M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Jk teto studijí mteriál používt? Název tohoto studijího mteriálu je Mtice ve středoškolské mtemtice Jk už je z ázvu zřejmé, obsh odpovídá látce mtemtického semiáře, popř volitelého semiáře z progrmováí Osobě jsem jej použil v semiáři cvičeí z mtemtiky pro ročík ve volitelém semiáři z progrmováí při deklrcích dvourozměrých polí Uvědomuji si, že mticový počet eí stdrdě probírou látkou středoškolské mtemtiky, což jsem se sžil vykompezovt závěrečou sekcí Užití determitů ve vektorové lgebře lytické geometrii Úsporým způsobem zde defiuji zákldí teorii mticového počtu, bych ji mohl ásledě plikovt vybré kpitoly vektorové lgebry lytické geometrie Pre ukázl, že studeti třetího ročíku emjí s tkto omezeou teorií mticového počtu výrzější problémy Početí operce s mticemi (vyšších řádů) jsou umericky velmi áročé, proto podmíkou ikoli postčující, le utou je používt tbulkový procesor Při popisu potřebých fukcí s mticemi jsem se změřil dv ejzámější MS Ecel Oo Clc Vše lezete v kpitolách Využití tbulkového procesoru Ecel resp Clc při počítáí s mticemi determity I zde pre přiesl pozitiví výsledky Studeti jsou ušetřei zdlouhvých výpočtu mohou se tk více soustředit jádro problému Doporučuji s poodhleím možostí tbulkových procesoru počkt, dokud si studet eosmělí zákldí dovedosti mticové teorie s ppírem tužkou v ruce Vtiskout mu ávyk, že počítč je spíše kotrolím prostředkem K mteriálu přikládám soubor mtice determityls Můžete si jej stáhout z wwwmedlkcz/ftp/kv/ Zde lezete příkldy i s řešeím Prví list obshuje zdáí, druhý řešeí třetí je urče pro smotý výpočet Mtice ze zdáí kopírujte přes schráku Přál bych si, by tto práce šl využití při výuce mticového počtu Přípdé ohlsy (pozitiví i egtiví) můžete posílt milto:kvecky@mgoopvcz Dlší ispirci můžete čerpt http://wwwmedlkcz/ftp/kv utor /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Obsh: Jk teto studijí mteriál používt? Mtice Typy mtic Operce s mticemi Porováváí mtic Sčítáí mtic Násobek mtice7 Násobeí mtic 7 Hodost mtice 7 Řešeí soustv rovic mticovou metodou 7 Iverzí mtice 8 Jk určíme iverzí mtici? 8 Determity Defiice determitu Výpočet determitu Druhého řádu Třetího řádu Výpočet determitu vyšších řádů Vlstosti determitů 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 Gussov elimičí metod 7 Crmerovo prvidlo 7 Řešeí soustvy rovic v mticovém tvru 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity7 8 Součet mtic7 8 Souči mtic 7 8 k ásobek mtice8 8 Iverzí mtice 8 8 Determit 9 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity 9 Souči mtic 9 Dlší fukce pro počítáí s mticemi determity v OpeOfficeOrg Clc Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Vektorový souči Geometrický výzm vektorového součiu Smíšeý souči Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu7 Vzájemá poloh dvou přímek8 V roviě (E )8 V prostoru (E )8 /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Mtice V úvodí kpitole si zdefiujeme mtici ěkolik souvisejících pojmů Upozoríme důležité typy mtic ukážeme si postup pro hledáí iverzí mtice Dále pk početí operce s mticemi (porováváí, sčítáí, k-ásobek souči mtic) V závěrečé části této kpitoly si vysvětlíme, co je to hodost mtice pro účely dlších kpitol Mticí typu ( m, ) d R rozumíme tbulku sestveou z m relých čísel -tice (,, ) m m i, i i se zývá i-tým řádkem mtice, j, j mj,,, kk hlví digoálou mtice -tice (,, ) se zývá j-tým sloupcem mtice, k-tici čísel ( ) m Typy