VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná v bodě c. Příklad: funkce f x = sin x Tabulka hodnot pro x 0: x, D f = R 0. x 1.00 0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 f(x) 0.8415 0.9589 0.9933 0.9983 0.9996 0.9999
Grafické znázornění: f x = sin x x pro x 0
Limita funkce - definice Def: Nechť c R a funkce f je definována v jistém P(c). Řekneme, že funkce f má v bodě c limitu a R, jestliže platí: U a P c : x P(c) f(x) U(a). Zapisujeme lim f(x) = a. Význam: Pro body x D(f) dostatečně blízké k bodu c jsou odpovídající funkční hodnoty f x blízké hodnotě a. Poznámky: sin x Uvedený příklad: lim = 1. x 0 x Funkce f může mít v každém bodě c R nejvýše jednu limitu.
Určování limity funkce Věta: a) Nechť lim f(x) = a, lim g(x) = b. Pak platí: lim(f x lim(f x g x ) = ab, f(x) lim = a, g(x) b ± g x ) = a ± b, mají-li výrazy vpravo smysl. (Na pravé straně jsou vyloučeny neurčité výrazy.) b) Nechť lim f(x) = a > 0, lim g(x) = 0. f(x) Je-li g(x) > 0 v jistém P(c), pak lim = +. g(x)
Určování limity - pokračování Problém: Jak určit limity funkcí f a g z předchozí věty? Je-li f některá z funkcí tvaru mocninné funkce, mnohočleny, goniometrické a cyklometrické funkce, exponenciální a logaritmické funkce, pak pro každé c D(f) platí lim f(x) = f(c). Příklady (rozmyslete): lim x π (x 2 + 1) cos x = π 2 1, e lim x = 1, lim x 0 x+5 5 x 1 (x3 + 10) ln x = 0, x+3 lim x 0 x 2 e = +, lim x 2 x 0 x 4 =.
Určování limity další možnosti Je-li f omezená v jistém P(c), lim g(x) = 0, pak lim(f x g x ) = 0. Jestliže existuje δ > 0 a P(c) takové, že f(x) δ pro všechna x P(c), lim g(x) = +, pak lim(f x g x ) = +. Úloha: Zformulujte obdobné tvrzení pro δ < 0, f(x) δ, resp. g(x) =. lim Nechť na okolí P(c) platí f(x) g(x) h(x) pro všechna x, lim f(x) = lim h(x) = a R. Pak rovněž g(x) = a. lim
Jednostranné limity Def: Nechť c R, funkce f je definována v (c, c + δ), δ > 0. Řekneme, že funkce f má v bodě c limitu zprava rovnou a R, jestliže platí U a P + c : x P + (c) f(x) U(a). Zapisujeme lim f(x) = a. + Analogicky: limita zleva, zápis lim f(x) = a. Věta: Nechť δ > 0, funkce f je definována v (c δ, c) i v (c, c + δ). Pak platí lim f(x) = a lim f x = lim + f x = a. Poznámka: Pro jednostranné limity platí analogická tvrzení jako pro limity oboustranné.
VII.2. Spojitost funkce Def: Nechť c R a funkce f je definována v jistém okolí U(c). Řekneme, že funkce f je (a) spojitá v bodě c, jestliže platí lim f(x) = f(c); (b) spojitá zprava, resp. zleva v bodě c, jestliže platí lim f(x) = f(c), resp. lim f(x) = f(c). + Poznámka: Funkce f je spojitá v bodě c právě tehdy, je-li v tomto bodě spojitá zleva i zprava. Příklad: Funkce f definovaná předpisem f x = sin x x pro x 0, f 0 = 1 je spojitá v bodě 0 (proč?).
Spojitost na intervalu Def: Nechť I R je interval s krajními body a < b, I D(f). Řekneme, že funkce f je spojitá na I, jestliže platí: f je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I, je-li a I, je f spojitá zprava v bodě a, je-li b I, je f spojitá zleva v bodě b. Je-li f spojitá na každém intervalu I D(f), nazýváme f krátce spojitou funkcí. Ve smyslu této definice jsou spojitými funkcemi: mocninné funkce, mnohočleny, goniometrické a cyklometrické funkce, logaritmické a exponenciální funkce.
Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnost 1: Nechť f je spojitá na intervalu I, x 1 < x 2 jsou dva body z I. Pak pro každou hodnotu y ležící mezi f(x 1 ) a f(x 2 ) existuje c x 1, x 2 : f c = y. (Tzv. Darbouxova vlastnost nabývání mezihodnot ) Vlastnost 2: Nechť f je spojitá v bodě c. Je-li f(c) > 0 (resp. f(c) < 0), pak existuje U(c) D f takové, že pro všechna x U(c) je f(x) > 0 (resp. f(x) < 0). Vlastnost 3: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu I, nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima. Neplatí pro intervaly, které nejsou uzavřené: uvažte funkci f x = x 2, x I = (0, 2).
Operace se spojitými funkcemi Jsou-li funkce f, g spojité v bodě c, pak rovněž funkce f ± g, f g, f jsou spojité v bodě c; je-li g(c) 0, pak i funkce f g je spojitá v bodě c. Analogické tvrzení platí pro spojitost zprava nebo zleva. Jsou-li funkce f, g spojité na intervalu I, pak rovněž funkce f ± g, f g, f jsou spojité na intervalu I; je-li g(x) 0 pro všechna x I, pak i funkce f g je spojitá na intervalu I. (Aritmetické operace zachovávají spojitost.)
Spojitost složené funkce Situace: f je spojitá vnitřní funkce, g spojitá vnější funkce, zjišťujeme spojitost složené funkce h = g f. Je-li funkce f spojitá v bodě c, funkce g spojitá v bodě f(c) D(g), pak funkce h = g f je spojitá v bodě c. Je-li funkce f spojitá v intervalu I, funkce g spojitá v intervalu J a platí f(i) J, pak funkce h = g f je spojitá v intervalu I. Poznámka: Zápis f(i) J označuje, že f(x) J pro každé x I (funkce f zobrazuje interval I do intervalu J).
Spojitost inverzní funkce Poznámka: Je-li funkce f ryze monotónní na intervalu I, je na tomto intervalu prostá. Obrácené tvrzení však neplatí rozmyslete. Ale: Je-li funkce f prostá a spojitá na intervalu I, je na tomto intervalu ryze monotónní (rostoucí nebo klesající). Věta: Nechť funkce f je spojitá a prostá na intervalu I. Pak inverzní funkce f 1 je spojitá na intervalu J = f(i). Je-li f rostoucí (resp. klesající) v I, je f 1 rostoucí (resp. klesající) v J. Příklad spojitost inverzních funkcí: f x = sin x f 1 y = arcsin y je spojitá a rostoucí v J =< 1, 1 >. g x = tg x g 1 y = arctg y je spojitá a rostoucí v J = R.
Výpočet limity složené funkce Jednoduchý výpočet je možný ve speciálních případech: (A) Nechť lim f(x) = a R, funkce g je spojitá v bodě a. Pak Příklad: lim x + sin 1 x lim g(f x ) = g(a). = sin 0 = 0. (B) Nechť lim f(x) = +, lim g(y) = a. Pak y + lim g(f x ) = a. Příklad: lim x π 2 tg x 2+tg x = lim y + y 2+y = 1. Poznámka: Limitu lim f(x) lze nahradit jednostrannou limitou (zprava nebo zleva).