Čsto se pro (i,j) N 2 (i,j) používá znčení i,j=1 i,j nebo i,j=1 ij. Vět 8.5.12 (Cuchyov vět o součinu řd). Nechť { k }, {b k } R nechť řdy k=1 k k=1 b k konvergují bsolutně. Pk je řd i,j=1 ib j bsolutně konvergentní pltí ( )( i b j = k b k ). i,j=1 k=1 Důkz. Definujme Ãn := n k=1 k, Bn := n k=1 b k pro kždé n N. Bijekci ϕ: N N 2 (jednotlivé složky budeme později znčit ϕ 1 ϕ 2 ) tentokrát zveďme konstrukcí k=1 (1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3), (4, 1),.... Dále definujme S n := n k=1 ϕ 1(k)b ϕ2(k) S n := n k=1 ϕ 1(k) b ϕ2(k) pro kždé n N. Absolutní konvergence i,j=1 ib j plyne z toho, že { S n } je neklesjící posloupnost splňující n 2 n n S n 2 = ϕ1(k) b ϕ2(k) = i b j = Ãn B n i b j. k=1 i=1 j=1 Proto je tké k=1 ϕ 1(k)b ϕ2(k) konvergentní pltí i b j : = ϕ1(k)b ϕ2(k) = lim S n = lim S n n n 2 = lim n 2 n i,j=1 k=1 ( n )( n ) = lim i b j = n i=1 j=1 i i=1 j=1 b j. i=1 k=1 j=1 ϕ1(k)b ϕ2(k) Příkld 8.5.13. Díky Větě 8.5.12 dostáváme, že 2 (i+j) = 2 i 2 j = 1. (i,j) N 2 i=1 j=1
28 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY 3 ϕ(9) ϕ(8) ϕ(7) 2 ϕ(4) ϕ(3) ϕ(6) 1 ϕ(1) ϕ(2) ϕ(5) 1 2 3 Obrázek 8.2: Částečné znázornění bijekce z důkzu Cuchyovy věty. Poznámk 8.5.14. Někdy se používá pro součin řd jiná bijekce, která se zpisuje jko ( i b j = i b j ). i,j=1 n=1 i+j=n+1 Tento vzth se tké někdy nzývá Cuchyův vzorec. 3 2 ϕ(6) ϕ(3) ϕ(5) 1 ϕ(1) ϕ(2) ϕ(4) 1 2 3 Obrázek 8.3: Částečné znázornění bijekce z Poznámky 8.5.14. 8.6 Metod ritmetických průměrů cesrovské součty Nyní se budeme zbývt otázkou, zd je možné nekonvergentní řdě přiřdit číslo, které bude mít lespoň částečně vlstnosti jejího součtu. Náš přístup bude zložen n následující konstrukci. Lemm 8.6.1 (O konvergenci ritmetických průměrů). Nechť { k } R splňuje lim k k = A R. Definujme posloupnost {b k } předpisem b 1 = 1, b 2 = 1 + 2 2, b 3 = 1 + 2 + 3,..., neboli b j = 1 3 j j k. k=1
8.6. ARITMETICKÉ PRŮMĚRY, CESAROVSKÉ SOUČTY 29 Pk lim k b k = A. Důkz. Budeme se zbývt jen přípdem A R, v osttních přípdech se použije podobná myšlenk. Zvolme ε > 0. Pk existuje k 0 N tk, že A ε < k < A + ε pro k > k 0. Je-li potom k > k 0 dosttečně velké, dostáváme b k = 1 + + k k = 1 + + k0 k b k = 1 + + k0 + k 0+1 + + k k 0 k k k 0 k > ε + A ε ε( A + ε). Proto lim k b k = A. + k 0+1 + + k k k 0 < ε + A + ε k k 0 k k0+1 + + k k k 0 Poznámk 8.6.2. Obrácená implikce nepltí. Abychom to demonstrovli, uvžme posloupnost { k } = {( 1) k }. Tto posloupnost limitu nemá. Pro ritmetické průměry všk pltí {b k } = { 1, 0, 1 3, 0, 1 5,... } lim k b k = 0. Příkld 8.6.3. Z teorie Tylorových rozvojů víme, že 1 1 x = x k n ( 1, 1). k=0 Jinými slovy, máme posloupnost polynomů {P k } tkových, že st P k = k pro kždé k N 0 P k (x) 1 1 x pro kždé x ( 1, 1) ( v žádném jiném bodě to nepltí). Pokud všk definujeme polynomy Q k := 1 k + 1 k P j, dostáváme posloupnost polynomů stupně k s o něco lepší proximční vlstností Q k (x) 1 1 x pro kžké x [ 1, 1). Poznámk 8.6.4. Výsledek předchozího příkldu, tedy získání konvergence v jednom bodě nvíc, není příliš oslnivý. Později se budeme zbývt teorií Fourierových řd, tedy rozvojů typu f(x) = j=0 ( ck cos(kx) + d k sin(kx) ) k=0 ({ k }, {b k } jsou posloupnosti reálných koeficientů), kde metod ritmetických průměrů přináší podsttně zjímvější výsledky. Poznmenejme ještě, že Fourierovy řdy mjí široké upltnění od teorie prciálních diferenciálních rovnic ž třeb po zprcování zvukového záznmu.