mtic Mtice typu (, ) se zývá čtvercová mtice stupě, Jedotková mtice stupě je čtvercová mtice, jejíž kždý prvek hlví digoály je rove E, kde e, pro všechy osttí jsou rovy (budeme ozčovt E); tz ( ) i,, e pro i j, kde i, j,, ij Mtice, jejímiž prvky jsou smé uly je ulová mtice ozčuje se symbolem O Čtvercová mtice, která má mimo hlví digoálu smé uly, se zývá digoálí Regulárí čtvercová mtice má determit růzý od e ij ii Operce s mticemi P o r o v á v á í m t i c Mtice ( ij ), ( b ij ) j,,, B se rovjí, jsou li téhož typu ( ) m, když ij bij, pro i,,, m S č í t á í m t i c Součtem dvou mtic téhož typu ( m, ), tz mtic rozumíme mtici b b B m m m bm B, která je tké typu ( m, ), přičemž b b b m b b b m /9
Je li S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B m N á s o b e k m t i c e b b b m m b b b r R, pk r-ásobkem mtice rozumíme mtici r r r r r rm rm m m r r r m Pozámk: Mtici ( ) budeme ozčovt zývt mtici opčou k mtici N á s o b e í m t i c Nechť je mtice typu ( m, ) B mtice ( p) B C typu ( p) b mtici ( ) c ij, Pk součiem mtic, B (v tomto pořdí) rozumíme m,, kde c i, j i j ib j ibj pro i,,, m j,,, p Pozámk: Pozor ásobeí mtic eí komuttiví Pro sčítáí mtic pltí jk komuttiví tk i socitiví záko b b b m Hodost mtice Hodost h ( ) mtice je mimálí počet lieárě ezávislých řádků mtice lgoritmus pro určeí hodosti mtice: Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Teto postup opkujeme dokud ezískáme trojúhelíkovou mtici s eulovými prvky digoále Ř e š e í s o u s t v r o v i c m t i c o v o u m e t o d o u Př: Řešte soustvu: y z y z y z se zývá (rozšířeou) mticí soustvy S touto mticí můžeme provádět ásledující elemetárí operce: vzájemá zámě dvou řádků, vyásobeí ěkterého řádku eulovým číslem, připočítáí libovolého ásobku ěkterého řádku k jiému řádku mtice Mtici budeme uprvovt dolí trojúhelíkovou mtici (trojúhelíkový tvr) Tz,že mtici uprvujeme tk, by všechy prvky pod hlví digoálou byly ulové Teto způsob řešeí soustvy se zývá Gussov elimičí metod (podroběji viz kpitol Řešeí soustv rovic) Příkld uvedeý v kpitole je motivčí O metodách řešeí soustv rovic se více dočtete v kpitole 9 7/9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B 7 řádek opíšeme K řádku přičteme -ásobek řádku K řádku přičteme řádek řádek opíšeme K řádku přičteme řádek řádek vydělíme číslem Mtice B jsou ekvivletí, proto můžeme původí soustvu přepst trojúhelíkový tvr Dále řešíme: y z y z y z Řešeím soustvy je uspořádá trojice: { [,, ] } P Iverzí mtice Jestliže ke čtvercové mtici stupě d R eistuje čtvercová mtice stupě tk, že pltí E, kde E je jedotková mtice stupě, zývá se mtice iverzí mticí k mtici Pozámk: Ke kždé čtvercové mtici eistuje ejvýše jed mtice iverzí Nutou postčující podmíkou eistece iverzí mtice k mtici je, by determit mtice byl růzý od J k u r č í m e i v e r z í m t i c i? Nlezeí iverzí mtice je umericky dosti áročé, zvláště u mtic vyšších řádů Způsob hledáí iverzí mtice porováváím mtic ( E ) vede k řešeí rovic o proměých, tkže příkld u čtvercové mtice řádu by to zmelo řešit soustvu devíti rovic o devíti proměých Ukážeme si ásledující způsob: vedle sebe sepíšeme mtici (k íž máme hledt iverzí mtici) jedotkovou mtici E postupými řádkovými úprvmi, které plikujeme obě mtice, přetváříme mtici mtici jedotkou z původí jedotková mtice tkto vzike mtice iverzí Vše vysvětluje ásledující příkld: Sepíšeme mtici, k íž hledáme mtici iverzí, mtici jedotkou E E Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) řádek sečteme s řádkem E ásobek řádku přičteme k řádku zároveň Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) ásobek řádku přičteme k Nikoli všk v Ecelu 8/9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9/9 E Nyí je třeb vyulovt prvky pozicích ( ), ( ),, tz ( ) ásobek řádku přičteme k řádku zároveň ( ) ásobek řádku přičteme k řádku E N závěr vyásobíme řádek ( ) E Mtice E se přetvořil v mtici iverzí
