CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 nebo 9, každé písmeno jinou. S jejich pomocí vytvoříme čtyřciferné číslo A9CD a dvojciferné číslo CA. Pro jejich součet platí: A 9 C D + C A 2 0 5 0 1 Určete číslo D. x 4 2 Pro x (2, 4) a celé číslo C platí: = C. 2 x 2 Určete číslo C. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Bazén lze plnit dvěma čerpadly. Jedním čerpadlem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. max. 4 body 3 3.1 Za jak dlouho by se bazén naplnil oběma čerpadly současně? 3.2 Za jak dlouho by se bazén naplnil, kdyby bylo napřed v provozu jen druhé čerpadlo a za 5 hodin by bylo zapojeno i čerpadlo první? 4 Jakému číslu je roven součet všech reálných kořenů rovnice x 4 7x 2 18 = 0? 2 Maturita z matematiky 01
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Jsou dány body A, B,, T uspořádané do pravoúhlé mřížky tak, že každé dva sousední body jsou od sebe stejně vzdáleny. max. 4 body 5 5.1 Určete, pro kolik bodů mřížky platí AI = AX 2 + IX 2, kde X je libovolný bod mřížky. 5.2 Určete S obsah čtyřúhelníku APQI, je-li vzdálenost dvou sousedních bodů mřížky 3 cm. 6 Určete pro libovolné x R hodnotu výrazu (sin x + cos x) 2 2 sin x cos x. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána aritmetická posloupnost 5, 8, 11, 14, max. 4 body 7 7.1 Kolik nejméně po sobě jdoucích členů této posloupnosti (prvním členem počínaje) je třeba sečíst, aby jejich součet byl větší než 390? 7.2 Pro určitý člen a n této posloupnosti platí: 3a n 1 + 2a n + 1 = 157. Určete hodnotu takového členu a n. Maturita z matematiky 01 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Třídní učitel kontroluje seznam žáků a jejich předběžné přihlášky k maturitní zkoušce. Ve třídě si jako druhý maturitní předmět v rámci profilové zkoušky zvolí 12 žáků matematiku, 5 žáků dějepis, 6 žáků biologii a 5 žáků chemii. U studenta Novotného a studentky Hůlkové ale třídnímu učiteli chybí údaje. Ten si je ale jist, že ze všech žáků třídy si pětina vybrala dějepis, že student Novotný nematuruje z dějepisu, a dokonce si vzpomíná, že student Novotný říkal: Kdyby nám do třídy přišli ještě dva studenti a maturovali z téhož předmětu jako já, tak by z toho předmětu maturovala čtvrtina celé třídy. max. 4 body 8 8.1 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky studentka Hůlková? 8.2 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky student Novotný? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány body A [ 2; 3], B [0; 3], C [3; 5]. 9 9.1 Určete souřadnici y bodu P [3; y] tak, aby bod P ležel na přímce AB. 9.2 Určete bod D v rovině tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Nádrž na vodu má tvar kolmého hranolu se čtvercovou podstavou, ve kterém je poměr obsahů podstavy a boční stěny 3 : 4. Objem hranolu je 288 m 3. 10 10.1 Jaký je obsah čtvercového dna nádrže? A) 12 m 2 B) 16 m 2 C) 32 m 2 D) 36 m 2 E) 64 m 2 4 body 10.2 O kolik cm klesne výška vody v nádrži, ubyde-li v nádrži 144 hl vody? A) 5 cm B) 7,6 cm C) 40 cm D) 50 cm E) 76 cm 4 Maturita z matematiky 01