30 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Metod ritmetických průměrů plikovná n částečné součty posloupnosti { k } má vlstní stručnou terminologii dnou následující definicí. Definice 8.6.5 (Cesrovská sčíttelnost). Nechť { n } R. Pro všechn n N definujme S n = n k=1 k σ n = 1 n n k=1 S k. Řekneme, že k=1 k je cesrovsky sčíttelná, jestliže lim n σ n R. Číslo A := lim n σ n pk nzveme cesrovským součtem řdy k=1 k píšeme (C, 1) k=1 k = A. Poznámk 8.6.6. Podle Lemmtu o konvergenci ritmetických průměrů (Lemm 8.6.1) je kždá konvergentní řd cesrovsky sčíttelná součty v obou smyslech jsou totožné. Poznámk 8.6.7. Metod ritmetických průměrů se dá iterovt. Pro posloupnost { k } definujme (použijeme trochu odlišné znčení od definice) n s 0 n := s n = k, k=1 s 1 n := 1 n n s 0 k, k=1 s 2 n := 1 n n s 1 k,... k=1 (pozor, horní index není mocnin). Řdu k=1 k nzveme (C, r)-sčíttelnou, jestliže lim n s r n R. Pk píšeme (C, r) k=1 k = lim n s r n. Je-li řd (C, r)- sčíttelná, je i (C, s)-sčíttelná pro kždé s r (podle Lemmtu o konvergenci ritmetických průměrů, tedy Lemmtu 8.6.1). Tto implikce se nedá obrátit. Příkld 8.6.8. Položme { k } = {1, 2, 3, 4, 5,... }. Pk posloupnost částečných součtů je {S k } = {s 0 k } = {1, 1, 2, 2, 3,... }, proto k=1 k nekonverguje (klsická konvergence je totéž, co (C, 0)-sčíttelnost). Dále máme {s 1 k } = {1, 0, 2 3, 0, 3 5,... }. Cesrovské součty (podle definice) řdy k=1 k tké nekonvergují. Povšimneme-li si všk, že pro kždé m N pltí s 1 2m = 0 s 1 2m 1 =, plyne odsud, že m 2m 1 1 2 lim n s2 n = 1 4, proto (C, 2) k = 1 4. 8.7 Dodtek k číselným řdám: nekonečné součiny Nechť {p k } (0, ) je posloupnost. Symbol k=1 p k nzýváme nekonečným součinem. K jeho vyčíslení definujme P n = p 1 p 2... p n. Nekonečný součin nzveme konvergentní, jestliže existuje vlstní nenulová lim n P n =: P. Pk píšeme p k := P. k=1 Vět 8.7.1 (Nutná podmínk konvergence). Nechť posloupnost {p k } (0, ) nechť k=1 p k konverguje. Pk lim n p n = 1. k=1
8.7. DODATEK K ČÍSELNÝM ŘADÁM: NEKONEČNÉ SOUČINY 31 Důkz. Jestliže k=1 p k konverguje, máme p k+1 = P k+1 P k P P = 1. Poznámk 8.7.2. Vynechání, přidání či změn konečného počtu činitelů neovlivní konvergenci nekonečného součinu. Pokud P n P (0, ), máme ze spojitosti funkce log log P = log( lim n P n) = lim n log(p n) = lim log(p 1... p n ) = lim n n n log p k = log p k, tedy k=1 log p k konverguje. Tto implikce se dá zřejmě otočit. Existuje le ještě jednodušší chrkterizce konvergence nekonečného součinu, v níž prcujeme s u k := p k 1 ( 1, ). Vět 8.7.3 (Chrkterizce konvergence nekonečného součinu). Nechť posloupnost {u k } (0, ) nebo {u k } ( 1, 0). Pk nekonečný součin k=1 (1 + u k) konverguje právě tehdy, když konverguje řd k=1 u k. log(1+x) Důkz. Nejprve si povšimněme, že díky tomu, že lim x 0 x = 1, existuje δ > 0 tkové, že k=1 k=1 1 log(1 + x) 2 pro x ( δ, δ) \ {0}. 