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou dáy mtice ( ),, ( ), B, ( ), C Vytvořte všechy možé součiy těchto mtic Jsou dáy mtice: B C Určete součiy B, B, C, C Určete ( ) f pro dou mtici polyom: ( ) f Njděte iverzí mtici k mtici: Určete hodost mtice: Njděte všechy mtice, které s mticí komutují 7 Řešte mticové rovice: 9 8 7 X 8 7 7 X
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Determity Determit je jistá hodot přiřze čtvercové mtici Předmětem tohoto studijího mteriálu je sezámit čteáře s tím, jk vypočítt determit řádu, řádu postupě i vyššího řádu rozvojem podle prvků r-tého řádku resp s-tého sloupce K výpočtu determitů vyšších řádů budeme využívt i ěkterých vlstostí determitů Úvodem se všk budeme věovt formálí defiici k tomu je zpotřebí defiovt ásledující pojmy Defiice D e f i i c e d e t e r m i t u π Permutce -prvkové možiě je zobrzeí π této možiy sebe; : {,,, } {,,, } Počet všech permutcí -prvkové možiě je! Zpisujeme: π Příkld:Nlezěte všechy permutce možiě {,, } určete, které z ich jsou sudé resp liché π π - π - π π π - Defiice Řekeme, že dvojice ( ) i k j k, tvoří iverzi v dé permutci, jestliže k > k i j Permutci π pk zveme sudou () resp lichou (-), má li sudý resp lichý počet iverzí i j < Příkld: Určete, které z dých permutcí jsou sudé resp liché 7 π π 7 (, ) ; (, ) ; (, ) ;(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) Počet iverzí je, tz Permutce je sudá () Počet iverzí je, tz Permutce je lichá (-) Utvořme yí souči všech prvků čtvercové mtice, jejichž idey tvoří permutce pro jsou to: pro jsou to:,,, Předchozí souči (včetě zmék), eboli čle determitu se obecě vypočítá ze vzthu: i π i i sgπ, kde π je libovolá permutce Dále pltí, že sg π je li π sudá permutce, sgπ je li π lichá permutce Slovy: Čle determitu je souči prvků vybrých právě z jedoho řádku právě jedoho sloupce Zméko čleu je zméko permutce tvořeé idey příslušé permutce Determit čtvercové mtice typu je číslo vziklé součtem všech čleů determitu Určíme jej ze vzthu: Číslo se zývá řádem determitu i π i i sgπ /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V ý p o č e t d e t e r m i t u Druhého řádu provádíme dle ásledujícího schémtu: Třetího řádu Pro urychleí výpočtu můžeme použít tzv Srrusovo prvidlo Pod posledí řádek opíšeme řádek mtice vyásobíme prvky ve směru hlví digoály podle tohoto schémtu: Výpočet determitu vyšších řádů Vět o rozvoji determitu Nechť je dá čtvercová mtice typu Pk pltí: r r r ( ) r r ( ) r r ( ) r r s s s ( ) s s ( ) s s ( ) s s kde, (), () r, s, determity ij zýváme subdetermity, ebo tké miory příslušé prvkům Subdetermity jsou determity mtic, které dosteme z mtice vyecháím i tého řádku j-tého sloupce Vzthu () resp () se říká rozvoj determitu podle prvků r-tého řádku, resp s-tého sloupce V l s t o s t i d e t e r m i t ů Pro výpočet determitů vyšších řádů využíváme ěkterých vlstostí: Determit čtvercové mtice, která má v jedom řádku (sloupci) smé uly, je rove ule Determit čtvercové mtice, která má stejé dv řádky (sloupce) je rove ule Determit mtice, v íž jede řádek (sloupec) je