svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu větu K.F.Gauss 777 855 převádějící plošný integrál na integrál trojný, Greenovu větu G.Green 793-84 vyjadřující křivkový integrál pomocí integrálu dvojného, a konečně Stokesovu větu G.G.Stokes 89-93 dávající do souvislosti integrál plošný a křivkový. Kromě pohodlné metody výpočtu, kterou tyto integrální věty nabízejí, mají zásadní teoretický význam v přírodních vědách, především pak v teorii pole. Pro svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny z nejkrásnějších výsledků klasické matematické analýzy. Gaussova věta Gaussova věta dává do vztahu objemový a plošný integrál. Představme si základní těleso P v prostoru R 3, jehož hranicí je uzavřená plocha M. Je-li tato oblast umístěna v proudící kapalině, pak očekáváme, že tok kapaliny přes hranici tedy plošný integrál přes plochu M souvisí se změnou celkového množství kapaliny v oblasti P tedy s trojrozměrným integrálem přes oblast P. Podobnou souvislost vyjadřuje i Archimédův zákon: Hydrostatická síla působící na povrch ponořeného tělesa tj. plošný integrál přes jeho povrch je rovna tíze tělesa, tedy násobku objemu trojrozměrnému integrálu. Analogických vztahů mezi povrchovými a objemovými charakteristikami lze najít v přírodních vědách mnoho. Jejich matematickým vyjádřením je Gaussova věta. V její formulaci se vyskytuje diferenciální operátor divergence. Je-li F vektorové pole třídy C na otevřené množině G R n, pak jeho divergence je skalární funkce div F F x + F 2 x 2 + + F n x n. Druhý pojem, který potřebujeme, je hranice a vnitřek množiny G. Definice.. Nechť G R n je množina. Hranicí G množiny G nazveme množinu { } G x R n pro každé okolí U bodu x platí U G a U \ G. Vnitřek množiny G je G \ G. 6

62 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Definice hranice je zcela přirozená, neboť bod hranice je takový v jehož libovolně malém okolí leží jak body z G tak i z doplňku R n \ G, viz. [, Kapitola ]. Věta.2. Gaussova věta. Nechť P R 3 je základní těleso, jehož hranice P je plocha orientovaná vnějším normálovým polem. Je-li F vektorové pole třídy C na P, pak. div F F. P Důkaz. Větu budeme dokazovat pouze pro takové základní těleso P, které leží mezi dvěma grafy funkcí a to nejen z pohledu roviny xy ale také z pohledu rovin xz a yz. Tj. { } P x, y, z x, y D f x, y z f 2 x, y { } x, y, z x, z D 2 g x, z y g 2 x, z 2 { } x, y, z y, z D 3 h y, z x h 2 y, z, 3 kde D resp. D 2 a D 3 jsou projekce tělesa P na rovinu xy resp. xz a yz. Tato tělesa představují poměrně širokou třídu množin. Např. koule, elipsoid, kvádr a každé konvexní těleso je tohoto typu. Nechť F je vektorové pole třídy C na P. Začneme s výpočtem trojného integrálu: P div F P F x + F 2 + F 3 z P P F x + P F 2 + P F 3 z. V každém z posledních tří integrálů použijeme vyjádření množiny P, které se pro daný integrál nejvíce hodí. Pro první to je 3, pro druhý 2 a pro třetí :.2 D 3 h 2y,z h y,z F x dx + D 2 g 2x,z g x,z F 2 dy + D f 2x,y f x,y F 3 z dz F h 2 y, z, y, z F h y, z, y, z + F2 x, g 2 x, z, z F 2 x, g x, z, z D 3 D 2 + F3 x, y, f 2 x, y F 3 x, y, f x, y. Podívejme se například na poslední integrál. Ten si lze dále představit jako.3 D D,, F 3 x, y, f 2 x, y f 2 x, f 2, + D f,, F 3 x, y, f x, y x, f,

. GAUSSOVA VĚTA 63 Protože f 2 x, f 2, je vnější normálové pole ke grafu funkce f 2, který omezuje P shora, je první integrál tok vektorového pole,, F 3 touto horní plochou. Podobně f x, f 2, je vnější normála ke grafu f, který omezuje P zdola a tak druhý integrál je tok pole,, F 3 dolní plochou omezující těleso P. Protože pole,, F 3 je rovnoběžné s osou z, je tok pole,, F 3 bočními stěnami tělesa P automaticky nulový. Zjistili jsme tak, že výraz.3 je tok pole,, F 3 celou hranicí P. Můžeme tedy poslední integrál v.2 nahradit takto D F 3 x, y, f 2 x, y F 3 x, y, f x, y P,, F 3. Zcela stejné úvahy jen se zaměněnými rolemi proměnných x, y a z vedou k závěrům F 2 x, g 2 x, z, z F 2 x, g x, z, z, F 2, D 2 F h 2 y, z, y, z F h y, z, y, z P F,,. D P S uvážením těchto faktů se výraz.2 rovná F,, +, F 2, +,, F 3 P P P F,, +, F 2, +,, F 3 F, F 2, F 3 F. P P P Příklad.3. Nechť F x, y, z x i + 2y j + 3z k. Určete M F d S, kde M je povrch krychle, a, a, a orientovaný vnějším normálovým polem. Použitím Gaussovy věty dostáváme téměř okamžitě M F ds div F,a 3 a a a 6 dx dy dz 6a 3. Příklad.4. Určete tok elektrostatického pole F x, y, z Q rx, y, z, x, y, z,,, 4πε rx, y, z 3 kde rx, y, z x, y, z, přes libovolnou uzavřenou plochu M orientovanou vnějším normálovým polem a obklopující počátek. Nechť G je omezená oblast, jejíž hranicí je plocha M. Jednoduchým výpočtem dostaneme, že div F x, y, z, x, y, z,,.