2 body 11 Pro která reálná čísla p platí, že funkce f: y = ( p 2 3 p ) x je rostoucí exponenciální funkcí? A) p ( ; 2) B) p (2; 3) C) p ( 5 2 ; 3 ) D) p ( 5 2 ; + ) E) p (3; + ) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 12 Je dána kvadratická funkce f (viz obrázek). 12 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1 12.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Funkce f je sudá. 12.2 Funkce f má předpis f: y = x 2 2x 15. 12.3 Funkce f má předpis f: y = (x 1) 2. 12.4 Funkce f je kladná pro každé x > 0. KONEC TESTU Maturita z matematiky 01 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 nebo 9, každé písmeno jinou. S jejich pomocí vytvoříme čtyřciferné číslo A9CD a dvojciferné číslo CA. Pro jejich součet platí: A 9 C D + C A 2 0 5 0 1 Určete číslo D. Protože číslo A9CD má v řádu stovek 9, číslo CA má v řádu stovek 0 a po jejich sečtení má vyjít 0, je jasné, že: 1. číslo 2, které má výsledný součet v řádu tisíců, vznikne jako součet 1 a čísla A, tj. A = 2 1 = 1. 2. součet číslic C, které mají obě čísla řádu desítek, je číslo větší než 10. Tedy pro součty v řádech jednotek a desítek plyne: D + A = 0 C + C =15 nebo D + A = 10 C + C = 14. První vztah evidentně neplatí, neboť C N, tedy 2C musí být sudé číslo, platí proto vztah druhý, z něhož plyne, že C = 7. Z něj vypočteme hodnotu číslice D. D + 1 = 10 D = 9 Provedeme zkoušku: 1 9 7 9 + 7 1 2 0 5 0 Řešení: D = 9 6 Maturita z matematiky 01
x 4 2 Pro x (2, 4) a celé číslo C platí: = C. 2 x 2 Určete číslo C. Protože x (2, 4), odstraníme absolutní hodnoty z výrazu na levé straně rovnice takto: x > 2 2 x = x 2 x < 4 x 4 = 4 x Rovnice proto upravíme: 4 x = C (x 2) 2 Rovnici vyřešíme: 4 x x 4 = C C = 1 Řešení: C = 1 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Bazén lze plnit dvěma čerpadly. Jedním čerpadlem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. 3 3.1 Za jak dlouho by se bazén naplnil oběma čerpadly současně? max. 4 body Zapíšeme si zadání úlohy do tabulky: za 1 hodinu naplní za x hodin naplní 1 x 1. čerpadlo 20 20 2. čerpadlo 1 x 30 30 Sestavíme rovnici: Rovnici vyřešíme: x x + = 1 20 30 x x + = 1 / 60 20 30 3x + 2x = 60 5x = 60 x = 12 hodin Bazén se naplní za 12 hodin. Řešení: 12 hodin Maturita z matematiky 01 7
3.2 Za jak dlouho by se bazén naplnil, kdyby bylo napřed v provozu jen druhé čerpadlo a za 5 hodin by bylo zapojeno i čerpadlo první? Rovnici upravíme takto: x 5 20 + x = 1 / 60 30 A vyřešíme: x 5 20 + x = 1 / 60 30 3(x 5) + 2x = 60 3x 15 + 2x = 60 5x = 75 x = 15 hodin Bazén by se naplnil za 15 hodin. Řešení: 15 hodin 4 Jakému číslu je roven součet všech reálných kořenů rovnice x 4 7x 2 18 = 0? Rovnici můžeme řešit například následovně: Zavedeme novou proměnnou y, pro kterou platí: 0 y = x 2, tj. x 4 = y 2, a rovnici vyjádříme takto: y 2 7y 18 = 0. Rozložíme kvadratický trojčlen na součin kořenových činitelů a určíme kořeny rovnice: (y 9)(y + 2) = 0 y 1 = 9 y 2 = 2. Kořen y 2 < 0 a odporuje podmínce. Řešením je tedy jen kořen y 1 = 9. Nyní se vrátíme k původní proměnné x a určíme její hodnotu. y = 9 x 1,2 = ±3 Součet kořenů je tedy 0. Řešení: 0 8 Maturita z matematiky 01