ásobkem jiého řádku (sloupce) této mtice, je rove ule Změíme li pořdí dvou řádků (sloupců) dé mtice, pk determit ově vziklé mtice se od determitu původí mtice liší pouze zmékem Determit součiu dvou mtic je rove součiu determitů těchto mtic Podobé tvrzeí pro determit součtu mtic epltí Determit mtice se ezměí, jestliže k libovolému řádku (sloupci) této mtice přičteme k- ásobek jiého řádku (sloupce) této mtice 7 k i k i k i k i i i 8 Determit mtice, jež má kromě prvků hlví digoále všechy zbývjící rovy ule, je rove součiů prvků hlví digoále ij /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou ásledující permutce π, π sudé ebo liché? π 7 7 π Určete hodoty determitů: ) b) 7 c) b c c b d) e) si cos cos si f) si cos Vypočtěte ezámou z rovice: b 7 7
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 G u s s o v e l i m i č í m e t o d Soustvou m lieárích rovic o ezámých,,, je systém rovic ve tvru m m Defiujme: Mtice soustvy () m Frobeiov vět m b, b, b, b m m, () m Soustv () má řešeí tehdy, je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) h < kde ij R, b i R ; i,, m, j,, jsou koeficiety této rovice Jestliže b b b, pk soustvu ezveme homogeí, v opčém přípdě ehomogeí Rozšířeá mtice soustvy () m m Dále pltí:, má soustv právě jedo řešeí m b b b, má soustv ekoečě moho řešeí; v tomto přípdě můžeme z ( h) ezámých volit libovolé prvky z R (tzv prmetry), zbývjících h ezámých je touto volbou určeo jedozčě (vyjádřeo pomocí prmetrů) 7 C r m e r o v o p r v i d l o Lze použít z předpokldu, že dá soustv je soustvou rovic ezámých determit mtice soustvy je růzý od uly, tz Pk tto soustv má jedié řešeí,,,, kde i ( i,,, ) je mtice, kterou dosteme z mtice tk, že v í i-tý sloupec hrdíme sloupcem prvých str ší soustvy Pozámk: Crmerov prvidl lze s výhodou použít při řešeí soustv rovic pomocí tbulkového procesoru Ecel Viz kpitol Využití tbulkového procesoru při počítáí s mticemi determity /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Ř e š e í s o u s t v y r o v i c v m t i c o v é m t v r u N obohceí výpočetích metod si ukžme elegtí řešeí soustvy mticovém tvru Nechť je dá čtvercová Dále sestvíme mtici X regulárí mtice typu, z proměých,,,, tz X lieárích rovic v R v tzv Prvé stry rovic soustvy ozčíme b, b, b,, b sestvíme z ich mtici B b b B b b Podle defiice pro souči dvou mtic pro rovost dvou mtic pk lze zpst soustvu lieárích rovic o proměých Mtice je typu (, ), mtice X je typu (, ) b b b b v mticovém tvru tkto: X B (), tkže výsledá mtice X jko mtice B Porováím obou str () tedy vzike výše zmíěá soustv je typu (,), stejě Protože je regulárí čtvercová mtice, eistuje k í iverzí mtice Nechť řešeím soustvy k k k, k,, Npíšeme-li toto řešeí ve tvru (), () je vektor (uspořádá -tice) [ ], k k K k můžeme pk zpst, že K je řešeím soustvy () tkto: k Násobíme-li () mtici ( K ) B zlev, dosteme: k K Vzhledem k pltosti socitivího záko pro ásobeí mtic pk pltí dále: ( ) K B Protože ( ) E B () (jedotková mtice, která má chrkter eutrálího prvku vzhledem k operci ásobeí mtic), pltí dále: E K B tedy K B () Řešeí soustvy () je tdy dáo vzorcem () Dosdíme-li () do (), dosteme po úprvě prvdivý výrok Toto řešeí soustvy () je dáo vzorcem () jedié jedozčé /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e závěr jed piktí úloh pro pilého čteáře dobrého progrmátor: Do čtvercové tbulky vepište všech čísl od do tk, by součty ve všech řádcích, sloupcích, digoálách souvislých čtvercích se sobě rovly ž sestvíte