64 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Vzhledem k tomu, že pole F není definováno v počátku, nemůžeme Gaussovu větu použít přímo. Kolem počátku však opíšeme uzavřenou kouli K o poloměru, řekněme ε, která je celá obsažena v oblasti G. V oblasti G \ K je pak pole F diferencovatelné a jeho divergence je nulová. Hranicí oblasti G \ K však zase není uzavřená plocha, skládá se z původní uzavřené plochy G a z hranice K koule K. Splnění všech podmínek Gaussovy věty lze dosáhnout např. protnutím množiny G \ K rovinou σ procházející počátkem. Ta nám G \ K rozdělí na dvě části G ležící nad rovinou a G 2 ležící pod rovinou, viz. obr... G G σ K G 2 Obr... Hranice G a G 2 oblastí G a G 2 jsou tvořeny částmi původní plochy M, roviny σ a povrchu koule K. Podle Gaussovy věty pak dostaneme F div F G G F div F. G 2 G 2 Sečtením dostaneme.4 F + F. G G 2 Podívejme se blíže na součet těchto integrálů. Integrály přes části hranice ležící na rovině σ mají opačné znaménko a proto se vyruší. Vnější normály oblastí G a G 2 na části kulové plochy splývají s vnitřní normálou kulové plochy K. Tedy G F + G 2 F M F K F. S pomocí.4 máme F F. M K

. GAUSSOVA VĚTA 65 V příkladu.8 jsme už poslední integrál počítali, viz..3. Použijeme ho a dostaneme, že tok F Q 4 π Q. 4 π ε ε K Tok elektrostatického pole přes libovolnou uzavřenou plochu obsahující počátek ve své vnitřní oblasti je roven Q ε. Poznámka.5. V předchozím příkladě jsme ukázali modifikaci Gaussovy věty pro oblasti, které jsou ohraničeny dvěma uzavřenými plochami M a M 2, přičemž menší oblast s hranicí M je částí větší oblasti s hranicí M 2. Ve schodě s předchozím postupem vždy platí, že F F div F, M 2 M kde M a M 2 jsou plochy orientované vnějším normálovým polem. G Příklad.6. Na základě Pascalova zákona odvoďte zákon Archimédův. Budeme předpokládat, že těleso G R 3 má za hranici orientovanou plochu G. Dále se dohodneme, že hladina kapaliny o hustotě ρ je rovina xy. Nechť je těleso G ponořeno do kapaliny, tj. G {x, y, z z }. Podle Pascalova zákona je hydrostatická síla F působící na oblast G dána plošnými integrály F ρ g M z n ds, ρ g M z n 2 ds, ρ g M z n 3 ds, kde n n, n 2, n 3 je vnitřní jednotkové normálové pole plochy G. Gaussovu věta dává F ρ g z n ds ρ g z i ds ρ g divz i, a konečně, G F 2 ϱ g G F 3 ϱ g G z n 2 ds ρ g M ρ g G G z n 3 ds ρ g G z j ds ρ g G divz k ϱ g G z k d S G ρ objemg. divz j, Celkově F,, ρ g objemg. Slovy: síla působící na ponořené těleso je rovna tíze kapaliny mající stejný objem jako původní těleso.

66 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Fyzikální interpretace divergence Pomocí Gaussovy věty je možno dát matematicky definovanému operátoru divergence jasný fyzikální význam. Rovnice F div F, G říká, že objemový integrál divergence je roven toku přes hranici oblasti. Můžeme proto divergenci chápat jako hustotu zdrojů pole F. Přesněji je tato souvislost vyjádřena v následujícím tvrzení: Tvrzení.7. Nechť F je vektorové pole spojitě diferencovatelné v jistém okolí bodu x, y, z. Označme symbolem Kϱ uzavřenou kouli se středem v bodě x, y, z a poloměrem ϱ >. Nechť Kϱ je její hranice orientovaná vnějším normálovým polem. Pak.5 div F Kϱ F x, y, z lim ϱ + objemkϱ. G Důkaz. Budeme odhadovat rozdíl objem Kϱ K F div F x, y, z. Podle Gaussovy věty víme, že K F K div F. Dále, objemkϱ 4 3 πϱ3. Takže zkoumaný rozdíl má tvar.6 3 4 π ϱ 3 div F div F x, y, z. Kϱ Protože div F x, y, z je konstanta, upravíme si ji na tvar div F x, y, z div F Kϱ x, y, z 4 3 π 3 ϱ3 4 π ϱ 3 Kϱ div F x, y, z. Užíváme důležitého vztahu, že M objemm! Nyní má rozdíl.6 tvar.7 3 4 π ϱ 3 3 4 π ϱ 3 V ϱ Kϱ div F 3 4 π ϱ 3 Kϱ div F x, y, z div F div F x, y, z 3 4 π ϱ 3 Kϱ div F div F x, y, z. Protože div F je spojitou funkcí, platí že div F x, y, z div F x, y, z < ε pro x, y, z z malého okolí bodu x, y, z. Je-li poloměr ϱ koule Kϱ dostatečně malý, pak výše

. GAUSSOVA VĚTA 67 zmíněná podmínka nastane a v posledním integrálu v.7 integrujeme funkci v absolutní hodnotě nepřevyšující ε. Můžeme pokračovat v odhadu.7: 3 4 π ϱ 3 ε 3 4 π ϱ 3 ε objemkϱ ε. Kϱ Podle definice limity jsme dokázali lim ϱ + objemkϱ K F ds div F x, y, z, což je přesně rovnost.5. Reprezentuje-li F jako vektorové pole rychlostí dané kapaliny, pak podíl Kϱ F ds objemkϱ můžeme chápat jako poměr mezi průtokem povrchem koule a jejím objemem. Divergence div F x, y, z pak udává tendenci tohoto poměru zmenšuje-li se poloměr k nule. Jinými slovy, pro malé okolí bodu x, y, z je průtok tímto okolím přibližně roven součinu divergence div F x, y, z a jeho objemu. Je-li dále div F x, y, z > převládá tok směrem od bodu x, y, z. V tomto případě nazýváme bod x, y, z zřídlem. Je-li na druhé straně div F x, y, z <, je celková bilance proudění v blízkosti bodu x, y, z záporná. V teorii proudění se takovýto bod nazývá norou negativním zřídlem. Je-li div F x, y, z v jisté oblasti G, pak je z Gaussovy věty tok přes každou uzavřenou plochu v oblasti G nulový. Podle vztahu.5 platí i opačné tvrzení. Rovnice div F tedy popisuje ustálené proudění. Z těchto důvodů se vektorové pole s nulovou divergencí nazývá nezřídlové. Příkladem nezřídlového pole je magnetické pole B, které není na rozdíl od pole elektrostatického vytvářeno nábojem. Matematickou formulací tohoto fyzikálního zákona je jedna z Maxwellových rovnic div B. Na závěr tohoto odstavce se budeme krátce věnovat fyzikálnímu významu Laplaceova operátoru. Připomeňme, že má-li funkce f spojitě diferencovatelné derivace druhého řádu na oblasti G R 3, pak Laplaceův operátor f je definován vztahem f 2 f x 2 + 2 f 2 + 2 f z 2. Představme si nyní, že vektorové pole F je dáno největším spádem funkce f, tedy nechť F grad f. Tomuto typu pole se budeme podrobně věnovat v následující kapitole. V tomto případě je div F f div x, f, f 2 f z x 2 + 2 f 2 + 2 f z 2 f. Laplaceův operátor tedy můžeme chápat jako hustotu zdrojů pole F tok pole F každou oblastí K v oblasti G je roven integrálu K f.