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Jsou dány body A, B,, T uspořádané do pravoúhlé mřížky tak, že každé dva sousední body jsou od sebe stejně vzdáleny. max. 4 body 5 5.1 Určete, pro kolik bodů mřížky platí AI = AX 2 + IX 2, kde X je libovolný bod mřížky. AI = AX 2 + IX 2 bude určitě splněn pro body A a I. Vztah lze chápat i jako Pythagorovu větu pro přeponu AI a odvěsny AX a IX. Hledáme tedy dále třetí vrchol pravoúhlého trojúhelníka, jehož přepona je úsečka AI. Načrtneme-li nad úsečkou AI Thaletovu kružnici, je evidentní, že přicházejí v úvahu pouze body F, L, M a D. Maturita z matematiky 01 9
Pro ověření bychom samozřejmě měli spočítat, že pro každý bod platí Pythagorova věta. Protože je mřížka kolmá, body F a D vztah splňují, a určíme z něj délku úsečky AI. AI = 1 + 9 = 10 Nyní ověříme platnost vztahu pro body L a M. Pro bod M: MI = MN 2 + MH 2 = 2 AM = 2 MI = 2 2 = 8 AI = AM 2 + MI 2 = 2 + 8 = 10 Pro bod M je vztah splněn. Pro bod L: LI = LN 2 + NI 2 = 4 + 1 = 5 AL = LI = 5 AI = AL 2 + LI 2 = 5 + 5 = 10 Pro bod L je vztah rovněž splněn. Celkem jde tedy o 6 bodů. Řešení: 6 bodů 5.2 Určete S obsah čtyřúhelníku APQI, je-li vzdálenost dvou sousedních bodů mřížky 3 cm. Čtyřúhelník APQI rozdělíme (viz obrázek) na dva trojúhelníky pravoúhlý APQ s odvěsnami délek 9 cm a 3 cm a rovnoramenný AQI trojúhelník s výškou AM délky 6 2 cm a základnou QI téže délky. Vypočteme obsahy obou trojúhelníků a výsledné obsahy sečteme. 9 3 S = + 6 2 6 2 = 27 + 36 2 = 2 2 2 2 27 + 72 2 = 49,5 cm 2 Řešení: S = 49,5 cm 2 6 Určete pro libovolné x R hodnotu výrazu (sin x + cos x) 2 2 sin x cos x. Výraz upravíme: (sin x + cos x) 2 2 sin x cos x = (sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x) 2 sin x cos x = = sin 2 x + cos 2 x = 1 Hodnota výrazu je rovna 1. Řešení: 1 10 Maturita z matematiky 01
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána aritmetická posloupnost 5, 8, 11, 14, max. 4 body 7 7.1 Kolik nejméně po sobě jdoucích členů této posloupnosti (prvním členem počínaje) je třeba sečíst, aby jejich součet byl větší než 390? Budeme pracovat s aritmetickou posloupností, pro kterou platí: a 1 = 5, d = 3. Pro součet prvních n členů této posloupnosti, který má být větší než 390, platí: (a 1 + a n ) n 2 > 390. Vyjádříme n-tý člen a do nerovnice dosadíme: a n = a 1 + (n 1) d a n = 5 + 3(n 1) = 5 + 3n 3 = 2 + 3n n (5 + 2 + 3n) > 390 / 2 2 (7 + 3n)n > 780 3n 2 + 7n 780 > 0 Určíme nulové body výrazu 3n 2 + 7n 780. n 1,2 = 7 ± 72 + 4 3 780 = 7 ± 97 n 2 3 6 1 = 104 n 6 2 = 15 Řešením nerovnice jsou tedy n N, pro něž platí n >15. Minimální počet členů je tedy 16. Řešení: 16 7.2 Pro určitý člen a n této posloupnosti platí: 3a n 1 + 2a n + 1 = 157. Určete hodnotu takového členu a n. Zadání úlohy odpovídá následující rovnice. 3a n 1 + 2a n + 1 = 157 3(a n d) + 2(a n + d) = 157 Pro a 1 = 5, d = 3 platí: 3(a n 3) + 2(a n + 3) = 157 5a n 3 = 157 5a n = 160 a n = 32 Hledaný člen je a n = 32. Řešení: a n = 32 Maturita z matematiky 01 11