soustvu, zkotrolujte si, jestli ji máte stejou jko v ápovědě B Přeji moho řešitelských úspěchů /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity 8 S o u č e t m t i c Součet mtic, získáme tk, že do buňky odpovídjící pozici (,) výsledé mtice vložíme vzorec pro součet prvků z prvího řádku prvího sloupce sčítých mtic ( b ) Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice 8 S o u č i m t i c Pro výpočet součiu mtic je v Ecelu fukce SOUČINMTIC(mt;mt) Máme-li zdé mtice, které chceme ásobit, ejdříve vybereme oblst výsledé mtice Npříkld ásobíme-li mtice typu (,) (, ), vyselektujeme souvislou oblst Buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec Součimtic(mt;mt) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém (, ) prvek pozici prvího řádku prvího sloupce 7/9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8 k á s o b e k m t i c e k ásobek mtice získáme tk, že do buňky odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice vložíme vzorec pro souči prvku k prvku mtice pozici (, ), tedy prvku bychom při ásledém kopírováí vzorce do zbývjících buěk výsledé mtice docílili toho, že půjde vždy o souči s k, musíme prvku ( ) ij Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice buňku obshující k (v šem př ) dresovt bsolutě Toho docílíme tk, že ve vzorci umístíme před tuto buňku kurzor stiskeme klávesu F Před sloupec řádek udávjící pozici buňky se doplí symbol dolrovky (v šem př $$) 8 I v e r z í m t i c e Pro výpočet iverzí mtice eistuje v Ecelu fukce INVERZE(mtice) Mámeli mtici, jejíž iverzí mtici hledáme, ozčíme celou oblst výsledé mtice Přitom buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec INVERZE(mtice) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8/9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 D e t e r m i t Determit počítáme pomocí fukce DETERMINNT Njdeme ji v sekci mtemtické, ejdříve všk vybereme buňku, do íž chceme hodotu determitu vložit rgumetem fukce je oblst odpovídjící mtice Nezpomeňte, že determit lze počítt pouze u mtic čtvercových Vše osttí je ptré z obrázku 9/9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity Tto kpitol je urče především pro ty čteáře, kteří preferují ekomerčí blík kcelářských progrmů OpeOffice Te si můžete zdrm stáhout z http://wwwopeofficecz/sthout Osobě jej tké upředostňuji Nebudu se zbývt součtem mtic k-ásobkem mtice, protože způsob výpočtu je stejý jko v kokurečím Ecelu Přejděme hed k ásobeí mtic 9 S o u č i m t i c Průvodce fukcemi ejrychleji vyvoláte tlčítkem mezi editčím řádkem polem ázvů Druhou možostí, jk jej vyvoláte je Vložit/Fukce (CtrlF) V Clc jsou fukce ktegorizováy obdobě jko v Ecelu, s tím rozdílem, že zde jdete speciálě ktegorii Mtice (viz obr) Zvolíme tuto ktegorii bíde se ám výčet fukcí d mticemi determity Násobeí mtic odpovídá fukce MMULT(mtice,mtice) Již zde si můžete všimout, že v levém dolím rohu je checkbo (zškrtávcí políčko) Mtice Toto zvýhodňuje ty, kteří eumějí určit typ výsledé mtice Připomíám, že v Ecelu musíte ejdříve vybrt oblst odpovídjící vyásobeé mtici teprve potom vyvolt průvodce fukcí Dlší ecelckou zrdou je o již zmiňová klávesová zkrtk CtrlShift Toho všeho jste v Clc ušetřei Stčí je zškrtout checkbo Mtice Viz str 8 vprvo dole /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V prvím dilogovém okě klikeme tlčítko Dlší, bychom přešli do druhého, kde do polí mtice vybereme mtice, které ásobíme (shor dolů v pořdí, jk mtice ásobíme) Pokud by mtice byly skryty