68 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Na základě dřívějších úvah můžeme odvodit rovnici pro ustálené tepelné proudění. Uvažujme oblast G v prostoru R 3. Nechť fx, y, z je teplota v bodě x, y, z G. K vyrovnání teplot tepelnému proudění v různých bodech oblasti G dochází vždy ve směru největšího teplotního rozdílu, tedy ve směru gradientu funkce f. Jinak řečeno, tepelné proudění je dáno vektorovým polem F grad f. Jestliže v oblasti G nastal stav tepelné rovnováhy, pak tepelný tok přes každou uzavřenou plochu je nulový. Znamená to, že div F, a tedy, jak jsme si právě uvědomili, tato podmínka je ekvivalentní s rovnicí f. Studiem těchto rovnic se zabývá důležitá oblast matematické analýzy harmonická analýza. 2 Greenova věta Greenova věta vyjadřuje vztah mezi křivkovým integrálem vektorového pole vzhledem k hranici rovinné oblasti a dvojrozměrným integrálem přes tuto oblast. Před formulací věty si musíme říci, co rozumíme kladnou orientací uzavřené jednoduché křivky v rovině vzhledem k množině. Nechť T R 2 je základní oblast. Pak její hranice T je uzavřená jednoduchá křivka. Řekneme, že T je kladně orientovaná vzhledem k T, jestliže při procházení hranice ve směru parametrizace máme množinu T nalevo. Věta.8. Greenova věta. Nechť T R 2 je základní oblast, jejíž hranice T je kladně orientovaná vzhledem k T. Nechť F F, F 2 je vektorové pole třídy C na T. Pak platí F2.8 F x F. T T Důkaz. Důkaz Greenovy věty je založen na aplikaci věty Gaussovy. Definujme nejdříve oblast Q T, v prostoru R 3, která je zobecněným válcem s půdorysem T a výškou, viz. obr..2. z Q y x T Obr..2. Označíme si pomocné vektorové pole Hx, y, z F 2 x, y, F x, y,. To je vektorové pole třídy C na Q. Nechť Q je hranice oblasti Q orientovaná vnějším normálovým polem. Podle Gaussovy věty máme.9 H div H. Q Q T

2. GREENOVA VĚTA 69 Prozkoumáme obě strany této rovnice. Začneme s pravou stranou. Rozepsáním trojného integrálu dostaneme. Q div H Q F2 x F T F2 x F dz T F2 x F, neboť F 2 x F nezávisí na z. Podívejme se nyní na plošný integrál v rovnosti.9. Hranice Q je sjednocením tří ploch dolní podstavy, tj. množiny {x, y, x, y T }; horní podstavy, tj. množiny {x, y, x, y T } a pláště, tj. plochy P {x, y, z x, y T, z }. Vzhledem k tomu, že vektorové pole H je rovnoběžné s rovinou xy, je skalární součin tohoto pole s jednotkovým normálovým polem na horní a dolní podstavě nulový. Celý tok se tak realizuje na plášti: H H H n, Q P P kde n je vnější normálové pole. Označme τ τ, τ 2 jednotkové tečné pole ke křivce T souhlasné s její orientací. Vnější normála v tomtéž bodě pak má souřadnice τ 2, τ. Odtud ihned plyne, že vnější jednotková normála k plášti P má tvar n τ 2, τ,. Takže. H n F 2, F, τ 2, τ, F τ + F 2 τ 2 P P T P F τ + F 2 τ 2 dz T F τ Využili jsme toho, že ani pole F ani parametrizace křivky T nezávisí na z tové souřadnici. Tato rovnost spolu s. dává dokazované tvrzení. T F. Příklad.9. Pomocí Greenovy věty určete integrál y 3 + ln x dx + x 3 + y 2 dy, kde je kladně orientovaná hranice oblasti T R 2 dané nerovnostmi x 2 + y 2 6, x y 3x. V daném případě je výpočet pomocí Greenovy věty jednodušší než přímý výpočet zadaného křivkového integrálu. Platí totiž y 3 + ln x dx + x 3 + y 2 dy 3x 2 + 3y 2. T