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Třídní učitel kontroluje seznam žáků a jejich předběžné přihlášky k maturitní zkoušce. Ve třídě si jako druhý maturitní předmět v rámci profilové zkoušky zvolí 12 žáků matematiku, 5 žáků dějepis, 6 žáků biologii a 5 žáků chemii. U studenta Novotného a studentky Hůlkové ale třídnímu učiteli chybí údaje. Ten si je ale jist, že ze všech žáků třídy si pětina vybrala dějepis, že student Novotný nematuruje z dějepisu, a dokonce si vzpomíná, že student Novotný říkal: Kdyby nám do třídy přišli ještě dva studenti a maturovali z téhož předmětu jako já, tak by z toho předmětu maturovala čtvrtina celé třídy. max. 4 body 8 8.1 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky studentka Hůlková? Dle zadání chce v druhém profilovém předmětu maturovat 12 žáků z matematiky, 5 žáků z dějepisu, 6 žáků z biologie a 5 žáků z chemie. U dvou žáků údaje chybí. To znamená, že ve třídě je 30 žáků. Aby byla splněna podmínka, že pětina žáků maturuje z dějepisu, musí z dějepisu maturovat 6 žáků. Jeden z chybějících žáků tedy musí maturovat z dějepisu. Ten druhý ovšem nikoliv. Protože student Novotný z dějepisu maturovat nechce, musí z něj maturovat studentka Hůlková. Řešení: dějepis 8.2 Jaký předmět si chce jako druhý zvolit v profilové části maturitní zkoušky student Novotný? Protože student Novotný tvrdí, že kdyby ve třídě bylo 32 žáků, pak by čtvrtina maturovala z jednoho předmětu, musíme porovnat poměr počtu žáků v jednotlivých možných variantách: Pokud by student Novotný maturoval z matematiky, šlo by o poměr 15 : 32. Pokud by student Novotný maturoval z biologie, šlo by o poměr 9 : 32. Pokud by student Novotný maturoval z chemie, šlo by o poměr 8 : 32. Z toho vyplývá, že student Novotný maturoval z chemie. Řešení: chemie 12 Maturita z matematiky 01
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány body A [ 2; 3], B [0; 3], C [3; 5]. 9 9.1 Určete souřadnici y bodu P [3; y] tak, aby bod P ležel na přímce AB. max. 3 body Určíme rovnici přímky AB a dosazením bodu P určíme jeho y-ovou souřadnici. Určení přímky AB může být různé, zde ukážeme určení směrnicového tvaru rovnice, které je nejrychlejší, byť méně používané. y = [ 3 3 0 ( 2) ] x 3 y = 6 2 x 3 y = 3x 3 Nyní dosadíme bod P [3; y]: y = 3 3 3 y = 9 3 y = 12 Řešení: y = 12 9.2 Určete bod D v rovině tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. Pro bod D musí platit: D = C + BA D = [3; 5] + ( 2 0; 3 ( 3)) D = [3 2; 5 + 6] D = [1; 11] Hledaným bodem je D [1; 11]. Řešení: D [1; 11] VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Nádrž na vodu má tvar kolmého hranolu se čtvercovou podstavou, ve kterém je poměr obsahů podstavy a boční stěny 3 : 4. Objem hranolu je 288 m 3. Maturita z matematiky 01 13