dilogovým okem, pomůžeme si tlčítkem Pokud e, postčí oko přesuout potžeím z titulkovou lištu ásledě vybrt jedu pk druhou mtici Následující obrázek ázorě demostruje, jk vybrt mtice, které chceme ásobit Všiměte si, jk se fukce zpisuje do editčího řádku MMULT(B:E, H:I) Máme-li obě mtice vybré, stčí potvrdit klikutím tlčítko OK Prvek (,) výsledé mtice se vloží do vybré buňky V šem přípdě je to buňk C8 /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 D l š í f u k c e p r o p o č í t á í s m t i c e m i d e t e r m i t y v O p e O f f i c e O r g C l c V předchozí kpitole jste mohli ázorě vidět, jk mticové fukce fugují Ty zbyle již poechám čteáři Připomíám je, že pokud má být výsledkem mtice, je třeb zškrtout checkbo v levém dolím rohu průvodce fukcemi N závěr přikládám popis těch ejdůležitějších mticových fukcí: Název fukce Syte Popis MDETERM MDETERM(mtice) Vrcí determit mtice MINVERSE MINVERSE(mtice) Vrcí iverzí mtici k zdé MMULT MMULT(mtice,mtice) Vrcí souči mtic MUNIT TRNSPOSE MUNIT(rozměry) TRNSPOSE(mtice) Vrcí jedotkou mtici určeého rozměru Provede záměu řádků sloupců mtice Příkldy: Řešte v tbulkovém procesoru Zkuste Ecel i Clc, ť se můžete rozhodout, který Vám bude více vyhovovt Zopkujte si všechy důležité typy mtic Dále určete mtice iverzí k těmto mticím 8 B Pojďme se yí zbývt početími opercemi s mticemi Nejdříve si ukážeme, jk se mtice v Ecelu sčítjí Sečtěte mtice, B mtice C, D C 7 8 9 8 Vypočtěte k ásobek mtice, jestliže k {,,, } B C 7 7 9 8 8 Využijte k tomu bsolutí dresce buňky /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 N mticích B, z třetího příkldu ověřte, zd je operce ásobeí mtic komuttiví Vyásobte mtice z prvího příkldu s příslušou iverzí mticí Co byste řekli o výsledé mtici? Určete ( ) Q pro dou mtici polyom ( ) X Q Číslo v kvdrtickém trojčleu povžujte z jedotkovou mtici E ( ) X Q 7 Vypočtěte determity mtic B, Řešte dvěm způsoby - vzorcem přes průvodce fukcí 7 8 B 7 7 7 7 C 8 Vypočtěte determity ásledujících mtic pozorujte jejich hodoty v závislosti řádcích, popř prvcích hlví digoále 7 8 B 9 C D E F 9 Řešte ásledující soustvu užitím: ) Crmerov prvidl, b) Mticovou metodou
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii je zčé dle mého soudu ezbytě uté V moh přípdech usdňuje složité umerické výpočty elimiuje vykostruové lgoritmy zámé z moh středoškolských učebic mtemtiky o, zsvěceý čteář by mohl mítout, že mticový počet eí stdrdí áplí gymziálí látky, všk řešeí je sdě V úvodí sekci vektorové lgebry stčí zvést pojem mtice, jkožto schém vzikuvší orgizcí čísel do řádků sloupců Následě defiovt determit, jkožto číslo příslušející pouze čtvercovým mticím Omezil bych se pouze determit druhého třetího řádu Pro výpočet determitu druhého řádu doporučuji plikovt Srrusovo prvidlo, determit mtice třetího řádu je vhodé počítt rozvojem prvího 7 řádku Obecý vzorec může zůstt studetům utje Teto mtemtický prát je pro še kpitoly prosto dostčující jké kpitoly mám vlstě mysli? Jsou jimi: vektorový souči, smíšeý souči, obecá rovice roviy vzájemá poloh dvou přímek v prostoru Podrobý výkld výše zmiňových kpitol by jistě vystčil dlší studijí mteriál, proto se jimi budu zbývt je okrjově spíše zdůrzím plikce mticového počtu kokrétě determitu Osttě teto je předmětem šeho studi, e? V e k t o r o v ý s o u č i Vektorový souči je v mtemtice ozčeí biárí operce mezi dvěm eulovými vektory v trojrozměrém vektorovém prostoru Výsledkem této operce je vektor ( rozdíl od součiu