7 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Výpočtem v polárních souřadnicích pak máme T je část kruhové výseče G 3x 2 + 3y 2 3 π/3 4 π/4 π ϱ 3 dϱ 3 3 π 4 [ ϱ 4 4 ] 4 255 6 π. Greenova věta má podobný význam pro teorii rovinného pole jako Gaussova věta pro teorii pole prostorového. Podobně jako v dřívějším výkladu tak můžeme dát fyzikální význam divergenci rovinného pole vydatnost zdrojů rovinného proudění i Laplaceově operátoru funkce dvou proměnných. 3 Stokesova věta Greenovu větu je možno chápat jako vztah mezi křivkovým integrálem přes kraj tj. hranici rovinné plochy a plošným integrálem přes tuto rovinnou plochu. V řadě důležitých aplikací je nutno uvažovat obecnější situaci, ve které je rovinná plocha vyzdvižena do trojrozměrného prostoru a deformována. Toto křivočaré zobecnění Greenovy věty je věta Stokesova. K její formulaci budeme potřebovat pojem rotace vektorového pole. Definice.. Nechť F F, F 2, F 3 je vektorové pole třídy C v otevřené množině G R 3. Rotací vektorového pole rozumíme vektorové pole definované v G, k jehož označení používáme symbol rot F, definované rovností rot F F3 F 2 z, F z F 3 x, F 2 x F Méně korektně, ale přehledněji můžeme rotaci pole F chápat jako symbolický vektorový součin formálního diferenciálního operátoru x,, z a pole F F, F 2, F 3. Použijeme-li k výpočtu tohoto součinu symbolický determinant, dostáváme následující mnemotechnickou pomůcku rot F x z F F 2 F 3 i j k. Příklad.. i Nechť F x, y, z y 2 + z 2, x 2 + z 2, x 2 + y 2. Pak rot F x z y 2 + z 2 x 2 + z 2 x 2 + y 2 i j k 2y 2z i + 2z 2x j + 2x 2y k. ii Je-li F x, y, z F x, y, F 2 x, y,, kde F a F 2 jsou spojitě diferencovatelné v oblasti D R 2, pak rot F x z F x, y F 2 x, y i j k F2 x F k. Všimněme si, že rotace tohoto, ve své podstatě rovinného vektorového pole, je dána diferenciálním výrazem F 2, který se vyskytuje v Greenově větě. x F.

3. STOKESOVA VĚTA 7 Při formulaci Greenovy věty bylo důležité, že křivka C R 2 ohraničující rovinnou základní oblast T byla orientována kladně. Tento fakt můžeme vyjádřit ekvivalentně ve formě, která se více hodí pro zobecnění. Množinu T ležící v rovině xy můžeme orientovat pomocí jednotkového konstantního normálového pole k. Jestliže se pohybujeme po křivce C T v kladném smyslu a máme hlavu ve směru vektoru k pak při tomto pohybu máme oblast T vždy po levé ruce. Řekneme, že za těchto předpokladů je křivka C orientována souhlasně s orientovanou plochou T. Touto personifikací budeme definovat i souhlasnou orientaci kraje a plochy v obecném případě. Nechť M je orientovaná elementární plocha, jejíž kraj tvoří uzavřená, jednoduchá křivka C. Řekneme, že orientovaná plocha M a orientovaná křivka mají souhlasnou orientaci, jestliže plocha M je vždy po levé straně, za předpokladu, že se pohybujeme po křivce C ve smyslu její orientace a to tak, že hlava má směr normálového pole plochy M viz. obr..3. z n C M y x Obr..3. Uvedené vymezení pojmu souhlasná orientace není matematická definice v rigorózním slova smyslu, neboť se opírá o personifikovaný model. Méně personifikovaně bychom to mohli říci tak, že souhlasná orientace nastane, když tečný vektor τ a normálový n v každém bodě kraje KM jsou takové, že n τ generuje tečnou polopřímku k M. I tuto formulaci lze však matematicky precizovat do zcela exaktní podoby. Vzhledem k tomu, že přesná a méně názorná matematická definice nám v praktických situacích neřekne nic více než naše intuitivní představa, nebudeme ji uvádět. Pomocí výše uvedených pojmů se nyní Greenova věta pro rovinnou oblast T R 2 orientovanou normálovým polem k a se souhlasně orientovaným krajem T a pro vektorové pole F x, y, z F x, y, F 2 x, y, změní do tvaru: F rot F. T T Tento vztah nás vede ke Stokesově větě. Traduje se, že důkaz této věty zadal vynikající anglický matematik G.G.Stokes v roce 854 studentům, jako jeden z příkladů u zkoušky na Universitě v Cambridge. Myšlenka tohoto důkazu se totiž opírá o použití tehdy již dobře známé Greenovy věty. Méně známé je, že mu tento problém navrhl lord Kelvin. Autoři této učebnice však nebudou tak přísní a důkaz alespoň ve speciálním případě uvedou. Věta.2. Stokesova věta Nechť vektorové pole F je třídy C na otevřené množině obsahující elementární orientovanou plochu M. Předpokládejme, že kraj plochy M je uza-

72 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY vřená jednoduchá křivka C KM. Při souhlasné orientaci plochy M a křivky C platí.2 F rot F. M Důkaz. Nechť elementární plocha M je dána grafem funkce gx, y na základní oblasti T R 2. Dále budeme předpokládat, že g má spojité všechny parciální derivace druhého řádu na oblasti T, tj. je třídy C 2 na T. Nechť T je kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka, viz obr..4. z n M C y x T Obr..4. T Označíme si ϕt ϕ t, ϕ 2 t,, t a, b, parametrizaci křivky T. Liší se od ϕt ve třetí složce, která je zvednuta do správné výšky grafu funkce gx, y. Budeme-li předpokládat, že plocha M je orientována normálovým polem s kladnou složkou z, pak kraj plochy M bude s touto plochou souhlasně orientován, použijeme-li přirozenou parametrizaci ψt ϕ t, ϕ 2 t, gϕ t, ϕ 2 t, t a, b. Ta se liší od parametrizace ϕt ve třetí složce, neboť příslušný bod leží na ploše M. Podle definice je F F τ b F ψ ψ dt C b a b a a F ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ + F 2ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ 2 g + F 3 ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 x ϕ + g ϕ 2 dt [ F ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 + g ] x F 3ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ + [ + F 2 ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 + g ] F 3ϕ, ϕ 2, gϕ, ϕ 2 ϕ 2 dt.

3. STOKESOVA VĚTA 73 Zavedeme si nové rovinné vektorové pole G G, G 2 vztahy.3.4 G x, y F x, y, gx, y + g x F 3x, y, gx, y, G 2 x, y F 2 x, y, gx, y + g F 3x, y, gx, y. Pak poslední integrál se zjednoduší do tvaru b a G ϕ, ϕ 2 ϕ + G 2ϕ, ϕ 2 ϕ 2 dt T G τ T G. Takže zatím máme.5 F G. T Pro toto nové rovinné pole G použijeme Greenovu větu: G 2.6 G x G. T T Zbývá vyjádřit výraz za dvojným integrálem pomocí původního pole F. K tomu užijeme převodní vztahy.3 a.4. Odtud T G 2 x G T T F 2 x + F 2 g z x + 2 g x F 3 + g F3 x + F 3 g z x D F g z 2 g x F 3 g F3 x + F 3 g z F g x F3 F 2 z T g g x, g, T F z F 3 x + F2 x F F3 F 2 z, F z F 3 x, F 2 x F. V tomto tvaru již poznáváme vnější normálu n g x, g., Druhý člen je ovšem rotace pole F. Dostali jsme tak G 2.7 x G rot F x, y, gx, y nx, y, gx, y M rot F n M rot F. Spojení.5,.6 a.7 zakončuje důkaz.