10 10.1 Jaký je obsah čtvercového dna nádrže? A) 12 m 2 B) 16 m 2 C) 32 m 2 D) 36 m 2 E) 64 m 2 4 body Označíme a hranu podstavy a v jeho výšku, potom dle zadání platí: a 2 = 3 v = 4 a. av 4 3 Dle zadání je objem hranolu 288 cm 3. 288 = a 2 v 288 = 4a3 3 a 3 = 216 a = 6 m v = 8 m Dopočteme povrch P dna nádrže (obsah podstavy hranolu). P = a 2 P = 36 m 2 Řešení: D 10.2 O kolik cm klesne výška vody v nádrži, ubyde-li v nádrži 144 hl vody? A) 5 cm B) 7,6 cm C) 40 cm D) 50 cm E) 76 cm Lze použít více postupů řešení: 1. způsob: Ubude-li 14,4 m 3 vody, klesne hladina o x metrů. Využijeme-li předchozího výsledku, platí: 14,4 = 36x x = 0,4 m 2. způsob: 144 hl vody představuje 14,4 m 3. V nádrži tedy bude 273,6 m 3 vody. Voda zabírá 0,95 % objemu nádrže. Voda musí sahat do 95 % původní výšky. Výška se sníží o 5 %. 0,05 8 = 0,4 m = 40 cm Výška klesne o 40 cm. Řešení: C 14 Maturita z matematiky 01
2 body 11 Pro která reálná čísla p platí, že funkce f: y = ( p 2 3 p ) x je rostoucí exponenciální funkcí? A) p ( ; 2) B) p (2; 3) C) p ( 5 2 ; 3 ) D) p ( 5 2 ; + ) E) p (3; + ) Má-li být funkce f rostoucí exponenciální funkcí, musí pro její základ platit: p 2 3 p > 1 Nerovnici vyřešíme: p 2 3 p > 1 / 1 p 2 3 p 1 > 0 p 2 (3 p) > 0 3 p 2p 5 > 0 3 p p ( 5 2 ; 3 ) Řešení: C Maturita z matematiky 01 15
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 12 Je dána kvadratická funkce f (viz obrázek). 12 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1 12.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 12.1 Funkce f je sudá. 12.2 Funkce f má předpis f: y = x 2 2x 15. 12.3 Funkce f má předpis f: y = (x 1) 2. 12.4 Funkce f je kladná pro každé x > 0. Graf funkce f všechny klíčové vlastnosti ukazuje. Funkce f sudá není, neboť její graf není osově souměrný podle osy y. Tvrzení 12.1 není pravdivé. Protože funkce f protíná osu x v bodech 3 a 5, platí, že: y = a(x 5)(x + 3). Dosadíme minimum [1; 16] a určíme hodnotu kvadratického koeficientu a: 16 = a(1 5)(1 + 3) 16 = a ( 4) 4 a = 1 16 Maturita z matematiky 01
Předpis kvadratické funkce f je f : y = (x 5)(x + 3), což po roznásobení závorek dá předpis: f : y = x 2 2x 15. Tvrzení 12.2 je pravdivé. Trojčlen x 2 2x 15 vylučuje možnost, že by předpisem byl předpis f : y = f : y = = x 2 + 2x + 1 = (x 1) 2. Tvrzení 12.3 není pravdivé. Funkce je kladná pro ta x, jimž odpovídající y jsou kladná. Jinak řečeno, kdy graf funkce leží nad souřadnicovou osou x. Jedná se o x ( ; 3) (5; ). Pro kladná x (0; 5) funkce f není kladná. Tvrzení 12.4 není pravdivé. KONEC TESTU Řešení: NE, ANO, NE, NE Maturita z matematiky 01 17
18 Maturita z matematiky 01
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 9 jsou otevřené. 3) Úlohy 10 12 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 D = 9 2 C = 1 3 max. 4 body 12 hodin 15 hodin 4 0 5 max. 4 body 5.1 6 bodů 5.2 S = 49,5 cm 2 6 1 7 max. 4 body n = 16 a n = 32 8 max. 4 body dějepis chemie 9 max. 3 body 9.1 y = 12 9.2 D [1, 11] 10 max. 4 body 10.1 D 10.2 C 11 C 2 body Maturita z matematiky 01 19
12 12.1 NE 12.2 ANO 12.3 NE 12.4 NE 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky 01
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 9 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 10 12 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 2 3 max. 4 body 4 5 max. 4 body 5.1 5.2 6 7 max. 4 body 8 max. 4 body 9 max. 3 body 9.1 9.2 10 max. 4 body 10.1 10.2 11 2 body Maturita z matematiky 01 21
12 12.1 12.2 12.3 12.4 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 22 Maturita z matematiky 01