sklárího, jehož výsledkem je při součiu dvou vektorů sklár číslo) Defiice: r r r Nechť u, v o ϕ je úhel, jež tyto dv vektory svírjí Pk vektorovým součiem vektorů u r, v r (v tomto pořdí) rozumíme vektor t r, který má tyto vlstosti: směr vektoru je kolmý roviu, do íž lze vektory u r, v r umístit, velikost vektoru t r r r r se vypočítá t u v siϕ, orietce vektoru t r se řídí prvidlem prvé ruky 8 Vektorovým součiem vektorů u r, v r r r ozčíme u v Viz kpitol 7 Výpočet determitu 7 Výhrdě prvího řádku (důvody budou vysvětley v ásledující kpitole) 8 Tj umístíme-li mlíkovou hru prvé ruky do roviy určeé vektory u r, v r tk, že prsty ukzují směr točeí vektoru u r k vektoru v r, pk vztyčeý plec určuje orietci vektoru t r /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e yí, jk určíme souřdice vektoru t r r r r Nechť je u ( u, u, u), v ( v, v, v ) t pomocí determitu tkto: r t r u r v t u v t u v t u v t t t r r, Vektorový souči vektorů u r, v r lze určit ( t t t ) u v, u u uv uv v v u u ( uv uv ) v v u u uv uv v v r t t, t, t u v u v, u v u v u v u v ( ) ( ), Jedotlivé souřdice získáme ze subdetermitů vyskytujících se ve vzorci pro výpočet determitu podle prvků řádku Jedoduše řečeo škrteme řádek sloupec, v ěmž leží prvek, tk získáme subdetermit pro výpočet prví souřdice vektorového součiu U zbylých souřdic postupujeme logicky, je u druhé souřdice musíme subdetermitu předřdit záporé zméko 9 Geometrický výzm vektorového součiu Vět: Nechť je dá rovoběžík BDC v prostoru Povžujeme-li stry B C z umístěí vektorů u r, v r, r r pk obsh S rovoběžíku BDC lze vyjádřit rovostí S u v, obsh trojúhelíku BC r r S u v Důkz: Vzorec pro výpočet obshu trojúhelíku S c () v c Z prvoúhlého trojúhelíku PC lze výšku stru c určit ze vzthu: v c b siα () () () S c b siα () dále pk r r u B u c r r v C v b () () () () () α hrdíme ϕ r r S u v siϕ () Z defiice vektorového součiu u r v r víme, že jeho velikost je rov u r v r si ϕ, proto pltí dokázý vzth pro obsh trojúhelíku BC Obsh rovoběžíku BDC už je pouhým dvojásobkem S BC r r u v S BDC r r u v 9 proč? Vše je zřejmé ze vzorce pro výpočet determitu podle prvků r-tého řádku (viz kpitol 7 Výpočet determitu ) /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e S m í š e ý s o u č i Vět: Nechť je dá rovoběžostě BCD B C D Povžujeme-li hry B, D, z umístěí vektorů u r, v r, w r, pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r V u v ( ) w Důkz: Z předchozí kpitoly víme, že obsh S rovoběžíku BCD lze vyjádřit vektorovým součiem Pro obsh podstvy rovoběžostěu pltí: r r S u v N obrázku je přímk P kolmá k oběm stěám BCD B C D, tz, že úsečk P je výškou rovoběžostěu ( v ) Budeme ji počítt z prvoúhlého trojúhelíku P : P cosϕ v r r v w cosϕ, kde ϕ je odchylk vektorů u r v r w, w r Pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r r r r V S v u v w cosϕ u v w cos ( ) ϕ Výrz v bsolutí hodotě vyjdřuje velikost sklárího součiu vektorů ( u r v r ) r r r V ( u v) w, w r Pk tedy: Pozámk: r r r Souči ( u v ) w se zývá smíšeý souči vektorů u r, v r, w r (v tomto pořdí) Z geometrického výzmu je zřejmé, že pltí: r r r r r r r r r u v w v w u u w ( ) ( ) ( ) v jk využíváme determitu při výpočtu smíšeého součiu? Tkto: r u u u u r r r r ( u v ) w v v v v, r w w w w Dále pltí: r u r r r r Vrovoběžo stěu ( u v) w v r w Závěr: Objem rovoběžostěu, jehož hry reprezetují vektory u r, v r, w r vypočítáme jko bsolutí hodotu z determitu sestveého z těchto vektorů u v w u v w u v w Počítáme výšku T