74 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Na závěr si uvědomme, že máme-li dokázánu Stokesovu větu pro případ elementárních ploch daných grafy funkcí se spojitými derivacemi druhého řádu, můžeme tuto větu lehce dokázat i pro plochy, které mají rozklad na elementární plochy tohoto typu. Křivkové integrály přes společné části hranic dílčích ploch mají opačné znaménko, a tak sečtením rovností.2 platných pro všechny dílčí plochy získáme Stokesův vzorec i pro tento obecný případ. Příklad.3. Pomocí Stokesovy věty vypočítejte y dx + z dy + x dz, kde C je průnik kulové plochy o rovnici x 2 + y 2 + z 2 a roviny x + y + z. Křivka je orientována tak, že průmět do roviny xy se pohybuje v kladném smyslu. Pole, které se zde vyskytuje je F y, z, x. Křivka C je kružnice, která je okrajem kruhu M ležícího v rovině o rovnici x+y +z a mající střed v bodě 3, 3, 3. Z elemen- 2 3. Orientujeme-li tární analytické geometrie můžeme zjistit, že poloměr tohoto kruhu je M pomocí normálového pole nx, y, z 3,,, dostaneme podle Stokesovy věty F rot F rot F n M M M,,,, 3 3 3 M 3 2 3 π 2 3 π. Fyzikální význam rotace Stokesova věta vysvětluje fyzikální význam rotace vektorového pole. Předpokládejme, že pole F je spojitě diferencovatelné v nějakém okolí bodu x, y, z. Nechť Cϱ a Kϱ jsou kružnice a kruh se středem v bodě x, y, z a poloměrem ϱ >, které leží v pevně zvolené rovině σ. Nechť n je konstantní jednotkové normálové pole plochy Kϱ určující její orientaci. Předpokládejme dále, že Cϱ a Kϱ mají souhlasnou orientaci. Následující tvrzení dává analogii vztahu.5. Tvrzení.4. Při splnění výše uvedených předpokladů platí Cϱ F.8 lim ϱ + obsahkϱ rot F x, y, z n. Důkaz. Ze Stokesovy věty máme F rot F rot F n. Cϱ Kϱ Kϱ

4. CVIČENÍ 75 Podle Věty 9.6 existuje bod x ϱ, y ϱ, z ϱ Kϱ tak, že rot F n rot F x ϱ, y ϱ, z ϱ n obsahkϱ. Kϱ Tedy lim ϱ + Cϱ F obsahkϱ lim ϱ + rot F x ϱ, y ϱ, z ϱ n rot F x, y, z n. Interpretujeme-li integrál F jako práci pole F při pohybu po kružnici Cϱ, můžeme poměr v limitě rovnosti.8 chápat jako poměr mezi energií pohybu po dané křivce a obsahem oblasti, kterou křivka vymezuje. Skalární součin rot F x, y, z n tak na základě.8 vyjadřuje tendenci těchto poměrů pro poloměry konvergující k nule. Jeli ϱ malé, pak je práce pole po křivce Cϱ přibližně rovna součinu rot F n obsahkϱ. Hodnotu skalárního součinu n rot F x, y, z tak můžeme chápat jako míru vířivosti pole F v bodě x, y, z kolem osy dané vektorem n. Tato charakteristika bude v absolutní hodnotě největší, bude-li n násobkem vektoru rot F x, y, z a nejmenší, tj. nulová, budeli n vektor kolmý k vektoru rot F x, y, z. Vektor rotace tak udává směr osy největší vířivosti pole F. Volněji můžeme výsledky předchozích úvah demonstrovat následujícím příkladem. Představme si, že F je rychlostní pole proudící kapaliny, do které ponoříme lopatkový mlýnek. Pak energie mlýnku bude největší, nastavíme-li osu mlýnku ve směru rot F v daném bodě. Volíme-li naopak osu kolmou na vektor rotace, bude energie nulová. Vektorové pole, pro které platí, že rot F v každém bodě otevřené množiny G R 3, se nazývá nevírové. Takovéto vektorové pole má nulovou energii otáčení kolem jakékoliv osy. Těmito typy vektorových polí se budeme zabývat v následující kapitole. 4 Cvičení Úloha. Pomocí Gaussovy věty určete integrál x dy dz + y dz dx + z dx dy, M kde M je kulová plocha o rovnici x 2 +y 2 +z 2 a 2 orientovaná vnějším normálovým polem. Řešení. Jedná se o pole F x, y, z a jeho tok plochou M. Podle Gaussovy věty aplikované na kouli G se středem v počátku a poloměrem a máme x dy dz + y dz dx + z dx dy div F 3 4πa 3. M Tento příklad je typickou ukázkou použití Gaussovy věty - vektorové pole má konstantní divergenci a tedy hledaný integrál je roven součinu této divergence s objemem tělesa známým z elementární geometrie. G G

76 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Úloha. Určete tok pole F xz, xy, yz povrchem M válce daného nerovnostmi x 2 + y 2 9, z 8. Orientace je dána vnitřním normálovým polem. Řešení. Označíme-li symbolem V daný válec, pak M F V div F V z + x + y V z, neboť jsme využili nulovosti některých integrálů na základě symetrie dané oblasti. Výpočet můžeme pohodlně dokončit v cylindrických souřadnicích V 8 z 2π 3 3 ϱz dϱ dϕ dz 2π 8 ϱ dϱ z dz 288π. I v tomto případě bylo použití Gaussovy věty výhodné, neboť integraci polynomu stupně dva v proměnných x, y, z převedla na integraci polynomu stupně jedna. Úloha. Nechť G je základní oblast v prostoru R 3, jejíž hranicí je uzavřená plocha G. Ukažte, že pro objem V oblasti G platí V 3 G x dy dz + y dz dx + z dx dy, za předpokladu, že G je orientována vnějším normálovým polem. Řešení. Bezprostřední aplikací Gaussovy věty pro vektorové pole F 3 x, y, z získáváme x dy dz + y dz dx + z dx dy V. 3 G Úloha. Na základě předchozího příkladu určete objem V elipsoidu daného nerovností x 2 a 2 + y2 b 2 + z2, a, b, c >. c2 Řešení. Použijeme-li pro popis povrchu elipsoidu zobecněných sférických souřadnic, tzv. eliptických souřadnic, máme parametrizaci Φϕ, ϑ a cos ϕ cos ϑ, b sin ϕ cos ϑ, c sin ϑ kde ϕ, 2π, ϑ π/2, π/2. G