2 x V dlším uvžujme přípd {u k } (0, ). Dokžme implikci. Pokud konverguje k=1 (1 + u k), z nutné podmínky konvergence součinu dostáváme u k 0. Proto u k < δ od jistého k 0 N. Nvíc jsme si výše ukázli, že k=1 log(1 + u k) konverguje. Celkově < 1 log(1 + u k ) u k 2 log(1 + u k ) <. 2 k=k 0 k=k 0 k=k 0 Protože konvergence řdy nezávisí n chování konečného počtu členů, máme konvergenci k=1 u k. Dokžme nyní implikci. Pokud konverguje k=k 0 u k, z nutné podmínky konvergence řdy dostáváme, že u k < δ od jistého k 0 N. Důkz dokončíme pomocí nerovností < 1 u k log(1 + u k ) 2 u k <. 2 k=k 0 k=k 0 k=k 0 V přípdě {u k } ( 1, 0) postupujeme podobně.
32 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Příkld 8.7.4 (Cntorovo discontinuum kldné délky). V kpitole z prvního dílu skript věnovné hlubším vlstnostem spojitých diferencovtelných funkcí jsme si předstvili Cntorovo discontinuum C [0, 1]. Získli jsme jej tk, že jsme z intervlu [0, 1] nejprve vynechli prostřední třetinu. V dlším kroku vynecháme prostřední třetinu v kždém ze vzniklých podintervlů tkto pokrčujeme dále. Získáme neprázdnou množinu C (npříkld 0, 1, 1 3, 2 3 leží v C). Dá se nhlédnout, že kždý bod této množiny se dá ztotožnit s nekonečnou posloupností nul jedniček. Množin C je tedy nespočetná má stejnou mohutnost jko [0, 1]. N druhou strnu vzniklá množin je v jistém smyslu velice mlá, neboť v kždém okolí libovolného bodu z [0, 1] njdeme otevřený intervl, který má s C prázdný průnik (srovnejte s rcionálními čísly, která mjí s kždým otevřeným intervlem neprázdný průnik, třebže jsou spočetná). Nvíc celková délk vynechných intervlů je 1 3 + 2 1 3 3 + 2 2 1 3 3 3 + = 1 ( 2 ) k 1 1 = 3 3 3 1 2 3 k=0 = 1. Pokud bychom nevynechávli prostřední třetinu, le intervl délky q (0, 1), dostli bychom stejné vlstnosti, neboť q + (1 q)q + (1 q) 2 q + = q (1 q) k 1 = q 1 (1 q) = 1. Podívejme se n věc nyní trochu jink, po k-tém kroku má ořezná množin celkovou délku q n. Pokud budeme v jednotlivých krocích vhodně měnit délku vynechných částí, můžeme dostt odlišný výsledek. Skutečně, protože npříkld k=0 k=2 1 k 2 konverguje, konverguje rovněž nekonečný součin k=2 (1 1 k ). Pokud tedy v prvním kroku vynecháme prostřední čtvrtinu intervlu [0, 1], ve druhém kroku pro- 2 střední devítinu vzniklých intervlů, td., získáme Cntorovo discontinuum kldné délky.