Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úloh a každé odpovědi rohodnout a onačit, da je správná či chbná, případně da uvedené tvrení platí či neplatí apod. Čas na vpracování testu je 75 minut. Bodování. Za každou úlohu je možno ískat 10 bodů. Tento plný počet bodů ískáte a úloh, u kterých dobře onačíte 1 u každé pěti nabíených odpovědí, da je správná či chbná. Za každou úlohu, ve které onačíte jednu či více odpovědí špatně, ískáte 0 bodů, be ohledu na počet dobře onačených odpovědí. U úloh, ve kterých neonačíte žádnou odpověd špatně, dostanete a každou dobře onačenou odpověd 2 bod (v případě pěti dobře onačených odpovědí ted plný počet 10 bodů). Způsob onačování a korekce. Zvolená odpověd se onačuje úplným vplněním příslušného kolečka. Pokud jste odpověd již onačili a chcete se opravit, můžete svou volbu rušit velkým křížkem přes vplněné kolečko a vplnit kolečko jiné. Zvolit již škrtnuté kolečko však nele. Jinak onačené odpovědi jsou považován a neonačené. V následujícím příkladu si všimněte, že poslední dva sloupečk mají stejnou hodnotu, rodíl je poue v korekcích. Příklad. Jako příklad uvádíme počt bodů, které ískáte pro růné aškrtání odpovědí v úloe Výsledek úloh 1 + 1 je : (a) 2 (b) 3 (c) Méně než 12 (d) Kladné číslo (e) 1 Odpovědi Odpovědi Odpovědi Odpovědi Ano Ne Ano Ne Ano Ne Ano Ne Bodů: 10 0 6 6 1 Za dobře onačenou odpověd se považuje taková, kde správná odpověd je Ano a v onačíte poue Ano, nebo správná odpověd je Ne a v onačíte poue Ne. Za špatnou odpověd se považuje taková, kde správná odpověd je Ano a v onačíte Ne, nebo správná odpověd je Ne a v onačíte Ano. Všechn ostatní možnosti se pokládají a otáku be odpovědi. 1
V následujících úlohách určete, která tvrení platí a která neplatí (Ano = platí, Ne = neplatí). 1. Naleněte množinu M všech řešení nerovnice 2 3 a) Množina M je uavřený interval. b) M = (, 2 c) M (2, ) d) M (0, ) e) M ( 1, 1) 0 v oboru reálných čísel. 2. Naleněte množinu M všech řešení nerovnice 2 5 + 1 > 0 v oboru reálných čísel. a) Všechna řešení jsou kladná. b) (, ) M c) Všechna řešení jsou menší než 17. d) Číslo 1 2 ( 17 1) je řešením nerovnice. e) M ( 1, 2) 3. Určete vdálenost d bodu (2, 3) od přímk procháející bod ( 3, 3) a ( 7, 0). a) d > 5 2 b) d > c) d < 8 3 d) d < 10 3 e) d 1 2, 10. Čísla 1339, 1080 a 171 mají několik společných vlastností: každé je kladné, celé, čtřciferné, ačíná číslicí 1 a obsahuje právě dvě stejné číslice. Počet všech růných čísel majících všechn uvedené vlastnosti onačme P. a) P 121, 358 b) P 221, 58 c) P 321, 99 d) P 30, 510 e) P > 510 5. V reálném oboru vřešte rovnici 3 sin 2 + cos 2 = 2 2 sin. Množinu všech řešení onačme M. a) Množina M má právě jeden prvek. b) 01π M c) M ( π, π) = 6 6 d) M (0, π) = 3 e) Množina M je prádná. 2
6. Těleso T má následující průmět do rovin rovnoběžných se souřadnicovými osami. Bod O načí počátek souřadnicového sstému. Určete, která následujících tvrení jsou pravdivá. O O O a) Těleso T musí vpadat jako těleso na tomto obráku: b) Těleso T může vpadat jako těleso na tomto obráku: c) Těleso T může vpadat jako těleso na tomto obráku: d) Objem tělesa může být 20. e) Objem tělesa je nejvýše 23. 3
7. Pro reálná čísla a, b, c uvažme následující dva vtah: a + b + c = a + b + c, (X) ab + ac + bc 0. (Y) a) Pokud je pro daná čísla a, b, c splněna podmínka (X), pak je pro ně nutně splněna i podmínka (Y). b) Pokud je pro daná čísla a, b, c splněna podmínka (Y), pak je pro ně nutně splněna i podmínka (X). c) Podmínka (X) je splněna pro všechna reálná čísla a, b, c. d) Pro všechna reálná čísla a, b, c platí: je-li největší čísel a, b, c áporné, pak je splněna podmínka (Y). e) Eistují reálná a, b, c taková, že podmínka (X) není splněna. 8. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic s reálným parametrem λ: + λ = 1, λ + 2 = λ. a) Soustava má právě jedno řešení (, ) právě tehd, kdž λ 1. b) Soustava má právě jedno řešení (, ) pro libovolné λ > 2. c) Pro každé řešení (, ) platí =. d) Pro λ = 1 nemá soustava řešení. e) Pro λ = 1 eistuje řešení (, ) splňující 0, 0. 9. Na šachovnici 8 8 polí stojí figurka v levém horním rohu a potřebuje se dostat do pravého dolního rohu. V každém tahu se posune bud o jedno políčko vodorovně doprava, nebo o jedno políčko svisle dolů. Onačme P počet všech takových cest figurk. a) P 1600, 02 b) P 208, 6500 c) P 000, 10256 d) P je liché. e) P je dělitelné třemi. 10. Ve vrcholu čtverce o straně délk 1 má střed kružnice o poloměru 1. Další kružnice se dotýká hranice čtverce a uvedené kružnice. Spočtěte obsah S šedé části vmeené hranicí menšího kruhu a hranicí čtverce (vi obráek). a) S < (3 2 2) 2 b) S = (1 π )(3 2 2) 2 c) S = (1 π )( 2 2) 2 d) S > 1 π e) S > 10 6
5
Výsledk (A) 1. M = 2, 3) Správné odpovědi: c, d. 2. M = (, 1 2 (1 + 17) ) (3, ) Správné odpovědi: b. 3. d = 3 Správné odpovědi: a, d, e.. 32 Správné odpovědi: b, c, d. 5. M = { π + 2kπ; k Z} { 3π Správné odpovědi: b, c. + 2kπ; k Z} 6. Správné odpovědi: b, d, e. 7. Správné odpovědi: a, d, e. 8. Pokud λ ± 2, pak je řešením = 1, = 0. Pokud λ = ± 2, pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Správné odpovědi: b, e. 9. ( 1 7 ) = 332 Správné odpovědi: a, b, e. 10. S = (1 π )r2, kde r = 2 1 2+1 = 3 2 2. Správné odpovědi: a, b, e. 6