4. CVIČENÍ 77 Využitím vztahu.8 a předchozího příkladu máme V x dy dz + y dz dx + z dx dy 3 3 M 2π π/2 π/2 2π 3 abc abc cos 2 ϕ cos 3 ϑ + abc sin 2 ϕ cos 3 ϑ + abc cos ϑ sin 2 ϑ dϕ dϑ π/2 π/2 2 πabc [sin ϑ]π/2 3 π/2 4 3 πabc. cos 3 ϑ + sin 2 ϑ cos ϑ dϑ dϕ 2π 3 abc π/2 π/2 cos ϑ dϑ Úloha. Podle Gaussovy věty z elektrostatiky platí pro vektor intenzity E elektrostatického pole a objemovou hustotu náboje ρ vztah.9 E ρ, ε T kde T je základní těleso v R 3, jehož hranicí T je uzavřená plocha orientovaná vnějším normálovým polem. Tento vzorec je vlastně spojitou verzí diskrétního případu z Příkladu.8. Odvoďte diferenciální podobu tohoto zákona. Řešení. Předpokládejme, že E je vektorové pole třídy C v jisté otevřené množině G R 3 a ρ je funkce spojitá v G. Zvolme bod x, y, z G. Pro libovolnou kouli Kr G se středem v bodě x, y, z a poloměrem r, jejíž hranice Kr je orientována vnějším normálovým polem, platí podle Gaussovy věty Ex, y, z div Ex, y, z. T Kr Kr Z.9 dostaneme Kr div Ex, y, z ρx, y, z. ε Protože uvedená identita platí pro každé r > dostatečně malé, musí být funkce div E ρ ε vzhledem ke své spojitosti nulová. Hledanou ekvivalentní podobou uvedené integrální rovnice je tedy vztah div Ex, y, z ρx, y, z ε pro všechna x, y, z G. Na podobném principu je založeno i odvození ostatních Maxwellových rovnic.

78 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY Úloha. Pomocí Greenovy věty vypočtěte následující křivkové integrály i 3x xy y 3 dx 2xy x 2 dy, kde C je kladně orientovaná hranice čtverce,,. ii e x cos y dx e x y sin y dy, D kde hranice D oblasti D {x, y x, π, y sin x} je kladně orientovaná. Řešení. i 3x xy y 3 dx 2xy x 2 dy [2x 2y x 3y 2 ] 3x 2y + 3y 2 3 2. ii e x cos y dx e x y sin y dy D D e x sin y y e x sin y π sin x e x y dy dx 2 D π e x y e x sin 2 x dx 5 eπ. Všimněme si, že v příkladě i bylo použití Greenovy věty výhodné, zatímco v případě ii dokonce nezbytné. Zkuste začít výpočet integrálu v ii přímou metodou. Úloha. Ukažte, že je-li C jednoduchá uzavřená křivka v R 2, pak obsah P omezené oblasti v R 2 s kladně orientovanou hranicí je možno vyjádřit pomocí následujících křivkových integrálů.2 P x dy,.2 P y dx,.22 P y dx + x dy. 2

4. CVIČENÍ 79 Vypočtěte pomocí těchto vztahů obsah rovinného útvaru omezeného osou x a částí cykloidy ϕt at a sin t, a a cos t, a >, t, 2π. Řešení. Zvolíme např..2. Vektorové pole, o které se v integrálu jedná, je F, x. Pak F 2 x F a dle Greenovy věty x dy dx dy P, D kde D je vnitřní oblast křivky C. Ostatní vztahy se dokáží zcela analogicky volbami F y, a F y 2, x 2. Pro výpočet druhé části příkladu je nejvýhodnější použít vzorec P x dy. Hranice se totiž skládá z oblouku cykloidy a intervalu na ose x. Přes úsek na ose x je však daný křivkový integrál nulový. Získáme takto P 3πa 2. x dy 2π at sin ta sin t dt a 2 Úloha. Pomocí Stokesovy věty určete integrál x + y dx + 2 + x dy + x + y dz, kde křivka C je dána vztahy x 2 + y 2 2y, y z. 2π t sin t sin 2 t dt Orientace je definována tak, že průmět bodu do roviny xy se pohybuje v kladném smyslu. Návod: Při výpočtu použijte vztah pro obsah plochy omezené elipsou. Řešení. Křivka C je elipsa, která je průnikem válcové plochy o rovnici x 2 +y 2 s rovinou o rovnici y z. Pro vektorové pole F x + y, 2 + x, x + y máme rot F x z x + y 2 + x x + y i j k i j,,. Křivku C můžeme chápat jako okraj rovinného elipsoidu M ležícího v rovině dané rovnicí y z. Souhlasné orientace dosáhneme, orientujeme-li plochu konstantním normálovým polem,, nx, y, z. 2 Na základě elementární geometrie je možno stanovit, že elipsa má poloosy a 2 a tedy obsah příslušného elipsoidu je π 2. Nakreslete si průmět do roviny yz! Bezprostřední