musí být kldé R-číslo, proto je výrz ϕ r r Sklárí souči dvou vektorů: v u Σ i u v i i cos v bsolutí hodotě Pro přípd, že by π ϕ, π /9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu Problemtiku této kpitoly si vysvětlíme kokrétím příkldu Rovi je dá třemi body [ ; ; ] B [ ; ; ], C [ ; ; ] Určete obecou rovici této roviy, Vektory u r, v r jsou dáy symbolickými rovicemi: u r B ( ; ; ) C ( ; ; ) v r Pro kždý bod X roviy α pltí: r r X α : X α X k u l v Jik řečeo: Bod X je prvkem roviy α právě tehdy, je-li vektor X lieárí kombicí vektorů u r, v r Je-li tomu tk, pk determit vzikuvší z vektorů X, u r, v r musí být rove ule právě skldě této podmíky získáme obecou rovici roviy Řešíme rovici: X r u r v y z Determit vypočítáme rozvojem řádku: ( ) ( y ) z Nyí vypočteme subdetermity řádu: ( ) ( y ) 8z Provedeme zčeé početí: y 8z / : ( ) y 8z y z 7 Obecá rovice roviy tedy je: α : y z 7 7/9
S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Vzájemá poloh dvou přímek V r o v i ě ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b b b) b b c) b b ( ) { P} ( ) ( ) růzoběžé přímky, rovoběžé přímky, totožé (splývjící) přímky vz Poloh průik Vzájemou polohu dvou přímek v E určujeme zákldě průiku Průik určíme řešeím soustv rovic V p r o s t o r u ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b ( b) mimoběžé přímky;, b jsou ekomplárí b) b ( b) { P} růzoběžé přímky, c) b ( b) rovoběžé přímky,, b jsou komplárí d) b ( b) totožé (splývjící) přímky (ležící v jedé roviě) vz Poloh průik Nejdříve zjišťujeme závislost vektorů, b Jsou li vektory, b závislé vektory, c tké, přímky, b jsou totožé Jsou li vektory, b závislé vektory jsou rovoběžé, c ezávislé, přímky, b Jsou - li vektory, b ezávislé, zjišťujeme jejich komplárost, tz Leží-li v jedé roviě Je-li vektor c lieárí kombicí vektorů, b jsou růzoběžé Průsečík získáme řešeím soustvy c B, b, pk 8/9
Příkldy: S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Určete vzájemou polohu přímek p, q s prmetrickými vyjádřeími ) p : 8 t, y 8t, z t; t R q : s, y s, z 9s; s R b) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R c) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R d) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z 9 s; s R Zjistěte, zd vektor w je lieárí kombicí vektorů u v Ověřte determitem ) w ( ; ; ), u ( ; ; ), ( ; ;) b) w ( ;; ), u ( ; ;), v ( ; ; ) v, Vypočítejte vektorový souči vektorů u ( ;; ), v ( ; ; ) Vypočítejte obsh trojúhelíku zdého body, B, C užitím vektorového součiu ;; ; ; C ; ; [ ], B [ ], [ ] Body [ ;], B [ ; ], [ ; ] ) užitím trigoometrických zlosti (v E ), b) užitím vektorového součiu (v E ) C tvoří vrcholy trojúhelíku Spočítejte jeho obsh Vypočítejte obsh rovoběžíku KLMN, jestliže záte souřdice K [ ; ;], L [ ; ; ], [ ; ;] Vypočítejte tké souřdice bodu N M 7 N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelíku XYZ byl Souřdice bodu X, Z jsou [ ; ; ] Z [ ; ; ] 8 V rovoběžostěu BCD BC D záme souřdice vrcholů [ ; ; ], B [ ; ; ], D [ ; ; ], [ ; ; ] ) vypočítejte souřdice vrcholů C, B, C, D b) vypočítejte objem rovoběžostěu BCD BC D 9 Jsou dáy body K [ ; ; ], L [ 8; ; ], M [ ; ; ], [ ;; ] ) vypočítejte objem rovoběžostěu KLMNOPQR, b) vypočítejte objem rovoběžostěu KLNMOPQR c) Porovejte výsledky úloh ), b) zdůvoděte O X Vypočítejte objem čtyřbokého jehlu BCDV, záte li souřdice bodu [ ; ; ], [ ; ; ] D [ ; ; ], V [ ; ;] N ose z určete bod Z tk, by objem čtyřstěu BCZ, kde [ ; ;], B [ ; ; ], C [ ; ; ], byl B, 9/9