8 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY aplikací Stokesovy věty pak máme x + y dx + 2 + x dy + x + y dz,, d S,, M M,, 2 ds M ds π 2 π. 2 2 Uvedený příklad je typickou situací pro použití Stokesovy věty rotace integrovaného vektorového pole je konstantní, plocha má konstantní normálové pole tj. leží v jedné rovině a má obsah známý z elementární geometrie. V tomto případě je výsledek v absolutní hodnotě roven součinu obsahu dané plochy s hodnotou skalárního součinu rotace zadaného pole a pole normálového. Úloha. Určete F, kde F y i + x z 2 sin y j + z 3 + 2z cos y k a křivka C je průnikem dvou kolmých válcových ploch popsaným vztahy x 2 + y 2, x 2 + z 2, z. Znázorněte si zadání obrázkem! Křivka C je orientována tak, že průmět do roviny xy se pohybuje v kladném smyslu. Řešení: Křivka C je okrajem plochy M, kterou je možno popsat jako graf funkce fx, y x 2 definované v kruhu D daného nerovností x 2 + y 2. Pro rotaci vektorového pole F platí Vnější normála je n Stokesovy věty dostaneme F rot F x z y x z 2 sin y z 3 + 2z cos y i j k 2 k. f x, f, M D 2 k x x 2,, x i x 2 + k. Standardním použitím D 2 2π. 2 x k + x 2 i k Úloha: Určete y 2 + z 2 dx + x 2 + z 2 dy + x 2 + y 2 dz, kde C je průnik kulové plochy o rovnici x 2 + y 2 + z 2 2bx a válce o rovnici x 2 + y 2 2ax, < a < b, z. Orientace je dána kladnou orientací průmětu do roviny xy.

4. CVIČENÍ 8 Řešení. Křivka C je krajem plochy M, která je průnikem povrchu koule se středem v bodě b,, a poloměrem b s válcem se středem v bodě a,, a poloměrem a. Pro rotaci zadaného vektorového pole máme rot F x z y 2 + z 2 x 2 + z 2 x 2 + y 2 i j k 2y z, z x, x y. Pomocí Stokesovy věty dostaneme F d s 2 y z, z x, x y d S. M Jelikož plocha M je grafem funkce gx, y 2bx x 2 y 2, jejímž definičním oborem je kruh D {x, y x a 2 + y 2 a 2 }, je normálové pole indukované kartézskou parametrizací a přitom souhlasné se zadanou orientací x b nx, y, z 2bx x 2 y, y 2 2bx x 2 y,. 2 Zřejmě 2 y z, z x, x y ds M 2 D y 2bx x 2 y 2 x b 2bx x 2 y 2 x y + + x y 2bx x 2 y 2 2bx x 2 y 2 2b D V posledním kroku jsme díky symetrii položili rovnou D y 2b 2bx x 2 y 2 D y 2bx x 2 y 2. 2bπa 2. Úloha. Pro stacionární pole magnetické indukce B a hustotu elektrického proudu i v dané oblasti platí c 2 B d s i ds, ε kde c je rychlost světla Faradayův zákon. Předpokládá se při tom, že C a M jsou libovolná křivka a plocha v dané oblasti, které splňují předpoklady Stokesovy věty. Odvoďte diferenciální podobu tohoto zákona. Řešení. Při obvyklých předpokladech na spojitost vektorových polí B a i v dané otevřené množině G R 3 máme podle Stokesovy věty B d s c 2 rot B ds, c 2 M Cϱ Sϱ

82 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY pro jakýkoliv kruh Sϱ G se středem v pevně zvoleném bodě x, y, z a poloměrem ϱ > a pro jeho kraj Cϱ. Jinými slovy c 2 rot B i ds ε Sϱ pro malé každé ϱ >. Stejnou úvahou jakou jsme použili již výše máme c 2 rot B i n, ε kde n je normálový vektor plochy Sϱ. Protože n i bod x, y, z lze volit libovolně máme c 2 rot B i ε, což je hledaná diferenciální rovnice ekvivalentní Faradayově zákonu. Úloha. Nechť F je vektorové pole třídy C v R 3. Ukažte, že S rot F pro jakoukoliv kulovou plochu S. Řešení. Rozdělme danou sféru S na severní a jižní polokouli S a S 2 s příslušnými orientacemi pomocí vnější normály. Nechť R je rovník orientovaný souhlasně s polosférou S. Podle Stokesovy věty je rot F F a rot F F. S R S 2 R Sečtením těchto rovností dostaneme rot F F F. S R R Úloha. Nechť F je vektorové pole spojitě diferencovatelné v otevřené množině G R 3. Pomocí integrálních vět tj. bez přímého výpočtu ukažte, že div rot F. Řešení. Podle předchozího příkladu je S rot F, kde S G je libovolná kulová plocha. Z Gaussovy věty plyne div rot F, pro každou kouli K v oblasti G. To implikuje, že div rot F v G. K

4. CVIČENÍ 83. Ukažte, že tok vektorového pole F x, y, z x, y, z hranicí každého tělesa splňující předpoklady Gaussovy věty je roven trojnásobku objemu tohoto tělesa. 2. Nechť P je těleso vyhovující předpokladům Gaussovy věty, které je středově souměrná vzhledem k počátku. Ukažte, že pole F x, y, z x 2, y 2, z 2 má nulový tok přes hranici P. 4. 5. 6. 7. M Pomocí Gaussovy věty vypočítejte následující integrály: 3. x 2 i + y 2 j + z 2 k ds, kde M je povrch krychle, a 3, orientovaný vnějším normálovým polem; x i +2y j +3z x 2 k ds, kde M je povrch elipsoidu se středem v počátku, osami M x, y, z a poloosami a, b, c. Orientace je dána vnějším normálovým polem; xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy, kde M je povrch jehlanu omezeného rovinami M x, y, z, x + y + z. Orientace je dána vnějším normálovým polem; x 3 dy dz + y 3 dz dx + z 3 dx dy, kde M je povrch koule o poloměru a a středem M v počátku orientovaná vnějším normálovým polem; x y + z dy dz + y z + x dz dx + z x + y dx dy, M kde M {x, y, z x y + z + y z + x + z x + y }. Orientace je dána vnějším normálovým polem. Návod: integrál je roven trojnásobku objemu M. Pro výpočet objemu užijte nové souřadnice u x y +z, v x+y z a w x+y +z. 8. Nechť plocha omezující těleso A má ve sférických souřadnicích typu 8.5 rovnici ϱ fϕ, ϑ, ϕ, ϑ D. Ukažte, že objema 3 D f 3 cos ϑ. 9. Na základě předchozí úlohy stanovte objem tělesa, jehož hranice má ve sférických souřadnicích vyjádření ϱ a cos ϑ.. Nechť f a g jsou funkce třídy C 2 na základním tělese P R 3, jehož hranice je plocha orientovaná vnější normálou n. Označme df n grad f n d n projekci vektoru gradientu do normálového směru v bodech hranice. Ukažte pomocí Gaussovy věty aplikované na F grad f, že platí tzv. Greenovy formule a df P d n P f. b P f dg d n P f g + G grad f grad g.

84 KAPITOLA. INTEGRÁLNÍ VĚTY. Nechť u je funkce třídy C 2 v R 3, pro kterou platí u. Ukažte, že du S d n pro každou uzavřenou plochu S s jednotkovým normálovým polem n, která splňuje předpoklady Gaussovy věty. Je nějaký fyzikální význam tohoto faktu? 2. Kapalina proudí v otevřené množině G R 3. Její rychlostní vektorové pole V nemá zřídla ani nory. Nechť ρx, y, z, t je hustota kapaliny v bodě x, y, z a čase t. Odvoďte rovnici proudění ρ t + divρ V. Návod: Změna hmotnosti v daném objemu se rovná hmotnosti kapaliny proteklé hranicí, tj. t M ρ M ρ V. 3. Nalezněte tok vektorového pole F k i grad qi 4πr i, kde r i je funkce udávající vzdálenost bodu od zřídla x i, y i, z i, přes uzavřenou plochu orientovanou vnějším normálovým polem, která obsahuje všechny body x i, y i, z i, i,... n, ve své vnitřní oblasti. 4. Ukažte, že yx3 + e y dx + xy 3 + xe y 2y dy, jeli C R 2 libovolná jednoduchá uzavřená křivka středově souměrná podle počátku. 5. Dokažte, že D 2xy y dx + x2 dy obsahd, kde D je základní oblast v R 2, jejíž hranice je orientovaná uzavřená jednoduchá křivka. Pomocí Greenovy věty vypočtěte následující křivkové integrály 6. y2 dx + x dy, kde je kladně orientovaná hranice čtverce, 2 ; 7. 3x2 cos y y 3 dx+x 3 3x 2 sin y dy, kde je jednotková kružnice se středem v počátku a kladnou orientací; 8. xe y2 dx+ x 2 ye y2 + dy, kde je kladně orientovaný obvod čtverce x 2 +y 2 a, a 2 ; 9. x + y dx x y dy, kde je kladně orientovaná elipsa s poloosami a, b a středem v počátku; 2. ex sin y 6y dx + e x cos y 6 dy, kde C je polokružnice daná podmínkami x 2 + y 2 ax, y, s počátečním bodem a, a koncovým bodem,. Návod: Doplňte polokružnici úsečkou na uzavřenou křivku. V následujících úlohách nalezněte obsah oblasti omezené zadanou křivkou 2. elipsou s poloosami a, b; 22 x t ln t, y t t 2, t, ; 23. smyčkou Descarteova listu o rovnici x 3 + y 3 3axy, x, y, a > ; Návod: Descarteův list je možno parametrizovat funkcemi x ϱ cos 2/3 ϕ, y ϱ sin 2/3 ϕ.

4. CVIČENÍ 85 24. křivkou o rovnici y 2 x 2 x 4. 25. Pomocí Stokesovy věty odvoďte, že yz dx + xz dy + xy dz pro každou uzavřenou křivku C, která je krajem orientované plochy v R 3. V následujících úlohách spočtěte uvedené integrály s použitím Stokesovy věty. 26. y2 z 2 dx+z 2 x 2 dy+x 2 y 2 dz, kde C je řez povrchu krychle J, a 3 rovinou x+y+z 3 a 2. Orientace je určena pořadím bodů a 2,, a, a,, a 2, a, a 2, ; 27. y + z dx + z + x dy + x + y dz, kde C je elipsa s parametrickým vyjádřením ϕt asin 2 t, 2 sin t cos t, cos 2 t, t, π. Orientace je indukována uvedenou parametrizací. 28. y2 i + z 2 j + x 2 k d s, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy a,,, a,,, a. Orientace je určena uvedeným pořadím vrcholů;. 29. y2 z 2 dx + x 2 z 2 dy + x 2 y 2 dz, kde C je uzavřená křivka s parametrizací ϕt a cos t, a cos 2t, a cos 3t, t, 2π. Orientace je dána zadanou parametrizací. 3. x2 y 3 dx + dy + dz, kde C {x, y, x 2 + y 2 r 2 }. Orientace je kladná. V následujících úlohách vypočtěte M rot F, kde 3. F x, y, z y i + z j + x k, a M je část paraboloidu z x 2 y 2, z. Normálové pole určující orientaci má přitom nezápornou z tovou složku; 32. F x, y, z y 2 i + xy j + xz k a M {x, y, z x 2 + y 2 + z 2, z }. Normálové pole určující orientaci má přitom nezápornou z tovou složku; 33. F x, y, z xz i y j + x 2 k a M je tvořena třemi stěnami čtyřstěnu ohraničeného rovinou s rovnicí 3x+y +3z 6 a souřadnicovými rovinami. Plocha přitom neobsahuje stěnu v rovině xy a je orientována vnitřní normálou. 34. Odhadněte absolutní hodnotu integrálu x2 + 2xyz i + z 3 x j + y 2 z 2 k, kde C je kružnice daná podmínkami x 2 + y 2 + z 2 ε 2, x + y + 2z 4 a ε je malé? 35. Nechť orientovaná křivka a orientovaná plocha M splňují předpoklady Stokesovy věty. Ukažte, že f grad g Mgrad f grad g, kde f, g jsou spojitě diferencovatelné funkce. Výsledky 3. 3a 4 ; 4. 8πabc; 5. /8; 6. 2π a5 5 ; 7. ; 9. π2 a 3 4 ; 3. n i q i; 6. 4; 7. 3 2π; 8. ; 9. 2πab; 2. 2πa 2 ; 2. πab; 22. /36; 23. 3 2 a2 ; 24. 4/3; 26. 9a3 2 ; 27. ; 28. a 3 ; 29. ; 3. πr6 8 ; 3. π; 32. ; 33. ; 34. πε2 6.